壓桿穩(wěn)定課件

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壓桿穩(wěn)定

提要：本章著重討論受壓直桿的穩(wěn)定性計(jì)算。通過(guò)對(duì)兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的穩(wěn)定性分析，闡明壓桿的平衡穩(wěn)定性的基本概念，明確壓桿的臨界力的意義及其確定方法，并進(jìn)一步討論了不同支承情況對(duì)臨界力的影響及其歐拉公式的統(tǒng)一形式。通過(guò)臨界應(yīng)力總圖明確了壓桿的柔度的物理意義，并揭示了壓桿的強(qiáng)度和穩(wěn)定性之間的關(guān)系，從而明確了歐拉公式的適用范圍。介紹了運(yùn)用長(zhǎng)、中柔度桿穩(wěn)定計(jì)算公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的壓桿穩(wěn)定校核的方法。10.1壓桿穩(wěn)定的概念在緒論中已指出，衡量構(gòu)件承載能力的指標(biāo)有強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性。關(guān)于桿件在各種基本變形以及常見(jiàn)的組合變形下的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題在前述各章節(jié)中已作了較詳細(xì)的闡述，但均未涉及到穩(wěn)定性問(wèn)題。事實(shí)上，桿件只有在受到壓力作用時(shí)，才可能存在穩(wěn)定性的問(wèn)題。在材料的拉壓力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)對(duì)高為20mm，直徑為10mm的短粗鑄鐵試件進(jìn)行壓縮試驗(yàn)時(shí)，其由于強(qiáng)度不足而發(fā)生了破壞。從強(qiáng)度條件出發(fā)，該試件的承載能力應(yīng)只與其橫截面面積有關(guān)，而與試件的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。但如果將該試件加到足夠的長(zhǎng)度，再對(duì)其施加軸向壓力時(shí)，將會(huì)發(fā)現(xiàn)在桿件發(fā)生強(qiáng)度破壞之前，會(huì)突然向一側(cè)發(fā)生明顯彎曲，若再繼續(xù)加力就會(huì)發(fā)生折斷，從而喪失承載能力。由此可見(jiàn)，這時(shí)壓桿的承載能力并不取決于強(qiáng)度，而是與它受壓時(shí)的彎曲剛度有關(guān)，即與壓桿的穩(wěn)定性有關(guān)。

