統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用學(xué)生用書(shū)

第四節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用·最新考綱·1．駕馭等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．2．能在詳細(xì)的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)學(xué)問(wèn)解決與前n項(xiàng)和相關(guān)的問(wèn)題．·考向預(yù)料·考情分析：數(shù)列分組求和、錯(cuò)位相減求和、裂項(xiàng)相消求和仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是以解答題為主．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)非等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問(wèn)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端一、必記6個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)1．公式法求和(1)等差數(shù)列求和公式：Sn＝na1+(2)等比數(shù)列求和公式：Sn＝na2．裂項(xiàng)相消法求和把數(shù)列的通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之差，使之在求和時(shí)產(chǎn)生前后相互抵消的項(xiàng)的求和方法．3．錯(cuò)位相減法求和(1)適用的數(shù)列：{anbn}，其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q≠1的等比數(shù)列．(2)方法：設(shè)Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，則qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)，(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就轉(zhuǎn)化為依據(jù)公式可求的和．4．倒序相加法求和假如一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)之和，可把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)式子相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，例如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．5．分組求和法求和若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化求和法，分別求和而后相加減．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.6．并項(xiàng)求和法求和把數(shù)列中的若干項(xiàng)結(jié)合到一起，形成一個(gè)新的可求和的數(shù)列，此時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)可能正、負(fù)相間出現(xiàn)或呈現(xiàn)周期性．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采納兩個(gè)項(xiàng)合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn+1(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n2．三種常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式(1)1nn+1＝(2)12n-12n+1＝(3)1n+n+1三、必練4類(lèi)基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)假如數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝a1(2)當(dāng)n≥2時(shí)，1n2-1(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可依據(jù)錯(cuò)位相減法求得．()(4)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序相加求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()(二)教材改編2．[必修5·P47T4改編]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝1nn+1，則SA．1B．56C．163．[必修5·P61T4(1)改編]若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．(三)易錯(cuò)易混4．(不能精確分組)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(2n－2)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________________．5．(不能精確拆項(xiàng))等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則k=1n(四)走進(jìn)高考6．[2024·全國(guó)卷Ⅱ]0－1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列a1a2…an…滿意ai∈{0，1}(i＝1，2，…)，且存在正整數(shù)m，使得ai＋m＝ai(i＝1，2，…)成立，則稱其為0－1周期序列，并稱滿意ai＋m＝ai(i＝1，2，…)的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期．對(duì)于周期為m的0－1序列a1a2…an…，C(k)＝1mi=1maiA.11010…B．11011…C．10001…D．11001…提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類(lèi)題通法考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法或并項(xiàng)法求和[綜合性][例1](1)[2024·湖北大冶六中月考]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，則S21＝()A．30B．31C．－30D．－31(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an+2，n是奇數(shù)，2A．1121B．1122C．1123D．1124聽(tīng)課筆記：反思感悟1.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型1若a2通項(xiàng)公式為an2.并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an=(-1)nf(n)類(lèi)型，可采納兩項(xiàng)合并求解．例如Sn=1002-992+982-【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·四川省成都市檢測(cè)]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a8＝1，S16＝24，數(shù)列{bn}是遞增的等比數(shù)列且b1＋b4＝9，b2b3＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)求(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1)．2．[2024·江蘇省揚(yáng)州市高三模擬]已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿意：a1＝b1＝2，且a2－1，a3，a6－1是等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝(－1)nlog2(anan＋1)＋log2bn，求數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和T10.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和[綜合性][例2][2024·湖南省永州市測(cè)試]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4，(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{(2n－1)·an}的前n項(xiàng)和Tn.聽(tīng)課筆記：反思感悟1．駕馭解題“3步驟”2．