專題15三角形基本知識(原卷版+解析)

專題15三角形基本知識本專題相關(guān)知識點在廣東近些年中考的考查來看，難度以簡單形式考查為主，試題基本以單知識點的形式考查，偶爾會在較為基礎(chǔ)的解答題中體現(xiàn)知識運用，難度也是不大，復(fù)習的時候熟練掌握相應(yīng)的知識內(nèi)容，強化知識運用。作為三角形的基本知識，以往年年進行考查，相信今年的廣東中考依舊會進行相應(yīng)考查，同時今年比較大概率出現(xiàn)在選擇題或者較基礎(chǔ)的解答題中。1．三角形的三邊關(guān)系1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系．1．某校九年級1班學生楊沖家和李銳家到學校的直線距離是和，那么楊沖、李銳兩家的直線距離不可能是（

）A． B． C． D．2．已知三角形的三邊為3，x，5，則x的取值范圍是（

）A．3＜x＜5 B．2＜x＜8 C．﹣2＜x＜8 D．2＜x＜53．等腰三角形的兩邊長為3和6，則等腰三角形的周長為__________．4．有四根長度分別為2、4、6、7的木條，從中任意選擇三根，能構(gòu)成三角形的概率是______．5．已知關(guān)于x的方程．(1)請你判斷方程的解的情況；(2)若等腰三角形ABC的一邊長，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求的周長．1．已知三角形的兩邊長分別是3，6，則它的另一邊長可以是（

）A．1 B．3 C．6 D．102．若三角形兩邊長分別為5和4，第三邊的長是方程的根，則此三角形的周長為（

）A．16 B．18 C．15或17 D．16或183．已知三角形的兩邊長分別是2和5，則第三邊長c的取值范圍是___________．4．已知△ABC的三邊分別為a、b、c，化簡：___________．5．已知a，b，c是的三邊．(1)化簡；(2)若a和b滿足方程組，且c為偶數(shù)，求這個三角形的周長．2、三角形中的重要線段：（1）三角形的中線三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的中線.2.BD=DC=BC.注意：①三角形的中線是線段；（2）三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分線.2.∠1=∠2=∠BAC.（3）三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．注意：三角形的中線、角平分線、高是均是線段。1．如圖，在中，是鈍角，下列圖中作邊上的高線，正確的是（

）A． B．C． D．2．如圖，在中，已知點D、E、F分別為邊的中點且的面積是，則陰影部分面積等于（）A． B． C． D．3．如圖，在中，，是的高線，是的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．三角形的一個外角是100°，則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角（鈍角）是_____．1．如圖，分別是的高和角平分線，且則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（

）①△ABE的面積=△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③3．如圖，BD和CD是△ABC的角平分線，∠BDC＝118°，則∠BAC＝_____°．4．求證：全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等．已知：如圖，，AD和分別是和的中線．求證：．3、三角形的角與角之間的關(guān)系：(1)三角形三個內(nèi)角的和等于180;(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；(3)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.(4)直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余。三角形的外角的定義三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.注意：每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.三角形外角的性質(zhì)（1）三角形的外角和等于360°（三個外角的和）。（2）三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．（3）三角形的一個角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．1．如圖，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，和疊放在一起，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．3．如圖，在的延長線上，于，交于，若，，則______．4．如圖，在中，，，點D在邊上，將沿翻折，點A的對稱點為點E，若，則的度數(shù)是______．5．已知D是等邊三角形中AB邊上一點，將CB沿直線CD翻折得到CE，連接并延長交直線于點F．(1)如圖1，若，直接寫出∠CFE的度數(shù)；(2)如圖1，若，求AE的長；(3)如圖2，連接BF，當點D在運動過程中，請?zhí)骄烤€段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．1．如圖，在中，，若按圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．2．如圖，、、、的度數(shù)之和為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，平分，DEAC，若，，那么__．4．如圖，在中．，平分交于，將沿所在直線折疊，使點A恰好與點重合，若，則的值為______．5．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，AB=ED．(1)求證：BD=CD．(2)若∠A=150°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度數(shù)．4、三角形的中位：定理：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。中位線定理是，三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。判定方法（不考查，做了解）1、過三角形的兩邊中點的線段，是三角形的中位線。2、過三角形的一邊中點且平行于另一邊的線段，是三角形的中位線。3、平行且等于三角形一邊長度的一半的線段，是三角形的中位線。1．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的周長是3cm，則△ABC的周長為（

