專題05三角形(原卷版+解析)

專題05三角形一、選擇題1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，是求作線段AB中點的作圖痕跡，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰中，，垂直平分，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，AB∥CE，∠A＝40°，CE=DE，則∠C的度數(shù)是（

）A．40° B．30° C．20° D．15°4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，若，，則的長度為（

）A．6 B．8 C．12 D．16二、填空題5．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則∠DCE的度數(shù)為________________．6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）若直角三角形斜邊上的高是3，斜邊上的中線是6，則這個直角三角形的面積是_____．7．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，直角中，，根據(jù)作圖痕跡，若，，則________cm．8．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，為等腰三角形，，是的平分線，點D是的中點，連接，若，則的長為______．9．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，中，，點在上，且，為上任意一點，若將繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則在點運動過程中，線段的最小值為______．10．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個△A2A3E，…，按此方法繼續(xù)下去，第2021個等腰三角形的底角度數(shù)是______．11．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖所示，等邊的邊長為4，點F在內(nèi)運動，運動過程始終保持，則線段的最小值為______；12．（2023·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，點G是內(nèi)的一點，且，是等邊三角形，若，則的最大值為______．三、解答題13．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點O．求證：．14．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，，求證：(1)；(2)．15．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，是直角三角形，是直角，，．(1)過點作垂直于，垂足為；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)求的長度．16．（2023·廣東汕頭·一模）如圖，直角梯形中，，，，過點B作于點E．(1)求證：；(2)若，求的長．17．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD,等邊△ABE.已知∠BAC=30°,EE⊥AB,垂足為F,連接DF；求證:(1)AC=EF；(2)四邊形ADFE是平行四邊形；(3)AC⊥DF；18．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知，如圖，在中，，，，過作，點在射線上、連接，交邊于點．(1)當(dāng)時，求的長；(2)當(dāng)時，求的長；(3)當(dāng)為等腰三角形時，求的長．專題05三角形一、選擇題1．(2023四川自貢）已知三角形的兩邊長分別為1和4，第三邊長為整數(shù)，則該三角形的周長為（）A．7 B．8 C．9 D．10答案:C．解析：解：設(shè)第三邊為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x為整數(shù)，∴x的值為4．三角形的周長為1+4+4＝9．故選：C．2．(2023四川眉山）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，則∠C的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°答案:C．解析：解：∵∠B＝30°，∠ADC＝70°∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°∵AD平分∠BAC∴∠BAC＝2∠BAD＝80°∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣80°＝70°故選：C．3．(2023四川南充）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，若BC＝6，AC＝5，則△ACE的周長為（）A．8 B．11 C．16 D．17答案:B．解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周長＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故選：B．4．(2023四川涼山州）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，則sinB的值為（）A． B． C． D．答案:D．解析：解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，如圖所示．在Rt△ACD中，CD＝CA?cosC＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sinB＝＝．故選：D．5．(2023四川涼山州）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則BE：EC＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3答案:B．解析：解：如圖，過O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中點，∴G是DC的中點．又AD：DC＝1：2，∴AD＝DG＝GC，∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，∴S△AOB：S△BOE＝2設(shè)S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，∵AD：DC＝1：2，∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四邊形CDOE＝7S，∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，∴.