九年級數(shù)學上冊 第4章　銳角三角函數(shù) 單元測試卷（湘教版 2024年秋）

九年級數(shù)學上冊第4章銳角三角函數(shù)單元測試卷（湘教版2024年秋）一、選擇題(每題3分，共30分)題序12345678910答案1．3tan30°的值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(3\r(3),2) C.eq\r(3) D.eq\f(3,2)2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則()A．c＝bsinB B．b＝ctanB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝csinB(第2題)(第3題)3．如圖，在Rt△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝45°，AB＝8，則BC的長為()A.eq\f(4\r(2),3) B．4 C．8eq\r(2) D．4eq\r(2)4．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則圖中∠ABC的正切值是()(第4題)A．2 B.eq\f(2\r(5),5) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(5),5)5．如圖，一棵大樹被臺風攔腰刮斷，樹根A到刮斷點P的長度是4m，折斷部分PB與地面成40°的夾角，那么原來樹的高度是()(第5題)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(4,cos40°)))m B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(4,sin40°)))mC．(4＋4sin40°)m D．(4＋4cos40°)m6．已知△ABC中，AB＝AC，tanB＝eq\r(3)，則cosC的值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)7．如圖，點A為∠α邊上的任意一點，作AC⊥BC于點C，CD⊥AB于點D，下列用線段比表示tanα的值中錯誤的是()A.eq\f(CD,BD) B.eq\f(AC,BC) C.eq\f(CD,AC) D.eq\f(AD,CD)(第7題)8．關于x的一元二次方程x2－eq\r(2)x＋sinα＝0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角α等于()A．15° B．30° C．45° D．60°9．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝eq\f(\r(3),2)，AC＝2eq\r(3)，則AB的長是()A．4 B．3＋eq\r(3) C．5 D．2＋2eq\r(3)(第9題)(第10題)10．如圖，在?ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，分別以點A，B為圓心，大于eq\f(1,2)AB的長為半徑作弧，兩弧交點的連線交BC于點E，連接AE，若BE∶EC＝2∶1，則?ABCD的面積為()A．12 B．12eq\r(2) C．12eq\r(3) D．12eq\r(5)二、填空題(每題3分，共18分)11．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(2,3)，則cosB＝______．(第11題)(第12題)12．如圖，菱形ABCD的對角線AC＝6，BD＝8，∠ABD＝α，則tanα＝________．13．課外活動小組想測量學校旗桿的高度．如圖，當太陽光線與地面成30°角時，測得旗桿AB在地面上的影長BC為24米，則旗桿AB的高度是________米(結(jié)果保留根號)．(第13題)14．如圖，平面直角坐標系中有一個正方形ABCD，點B的坐標為(0，eq\r(3))，∠BAO＝60°，那么點C的坐標為____________．(第14題)(第15題)15．如圖①是一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架，其側(cè)面示意圖如圖②，調(diào)節(jié)桿BC＝eq\r(2)a，AB＝b，AB的最大仰角為α.當∠C＝45°時，則點A到桌面的最大高度是________．16．若AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝eq\r(3)，則∠BAC＝________．三、解答題(17，18題每題8分，19～21題每題10分，22題12分，23題14分，共72分)17．計算：(1)eq\f(1,4)tan245°＋eq\f(1,sin230°)－3cos230°；(2)eq\r(9)×(－1)2025＋2sin45°－cos30°＋sin60°＋tan260°.18．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝3eq\r(2)，AC＝3eq\r(6)，解這個直角三角形．(第18題)19．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是邊AC上一點，N是邊AB上一點，∠CMN＋∠B＝180°，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．(第19題)20．如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行到B地．已知B地位于A地北偏東67°方向，且距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成A，C兩地直達高鐵，求A地到C地之間直達高鐵線路的長．