在工程建設(shè)中，由于對(duì)壓桿穩(wěn)定問(wèn)題沒(méi)有引起足夠的重視或設(shè)計(jì)不合理，曾發(fā)生了多起嚴(yán)重的工程事故。例如1907年，北美洲魁北克的圣勞倫斯河上一座跨度為548m的鋼橋正在修建時(shí)，由于兩根壓桿失去穩(wěn)定，造成了全橋突然坍塌的嚴(yán)重事故。又如在19世紀(jì)末，瑞士的一座鐵橋，當(dāng)一輛客車通過(guò)時(shí)，橋桁架中的壓桿失穩(wěn)，致使橋發(fā)生災(zāi)難性坍塌，大約有200人遇難。還有在1983年10月4日，地處北京的中國(guó)社會(huì)科學(xué)研究院科研樓工地的鋼管腳手架距地面5～6處突然外拱，剎那間，這座高達(dá)54.2m，長(zhǎng)17.25m，總重565.4kN的大型腳手架轟然坍塌，5人死亡，7人受傷，腳手架所用建筑材料大部分報(bào)廢，而導(dǎo)致這一災(zāi)難性事故的直接原因就是腳手架結(jié)構(gòu)本身存在嚴(yán)重缺陷，致使結(jié)構(gòu)失穩(wěn)坍塌。實(shí)際上，早在1744年，出生于瑞士的著名科學(xué)家歐拉(L.Euler)就對(duì)理想壓桿在彈性范圍內(nèi)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，并導(dǎo)出了計(jì)算細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界壓力的計(jì)算公式。10.1壓桿穩(wěn)定的概念但是，同其他科學(xué)問(wèn)題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展的水平密切相關(guān)。歐拉公式面世后，在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里之所以未被認(rèn)識(shí)和重視，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)在工程與生活建造中實(shí)用的木樁、石柱都不是細(xì)長(zhǎng)的。直到1788年熟鐵軋制的型材開(kāi)始生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結(jié)構(gòu)。特別是19世紀(jì)，隨著鐵路金屬橋梁的大量建造，細(xì)長(zhǎng)壓桿的大量出現(xiàn)，相關(guān)工程事故的不斷發(fā)生，才引起人們對(duì)壓桿穩(wěn)定問(wèn)題的重視，并進(jìn)行了不斷深入的研究。除了壓桿以外，還有許多其他形式的構(gòu)件也同樣存在穩(wěn)定性問(wèn)題，如薄壁球形容器在徑向壓力作用下的變形(圖10.1(a))；狹長(zhǎng)梁在彎曲時(shí)的側(cè)彎失穩(wěn)(圖10.1(b))；兩鉸拱在豎向載荷作用下變?yōu)樘摼€所示形狀而失穩(wěn)(圖10.1(c))等。但材料力學(xué)只涉及到了壓桿的穩(wěn)定性問(wèn)題，同時(shí)它也是其他形狀構(gòu)件穩(wěn)定性分析的理論基礎(chǔ)。10.1壓桿穩(wěn)定的概念圖10.1幾種其他形式的穩(wěn)定性問(wèn)題薄壁球形容器的失穩(wěn)；(b)狹長(zhǎng)矩形截面梁的側(cè)彎失穩(wěn)；(c)兩鉸拱的失穩(wěn)所以，對(duì)細(xì)長(zhǎng)壓桿而言，使其失去承載能力的主要原因并不是強(qiáng)度問(wèn)題，而是穩(wěn)定性問(wèn)題。10.1壓桿穩(wěn)定的概念我們以圖10.2(a)所示兩端鉸支受軸向壓力的勻質(zhì)細(xì)長(zhǎng)直桿為例來(lái)說(shuō)明關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念。當(dāng)桿件受到一逐漸增加的軸向壓力F作用時(shí)，其始終可以保持為直線平衡狀態(tài)。但當(dāng)同時(shí)受到一水平方向干擾力Q干擾時(shí)，壓桿會(huì)產(chǎn)生微彎(如圖10.2(a)中虛線所示)，而當(dāng)干擾力消失后，其會(huì)出現(xiàn)如下三種情況：①當(dāng)軸向壓力F小于某一極限值Fcr時(shí)，壓桿將復(fù)原為直線平衡。這種當(dāng)去除橫向干擾力Q后，能夠恢復(fù)為原有直線平衡狀態(tài)的平衡稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖10.2(b)所示。②當(dāng)軸向壓力F大于極限值Fcr時(shí)，雖已去除橫向干擾力Q，但壓桿不能恢復(fù)為原有直線平衡狀態(tài)而呈彎曲狀態(tài)，若橫截面上的彎矩值不斷增加，壓桿的彎曲變形亦隨之增大，或由于彎曲變形過(guò)大而屈曲毀壞。10.1壓桿穩(wěn)定的概念將這種原有的直線平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖10.2(c)所示。③當(dāng)軸向壓力F等于極限值Fcr時(shí)，壓桿雖不能恢復(fù)為原有直線平衡狀態(tài)但可保持微彎狀態(tài)。將這種由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的直線平衡，稱之為臨界平衡狀態(tài),如圖10.2(d)所示。而此時(shí)的臨界值Fcr稱為壓桿的臨界力(criticalforce)。將壓桿喪失其直線平衡狀態(tài)而過(guò)渡為曲線平衡，并失去承載能力的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定，或簡(jiǎn)稱為失穩(wěn)(loststabilitybuckling)。以上所述“材料均勻、軸線為直線、壓力作用線通過(guò)軸線”的等直壓桿又稱為理想的“中心受壓直桿”。而實(shí)際的壓桿由于材料的不均勻、初曲率或加載的微小偏心等等因素的影響，均可引起壓桿變彎。10.1壓桿穩(wěn)定的概念圖10.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的平衡形式(a)受水平干擾力的桿件微彎；(b)細(xì)長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定平衡；

(c)細(xì)長(zhǎng)壓桿不穩(wěn)定平衡；(d)細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界平衡10.1壓桿穩(wěn)定的概念

所以，實(shí)際壓桿會(huì)在達(dá)到理想壓桿臨界壓力之前就突然變彎而失去承載能力。故實(shí)際壓桿的軸向壓力極限值一定低于理想壓桿的臨界壓力Fcr。但為了便于研究，本章主要以理想中心受壓直桿為研究對(duì)象，來(lái)討論壓桿的穩(wěn)定性問(wèn)題。綜上所述可知，壓桿是否具有穩(wěn)定性，主要取決于其所受的軸向壓力。即研究壓桿的穩(wěn)定性的關(guān)鍵是確定其臨界力Fcr的大小。當(dāng)F

Fcr時(shí)，壓桿處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當(dāng)F>Fcr時(shí)，則處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。10.1壓桿穩(wěn)定的概念

10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式設(shè)兩端鉸支的理想中心受壓細(xì)長(zhǎng)直桿，當(dāng)其壓力達(dá)到臨界值Fcr時(shí)，在橫向因素的干擾下壓桿可在微彎狀態(tài)下保持平衡?？梢?jiàn)，臨界壓力Fcr就是使壓桿保持微彎平衡的最小壓力?，F(xiàn)來(lái)確定此臨界壓力Fcr的計(jì)算公式。建立如圖10.3所示坐標(biāo)系xoy，假想距坐標(biāo)原點(diǎn)O為x處將桿件截開(kāi)，取其一部分為研究對(duì)象(如圖10.3(b)所示)，則在截面上除了有軸向壓力Fcr外，還作用有彎矩M(x)，彎矩值為

(a)