故選：B．(2023四川自貢）如圖，已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，8），點C、F分別是直線x＝﹣5和x軸上的動點，CF＝10，點D是線段CF的中點，連接AD交y軸于點E，當(dāng)△ABE面積取得最小值時，tan∠BAD的值是（）A． B． C． D．答案:B．解析：解：如圖，設(shè)直線x＝﹣5交x軸于K．由題意KD＝CF＝5，∴點D的運動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，∴當(dāng)直線AD與⊙K相切時，△ABE的面積最小，∵AD是切線，點D是切點，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝，∴，∴OE＝，∴AE＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝?AB?EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝，∴tan∠BAD＝，故選：B．二、填空題7．(2023四川廣安）等腰三角形的兩邊長分別為6cm，13cm，其周長為cm．答案:32．解析：解：由題意知，應(yīng)分兩種情況：（1）當(dāng)腰長為6cm時，三角形三邊長為6，6，13，6+6＜13，不能構(gòu)成三角形；（2）當(dāng)腰長為13cm時，三角形三邊長為6，13，13，周長＝2×13+6＝32cm．故答案為32．8．(2023四川成都）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E都在邊BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，則CE的長為．答案:9．解析：解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝9，故答案為：9．9.(2023四川樂山）如圖，在△中，，,.則邊的長為.答案:解析：過A作AD⊥BC于D點，因為，AC=2，則CD=，由勾股定理得：AD=，又因為∠B=30°，所以AB=2AD=.10.(2023四川綿陽）在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，AC=5，則△ABC的面積是．答案:75或25解析：解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，如圖所示．在Rt△ABD中，AD=AB?sinB=10，BD=AB?cosB=10；在Rt△ACD中，AD=10，AC=5，∴CD==5，∴BC=BD+CD=15或BC=BD-CD=5，∴S△ABC=BC?AD=75或25．故答案為：75或25．11．(2023四川自貢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分線BD交AC于點E，DE＝．答案:．解析：解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABE，∴∠D＝∠CBE，∴CD＝BC＝6，∴△AEB∽△CED，∴，∴CE＝AC＝×8＝3，BE＝，DE＝BE＝＝，故答案為．12．(2023四川自貢）如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cos（α+β）＝．答案:．解析：解：給圖中各點標(biāo)上字母，連接DE，如圖所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE＝2a，DE＝2×sin60°?a＝a，∴AD＝，∴cos（α+β）＝＝．故答案為：．13．(2023四川巴中）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，分別連結(jié)AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．則S△ABP+S△BPC＝．答案:24+16．解析：解：如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得△AP'B，連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′為等邊三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四邊形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16故答案為：24+16．14．(2023四川成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點為“整點”，已知點A的坐標(biāo)為（5，0），點B在x軸的上方，△OAB的面積為，則△OAB內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)為．答案:4或5或6.解析：解：設(shè)B（m，n），∵點A的坐標(biāo)為（5，0），∴OA＝5，∵△OAB的面積＝5?n＝，∴n＝3，結(jié)合圖象可以找到其中的一種情況：（以一種為例）當(dāng)2＜m＜3時，有6個整數(shù)點；當(dāng)3＜m＜時，有5個整數(shù)點；當(dāng)m＝3時，有4個整數(shù)點；可知有6個或5個或4個整數(shù)點；故答案為4或5或6；15．(2023四川廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以O(shè)A2為直角邊作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以O(shè)A3為直角邊作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此規(guī)律進行下去，則點A2019的坐標(biāo)為．答案:（﹣22017，22017）．【解答】解：由題意得，A1的坐標(biāo)為（1，0），A2的坐標(biāo)為（1，），A3的坐標(biāo)為（﹣2，2），A4的坐標(biāo)為（﹣8，0），A5的坐標(biāo)為（﹣8，﹣8），A6的坐標(biāo)為（16，﹣16），A7的坐標(biāo)為（64，0），…由上可知，A點的方位是每6個循環(huán)，與第一點方位相同的點在x正半軸上，其橫坐標(biāo)為2n﹣1，其縱坐標(biāo)為0，與第二點方位相同的點在第一象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n﹣2，縱坐標(biāo)為2n﹣2，與第三點方位相同的點在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣2，縱坐標(biāo)為2n﹣2，與第四點方位相同的點在x負半軸上，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣1，縱坐標(biāo)為0，與第五點方位相同的點在第三象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣2，縱坐標(biāo)為﹣2n﹣2，與第六點方位相同的點在第四象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n﹣2，縱坐標(biāo)為﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴點A2019的方位與點A23的方位相同，在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣2＝﹣22017，縱坐標(biāo)為22017，故答案為：（﹣22017，22017）．