適用于新教材2025版高中數(shù)學課時素養(yǎng)檢測三十七總體集中趨勢的估計總體離散程度的估計新人教A版必修第二冊

PAGE三十七總體集中趨勢的估計總體離散程度的估計(20分鐘45分)一、選擇題(每小題5分，共25分，多選題全部選對得5分，選對但不全對的得2分，有選錯的得0分)1．(2024·武漢高一檢測)在其次次高考模擬市統(tǒng)測結(jié)束后，某校高三年級一個班級為預(yù)估本班學生的高考成果水平，登記了全班同學的卷面成果．經(jīng)查詢得知班上全部同學的學業(yè)水平考試成果22分加分均已取得，則學業(yè)水平考試加分22分前后相比，不變的數(shù)字特征是()A．平均數(shù) B．方差C．中位數(shù) D．眾數(shù)【解析】選B.學業(yè)水平考試加分22分前后相比，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都在原來的基礎(chǔ)上加上了22，而全班的成果波動性沒發(fā)生改變，即方差沒變．2．(2024·南京高一檢測)若1，2，3，x的平均數(shù)是5，而1，3，3，x，y的平均數(shù)是6，則1，2，3，x，y的方差是()A．24.52B．24.54C．24.56D．24.58【解析】選C.由eq\f(1＋2＋3＋x,4)＝5得x＝14，由eq\f(1＋3＋3＋x＋y,5)＝6得y＝9，1，2，3，14，9的平均數(shù)為eq\f(1＋2＋3＋14＋9,5)＝5.8，1，2，3，14，9的方差為eq\f(1,5)[(1－5.8)2＋(2－5.8)2＋(3－5.8)2＋(14－5.8)2＋(9－5.8)2]＝24.56.3．從某項綜合實力測試中抽取100人的成果，統(tǒng)計如表，則這100人成果的標準差為()分數(shù)54321人數(shù)2010303010A.eq\r(3)B．eq\f(2\r(10),5)C．3D．eq\f(8,5)【解析】選B.因為eq\x\to(x)＝eq\f(20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1,100)＝eq\f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，所以s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,100)×[20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22]＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5).所以s＝eq\f(2\r(10),5).4．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事務(wù)期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事務(wù)在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標記為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．依據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，確定符合該標記的是()A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D．丁地：總體均值為2，總體方差為3【解析】選D.依據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過7的數(shù)，選項A中，中位數(shù)為4，可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項C中也有可能；選項B中的總體方差大于0，敘述不明確，假如數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項D中，依據(jù)方差公式，假如有大于7的數(shù)存在，那么方差不會為3.5．(多選題)有一筆統(tǒng)計資料，共有11個數(shù)據(jù)如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，則下列說法正確的是()A．x＝5 B．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4C．這組數(shù)據(jù)的方差是6 D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8【解析】選AC.因為eq\x\to(x)＝eq\f(1,11)×(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝eq\f(1,11)×(61＋x)＝6，所以x＝5.方差為s2＝eq\f(42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12,11)＝eq\f(66,11)＝6.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5，中位數(shù)是5.二、填空題(每小題5分，共10分)6．某高校有甲，乙兩個數(shù)學建模愛好班，其中甲班40人，乙班50人．現(xiàn)分析兩個班的一次考試成果，算得甲班的平均成果是90分，乙班的平均成果是81分，則該校數(shù)學建模愛好班的平均成果是________分．【解析】平均成果為eq\f(40×90＋50×81,90)＝85(分).答案：85【補償訓(xùn)練】在一組數(shù)據(jù)中，共有10個數(shù)，其中3出現(xiàn)2次，9出現(xiàn)4次，－3出現(xiàn)1次，5出現(xiàn)3次，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．