圖10.3細(xì)長(zhǎng)壓桿的平衡形式(a)細(xì)長(zhǎng)壓桿的受壓平衡；(b)細(xì)長(zhǎng)壓桿受壓局部受力分析10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式

當(dāng)壓桿的應(yīng)力在比例極限范圍以內(nèi)，即在線彈性工作條件下，可利用第6章的公式(6.1)，即梁在小變形條件下?lián)锨€近似微分方程

(b)

將式(a)代入式(b)可得桿軸微彎成曲線的近似微分方程為

(c)

10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式

令可得一常系數(shù)線性二階齊次微分方程

(e)

(d)

此微分方程的通解為

(f)

10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式

式中，，為積分常數(shù)，可由桿端的邊界條件來(lái)確定。由圖10.3可知，當(dāng)時(shí)，；將其代入式(f)可得則式(f)可寫(xiě)為

(g)

當(dāng)時(shí)，，代入式(g)可得

(h)

10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式上式只有在或時(shí)才成立。而當(dāng)時(shí)，則式(g)就變?yōu)?，其表示壓桿任一橫截面的撓度均等于零，即壓桿并無(wú)彎曲而處于直線平衡狀態(tài)，這與在臨界壓力作用下壓桿保持微彎的平衡狀態(tài)這一前提不相符，因此，必然是使上式成立的kl值為其中n為任意整數(shù)(n=0，1，2，3，…)。由此可得10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式

將上式代回到式(d)中，則10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式可得由上式可知：由于n為任意整數(shù)，所以使壓桿保持微彎平衡狀態(tài)的臨界壓力Fcr，在理論上可以有無(wú)窮多個(gè)，但實(shí)際上，當(dāng)壓桿在最小臨界壓力作用下，其就已處于由穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡過(guò)渡的臨界平衡狀態(tài)并將喪失穩(wěn)定性了。但時(shí)，不合要求。故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)cr為最小值，這就是保證壓桿安全工作的臨界壓力Fcr，即上式為兩端鉸支等截面理想細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力計(jì)算公式，由于此式最早由歐拉導(dǎo)出，故又稱為歐拉公式(Eulerformula)。若將代入式(g)中，則10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式

(10.1)

(i)

上式即為壓桿處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)的撓曲線方程。可知其是半個(gè)正弦波形曲線，如圖10.3所示。由圖10.3知，當(dāng)時(shí)，(為壓桿中點(diǎn)的撓度值)，將其代入(i)中可得上式說(shuō)明積分常數(shù)a的物理意義為壓桿中點(diǎn)處所產(chǎn)生的最大撓度，則壓桿的撓曲線方程又可以表示為10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式在上式中，是一個(gè)隨機(jī)值。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即壓桿處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)而保持為直線；當(dāng)時(shí)，在橫向因素的干擾下，壓桿可在為任意微小值的情況下而保持微彎平衡狀態(tài)，壓桿所受壓力F和中點(diǎn)撓度之間的關(guān)系可由圖10.4中的OAB折線來(lái)表示。但實(shí)際上，之所以具有不確定性，是因?yàn)樵诠酵茖?dǎo)過(guò)程中使用了式(b)的撓曲線近似微分方程。若采用撓曲線的精確微分方程10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式

(j)

圖10.4壓桿的F-

關(guān)系

圖10.4壓桿的F-

關(guān)系可求得壓力F與中點(diǎn)撓度之間的關(guān)系將如圖10.4中的OAC曲線所示。由曲線可知，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)與有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。所以，中點(diǎn)撓度的不確定性并不存在。而對(duì)于實(shí)際受壓桿件，由于材料的不均勻、存在的初曲率或加載的微小偏心等因素的影響，在其壓力F未達(dá)到臨界壓力Fcr之前，實(shí)際上就已出現(xiàn)了微彎變形，可用圖10.4中的OD曲線來(lái)表示F和之間的關(guān)系。10.2兩端鉸支中心壓桿的歐拉公式10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式桿件受到軸向壓力作用而發(fā)生微小彎曲時(shí)，其撓曲線的形式將與桿端的約束情況有直接的關(guān)系，這說(shuō)明在其他條件相同的情況下，壓桿兩端的約束不同，其臨界壓力也不同。但在推導(dǎo)不同桿端約束條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力計(jì)算公式時(shí)，可以采用上述類似的方法進(jìn)行推導(dǎo)。另外，也可以利用對(duì)比的方法，即將桿端為某種約束的細(xì)長(zhǎng)受壓桿在臨界狀態(tài)時(shí)的撓曲線形狀與兩端鉸支受壓桿的撓曲線形狀進(jìn)行對(duì)比分析，來(lái)得到該約束條件下的臨界壓力計(jì)算公式。本節(jié)利用該方法給出幾種典型的約束條件下，理想中心受壓直桿的臨界壓力計(jì)算公式。