）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm2．在中，D，E分別是AB，AC的中點，若，則DE的長為（

）．A．2 B．3 C．4 D．123．如圖，為估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，在池塘的一側(cè)選取點O，分別取OA，OB的中點M，N，測得MN＝16m，則A，B兩點間的距離是______m．4．如圖，點D、F分別為AC、BC的中點，，，求證：1．如圖，在中，點D，E分別是，的中點，若的面積是，則四邊形的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．22．如圖，點D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點，若的周長為20，則的周長為（

）A．25 B．15 C．10 D．53．如圖，為估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，在池塘的一側(cè)選取點O，分別取OA，OB的中點M，N，測得MN＝16m，則A，B兩點間的距離是______m．4．如圖，在△ABC中，點D，E分別是AC，BC的中點，點F是DE上一點，連接AF，CF，且AF⊥CF，若AC=6，EF=1，則AB=__________．1．（2015·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線a∥b，∠1=75°，∠2=35°，則∠3的度數(shù)是（

）A．75° B．55° C．40° D．35°2．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D，E分別為，的中點，則（

）A． B． C．1 D．23．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）中，點分別是的邊，的中點，連接，若，則（

）A． B． C． D．4．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）已知的周長為16，點，，分別為三條邊的中點，則的周長為（

）A．8 B． C．16 D．45．（2015·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點G，若，則圖中陰影部分面積是____________.6．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，．求的度數(shù)．1．(2023·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）三角形的兩邊長分別為和，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D是一款手推車的平面示意圖，其中，，，則∠3的度數(shù)為（）A．104° B．128° C．138° D．156°3．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎褐校侵芯€，點在上，且，．則的值為（

）A． B． C． D．4．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，，，則等于（

）A． B． C． D．5．(2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學校?？级＃┰谥?，的角平分線與邊所夾的銳角為，則的度數(shù)等于__________．6．(2023·山東煙臺·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的不等式組至少有兩個整數(shù)解，且存在以3，a，7為邊的三角形，則a的整數(shù)解有______個．7．（2023·廣東江門·江門市華僑中學校考一模）如圖，在中，，，．(1)根據(jù)要求用尺規(guī)作圖：作邊上的高交于點；（不寫作法，只保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，求的長．8．(2023·江蘇宿遷·沭陽縣修遠中學?？家荒＃┤鐖D，已知，AE，BD是的角平分線，且交于點P．（1）求的度數(shù)．（2）求證：點在的平分線上．（3）求證：①；②．專題15三角形基本知識本專題相關(guān)知識點在廣東近些年中考的考查來看，難度以簡單形式考查為主，試題基本以單知識點的形式考查，偶爾會在較為基礎(chǔ)的解答題中體現(xiàn)知識運用，難度也是不大，復(fù)習的時候熟練掌握相應(yīng)的知識內(nèi)容，強化知識運用。作為三角形的基本知識，以往年年進行考查，相信今年的廣東中考依舊會進行相應(yīng)考查，同時今年比較大概率出現(xiàn)在選擇題或者較基礎(chǔ)的解答題中。1．三角形的三邊關(guān)系1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系．1．某校九年級1班學生楊沖家和李銳家到學校的直線距離是和，那么楊沖、李銳兩家的直線距離不可能是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)三角形三邊的關(guān)系進行求解即可．【詳解】解：設(shè)楊沖、李銳兩家的直線距離為，則，即，故選A．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意此問題三點共線時可以取等于號．2．已知三角形的三邊為3，x，5，則x的取值范圍是（

