湖南省長(zhǎng)沙市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考四試題含解析

Page24湖南省長(zhǎng)沙市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考(四)試題時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，全集，則的全部子集個(gè)數(shù)（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定的條件，用列舉法表示集合A，再求出即可作答.【詳解】依題意，，而，則，，因此，所以的全部子集個(gè)數(shù)是.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿意，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由題得所以.所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限.故選:A.3.在中，點(diǎn)滿意，記，，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的線性運(yùn)算將分解為，再轉(zhuǎn)化為，表示即可.【詳解】.故選：A.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】，，，∴.故選：B.5.2024年9月16日，接迎第九批在韓志愿軍烈士遺骸回國(guó)的運(yùn)20專機(jī)在兩架殲20戰(zhàn)機(jī)護(hù)航下抵達(dá)沈陽(yáng)國(guó)際機(jī)場(chǎng)．殲20戰(zhàn)機(jī)是我國(guó)自主研發(fā)的第五代最先進(jìn)的戰(zhàn)斗機(jī)，它具有高隱身性、高態(tài)勢(shì)感知、高機(jī)動(dòng)性能等特點(diǎn)，殲20機(jī)身頭部是一個(gè)圓錐形，這種圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)約為2米的正三角形，則機(jī)身頭部空間大約（）立方米A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)約為2米的正三角形可知，圓錐底面半徑為1米，圓錐高為米，依據(jù)圓錐體積公式即可得到答案.【詳解】依據(jù)圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)約為2米的正三角形可知，圓錐底面半徑為1米，圓錐高為米，依據(jù)圓錐體積公式得.故選:B6.已知函數(shù)，將的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，已知在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，換元轉(zhuǎn)化為在上恰有5個(gè)不相等的實(shí)根，結(jié)合的性質(zhì)列出不等式求解.【詳解】，令，由題意在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，即在上恰有5個(gè)不相等的實(shí)根，由的性質(zhì)可得，解得．故選：D．7.用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），在隨意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先算出隨意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)，再探討個(gè)位是偶數(shù)并分2在或不在個(gè)位計(jì)數(shù)，以及個(gè)位是奇數(shù)并分1在或不在個(gè)位計(jì)數(shù)，最終求目標(biāo)概率.【詳解】將3個(gè)偶數(shù)排成一排有種，再將3個(gè)奇數(shù)分兩種狀況插空有種，所以隨意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)有種，隨意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰，分兩種狀況探討：當(dāng)個(gè)位是偶數(shù)：2在個(gè)位，則1在十位，此時(shí)有種；2不在個(gè)位：將4或6放在個(gè)位，百位或萬(wàn)位上放2，在2的兩側(cè)選一個(gè)位置放1，最終剩余的2個(gè)位置放其它兩個(gè)奇數(shù)，此時(shí)有種；所以個(gè)位是偶數(shù)共有20種；同理，個(gè)位是奇數(shù)也有20種，則隨意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰數(shù)有40種，所以隨意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)隨意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰做計(jì)數(shù)時(shí)，留意探討特別位置上放置偶數(shù)或奇數(shù)，進(jìn)而分1、2是否在該位置的狀況計(jì)數(shù).8.已知直三棱柱中，，當(dāng)該三棱柱體積最大時(shí)，其外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使三棱柱的體積最大，則面積最大，故令，則，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為等腰三角形，，再求解三棱柱外接球的半徑即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，平面所以，要使三棱柱的體積最大，則面積最大，因?yàn)?，令因?yàn)椋?，在中，，所以，，所以，，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圓的半徑滿意，即，所以，直三棱柱外接球的半徑，即，所以，直三棱柱外接球的體積為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.如圖，點(diǎn)，，，，是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則滿意平面的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由下圖可知，平面，平面，所以平面，A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)是中點(diǎn)，由下圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，，所以六點(diǎn)共面，B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示，依據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，所以平面.所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，由于四邊形是矩形，所以是中點(diǎn)，由于是中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以平面，D正確.故選：AD10.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的準(zhǔn)線方程為B.直線與相切C.若，則的最小值為D.若，則的周長(zhǎng)的最小值為11【答案】BCD【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，從而推斷A，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，由推斷B，設(shè)點(diǎn)，表示出，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)推斷C，依據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化求出的周長(zhǎng)的最小值，即可推斷D.【詳解】解：拋物線：，即，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；由，即，解得，所以直線與相切，故B正確；設(shè)點(diǎn)，所以，所以，故C正確；如圖過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線，交于點(diǎn)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：BCD11.已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)遞推公式，求得，再對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可選擇.【詳解】因?yàn)椋士傻?，，?duì)A：當(dāng)時(shí)，，故可得，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，則對(duì)也成立，又當(dāng)，時(shí)，，則，故B正確；對(duì)C：令，則，故在單調(diào)遞減，則，則當(dāng)時(shí)，，；則當(dāng)，時(shí)，，即；則，即，又，，故C正確；對(duì)D：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的綜合學(xué)問(wèn)，涉及逐差法的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)用逐差法，以及能夠結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬綜合難題.12.已知偶函數(shù)在R上可導(dǎo)，，若，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)：依據(jù)偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義推斷即可；B選項(xiàng)；對(duì)求導(dǎo)，得到，，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，然后求即可；C選項(xiàng)：利用特別函數(shù)的思路，找出一個(gè)滿意題目要求的，代入即可推斷；D選項(xiàng)：依據(jù)的奇偶性得到，然后利用累加法求即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以圖象在處的斜率為0，即，故A正確；函數(shù)為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，，所以，令，得，又為奇函數(shù)，所以，，故B正確；假設(shè)，滿意為偶函數(shù)，，，符合題目的要求，此時(shí)，，故C錯(cuò)；為偶函數(shù)，所以，即，，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】①為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；②當(dāng)（可求和）時(shí)，可以用累加法求，.