由上節(jié)可知，兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲軸線的形狀為半個(gè)正弦波。對(duì)于桿端為其他約束條件的細(xì)長(zhǎng)壓桿，若能夠找到撓曲軸線上的兩個(gè)拐點(diǎn)，即兩個(gè)彎矩為零的截面，則可認(rèn)為在該截面處為鉸鏈支承。所以，兩拐點(diǎn)間的一段桿可視為兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，而其臨界壓力應(yīng)與相同長(zhǎng)度的兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿相同。例如對(duì)于一端固定、一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，在其撓曲軸線上距固定端處有一個(gè)拐點(diǎn)，這樣上下兩個(gè)鉸鏈的長(zhǎng)度，因此其臨界壓力應(yīng)與長(zhǎng)度為且兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力公式相同；對(duì)于兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿，兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度為0.5l，所以，只需將公式(10.1)中的長(zhǎng)度l替換為0.5l即可；而對(duì)于一端固定另一端自由而在自由端受到軸向壓力的細(xì)長(zhǎng)壓桿，相當(dāng)于兩端鉸支長(zhǎng)為2的壓桿撓曲線的上半部分等。表10-1給出了幾種工程實(shí)際中常見(jiàn)的理想約束條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線形狀及其相應(yīng)的歐拉公式表達(dá)式。10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式表10-1各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界壓力的歐拉公式支端情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由兩端固定但可沿橫向方向相對(duì)移動(dòng)臨界狀態(tài)時(shí)撓曲線形狀臨界力公式長(zhǎng)度系數(shù)

10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式

公式中：系數(shù)稱為壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)(factoroflength)，與壓桿的桿端約束情況有關(guān)；稱為原壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度，又稱相當(dāng)長(zhǎng)度(equivalentlength)。其物理意義就為在各種不同支承情況下兩拐點(diǎn)之間的長(zhǎng)度，即撓曲線上相當(dāng)于半波正弦曲線的一段長(zhǎng)度。應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)桿端在各個(gè)方向的約束情況相同時(shí)(如球形鉸約束)，歐拉公式中的慣性矩I應(yīng)取最小值，即應(yīng)取最小形心主慣性矩；由表10-1可知，對(duì)于各種不同約束條件下的等截面中心受壓細(xì)長(zhǎng)直桿的臨界壓力的歐拉公式可寫(xiě)成統(tǒng)一的形式

(10.2)

10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式

而若在不同方向桿端約束情況不同(如柱形鉸約束)，則慣性矩I應(yīng)取撓曲時(shí)橫截面對(duì)其中性軸的慣性矩。另外，在工程實(shí)際中，由于實(shí)際支承與理想支承約束的差異，其長(zhǎng)度系數(shù)

應(yīng)以表10-1中的參數(shù)作為參考來(lái)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選取，在有關(guān)的設(shè)計(jì)規(guī)范中，對(duì)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)

多有具體的規(guī)定?！纠?0.1】圖10.5示一矩形截面的細(xì)長(zhǎng)壓桿，其兩端為柱形鉸約束，即在xoy面內(nèi)可視為兩端鉸支，在xoz面內(nèi)可視為兩端固定。若壓桿是在彈性范圍內(nèi)工作，試確定壓桿截面尺寸b和h之間應(yīng)有的合理關(guān)系。10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式

分析：所謂求解桿件截面的相應(yīng)合理關(guān)系，也就是應(yīng)使桿件在不同平面內(nèi)具有相同的穩(wěn)定性。即應(yīng)使壓桿分別在xoy

和xoz兩平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力相同。圖10.5例10.1圖解：(1)若壓桿在xoy平面內(nèi)失穩(wěn)，壓桿可視為兩端鉸支，則長(zhǎng)度系數(shù)為，且截面對(duì)中性軸的慣性矩；10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式

由公式(10.2)知(2)若壓桿在xoz平面內(nèi)失穩(wěn)，壓桿可視為兩端固定，則長(zhǎng)度

系數(shù)為，且截面對(duì)中性軸的慣性矩；由公式(10.2)知10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式

(3)由分析，應(yīng)有即可得即其合理的截面尺寸關(guān)系為10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式【例10.2】

試推導(dǎo)一端固定、一端自由細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力歐拉公式，已知壓桿長(zhǎng)度為l，抗彎剛度為EI。分析：壓桿在臨界力作用下，其撓曲線形狀如圖10.6所示。其最大撓度值

在自由端處，可先寫(xiě)出壓桿任意橫截面上的彎矩方程，再由撓曲線近似微分方程求解。10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式圖10.6例10.2圖解：其任意x橫截面上由臨界力所引起的彎矩為將值代入梁在小變形條件下?lián)锨€近似微分方程，得則10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式

令，有該微分方程通解為式中，a、b、k為待定常數(shù)，可由邊界條件確定：由x=o時(shí)，y=0

，得；由

x=o時(shí)，，得

a=0。10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式

所以

再將邊界條件時(shí)，代入上式，得由上式知，。即10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式

取其最小值，即當(dāng)時(shí)，，則得所以，得到一端自由一端固定細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力歐拉公式：10.3不同約束條件下壓桿的歐拉公式對(duì)于兩端為其他支承形式的理想中心受壓直桿的臨界力歐拉公式均可利用上述類似的方法而求得。