）A．3＜x＜5 B．2＜x＜8 C．﹣2＜x＜8 D．2＜x＜5答案:B分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可．【詳解】解：由三角形的三邊關(guān)系可知：，即，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．3．等腰三角形的兩邊長為3和6，則等腰三角形的周長為__________．答案:分析：分類討論腰，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷求解即可得到答案．【詳解】解：①當3做腰時，∵，∴此種情況不存在；②當6做腰時，，∴等腰三角形的周長為：，故答案為．【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是三角形的三邊關(guān)系判斷分類情況．4．有四根長度分別為2、4、6、7的木條，從中任意選擇三根，能構(gòu)成三角形的概率是______．答案:##0.5分析：4個數(shù)中任取三個共有4種可能，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系找到能構(gòu)成三角形則可能個數(shù)，最后求出概率．【詳解】由題意知：2、4、6、7任取三條有：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7共有4種可能，而能構(gòu)成三角形的有2、6、7；4、6、7這2種可能，所以從中任取三條能構(gòu)成三角形的概率為．故答案為：．【點睛】根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)．二者的比值就是其發(fā)生的概率的大?。畼?gòu)成三角形的基本要求為兩小邊之和大于最大邊．5．已知關(guān)于x的方程．(1)請你判斷方程的解的情況；(2)若等腰三角形ABC的一邊長，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求的周長．答案:(1)方程有兩個實數(shù)根(2)5分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可判斷出方程的解的情況；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論求出b、c的長，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系檢驗，綜合后求出的周長．【詳解】（1）由題意知：，∵，即，∴方程有兩個實數(shù)根；（2）當時，，則，方程化為，解得，∴的周長；當或時，把代入方程得，解得，方程化為，解得，，不符合三角形三邊的關(guān)系，此情況舍去；綜上所述，的周長為5．【點睛】本題考查了根的判別式、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系．注意：在判別式中，①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當時，方程沒有實數(shù)根．1．已知三角形的兩邊長分別是3，6，則它的另一邊長可以是（

）A．1 B．3 C．6 D．10答案:C分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可得另一邊長大于兩邊之差，小于兩邊之和，即，只需確定x的取值范圍，就可得到答案．【詳解】解：設(shè)另一邊長為x，由題意得：，即，題中四個選項只有C選項符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，理解三角形形成的條件是解題的關(guān)鍵．2．若三角形兩邊長分別為5和4，第三邊的長是方程的根，則此三角形的周長為（

）A．16 B．18 C．15或17 D．16或18答案:A分析：首先求出方程的根，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，確定第三邊的長，進而求其周長．【詳解】解：將變形為，解得：，

，∵三角形兩邊長分別為5和4，∴第三邊的邊長，即第三邊的邊長在1和9之間，∴第三邊的邊長為7．∴這個三角形的周長是．故選A．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程、三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)三角形三邊關(guān)系對一元二次方程的根進行取舍．3．已知三角形的兩邊長分別是2和5，則第三邊長c的取值范圍是___________．答案:分析：根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差，小于兩邊之和，即可解決問題．【詳解】解：∵三角形的兩邊長分別是2和5，∴第三邊長c的取值范圍是，即．故答案為：．【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系的運用，熟記三角形的第三邊大于兩邊之差，小于兩邊之和是解題的關(guān)鍵．4．已知△ABC的三邊分別為a、b、c，化簡：___________．答案:分析：根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到，據(jù)此化簡二次根式，然后根據(jù)整式的加減計算法則化簡即可得答案．【詳解】解：∵的三邊分別為a、b、c，∴，∴，∴原式．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，整式的加減計算，三角形三邊的關(guān)系，正確根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵．5．已知a，b，c是的三邊．(1)化簡；(2)若a和b滿足方程組，且c為偶數(shù)，求這個三角形的周長．答案:(1)(2)11或13分析：（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到：，根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行化簡，即可求解；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，確定c的范圍，再求出三角形的周長．【詳解】（1）∵a，b，c是的三邊，∴，∴；（2）解方程組，得，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，即，∵c為偶數(shù)，∴或6，∴這個三角形的周長為或．【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，絕對值的化簡，解二元一次方程組的知識，解題的關(guān)鍵是明確三角形的三邊關(guān)系．2、三角形中的重要線段：（1）三角形的中線三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的中線.2.BD=DC=BC.注意：①三角形的中線是線段；（2）三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分線.2.∠1=∠2=∠BAC.（3）三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．注意：三角形的中線、角平分線、高是均是線段。1．如圖，在中，是鈍角，下列圖中作邊上的高線，正確的是（