留意解題“3關(guān)鍵”(1)要擅長(zhǎng)識(shí)別題目類(lèi)型，特殊是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特殊留意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步精確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種狀況求解．3．謹(jǐn)防解題“2失誤”(1)兩式相減時(shí)最終一項(xiàng)因?yàn)闆](méi)有對(duì)應(yīng)項(xiàng)而遺忘變號(hào)．(2)對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)相識(shí)模糊，錯(cuò)把中間的n－1項(xiàng)和當(dāng)作n項(xiàng)和.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】[2024·河南高三月考]已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1－2an＋2＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和[綜合性]角度1形如an＝1n[例3][2024·商丘市高級(jí)中學(xué)測(cè)試]已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，S4＝a1＋9，且S9＝5a9.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝Sn+1-SnS聽(tīng)課筆記：反思感悟利用裂項(xiàng)相消法求和的留意事項(xiàng)(1)抵消后并不肯定只剩下第一項(xiàng)和最終一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)．(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)須要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等．例如，若{an}是等差數(shù)列，則1anan+1＝1d角度2形如an＝1n+k[例4]數(shù)列{an}滿意a1＝1，an2+2(1)求證：數(shù)列{an2}是等差數(shù)列，并求出{(2)若bn＝2an+an+1，求數(shù)列{聽(tīng)課筆記：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·湖南湘西州期末]已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，令an＝1fn+1+fn，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SnA．2019－1B．2020－1C．2021－1D．2021－12．[2024·四川省遂寧市檢測(cè)]已知數(shù)列{an}中，a2＝13，an＝an＋1＋2anan＋1(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令2n-1annn+2的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：T考點(diǎn)四與數(shù)列有關(guān)的綜合問(wèn)題[綜合性]角度1數(shù)列與函數(shù)結(jié)合[例5]已知數(shù)列{an}滿意an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝π2，若函數(shù)f(x)＝sin2x＋2cos2x2，記yn＝f(an)，則數(shù)列{yA．0B．－9C．9D．1聽(tīng)課筆記：反思感悟在涉及函數(shù)與數(shù)列的綜合題時(shí)，不僅要正確審題深摳函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義，還要明確等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式的特征．角度2數(shù)列與不等式結(jié)合[例6][2024·山東威海模擬]公比為2的等比數(shù)列{an}中存在兩項(xiàng)am，an滿意aman＝16a12，則A．32B．53C．4聽(tīng)課筆記：反思感悟在涉及數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題時(shí)，一般實(shí)行化歸的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們較熟識(shí)的問(wèn)題來(lái)解決，如基本不等式法、裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和等.角度3數(shù)列與數(shù)學(xué)文化[例7][2024·江蘇南通市高三月考]有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五兩，今三十日屠訖，問(wèn)共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人擅長(zhǎng)屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問(wèn)一共屠了多少兩肉？”在這個(gè)問(wèn)題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為()A．35B．75C．155D．315聽(tīng)課筆記：反思感悟解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問(wèn)題的關(guān)鍵：一是讀懂題意，即會(huì)“脫去”數(shù)學(xué)文化的背景，提取關(guān)鍵信息；二是構(gòu)造模型，即由題意構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型；三是“解?！?，即把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的相關(guān)信息，如求指定項(xiàng)、公差(或公比)、項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和等．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·北京石景山區(qū)模擬]九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣為流傳的一種益智嬉戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開(kāi)為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)相互貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一．”在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，數(shù)列{an}滿意a1＝1，且an＝2an-1-1,n為偶數(shù)A．7B．10C．12D．222．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，則a1＋a2＋…＋a7＝()A．0B．7C．14D．213．[2024·山東淄博一中月考]已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，3)，Q(2，5)．當(dāng)n∈N*時(shí)，an＝fn-1fn·fn+1，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)SA．4B．5C．6D．7微專(zhuān)題25數(shù)列中的新定義問(wèn)題交匯創(chuàng)新[例][2024·河北石家莊模擬]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，定義{an}的“優(yōu)值”為Hn＝a1+2a2+…+2n-1ann，現(xiàn)已知{a解析：由Hn＝a1+2a2+…+2n-1ann＝2n，得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n①，當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1②，由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2也滿意式子an＝n＋1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1，所以Sn＝n2+n+12＝答案：n名師點(diǎn)評(píng)(1)數(shù)列的新定義問(wèn)題的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目供應(yīng)的信息，聯(lián)系所學(xué)的學(xué)問(wèn)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到敏捷解題的目的．