三、解答題16.(2023四川樂山）如圖，線段、相交于點,,.求證：.答案:見解析.解析：證明：在和中，∵，,∴≌，故.17．(2023四川南充）如圖，點O是線段AB的中點，OD∥BC且OD＝BC．（1）求證：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度數(shù)．答案:（1）見解析；（2）35°．解析：（1）證明：∵點O是線段AB的中點，∴AO＝BO，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC，∴△AOD≌△OBC（SAS）；（2）解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO＝∠OCB＝35°，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°．18．(2023四川眉山）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，點E是CD的中點，AE＝BE．求證：∠D＝∠C．答案:見解析．解析：證明：∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵AB∥DC，∴∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠EBA，∴∠DEA＝∠CEB，∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴∠D＝∠C．19．(2023四川達州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點D；②過點D作BC的垂線，垂足為點E．（2）在（1）作出的圖形中，求DE的長．答案:（1）見解析；（2）．解析：解：（1）如圖，DE為所作；（2）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE為等腰直角三角形，∴DE＝CE，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，即，∴DE＝．20．(2023四川巴中）如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點C在直線m上，分別過點A、B作AE⊥直線m于點E，BD⊥直線m于點D．①求證：EC＝BD；②若設(shè)△AEC三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．答案:見解析．解析：①證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°．∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD．∴△CAE≌△BCD（AAS）．∴EC＝BD；②解：由①知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．∴a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．21．(2023四川巴中）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點D在河的右側(cè)，紅軍路AB與某橋BC互相垂直．某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動中，在C處測得點D位于西北方向，又在A處測得點D位于南偏東65°方向，另測得BC＝414m，AB＝300m，求出點D到AB的距離．（參考數(shù)據(jù)sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）答案:214m．解析：解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，過D作DF⊥BC于F，則四邊形EBFD是矩形，設(shè)DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∵tan∠DAE＝，∴AE＝，∴BE＝300﹣，又BF＝DE＝x，∴CF＝414﹣x，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝414﹣x，又BE＝CF，即：300﹣＝414﹣x，解得：x＝214，故：點D到AB的距離是214m．22．(2023四川眉山）如圖，在岷江的右岸邊有一高樓AB，左岸邊有一坡度i＝1：2的山坡CF，點C與點B在同一水平面上，CF與AB在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓AB的高度，在坡底C處測得樓頂A的仰角為45°，然后沿坡面CF上行了20米到達點D處，此時在D處測得樓頂A的仰角為30°，求樓AB的高度．答案:（50+30）米．解析：解：在Rt△DEC中，∵i＝，DE2+EC2＝CD2，CD＝20，∴DE2+（2DE）2＝（20）2，解得：DE＝20（m），∴EC＝40m，過點D作DG⊥AB于G，過點C作CH⊥DG于H，如圖所示：則四邊形DEBG、四邊形DECH、四邊形BCHG都是矩形，∵∠ACB＝45°，AB⊥BC，∴AB＝BC，設(shè)AB＝BC＝xm，則AG＝（x﹣20）m，DG＝（x+40）m，在Rt△ADG中，∵＝tan∠ADG，∴，解得：x＝50+30．答：樓AB的高度為（50+30）米．23．(2023四川成都）2019年，成都馬拉松成為世界馬拉松大滿貫聯(lián)盟的候選賽事，這大幅提升了成都市的國際影響力，如圖，在一場馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測得起點拱門CD的頂部C的俯角為35°，底部D的俯角為45°，如果A處離地面的高度AB＝20米，求起點拱門CD的高度．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）答案:6米．解析：解：作AE⊥CD于E，則四邊形ABDE為矩形，∴DE＝AB＝20，DE＝BA，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴CE＝AE?tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝DB﹣CE＝20-14=6，答：起點拱門CD的高度約為6米．