）A． B．C． D．答案:D分析：根據(jù)三角形的高的定義判斷即可．【詳解】解：在中，是鈍角，邊上的高線就是過點A作邊的垂線得到的線段，如圖，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．掌握定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，已知點D、E、F分別為邊的中點且的面積是，則陰影部分面積等于（）A． B． C． D．答案:C分析：因為點F是的中點，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分別是、的中點，可得的面積是面積的一半；利用三角形的等積變換可解答．【詳解】解：如圖，點F是的中點，∴的底是，的底是，即，而高相等，∴，∵E是的中點，∴，，∴，∴，且的面積是，∴，即陰影部分的面積為．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形面積的等積變換，熟練掌握三角形的中線平分三角形的面積是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，是的高線，是的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．答案:A分析：利用角平分線的定義可求出的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，再結(jié)合，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵是的角平分線，∴．∵是的高，∴．在中，，∴，∴，∴的度數(shù)為故選A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，牢記三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．4．三角形的一個外角是100°，則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角（鈍角）是_____．答案:130°分析：由三角形的外角性質(zhì)可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分線的定義得∠1∠BAC，∠3∠ABC，從而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1∠BAC，∠3∠ABC，∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案為：130°．【點睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．1．如圖，分別是的高和角平分線，且則的度數(shù)為（）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)高線的定義以及角平分線的定義分別得出，進而得出的度數(shù)，進而得出答案．【詳解】解：在△ABC中，∵，∴，∵平分，∴，∵是的高，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】此題主要考查了高線以及角平分線的性質(zhì)，得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（

）①△ABE的面積=△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③答案:B分析：根據(jù)三角形的中線性質(zhì)、三角形的面積公式即可得判斷①；先根據(jù)角平分線的定義可得∠ACF=∠DCG，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等量代換可得∠AFG=∠CGD，再根據(jù)對頂角相等可得∠CGD=∠AGF，由此即可判斷②；③先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠FAG+2∠AFC=180°、等量代換可得∠FAG=2∠ACF，即可判斷③；④根據(jù)等腰三角形的判定即可得．【詳解】解：∵BE是△ABC中AC邊上的中線，∴AE=CE，∴，故①正確；∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，∴∠GDC=∠FAC=90°，∴∠AFC+∠ACF=90°=∠DGC+∠DCG，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠DCG，∴∠AFG=∠DGC，又∵∠DGC=∠AGF，∴∠AGF=∠AFG，故②正確；∵∠FAG+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠FAG+2∠AFC=180°，∴∠FAG+2∠AFC=2（∠AFC+∠ACF），∴∠FAG=2∠ACF，故③正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明∠HBC=∠HCB，即無法證明HB=HC，故④錯誤；故選B．【點睛】本題考查了三角形的中線、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、等腰三角形的判定等知識點，熟練掌握三角形的中線、角平分線、高的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．如圖，BD和CD是△ABC的角平分線，∠BDC＝118°，則∠BAC＝_____°．答案:56°##56度分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，列出算式計算即可．【詳解】解：∵BD和CD是△ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，∵∠BAC＝180°?（∠ABC＋∠ACB），∴∠BAC＝180°?2（∠DBC＋∠BCD）＝180°?2（180°?∠BDC）＝2∠BDC?180°，∴∠BAC＝2×118°?180°＝56°，故答案為：56°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，用已知角表示出所求的角是解題的關(guān)鍵．4．求證：全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等．已知：如圖，，AD和分別是和的中線．求證：．答案:見解析．分析：根據(jù)得到，，，再根據(jù)中線性質(zhì)證明，進一步可證明．【詳解】證明：∵，∴，，，∵AD和分別是和的中線，∴，，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，中線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的判定定理和性質(zhì)．3、三角形的角與角之間的關(guān)系：(1)三角形三個內(nèi)角的和等于180;(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；(3)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.(4)直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余。三角形的外角的定義三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.注意：每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.三角形外角的性質(zhì)（1）三角形的外角和等于360°（三個外角的和）。（2）三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．（3）三角形的一個角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．1．如圖，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，，，∴．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．2．如圖，和疊放在一起，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．答案:C分析：在中，，，即可，則有，再根據(jù)三角形外角的定義即可作答．【詳解】∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的定義等知識，掌握三角形內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，在的延長線上，于，交于，若，，則______．答案:##70度分析：先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)對頂角的性質(zhì)求出的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，是的外角，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知以下知識：三角形的內(nèi)角和為180°；三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和．4．如圖，在中，，，點D在邊上，將沿翻折，點A的對稱點為點E，若，則的度數(shù)是______．答案:分析：先求和,再用，得，根據(jù)翻折性質(zhì)得，從而可得．【詳解】解：,沿翻折,,,,沿翻折,,故答案為：【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)及判定及翻折問題，解題關(guān)鍵是利用翻折性質(zhì)求解．5．已知D是等邊三角形中AB邊上一點，將CB沿直線CD翻折得到CE，連接并延長交直線于點F．(1)如圖1，若，直接寫出∠CFE的度數(shù)；(2)如圖1，若，求AE的長；(3)如圖2，連接BF，當點D在運動過程中，請?zhí)骄烤€段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．答案:(1)(2)2(3)，證明見解析分析：（1）根據(jù)等邊三角形及翻折的性質(zhì)可求出的值以及，在根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的值，然后在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解的值即可；（2）方法同（1）先求出，然后在上截取，使，連接，如圖1，可知是等邊三角形，根據(jù)，，得到，證明，最后根據(jù)計算求解即可；（3）由（2）可得，證明過程同（2）．【詳解】（1）解：由等邊三角形及翻折的性質(zhì)得，∴，，∴，∴，∵，∴的度數(shù)為．（2）解：由（1）可得，∵，，∴，∴，如圖1，在上截取，使，連接，由題意知，∴是等邊三角形，∵，，∴，在和中∵，∴，∴，∴，∴，∴的長為2．（3）解：；證明如下：由（2）可得，點D在運動過程中，是定值，如圖2，在上截取，使，連接，∴同理（2）可知是等邊三角形，∵，，∴，在和中∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握知識并正確的作輔助線是解題的關(guān)鍵．1．如圖，在中，，若按圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．答案:C分析：如圖，根據(jù)題意可知，，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可推出的度數(shù)．【詳解】解：如圖．∵為直角三角形，，∴，∵，，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在于得出，．2．如圖，、、、的度數(shù)之和為（