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin67°≈eq\f(12,13)，cos67°≈eq\f(5,13)，tan67°≈eq\f(12,5)，eq\r(3)≈1.73)(第20題)21．根據(jù)以下材料，完成項目任務．項目測量古塔的高度及古塔底面圓的半徑測量工具測角儀、皮尺等測量說明：如圖，點Q為古塔底面圓的圓心，測角儀高度AB＝CD＝1.5m，在B、D處分別測得古塔頂端的仰角為32°、45°，BD＝9m，測角儀CD所在位置與古塔底部邊緣距離DG＝12.9m，點B、D、G、Q在同一條直線上參考數(shù)據(jù)sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625項目任務(1)求出古塔的高度；(2)求出古塔底面圓的半徑.22．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，DE∥AC，cosC＝eq\f(4,5)，AC＝10，BE＝2AE.(第22題)(1)求BD的長；(2)求△BDE的面積．23．沿江大堤經(jīng)過改造后的某處橫斷面為如圖所示的梯形ABCD.高DH＝12m，斜坡CD的坡度i＝1∶1.此處大堤的正上方有高壓電線穿過，PD表示高壓線上的點與堤面AD的最近距離(P，D，H在同一直線上)，在點C處測得∠DCP＝26°.(1)求斜坡CD的坡角α；(2)電力部門要求此處高壓線離堤面AD的安全距離不低于18m，請問此次改造是否符合電力部門的安全要求？(參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)(第23題)

答案一、1.C2.D3.D4.A5.B6.B7.C8．B思路點睛：根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根得出Δ＝0，即可得到關于sinα的一元一次方程，解出此一元一次方程，然后根據(jù)特殊三角函數(shù)值即可得解．9．C10.C二、11.eq\f(2,3)12.eq\f(3,4)13.8eq\r(3)14．(－eq\r(3)，eq\r(3)＋1)15.a＋bsinα16．75°或15°易錯點睛：本題分高AD在△ABC內(nèi)部和高AD在△ABC外部兩種情況，易因考慮不全面而漏解．三、17.解：(1)原式＝eq\f(1,4)×12＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)＋4－eq\f(9,4)＝2.(2)原式＝3×(－1)＋2×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)＋(eq\r(3))2＝－3＋eq\r(2)＋3＝eq\r(2).18．解：由題意，得AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝eq\r(（3\r(2)）2＋（3\r(6)）2)＝6eq\r(2).∵tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3\r(2),3\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°.19．解：∵∠CMN＋∠B＝180°，∠AMN＋∠CMN＝180°，∴∠B＝∠AMN.又∵∠A＝∠A，∴∠ANM＝∠C＝90°.∵AN＝3，AM＝4，∴MN＝eq\r(AM2－AN2)＝eq\r(7)，∴cos∠AMN＝eq\f(MN,AM)＝eq\f(\r(7),4)，∴cosB＝cos∠AMN＝eq\f(\r(7),4).20．解：過點B作BD⊥AC于點D.在Rt△ABD中，∵∠ABD＝67°，AB＝520km，∴AD＝AB·sin67°≈520×eq\f(12,13)＝480(km)，BD＝AB·cos67°≈520×eq\f(5,13)＝200(km)．在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan30°≈200×eq\f(\r(3),3)≈200×eq\f(1.73,3)≈115.3(km)，∴AC＝AD＋CD≈480＋115.3＝595.3≈595(km)．答：A地到C地之間直達高鐵線路的長約是595km.21．解：(1)延長AC交PQ于點E，則易得四邊形CDQE是矩形，∴QE＝CD＝1.5m，依題意得∠PCE＝45°，∠PAE＝32°，AC＝BD＝9m.在Rt△PCE中，由∠PCE＝45°，得CE＝PE.在Rt△PAE中，由tan∠PAE＝eq\f(PE,AE)＝tan32°，得PE＝AE·tan32°＝(AC＋CE)·tan32°，解得PE≈15m，∴PQ＝PE＋EQ≈15＋1.5＝16.5(m)．答：古塔的高度約為16.5m.(2)在矩形CDQE中，由(1)知DQ＝CE＝PE≈15m.∵DG＝12.9m，∴GQ≈15－12.9＝2.1(m)．答：古塔底面圓的半徑約為2.1m.22．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵cosC＝eq\f(4,5)，AC＝10，∴cosC＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(CD,10)＝eq\f(4,5)，∴CD＝8.∵DE∥AC，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(BE,AE).又∵BE＝2AE，∴eq\f(BE,AE)＝2.∴eq\f(BD,8)＝2，∴BD＝16.(2)在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(102－82)＝6.∵BE＝2AE，∴易得S△BDE＝eq\f(2,3)S△ABD＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD·BD))＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)