高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3-2簡單的三角恒等變換二課件新人教A版必修4

3.2簡單的三角恒等變換(二)

關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一角的變換問題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】1.求值:sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=________.

2.求值:=________.

3.已知tan(α+β)=λtan(α-β),其中λ≠1,求證:【思路導(dǎo)引】1.注意角的變換,分析角之間的關(guān)系,令α=θ+15°;2.注意切化弦;3.注意變角,用已知角α+β,α-β表示2α,2β.【解析】1.令α=θ+15°,則原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cosα

答案:02.答案:【解題策略】角的三種變換(1)常見的配角變換.α=2·,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)],β=[(α+β)-(α-β)],(2)輔助角變換.asinx+bcosx=sin(x+φ),其中tanφ=.(3)注意常值的代換.用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù),使之代換后能用相關(guān)公式,如1=sin2α+cos2α,1=sin90°,=sin30°,=cos30°等.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020?宜賓高一檢測)已知α∈,且3sin2α-5cos2α+sin2α=0,則sin2α+cos2α= (

)A.1

B.-

C.-或1

D.-1【解析】選A.由3sin2α-5cos2α+sin2α=0,得所以即3tan2α+2tanα-5=0,解得tanα=1或tanα=-.因為α∈,所以tanα=1,即α=,所以sin2α+cos2α=sin+cos=1.

【解析】選A.由3sin2α-5cos2α+sin2α=0,得所以即3tan2α+2tanα-5=0,解得tanα=1或tanα=-.因為α∈,所以tanα=1,即α=,所以sin2α+cos2α=sin+cos=1.

2.化簡:=________(0<α<π).

【解析】因為tan,所以(1+cosα)tan=sinα,又因為cos=-sinα,且1-cosα=2sin2,所以原式=因為0<α<π,所以0<<.所以sin>0.所以原式=-2cos.答案:-2cos3.求證:【證明】方法一:左邊==cosαsincos=sinαcosα=sin2α=右邊.所以原等式成立.方法二:左邊=cos2αtanα=cosαsinα=sin2α=右邊.所以原等式成立.類型二三角恒等變換與函數(shù)問題(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)角度1與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題

【典例】已知函數(shù)f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求證:當(dāng)x∈時,f(x)≥-.類型二三角恒等變換與函數(shù)問題(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)角度1與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題

【典例】已知函數(shù)f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求證:當(dāng)x∈時,f(x)≥-.【思路導(dǎo)引】

【解析】(1)f(x)=cos-2sinxcosx=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因為-≤x≤,所以,因為y=sint在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以f(x)≥sin,得證.角度2與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問題

【典例】函數(shù)f(x)=4cos2-2sinx-|ln(x+1)|的零點個數(shù)為__________.

【思路導(dǎo)引】利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)解析式后再結(jié)合圖象解答.【解析】因為f(x)=4cos2-2sinx-|ln(x+1)|=2(1+cosx)sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,所以函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為函數(shù)y=sin2x與y=|ln(x+1)|圖象的交點的個數(shù),函數(shù)y=sin2x與y=|ln(x+1)|的圖象如圖,由圖知,兩函數(shù)圖象有2個交點,所以函數(shù)f(x)有2個零點.答案:2【變式探究】本例若把函數(shù)改為f(x)=sinxcosx-ln|x|,試求零點的個數(shù).【解析】因為f(x)=sinxcosx-ln|x|=sin2x-ln|x|,所以函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為函數(shù)y=sin2x與y=ln|x|圖象的交點的個數(shù),如圖知,零點的個數(shù)為2個.【解題策略】三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問題的解題策略運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,將ωx+φ看作一個整體研究函數(shù)的性質(zhì).研究圖象問題時用數(shù)形結(jié)合的方法直觀解題,由“數(shù)”想圖,借“圖”解題.【題組訓(xùn)練】1.(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)f的最小正周期為(

)

A. B. C.π D.2π【解析】選C.f(x)==sinxcosx=sin2x,所以f(x)的最小正周期為T==π.2.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R.求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.【解析】f(x)=-(1-2sin2x)+(2sinxcosx)+(2cos2x-1)+=sin2x+cos2x+=sin由題意得2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z.【拓展延伸】三角恒等變換在平面向量中的應(yīng)用1.向量是一種解決問題的工具,是一個載體,通常是用向量的數(shù)量積運算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題.2.三角函數(shù)要結(jié)合三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化,注意角的范圍對變形過程的影響.【拓展訓(xùn)練】已知向量a=(1,-),b=(sinx,cosx),f(x)=a·b.(1)若f(θ)=0,求的值.(2)當(dāng)x∈[0,π]時,求函數(shù)f(x)的值域.【解析】(1)因為a=(1,-),b=(sinx,cosx).所以f(x)=a·b=sinx-cosx,因為f(θ)=0,即sinθ-cosθ=0,所以tanθ=,所以=(2)f(x)=sinx-cosx=2sin,因為x∈[0,π],所以x-∈,當(dāng)x-=-,即x=0時,f(x)min=-,當(dāng)x-=,即x=時,f(x)max=2,所以當(dāng)x∈[0,π]時,函數(shù)f(x)的值域為[-,2].【補償訓(xùn)練】已知三點A,B,C的坐標(biāo)分別為A(cosα,sinα)B(3,0),C(0,3),若=-1,求的值.【解析】由題意,得=(3-cosα,-sinα),=(-cosα,3-sinα).因為·=-1,所以(cosα-3)·cosα+sinα(sinα-3)=-1.整理,得sinα+cosα=.所以1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-.又因為=2sinαcosα,所以原式=-.類型三三角恒等變換在幾何中的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)【典例】若點P在直徑AB=1的半圓上移動,過P作半圓的切線PT,且PT=1,∠PAB=α,問α為何值時,四邊形ABTP的面積最大?【思路導(dǎo)引】先作圖,再寫出面積關(guān)于α的函數(shù),利用三角函數(shù)性質(zhì)求解.【解析】如圖,連接PB,因為AB為直徑,所以∠APB=90°.因為∠PAB=α,AB=1,所以PB=sinα,PA=cosα,又PT切半圓于P點,則∠TPB=∠PAB=α.所以S四邊形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sinα=cosα·sinα+sin2α=sin2α+(1-cos2α)