）A． B． C． D．答案:C分析：利用三角形內(nèi)角和定理，求解即可．【詳解】解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得：，，∴故選：C【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟記三角形內(nèi)角和為．3．如圖，在中，平分，DEAC，若，，那么__．答案:30°##30度分析：由三角形的內(nèi)角和定理可求解∠BAC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可得∠CAD的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵∠C＝75°，∠B＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD∠BAC＝30°，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD＝30°．故答案為30°．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，求解∠CAD的度數(shù)．4．如圖，在中．，平分交于，將沿所在直線折疊，使點A恰好與點重合，若，則的值為______．答案:分析：根據(jù)平分交于，將沿所在直線折疊，使點A恰好與點重合，可得，又，即得，從而，在中，．【詳解】解：平分交于，，將沿所在直線折疊，使點A恰好與點重合，，，，，，在中，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形中的翻折問題、角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，熟練應(yīng)用含角的直角三角形三邊關(guān)系．5．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，AB=ED．(1)求證：BD=CD．(2)若∠A=150°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度數(shù)．答案:(1)見解析(2)80°分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，依據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再由各角之間的數(shù)量關(guān)系得出，利用等邊對等角及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．(1)證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及等邊對等角等，理解題意，熟練掌握運用各個知識點是解題關(guān)鍵．4、三角形的中位：定理：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。中位線定理是，三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。判定方法（不考查，做了解）1、過三角形的兩邊中點的線段，是三角形的中位線。2、過三角形的一邊中點且平行于另一邊的線段，是三角形的中位線。3、平行且等于三角形一邊長度的一半的線段，是三角形的中位線。1．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的周長是3cm，則△ABC的周長為（

）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm答案:A分析：利用中位線的性質(zhì)，可知BC=2DE，由此可知△ABC的周長是△ADE的周長的2倍，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵點D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴BC=2DE，∵AB=2AD，AC=2AE，∴△ABC的周長是△ADE的周長的2倍，即：△ABC的周長為6cm，故選：A．【點睛】本題主要考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．在中，D，E分別是AB，AC的中點，若，則DE的長為（