10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍一.計(jì)算臨界應(yīng)力的歐拉公式在研究理想直桿受到壓力作用的強(qiáng)度問(wèn)題時(shí)，我們是通過(guò)應(yīng)力進(jìn)行相關(guān)計(jì)算的。為了對(duì)壓桿的工程實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)的分析研究，以下將引入臨界應(yīng)力(criticalforce)的概念。所謂臨界應(yīng)力就是在臨界壓力的作用下，壓桿橫截面上的平均正應(yīng)力。若假設(shè)壓桿的橫截面面積為A，則其臨界應(yīng)力為式中，，即為壓桿橫截面的慣性半徑(radiusofgyrationofanarea)，可參見(jiàn)附錄1.2。

則臨界應(yīng)力公式為引入?yún)?shù)可知

(10.4)

(10.3)

上式即為計(jì)算細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式。式中，稱為壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比(slenderness)，其為無(wú)量綱的量。它反映了壓桿長(zhǎng)度、支承情況以及橫截面形狀和尺寸等因素對(duì)臨界應(yīng)力的綜合影響。10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

由公式(10.4)看出，壓桿的臨界應(yīng)力與其柔度的平方成反比，壓桿的柔度值越大，其臨界應(yīng)力越小，壓桿越容易失穩(wěn)。可見(jiàn)，柔度在壓桿穩(wěn)定計(jì)算中是一個(gè)非常重要的參數(shù)。

二.歐拉公式的應(yīng)用范圍對(duì)于受壓桿件而言，在什么條件下需要以強(qiáng)度為原則進(jìn)行分析，而什么情況下又需考慮其穩(wěn)定性呢？事實(shí)上，在推導(dǎo)壓桿臨界力歐拉公式時(shí)，使用了10.2節(jié)中公式(c)的梁的撓曲線近似微分方程，而該方程是在材料服從胡克定律即在線彈性范圍以內(nèi)才成立的。所以，歐拉公式的應(yīng)用也有其適用的范圍，即其臨界應(yīng)力不能超過(guò)材料的比例極限，故10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

可得上式中比例極限及彈性模量E均是只與材料有關(guān)的參量，可令

(10.5)

則

(10.6)

10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

上式即為歐拉公式的適用范圍。也就是說(shuō)，只有當(dāng)壓桿的實(shí)際柔度大于或等于與材料的比例極限所對(duì)應(yīng)的柔度值時(shí)，歐拉公式才適用。僅僅與材料的力學(xué)性能有關(guān)，不同的材料有不同的值。以Q235低碳鋼為例，，，代入式(12.6)得這表明用Q235鋼制成的壓桿，只有當(dāng)其柔度時(shí)，才能應(yīng)用歐拉公式(10.2)、公式(10.4)計(jì)算其臨界力、臨界應(yīng)力。將的壓桿稱為大柔度桿(slendercolumn)或長(zhǎng)細(xì)桿，前面所提到的細(xì)長(zhǎng)壓桿均為這類壓桿。10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

三.超過(guò)比例極限時(shí)壓桿的臨界應(yīng)力當(dāng)壓桿的柔度值時(shí)，說(shuō)明壓桿橫截面上的應(yīng)力已超過(guò)了材料的比例極限，這時(shí)歐拉公式已不適用。在這種情況下，壓桿的臨界應(yīng)力在工程計(jì)算中常采用建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)計(jì)算，其中有在機(jī)械工程中常用的直線型經(jīng)驗(yàn)公式和在鋼結(jié)構(gòu)中常用的拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式。直線經(jīng)驗(yàn)公式其一般表達(dá)式為

(10.7)

10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

上式表明，壓桿的臨界應(yīng)力與其柔度成線性關(guān)系。式中，a、b為與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，其單位為MPa。表10-2中給出了幾種常見(jiàn)材料的a、b值，供查用。我們知道，壓桿的柔度越小，其臨界應(yīng)力就越大。以由塑性材料制成的壓桿為例，當(dāng)其臨界應(yīng)力達(dá)到材料的屈服極限時(shí)，其已屬于強(qiáng)度問(wèn)題了。所以，直線經(jīng)驗(yàn)公式也有一個(gè)適用范圍，即由經(jīng)驗(yàn)公式算出的臨界應(yīng)力，不能超過(guò)壓桿材料的壓縮屈服極限應(yīng)力。即10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

材料Q235鋼3041.1210061.44602.57100605773.7410060鉻鉬鋼9805.35540硬鋁3722.1450鑄鐵3321.4580木材390.250表10-2幾種常見(jiàn)材料的直線公式系數(shù)a，b及柔度，10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

由上式可得上式中，a、b、均為只與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)，可令

(10.7)

則

(10.8)

式中，是對(duì)應(yīng)于材料屈服極限時(shí)的柔度值。10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