(2)破解此類(lèi)數(shù)列中的新定義問(wèn)題的關(guān)鍵：一是盯題眼，即需仔細(xì)審題，讀懂新定義的含義，如本題，題眼{an}的“優(yōu)值”Hn＝2n的含義為a1+2a2+…+2n-1ann＝2n；二是想“減法”，如本題，欲由等式a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n求通項(xiàng)，只需寫(xiě)出a1＋2a2＋…＋2n[變式訓(xùn)練][2024·江西上高模擬]定義：若數(shù)列{an}對(duì)隨意的正整數(shù)n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d為常數(shù))，則稱|an|為“肯定和數(shù)列”，d叫做“肯定公和”．已知“肯定和數(shù)列”{an}中，a1＝2，肯定公和為3，則其前2021項(xiàng)的和S2021的最小值為()A.－2021B．－3010C．－3028D．－3030第四節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用積累必備學(xué)問(wèn)一、1．(1)na1＋nn-12d三、1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：∵an＝1nn+1＝∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12+12-答案：B3．解析：Sn＝21-2n1-2+n1+2n-1答案：2n＋1－2＋n24．解析：Sn＝2×[0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)n(n－1)]＝1-n，n為奇數(shù)，答案：1-n，n為奇數(shù)，5．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3=a1+2d=3，S4=4a1+4×32d=10.解得a1＝1，d＝1，所以an＝n，＝2×(1－12+1＝2×(1－1n+1)＝2n答案：2n6．解析：C(1)＝15(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a6)＝15(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5aC(2)＝15(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7)＝15(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a1＋a5aC(3)＝15(a1a4＋a2a5＋a3a6＋a4a7＋a5a8)＝15(a1a4＋a2a5＋a3a1＋a4a2＋a5aC(4)＝15(a1a5＋a2a6＋a3a7＋a4a8＋a5a9)＝15(a1a5＋a2a1＋a3a2＋a4a3＋a5a對(duì)于A，C(1)＝15，C(2)＝25，故A不正確；對(duì)于B，C(1)＝35，故B不正確；對(duì)于D，C(1)＝25，故D不正確；對(duì)于C，C(1)＝15，C(2)＝0，C(3)＝答案：C提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一例1解析：(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，所以S21＝1－4＋7－10＋…－58＋61＝1＋10×(－4＋7)＝31.故選B項(xiàng)．(2)由題意可知，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為1×1-210答案：(1)B(2)C對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意得：a1+7d=12a1+15d=3，∴a1＝－6，d＝1，a(2)由題意得：b1+b4=9b1·b4=8，{bn}是遞增的等比數(shù)列，故解得：b1＝1，b4∴(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1)＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b1＋b3＋…＋b2n－1)＝(－6－4－2＋…＋2n－8)＋(1＋4＋16＋…＋4n－1)＝n-6+2n-82+1-4n1-4＝2．解析：(1)設(shè){an}公差為d，由題意知，a2－1，a3，a6－1不為零，且(a2－1)(a6－1)＝a32，∴(2＋d－1)(2＋5d－1)＝(2＋2d)2，化簡(jiǎn)即1＋6d＋5d2＝4＋8d＋4d得(d－3)(d＋1)＝0，∴d＝－1或d＝3，其中d＝－1時(shí)，a2－1＝d＋1＝0，不符合題意，故d≠－1，經(jīng)檢驗(yàn)d＝3符合題意，∴an＝2＋3(n－1)＝3n－1，故{bn}公比q＝a3a2∴bn＝2·2n－1＝2n；(2)cn＝(－1)n·log2[(3n－1)(3n＋2)]＋n＝(－1)n[log2(3n－1)＋log2(3n＋2)]＋n＝(－1)n·log2(3n－1)＋(－1)n·log2(3n＋2)＋n，∴T10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10＝(－log22－log25＋log25＋log28－log28－log211＋…－log226－log229＋log229＋log232)＋(1＋2＋…＋10)＝－log22＋log232＋11×102考點(diǎn)二例2解析：(1)∵Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＝2(Sn－Sn－1)(n≥2)，∴an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝4＝2a1，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.(2)據(jù)(1)可得(2n－1)·an＝(2n－1)·2n，所以Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，兩式相減得－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×22×1-2n-11-2化簡(jiǎn)得Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：(1)由題意，數(shù)列{an}滿意an＋1－2an＋2＝0，可得an＋1－2＝2(an－2)，即an+1又因?yàn)閍1＝1，可得a1－2＝－1，所以an－2＝(a1－2)·2n－1＝－2n－1，所以an＝2－2n－1，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2－2n－1.解析：(2)由(1)知an＝2－2n－1，可得bn＝nan＝2n－n·2n－1，則Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2×1－1×20)＋(2×2－2×21)＋(2×3－3×22)＋…＋(2n－n·2n－1)＝(2×1＋2×2＋2×3＋…＋2n)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＝n(n＋1)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1)．令t＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，則2t＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，所以－t＝1×20＋1×21＋1×22＋…＋1×2n－1－n×2n，所以t＝1－2n＋n×2n.所以Sn＝n2＋n－1＋2n－n×2n.考點(diǎn)三例3解析：(1)因?yàn)镾9＝5a9，所以9a5＝5a9，即9(a1＋4d)＝5(a1＋8d)，整理得a1＝d，又因?yàn)镾4＝4a1＋6d＝a1＋9，所以a1＋2d＝3，即a1＝d＝1，所以an＝n；(2)由(1)知an＝n，所以Sn＝nn+12，又bn＝所以Tn＝(1S1-1S2)＋(1S例4解析：(1)證明：由an2+2所以數(shù)列{a所以an2＝1＋(n－1)×2＝2又由已知易得an＞0，所以an＝2n-1(n∈N*)．(2)bn＝2an＝2n+1-故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(3－1)＋(5-3)＋…＋(2n+1-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：由f(4)＝2，可得4α＝2，解得α＝12，則f(x)＝x.所以an＝1fn+1+fn＝1n+1+n＝n+1-n，所以S2020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2020＝(答案：C2．解析：(1)因?yàn)閍n＝an＋1＋2anan＋1，令n＝1，則a1＝a2＋2a1a2，又a2＝13，所以a1對(duì)an＝an＋1＋2anan＋1兩邊同時(shí)除以anan＋1，得1a又因?yàn)?a1＝1，所以所以1an＝1＋2(n－1)＝2n－1，故an＝解析：(2)由(1)得：2n-1annn+2＝所以Tn＝12(1－13+12因?yàn)閚∈N*，所以2n+3n2+3n+2＞0，故Tn＜12×32＝考點(diǎn)四例5解析：由題意知數(shù)列{an}是等差數(shù)列．∵a5＝π2，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5∵f(x)＝sin2x＋2cos2x2∴f(x)＝sin2x＋cosx＋1.∴f(a1)＋f(a9)＝sin2a1＋cosa1＋1＋