）．A．2 B．3 C．4 D．12答案:B分析：根據(jù)三角形的中位線等于第三邊的一半進行計算即可．【詳解】解：∵D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∵BC=6，∴DE=BC=3．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．3．如圖，為估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，在池塘的一側(cè)選取點O，分別取OA，OB的中點M，N，測得MN＝16m，則A，B兩點間的距離是______m．答案:32分析：根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵點M，N分別為OA，OB的中點，∴MN是△OAB的中位線，∴AB＝2MN＝32（m），故答案為：32．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．如圖，點D、F分別為AC、BC的中點，，，求證：答案:證明見解析．分析：先根據(jù)三角形中位線定理可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：∵點分別為的中點，是的中位線，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．1．如圖，在中，點D，E分別是，的中點，若的面積是，則四邊形的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2答案:B分析：根據(jù)三角形中位線定理可得，，從而得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得，即可求解．【詳解】解：∵點D，E分別是，的中點，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點，若的周長為20，則的周長為（

）A．25 B．15 C．10 D．5答案:C分析：根據(jù)中位線的性中科大，然后根據(jù)已知條件即可求解．【詳解】解：∵點D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點，的周長為20，的周長為10故選C【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．在中，，，分別為三邊中點，若面積為，則的面積是______．答案:分析：根據(jù)，，分別為三邊中點，可得與的對應(yīng)邊的比為，即其面積比為，進而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，，，分別為三邊中點，∴，∴，相似比為，，∵，．故答案為．【點睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方．4．如圖，在△ABC中，點D，E分別是AC，BC的中點，點F是DE上一點，連接AF，CF，且AF⊥CF，若AC=6，EF=1，則AB=__________．答案:8分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，進而求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計算，得到答案．【詳解】解：在Rt△AFC中，點D是AC的中點，AC=6，∴DF=AC=×6=3，∵EF=1，∴DE=DF+EF=3+1=4，∵點D，E分別是AC，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴AB=2DE=2×4=8，故答案為：8．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．1．（2015·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線a∥b，∠1=75°，∠2=35°，則∠3的度數(shù)是（

）A．75° B．55° C．40° D．35°答案:C分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠4=75°，然后根據(jù)三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和，可知∠4=∠2+∠3，據(jù)此求解即可得．【詳解】解：標定角度如圖所示：∵，∴∠1=∠4=75°，∵∠4=∠2+∠3，∴∠3=75°-35°=40°．故選C．【點睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，理解題意，找準各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D，E分別為，的中點，則（

）A． B． C．1 D．2答案:D分析：利用中位線的性質(zhì)：平行三角形的第三邊且等于第三邊的一半即可求解．【詳解】∵D、E分別為AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴，∵BC=4，∴DE=2，故選：D．【點睛】本題考查了中位線的判定與性質(zhì)，掌握中位線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）中，點分別是的邊，的中點，連接，若，則（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)點分別是的邊，的中點，得到DE是的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)解答．【詳解】如圖，∵點分別是的邊，的中點，∴DE是的中位線，∴DE∥BC，∴，故選：B．【點睛】此題考查三角形中位線的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記三角形的中位線的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）已知的周長為16，點，，分別為三條邊的中點，則的周長為（

）A．8 B． C．16 D．4答案:A分析：由，，分別為三條邊的中點，可知DE、EF、DF為的中位線，即可得到的周長．【詳解】解：如圖，∵，，分別為三條邊的中點，∴，，，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了三角形的中位線，熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊且是第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2015·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點G，若，則圖中陰影部分面積是____________.答案:4【詳解】解：是中線，同理可得：，由中線性質(zhì)，可得AG=2GD，則，∴陰影部分的面積為4；故答案為：4.6．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，．求的度數(shù)．答案:75°.分析：由三角形的內(nèi)角和定理求出∠DCA=75°，再證明△ABC≌△ADC，即可得到答案.【詳解】∵,,∴∠DCA=75°,∵,,AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCA=∠DCA=75°.【點睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，這是一道比較基礎(chǔ)的三角形題.1．(2023·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）三角形的兩邊長分別為和，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（

）A． B． C． D．答案:D分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得10?6<x<10+6，再解不等式可得答案．【詳解】解：設(shè)三角形的第三邊為xcm，由題意可得：10?6<x<10+6，即4<x<16，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的兩邊差小于第三邊．2．（2023·安徽馬鞍山·校考一模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中，，，則∠3的度數(shù)為（）A．104° B．128° C．138° D．156°答案:B分析：先根據(jù)平行線性質(zhì)求出，再根據(jù)鄰補角的定義求出，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出．【詳解】解：如圖：∵，，∴，∵，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，掌握平行線