因為0<α<,-<2α-<π,所以當(dāng)2α-=,即α=π時,四邊形ABTP的面積最大.【解題策略】解決三角恒等變換在幾何中的應(yīng)用問題的注意事項(1)充分借助平面幾何,尋找數(shù)量關(guān)系.(2)注意實際問題中變量的范圍.(3)直視三角的有界性的影響.【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示,要把半徑為R的半圓形木料截成矩形,應(yīng)怎樣截取,才能使△OAB的周長最大?

【解析】設(shè)∠AOB=α,△OAB的周長為l,則AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以l=OB+AB+OA=R+Rsinα+Rcosα=R(sinα+cosα)+R=Rsin+R.因為0<α<,所以<α+<,所以l的最大值為R+R=(+1)R,此時,α+=,即α=,即當(dāng)α=時,△OAB的周長最大.【補償訓(xùn)練】在本題條件下,求矩形面積的最大值.【解析】如圖所示,設(shè)∠AOB=α,則AB=Rsinα,OA=Rcosα.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=2OA·AB,所以S=2Rcosα·Rsinα=R2·2sinαcosα=R2sin2α.因為α∈,所以2α∈(0,π).因此,當(dāng)2α=,即α=時,Smax=R2.這時點A,D到點O的距離均為R,矩形ABCD面積的最大值為R2.

備選類型三角變換在實際生活中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模)【典例】某高校專家樓前現(xiàn)有一塊矩形草坪ABCD,已知草坪長AB=100米,寬BC=50米,為了便于專家平時工作、起居,該高校計劃在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路HE,HF和EF,并要求H是CD的中點,點E在邊BC上,點F在邊AD上,且∠EHF為直角,如圖所示.(1)設(shè)∠CHE=x(弧度),試將三條路的全長(即△HEF的周長)L表示成x的函數(shù),并求出此函數(shù)的定義域.(2)這三條路,每米鋪設(shè)預(yù)算費用均為400元,試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費用最低?并求出最低總費用(結(jié)果保留整數(shù))(可能用到的參考值:

取1.732,取1.414).【解析】(1)因為在Rt△CHE中,CH=50,∠C=,∠CHE=x,所以HE=在Rt△HDF中,HD=50,∠D=,∠DFH=x,所以HF=.又∠EHF=,所以EF=所以三條路的全長(即△HEF的周長)L=當(dāng)點F在A點時,x最小,求得此時x=;當(dāng)點E在B點時,x最大,求得此時x=.故此函數(shù)的定義域為(2)由題意知,要求鋪路總費用最低,只要求出△HEF的周長L的最小值即可.由(1)得L=設(shè)sinx+cosx=t,則sinxcosx=所以L=由t=sinx+cosx=,x∈,得當(dāng)x=,即CE=50時,Lmin=100(+1),所以當(dāng)CE=DF=50米時,鋪路總費用最低,最低總費用約為96560元.【解題策略】

此類問題,關(guān)鍵是合理引入輔助角,確定各變量之間的關(guān)系,將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識求解.提醒:在利用三角變換解決實際問題時,常因忽視角的范圍而致誤.【跟蹤訓(xùn)練】如圖,某工匠要將一塊圓心角為120°,半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊面積最大的矩形,現(xiàn)有兩種裁法:(1)讓矩形一邊在扇形的半徑OA上(如圖①),(2)讓矩形一邊與弦AB平行(如圖②),請問該工匠應(yīng)采用哪種裁法?并求出這種裁法面積的最大值.【解析】在題圖①中,MN=20sinθ,ON=20cosθ,所以S1=ON·NM=400sinθcosθ=200sin2θ,所以當(dāng)sin2θ=1,即θ=45°時,(S1)max=200cm2.題圖②中,MQ=40sin(60°-α),MN=sinα,所以S2=[cos(2α-60°)-cos60°],當(dāng)cos(2α-60°)=1,即2α-60°=0,α=30°時,(S2)max=cm2.因為>200,所以用圖②這種裁法得到的矩形的面積大,最大為cm2.1.化簡cosx+sinx等于 (

)

【解析】選B.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是減函數(shù),則a的最大值是(

)

【解析】選C.f(x)=cosx-sinx=.當(dāng)x∈[0,a]時,x+所以結(jié)合題意可知,a+≤π,即a≤,故所求a的最大值是.3.函數(shù)y=sin2x+cos2x的最小正周期為________.

【解析】因為y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin所以函數(shù)的最小正周期T==π.答案:π4.北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會,會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為θ,則cos2θ=________.

【解析】由題意知,5cosθ-5sinθ=1,θ∈,所以cosθ-sinθ=.又(cosθ+sinθ)2+(cosθ-sinθ)2=2,所以cosθ+sinθ=(負(fù)值舍去),所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=.答案:

5.形如的符號叫二階行列式,現(xiàn)規(guī)定=a11a22-a21a12,如果f(θ)=0<θ<π,求θ的值.【解析】因為

=,所以f(θ)==cosθsin-sinθcos=cosθ-sinθ=sin因為

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