【解析】3出現(xiàn)2次，其和為6，9出現(xiàn)4次，其和為36，－3出現(xiàn)1次，其和為－3，5出現(xiàn)3次，其和為15，則這10個數(shù)據(jù)之和為6＋36－3＋15＝54，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(54,10)＝5.4.答案：5.47．(2024·武漢高一檢測)一組數(shù)據(jù)2，4，x，8，10的平均值是6，則此組數(shù)據(jù)的方差是________．【解析】因為eq\f(2＋4＋x＋8＋10,5)＝6，解得x＝6，所以此組數(shù)據(jù)的方差是eq\f(（2－6）2＋（4－6）2＋（6－6）2＋（8－6）2＋（10－6）2,5)＝8.答案：8【補償訓(xùn)練】(2024·淄博高一檢測)某班40名學生，在一次考試中統(tǒng)計所得平均分為80分，方差為70，后來發(fā)覺有兩名同學的成果有損，甲實得80分錯記為60分，乙實得70分錯記為90分，則更正后的方差為________．【解析】因為甲實得80分，記為60分，少記20分，乙實得70分，記為90分，多記20分，所以總分沒有改變，因此更正前后的平均分沒有改變，都是80分，設(shè)甲、乙以外的其他同學的成果分別為a3，a4，…，a40，因為更正前的方差為70，所以(60－80)2＋(90－80)2＋(a3－80)2＋…＋(a40－80)2＝70×40，所以(a3－80)2＋…＋(a40－80)2＝2800－400－100＝2300，所以更正后的方差為：eq\f(（80－80）2＋（70－80）2＋（a3－80）2＋…＋（a40－80）2,40)＝eq\f(100＋2300,40)＝60，所以更正后的方差為60.答案：60三、解答題8．(10分)甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成果狀況如圖所示：(1)填寫下表：平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71.21乙5.43(2)請從四個不同的角度對這次測試進行分析：①從平均數(shù)和方差結(jié)合分析偏離程度；②從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合分析誰的成果好些；③從平均數(shù)和命中9環(huán)及以上的次數(shù)相結(jié)合看誰的成果好些；④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢分析誰更有潛力．【解析】(1)乙的射靶環(huán)數(shù)依次為2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.所以eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位數(shù)是eq\f(7＋8,2)＝7.5；甲的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位數(shù)為7.于是填充后的表格如表所示：平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71.271乙75.47.53(2)①甲、乙的平均數(shù)相同，均為7，但seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＜seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，說明甲偏離平均數(shù)的程度小，而乙偏離平均數(shù)的程度大，即甲的成果更穩(wěn)定．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位數(shù)比甲大，說明乙射靶成果比甲好．③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9環(huán)以上(包含9環(huán))的次數(shù)比甲多2次，可知乙的射靶成果比甲好．④從折線圖上看，乙的成果呈上升趨勢，而甲的成果在平均線上波動不大，說明乙的狀態(tài)在提升，更有潛力．【補償訓(xùn)練】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數(shù)62638228(1)在下圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(3)依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？【解析】(1)由頻率分布表干脆畫出頻率分布直方圖：(2)質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為：eq\x\to(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標值的樣本方差為：s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.(3)質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定．(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共15分，多選題全部選對得5分，選對但不全對的得2分，有選錯的得0分)1．(2024·宣城高一檢測)為了普及環(huán)保學問，增加環(huán)保意識，某高校隨機抽取30名學生參與環(huán)保學問測試，得分(非常制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為a，眾數(shù)為b，平均值為c，則()A．a(chǎn)＝b＝c B．a(chǎn)＝b<cC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c【解析】選D.由圖知b＝5，由中位數(shù)的定義得中位數(shù)應(yīng)當是第15個數(shù)與第16個數(shù)的平均值，由圖知將數(shù)據(jù)從大到小排第15個數(shù)是5，第16個數(shù)是6，所以a＝eq\f(5＋6,2)＝5.5，c＝eq\x\to(x)＝eq\f(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2,30)>5.9，所以b<a<c.2．甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成果如下表：S1，S2，S3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成果的標準差，則有()甲的成果環(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成果環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成果環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664A.S3>S1>S2 B．S2>S1>S3C．S1>S2>S3 D．S2>S3>S1【解析】選B.因為eq\x\to(x)甲＝eq\f(（7＋8＋9＋10）×5,20)＝8.5，Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝eq\f(5×[（7－8.5）2＋（8－8.5）2＋（9－8.5）2＋（10－8.5）2],20)＝1.25，eq\x\to(x)乙＝eq\f(（7＋10）×6＋（8＋9）×4,20)＝8.5，Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq\f(6×[（7－8.5）2＋（10－8.5）2]＋4×[（8－8.5）2＋（9－8.5）2],20)＝1.45，eq\x\to(x)丙＝eq\f(（7＋10）×4＋（8＋9）×6,20)＝8.5，Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝eq\f(4×[（7－8.5）2＋（10－8.5）2]＋6×[（8－8.5）2＋（9－8.5）2],20)＝1.05，由Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))>Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))>Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))，得S2>S1>S3.【補償訓(xùn)練】如圖是一個容量為100的樣本的重量頻率分布直方圖，則由圖可估計樣本重量的中位數(shù)為________.【解析】依據(jù)頻率分布直方圖，得0.06×5＝0.3<0.5，0.3＋0.1×5>0.5，令0.3＋0.1x＝0.5，解得x＝2，所以中位數(shù)是10＋2＝12.答案：123．(多選題)甲、乙兩人在一次射擊競賽中各射靶5次，兩人成果的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法正確的是()A.甲的成果的平均數(shù)等于乙的成果的平均數(shù)B．甲的成果的中位數(shù)等于乙的成果的中位數(shù)C．甲的成果的方差小于乙的成果的方差D．甲的成果的極差小于乙的成果的極差【解析】選AC.甲的平均數(shù)：eq\f(1,5)(4＋5＋6＋7＋8)＝6，乙的平均數(shù)：eq\f(1,5)(5×3＋6＋9)＝6，甲的成果的方差為2，乙的成果的方差為2.4.甲、乙的極差均為4，故AC正確．由圖知甲的中位數(shù)為6，乙的中位數(shù)為5，所以B錯，甲的成果的極差為8－4＝4，乙的成果的極差為9－5＝4，甲乙的極差相等，所以D錯．二、填空題(每小題5分，共15分)4．(2024·連云港高一檢測)已知一組數(shù)據(jù)：5.7，5.8，6.1，6.4，6.5，則該數(shù)據(jù)的方差是________．【解析】5.7，5.8，6.1，6.4，6.5的平均數(shù)為eq\f(5.7＋5.8＋6.1＋6.4＋6.5,5)＝6.1，所以5.7，5.8，6.1，6.4，6.5的方差為eq\f(（5.7－6.1）2＋（5.8－6.1）2＋（6.1－6.1）2＋（6.4－6.1）2＋（6.5－6.1）2,5)＝0.1.答案：0.15．若6個數(shù)的標準差為2，平均數(shù)為1，則這6個數(shù)的平方和為______.【解析】由s＝eq\r(\f(1,6)[（x1－\x\to(x)）2＋（x2－\x\to(x)）2＋…＋（x6－\x\to(x)）2])＝eq\r(\f(1,6)（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))）－\x\to(x)2)即2＝eq\r(\f(1,6)（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))）－1)得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝30.答案：30【補償訓(xùn)練】(2024·西安高一檢測)氣象學意義上從春季進入夏季的標記為：“連續(xù)5天的日平均氣溫均不低于22℃”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)均為正整數(shù)).甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是24，眾數(shù)為22；乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是28，總體平均數(shù)為25；丙地：5個數(shù)據(jù)一個為32，總體平均數(shù)為26，方差為10.8.則由此推斷進入夏季的地區(qū)是________．【解析】甲地：因為眾數(shù)為22，所以22至少出現(xiàn)兩次，若有一天低于22則中位數(shù)不行能為24，所以甲地確定進入夏季；乙地：如13，23，27，28，29滿意中位數(shù)是27，總體均值為24，但不符合進入夏季的條件；丙地：5個數(shù)據(jù)中一個為32，總體平均數(shù)為26，方差為10.8，若有一個數(shù)據(jù)小于22，例如取21，此時方