例如Q235鋼的屈服極限，常數(shù)、，則幾種常見(jiàn)的材料的值可由表10-2中查得。10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍可見(jiàn)，當(dāng)壓桿的實(shí)際柔度與時(shí)，才能用直線經(jīng)驗(yàn)公式(10.7)計(jì)算其臨界應(yīng)力，故直線經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為。當(dāng)壓桿柔度值時(shí)，其臨界應(yīng)力將達(dá)到或超過(guò)材料的屈服極限，其已屬于強(qiáng)度問(wèn)題，而不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。若將這類壓桿也按穩(wěn)定形式處理，則材料的臨界應(yīng)力可表示為

綜上所述，在計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力時(shí)應(yīng)根據(jù)其柔度值來(lái)選擇相應(yīng)的計(jì)算公式。如由塑性材料制成的壓桿的臨界應(yīng)力與其柔度的關(guān)系曲線及相應(yīng)的計(jì)算公式可用圖10.7來(lái)表示，稱其為臨界應(yīng)力總圖(totaldiagramofcriticalstress)10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍圖10.7直線型臨界應(yīng)力總圖

由圖知，可將壓桿分為三大類。當(dāng)時(shí)，稱為細(xì)長(zhǎng)桿，或大柔度桿；可用歐拉公式(10.4)計(jì)算其臨界應(yīng)力。(2)當(dāng)時(shí)，稱為中長(zhǎng)桿，或中柔度桿；可用直線經(jīng)驗(yàn)公式(10.7)計(jì)算其臨界應(yīng)力。(3)當(dāng)時(shí)，稱為短粗桿，或小柔度桿；其臨界應(yīng)力就為材料的屈服極限，屬?gòu)?qiáng)度問(wèn)題。

10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

2.拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式其一般表達(dá)式為

(10.10)

上式表明，壓桿的臨界應(yīng)力與其柔度成二次拋物線關(guān)系。式中，a1、b1為與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。而在鋼結(jié)構(gòu)中，常用如下公式10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍(10.11)

式中，、

c為與材料有關(guān)的常量。其中

c是細(xì)長(zhǎng)壓桿和非細(xì)長(zhǎng)壓桿的分界值。

由于初曲率、壓力的偏心及殘余應(yīng)力等因素的影響，工程中的實(shí)際受壓桿件不可能處于理想中心受壓直桿的狀態(tài)，所以在實(shí)用上并不是以比例極限所對(duì)應(yīng)的柔度值為分界點(diǎn)，而是以與材料相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)值

c為分界值。例如Q235鋼的，，各種常用材料的

、

c值可由相關(guān)手冊(cè)查得。所以，當(dāng)壓桿的柔度值時(shí)，其臨界應(yīng)力可用經(jīng)驗(yàn)公式(10.11)計(jì)算。其臨界應(yīng)力總圖如圖10.8所示。根據(jù)壓桿的柔度值

c可將壓桿分為兩大類：(1)當(dāng)時(shí)，稱為細(xì)長(zhǎng)桿，可用歐拉公式(10.4)計(jì)算其臨界應(yīng)力。(2)當(dāng)時(shí)，稱為非細(xì)長(zhǎng)桿，可用拋物線經(jīng)驗(yàn)公式(10.11)計(jì)算其臨界應(yīng)力。10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

對(duì)于非細(xì)長(zhǎng)壓桿，除以上兩種經(jīng)驗(yàn)公式以外，其臨界應(yīng)力的計(jì)算還有很多不同的觀點(diǎn)，如折減彈性模量理論等，可參閱有關(guān)的書(shū)籍?！纠?0.3】一兩端鉸支的空心圓管，其外徑D=60mm，內(nèi)徑d=45mm，材料的，，其直線經(jīng)驗(yàn)公式為。試求：(1)可應(yīng)用歐拉公式計(jì)算該壓桿臨界應(yīng)力的最小長(zhǎng)度；(2)當(dāng)壓桿長(zhǎng)度為時(shí)，其臨界應(yīng)力的值。分析：應(yīng)用歐拉公式的條件是壓桿必須為大柔度桿，所以根據(jù)條件即可確定。10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍解：(1)由公式(10.3)可知壓桿的柔度為且慣性半徑 由歐拉公式的應(yīng)用條件且由兩端鉸支可知長(zhǎng)度系數(shù)，則10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

所以壓桿的最小長(zhǎng)度為(2)當(dāng)壓桿長(zhǎng)度時(shí)，其柔度值為因?yàn)?，所以壓桿為中長(zhǎng)桿，應(yīng)用直線經(jīng)驗(yàn)公式可得10.4臨界應(yīng)力與歐拉公式應(yīng)用范圍

10.5壓桿的穩(wěn)定校核將作為壓桿具有穩(wěn)定性的極限應(yīng)力，則可得壓桿的穩(wěn)定條件壓桿的臨界應(yīng)力就是壓桿具有穩(wěn)定性的極限應(yīng)力。但由于壓桿初曲率、壓力的偏心、材料的不均勻以及支座的缺陷等因素對(duì)臨界壓力的影響非常大，所以，需將由歐拉公式或經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出的臨界應(yīng)力除以一個(gè)大于1的穩(wěn)定安全系數(shù)nst，可得壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力或以荷載表示(10.12)

