人教版高中數(shù)學全冊教案-08-圓錐曲線方程-01

橢圓及其標準方程

一、教學目標

（一）知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程.

（二）能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法

解決兒何問題的能力.

（三）學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力.

二、教材分析

1.重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程.

（解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓

的標準方程單獨列出加以比較.）

2.難點：橢圓的標準方程的推導.

（解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明.）

3.疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因.

（解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡.）

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答.

四、教學過程

（一）橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪?位同學回答：

問題1:什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪兒個

步驟必不可少？

對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正.這樣便于學生溫故而知新,

在已有知識基礎上去探求新知識.

目題21當a>O?t,&^=3與儂=&|是方程用？

當a>0時醞）=?O+可=03=a.

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形.

問題3：圓的兒何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的

探索？

一般學生能回答：”平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”.對同學提出的

軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡."

教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神.

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡

是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點（如圖2-13）,當

繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，

就可以畫出一個橢圓.

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀

圖.”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等……

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點Fl、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢

圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距.

學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點Fl、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在

演示中要從兩個方面加以強調(diào)：

⑴將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學

生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”.

⑵這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|,

則是線段F1F2；若常數(shù)V|F1F2],則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上

限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”.

（二）橢圓標準方程的推導

1.標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無

所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的

集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟.

⑴建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量（距離、直線

斜率等）的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取

方法是恰當?shù)?

以兩定點Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐

標系（如圖2T4）.設|F1F2|=2C（C>0）,M（x,y）為橢圓上任意一點，則有F1（T,

0）,F2（c,0）.

⑵點的集合

由定義不難得出橢圓集合為:

P={M||MFl|+|MF2|=2a}.

⑶代數(shù)方程

|MFJ=-x+c9||=

轄方程J(*+c>+[+#-c)’+1=2a.

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教

師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明.整

理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②為使方程對稱和諧而引入b,同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

講.由2a〉2c可你令V-c'=b‘，則待方程捺+左=1

(a>b>0).

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略.

因此方程=即為所求*■的標液方程.它表

示的橢圓的焦點在x軸上,焦點是Fl(-c,0)、F2(c,0).這里C2=a2-b2.

2.兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

a)WW=l(a?S環(huán)儂在4fc±JWiH.儂1FK-C,

ab

0)、F2(C,0),這里c2=a2-b2；

。4+旨=1(?>??〉0)^^^在雨±?1?.期物e，

ab

?、F2(0,c),這里C2=a2+b2,只須將(1)方程的x、y互換即可得到.

教師指出：在兩種標準方程中，：a2>b2,.?.可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在

哪一個坐標軸上.

（三）例題與練習

例題平面內(nèi)兩定點的距離是8,寫出到這兩定點的距離的和是10的點的

軌跡的方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程.

解：這個軌跡是?個橢圓，兩個定點是焦點，用Fl、F2表示.取過點F1和F2的

直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.

?/2a=10,2c=8.

a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9./.b=3

因此，這個橢圓的標準方程是

yT259

請大家再想一想，焦點Fl、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

線為地軌跡方觸什么儂闞喧+<=〔?

練習1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

a=4,焉點在盤上.

由學生口答，方程為

練習2下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

。亍+；=i與±=L

D.—+^-=1^--4--？—=b(m>0>.

424*m2+m

由學生口答，答案為D.

(四)小結(jié)

1.定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點Fl、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)

的點的軌跡.

2.標W+g=l（a>b>8或4+W《a>b>Q）.

abab

3.圖形如圖2-15、2-16.

4.焦點:Fl(-c,0),F2(C,0).Fl(0,-c),F2(0,c).

五、布置作業(yè)

1.如圖2-17,在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小,|A1F1|=2,A2

Fl的距離最大，|A2F1|=14,求橢圓的標準方程.

2.求1M■+舄=1上一點Mi(Z4.與與儂的距離.

圖2-17

3.求適合下列條件的橢圓的標準方程：

Cl)經(jīng)過網(wǎng)點P(-2#,0).Q(0,?

(2)長軸是短軸的箱，?tai經(jīng)過點PQ,o)>

(3)焦點坐標是(戊衣，0洌(26，0)，并且經(jīng)過點P(赤

-編).

4.已知|陽捺+，=1(￡>?>>0!),耳,目是它的儂.AB

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求AABF2的周長.

作業(yè)答案：

1?看號I

3713

2.|M同=號,|M再1亍

一，

3.(l)k+營=1

l