24．(2023四川廣安）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為測量一顆古樹BH和教學(xué)樓CG的高，先在A處用高1.5米的測角儀AF測得古樹頂端H的仰角∠HFE為45°，此時教學(xué)樓頂端G恰好在視線FH上，再向前走10米到達B處，又測得教學(xué)樓頂端G的仰角∠GED為60°，點A、B、C三點在同一水平線上．（1）求古樹BH的高；（2）求教學(xué)樓CG的高．（參考數(shù)據(jù)：＝1.4，＝1.7）答案:（1）11.5米；（2）25米．解析：解：（1）在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，∴HE＝EF＝10，∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5，∴古樹的高為11.5米；（2）在Rt△EDG中，∠GED＝60°，∴DG＝DEtan60°＝DE，設(shè)DE＝x米，則DG＝x米，在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，∴GD＝DF＝EF+DE，∴x＝10+x，解得：x＝5+5，∴CG＝DG+DC＝x+1.5＝（5+5）+1.5＝16.5+5≈25，答：教學(xué)樓CG的高約為25米．25．(2023四川達州）渠縣賨人谷是國家AAAA級旅游景區(qū)，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享譽巴渠，被譽為川東“小九寨”．端坐在觀音崖旁的一塊奇石似一只“嘯天犬”，昂首向天，望穿古今．一個周末，某數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)想測出“嘯天犬”上嘴尖與頭頂?shù)木嚯x．他們把蹲著的“嘯天犬”抽象成四邊形ABCD，想法測出了尾部C看頭頂B的仰角為40°，從前腳落地點D看上嘴尖A的仰角剛好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景區(qū)管理員告訴同學(xué)們，上嘴尖到地面的距離是3m．于是，他們很快就算出了AB的長．你也算算？（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41，≈1.73）答案:0.6米．解析：解：作BF⊥CE于F，在Rt△BFC中，BF＝BC?sin∠BCF≈3.20，CF＝BC?cos∠BCF≈3.85，在Rt△ADE中，DE＝＝≈1.73，∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58，由勾股定理得，AB＝≈0.6（m），答：AB的長約為0.6m．26．(2023四川資陽）如圖，南海某海域有兩艘外國漁船A、B在小島C的正南方向同一處捕魚．一段時間后，漁船B沿北偏東30°的方向航行至小島C的正東方向20海里處．（1）求漁船B航行的距離；（2）此時，在D處巡邏的中國漁政船同時發(fā)現(xiàn)了這兩艘漁船，其中B漁船在點D的南偏西60°方向，A漁船在點D的西南方向，我漁政船要求這兩艘漁船迅速離開中國海域．請分別求出中國漁政船此時到這兩艘外國漁船的距離．（注：結(jié)果保留根號）答案:（1）40海里；（2）（20+20）海里．解析：解：（1）由題意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：漁船B航行的距離是40海里；（2）過B作BE⊥AE于E，過D作DH⊥AE于H，延長CB交DH于G，則四邊形AEBC和四邊形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，設(shè)BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由題意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴，DH＝AH，∴20x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，答：中國漁政船此時到外國漁船B的距離是40海里，到外國漁船A的距離是（20+20）海里．27．(2023四川遂寧）汛期即將來臨，為保證市民的生命和財產(chǎn)安全，市政府決定對一段長200米且橫斷面為梯形的大壩用土石進行加固．如圖，加固前大壩背水坡坡面從A至B共有30級階梯，平均每級階梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，壩頂寬度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，問工程完工后，共需土石多少立方米？（計算土石方時忽略階梯，結(jié)果保留根號）答案:50（81﹣81+36）立方米．解析：解：過A作AH⊥BC于H，過E作EH⊥BC于G，則四邊形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵AB＝30×30＝900cm＝9米，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝，∴BG＝BH﹣HG＝，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝，∴BF＝FG﹣BG＝﹣，∴S梯形ABFE＝（2+﹣）×＝，∴共需土石為×200＝50（81﹣81+36）立方米．28．(2023四川涼山州）如圖，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，過點B作BM∥CD交AD于M．連接CM交DB于N．（1）求證：BD2＝AD?CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的長．答案:（1）見解析；（2）．解析：證明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD?CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD?CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝.29.(2023四川廣安）在△中，已知是邊的中點，是△的重心，過點的直線分別交、于點、.（1）如圖1，當(dāng)∥時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)和不平行，且點、分別在線段、上時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.（3）如圖3，當(dāng)點在的延長線上或點在的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.圖1圖2圖1圖2圖3答案:見解析.解析：解：（1）∵是△重心，∴,又∵∥,∴,,則.（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：如圖，過點作∥交的延長