(10.13)

在應(yīng)用時(shí)，也可將上述穩(wěn)定條件表示為安全系數(shù)法或(10.14)

上式中為實(shí)際穩(wěn)定安全系數(shù)，為給定的穩(wěn)定安全系數(shù)。另外須指出，壓桿的穩(wěn)定性是對(duì)其整體而言的，故當(dāng)其截面有局部削弱(如開(kāi)孔、開(kāi)槽)時(shí)，可不考慮其對(duì)穩(wěn)定性的影響。但對(duì)削弱的截面需作強(qiáng)度校核。在鋼結(jié)構(gòu)中，常用折減系數(shù)法對(duì)壓桿穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算，即(10.15)

10.5壓桿的穩(wěn)定校核

式中稱為折減系數(shù)，它是壓桿穩(wěn)定許用應(yīng)力與材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力的比值，實(shí)際是壓桿柔度的函數(shù)，對(duì)應(yīng)不同的的值可由鋼結(jié)構(gòu)的相關(guān)資料中查得?！纠?0.4】在例10.1中，若已知矩形截面的高h(yuǎn)=60mm，寬b=25mm，壓桿長(zhǎng)度l=1.5m。壓桿的材料為Q235鋼，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)，當(dāng)壓桿受到F=90kN的壓力作用時(shí)，試校核壓桿的穩(wěn)定性。分析：欲校核該壓桿的穩(wěn)定性，須先確定壓桿的柔度值，以此確定計(jì)算臨界應(yīng)力的公式，然后即可由穩(wěn)定性條件對(duì)壓桿進(jìn)行校核。由于壓桿在xoy和xoz平面內(nèi)的柔度值不同，所以須分別計(jì)算并取一較大的柔度值進(jìn)行穩(wěn)定性校核。10.5壓桿的穩(wěn)定校核

解：(1)計(jì)算柔度。壓桿若在xoy面內(nèi)失穩(wěn)，由例10.1及圖10.5可知，在該平面內(nèi)壓桿可視為兩端鉸支，即長(zhǎng)度系數(shù)，此時(shí)橫截面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以慣性半徑為所以柔度而若在xoz面內(nèi)失穩(wěn)，則壓桿可視為兩端固定，即長(zhǎng)度系數(shù)，此時(shí)橫截面繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則慣性半徑為10.5壓桿的穩(wěn)定校核

所以柔度比較兩個(gè)方向的柔度值，因?yàn)椋蕢簵U必先在xoz平面內(nèi)失穩(wěn)，所以應(yīng)以來(lái)計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力。(2)計(jì)算臨界壓力。查表10-2可知，Q235鋼的，，所以，說(shuō)明壓桿為中柔度桿，應(yīng)由直線經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算。由Q235鋼的經(jīng)驗(yàn)公式可得10.5壓桿的穩(wěn)定校核

(3)穩(wěn)定性校核。由穩(wěn)定性條件式(10.12)，且壓桿的許用臨界應(yīng)力為則所以，壓桿的穩(wěn)定性滿足要求。10.5壓桿的穩(wěn)定校核

在上例中還可用安全系數(shù)法對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定性校核，即由穩(wěn)定性條件式(10.14)可知，壓桿是穩(wěn)定的。另外，亦可采用式(10.13)或式(10.15)對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定校核，可自行分析計(jì)算。10.5壓桿的穩(wěn)定校核

【例10.5】一兩端鉸支的圓截面壓桿，長(zhǎng)度l=2m，材料的彈性模量E=200GPa，=200GPa，最大的軸向壓力，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst=4，試按穩(wěn)定條件設(shè)計(jì)壓桿的直徑d。分析：因壓桿的直徑d為所求量，所以無(wú)法確定桿件的柔度，也就不能確定臨界應(yīng)力的計(jì)算公式。因此，只能采用試算法。即可先假設(shè)可應(yīng)用歐拉公式計(jì)算，待求出直徑后，再求出柔度并驗(yàn)證是否滿足歐拉公式的應(yīng)用條件。解：由歐拉公式(10.2)，且長(zhǎng)度系數(shù)，所以10.5壓桿的穩(wěn)定校核

由式(10.15)安全系數(shù)法所以壓桿的慣性半徑解得

則柔度值為10.5壓桿的穩(wěn)定校核

因?yàn)?，所以?yīng)用歐拉公式計(jì)算是正確的，可d=43mm。且由式(10.5)知10.5壓桿的穩(wěn)定校核

【例10.6】一兩端固定的壓桿長(zhǎng)l=7m，其橫截面由兩個(gè)10號(hào)槽鋼組成，已知材料的E=200GPa，，且材料的經(jīng)驗(yàn)公式為，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)。試求當(dāng)兩個(gè)槽鋼靠緊(如圖10.9(a)所示)和離開(kāi)相距a=40mm放置(圖10.9(b))時(shí)，鋼桿的許可載荷F。圖10.9例10.5圖10.5壓桿的穩(wěn)定校核

分析：壓桿的許可載荷取決于桿件的臨界力。所以，需先求出壓桿的柔度值并選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力計(jì)算公式即可求解。解：由型鋼表可知10號(hào)槽鋼的參數(shù)：A=1247cm，，，。(1)當(dāng)截面為圖10-9(b)兩槽鋼靠緊放置時(shí)，可知所以截面的最小慣性半徑為10.5壓桿的穩(wěn)定校核

由圖10.9(a)可知，壓桿在各方向的支承均為兩端固定，故長(zhǎng)度系數(shù)均為。所以可知壓桿為大柔度桿，可用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力則10.5壓桿的穩(wěn)定校核

由穩(wěn)定性條件式(10.13)可得許可載荷為(2)當(dāng)截面為圖10.9(c)兩槽鋼離開(kāi)一定距離放置時(shí)，需計(jì)算兩個(gè)方向的慣性矩并以此判斷壓桿可能失穩(wěn)的方向。10.5壓桿的穩(wěn)定校核

由穩(wěn)定性條件式(10.13)可得許可載荷為(2)當(dāng)截面為圖10.9(c)兩槽鋼離開(kāi)一定距離放置時(shí)，需計(jì)算兩個(gè)方向的慣性矩并以此判斷壓桿可能失穩(wěn)的方向。10.5壓桿的穩(wěn)定校核

因?yàn)?，且在兩方向的長(zhǎng)度系數(shù)均為，所以壓桿應(yīng)首先繞y軸失穩(wěn)。由柔度公式(10.12)壓桿為非細(xì)長(zhǎng)桿，臨界應(yīng)力可由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算10.5壓桿的穩(wěn)定校核

由式(10-13)可得許可載荷為比較以上兩種情況可知，將兩槽鋼離開(kāi)一定距離的截面形式可使壓桿的穩(wěn)定性明顯增強(qiáng)，承載能力大大提高。在條件許可的情況下，最好能使，以便使壓桿在兩個(gè)方向有相等的抵抗失穩(wěn)的能力。這也是設(shè)計(jì)壓桿的合理截面形狀的基本原則。10.5壓桿的穩(wěn)定校核

所謂提高壓桿的穩(wěn)定性，就是要提高壓桿的臨界應(yīng)力。由計(jì)算臨界應(yīng)力的歐拉公式(10.4)可知，欲提高壓桿的臨界應(yīng)力可從以下兩方面考慮。10.6提高壓桿穩(wěn)定性的措施合理的選用材料對(duì)于大柔度壓桿，其臨界應(yīng)力與材料的彈性模量E成正比，所以選用E值大的材料可提高壓桿的穩(wěn)定性。但在工程實(shí)際中，一般壓桿均是由鋼材制成的，由于各種類型的鋼材的彈性模量E值均在200～240GPa之間，差別不是很大。故用高強(qiáng)度鋼代替普通鋼做成壓桿，對(duì)提高其穩(wěn)定性意義不大。而對(duì)于中、小柔度桿，由經(jīng)驗(yàn)公式可知，其臨界應(yīng)力與材料強(qiáng)度有關(guān)，所以選用高強(qiáng)度鋼將有利于壓桿的穩(wěn)定性。

2.減小壓桿的柔度由臨界應(yīng)力公式可知，壓桿的柔度越小，其臨界應(yīng)力越大。所以，減小柔度是提高壓桿穩(wěn)定性的主要途徑。由式(10.3)的柔度計(jì)算公式可知，對(duì)于減小壓桿柔度可從三方面考慮：(1)選擇合理的截面形狀，增大截面的慣性矩。在壓桿橫截面面積A一定時(shí)，應(yīng)盡可能使材料遠(yuǎn)離截面形心，使其慣性矩I增大。這樣可使其慣性半徑增大，則柔度值將減小。如圖10.10(a)所示，當(dāng)面積相同時(shí)，空心圓截面要比實(shí)心圓合理10.6提高壓桿穩(wěn)定性的措施

圖10.10(b)中由四個(gè)等邊角鋼組成的截面，分散布置形式的組合截面要比集中布置形式的組合截面合理。但也不能為了增加截面的慣性矩而無(wú)限制地加大圓環(huán)截面的半徑并減小其壁厚，這樣將會(huì)由于壓桿管壁過(guò)薄而發(fā)生局部折皺導(dǎo)致整體失穩(wěn)；對(duì)于由型鋼組合而成的壓桿，應(yīng)用綴條或板把分開(kāi)放置的型鋼聯(lián)成一個(gè)整體以提高其整體穩(wěn)定性，相關(guān)內(nèi)容將在鋼結(jié)構(gòu)課程中介紹。另外，在以上述原則選擇截面的同時(shí)，還應(yīng)考慮到壓桿在各縱向平面內(nèi)應(yīng)具有相同的