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓，若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則△ABC的面積最大值為_(kāi)__________.【答案】8【解析】【分析】設(shè)出線段的中點(diǎn)，由垂徑定理得到，由基本不等式求出，從而得到△ABC的面積最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為4，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由垂徑定理得：，由基本不等式可得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，故答案為：814.若的綻開(kāi)式的全部項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的比值是32,則綻開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是___________.【答案】15【解析】【分析】先賦值求出全部項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出，再依據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算綻開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù).【詳解】令,得全部項(xiàng)的系數(shù)和為,二項(xiàng)式系數(shù)和為,所以,即的第項(xiàng)為令,得所以項(xiàng)的系數(shù)是故答案為：1515.已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若存在以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意分析可知，設(shè)點(diǎn)，利用得到關(guān)于的方程，再聯(lián)立，用含的式子表示出，只需滿意，得出離心率的范圍.【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)時(shí)，是的兩條中位線，若以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則有,，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn),又點(diǎn)，所以，，,則，又，所以，，得，即只需，整理得：解得，又，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查離心率取值范圍問(wèn)題，難度較大，解答時(shí)肯定要敏捷轉(zhuǎn)化，列出滿意條件的含的關(guān)系式，依據(jù)關(guān)系式化簡(jiǎn)求解離心率的取值范圍.16.設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線方程相同，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】設(shè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為，，求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用，推出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可．【詳解】解：設(shè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，所以有，即，解出舍去），又，所以有，故，所以有，對(duì)求導(dǎo)有，故關(guān)于的函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)有最大值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性、最值的求法，考查計(jì)算實(shí)力．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿意：.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用退一相減法可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【小問(wèn)1詳解】由已知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，則，所以①，②，①②得，所以.18.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知D是BC上的點(diǎn)，AD平分.（1）若，，，求的值；（2）若為銳角三角形，請(qǐng)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：.注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用可求出答案；（2）首先證明，若選①，利用余弦定理和三角形的面積公式可求出，然后可得，即可求出答案；若選②，結(jié)合倍角公式可求出，然后可算出答案；若選③，由條件可得，然后可求出，然后可求出答案.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，可得，又因?yàn)槠椒?，且，所以，則，整理可得.【小問(wèn)2詳解】選條件①∵，∴，∴，即，∵，∴，在中，由正弦定理得，∴，在中，由正弦定理得，∴，∵平分，與互補(bǔ)，∴.∵是銳角三角形，∴，∴，∴，即的取值范圍為.選條件②∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，由正弦定理得，∴，在中，由正弦定理得，∴，∵平分，與互補(bǔ)，∴.∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴的取值范圍為.選條件③∵，∴，由正弦定理得，∴依據(jù)余弦定理得，∵，∴，在中，由正弦定理得，∴，在中，由正弦定理得，∴，∵平分，與互補(bǔ)，∴.∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴，∴的取值范圍為.19.如圖，點(diǎn)在內(nèi)，是三棱錐的高，且．是邊長(zhǎng)為的正三角形，,為中點(diǎn).（1）證明：點(diǎn)在上.（2）點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），求平面與平面夾角余弦值的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明平面得，再依據(jù)等邊三角形性質(zhì)得，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1），建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量為，設(shè)，，進(jìn)而求平面的法向量，再依據(jù)向量方法求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，．因?yàn)槭侨忮F的高，即平面，因?yàn)槠矫嫠裕驗(yàn)椋闹悬c(diǎn)為，所以，因平面所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，的中點(diǎn)為所以，，即點(diǎn)在上．【小問(wèn)2詳解】解：結(jié)合（1）得，，，，．過(guò)點(diǎn)作，交于，結(jié)合（1）可知兩兩垂直，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則．所以，，設(shè)，．所以，．設(shè)平面的法向量為，則，即取，則．所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以，平面與平面夾角余弦值的最大值為．20.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線夾角為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).（1）求雙曲線的方程.（2）若動(dòng)直線經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)【解析】【分析】（1）由漸近線夾角得或，結(jié)合雙曲線所過(guò)點(diǎn)可求得，由此可得雙曲線方程；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿意題意，可知；假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可化簡(jiǎn)整理，依據(jù)等式恒成立的求解方法可得的值.【小問(wèn)1詳解】?jī)蓷l漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；當(dāng)時(shí)，由得：，，雙曲線的方程為：；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；綜上所述：雙曲線的方程為：.【小問(wèn)2詳解】由題意得：，假設(shè)存在定點(diǎn)滿意題意，則恒成立；方法一：①當(dāng)直線斜率存時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).方法二：①當(dāng)直線斜率為時(shí)，，則，，，，，，解得：；②當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，；當(dāng)，即時(shí)，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).21.某中學(xué)2024年10月實(shí)行了2024“翱翔杯”秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有“夾球跑”和“定點(diǎn)投籃”兩個(gè)項(xiàng)目，某班代表隊(duì)共派出1男（甲同學(xué)）2女（乙同學(xué)和丙同學(xué)）三人參與這兩個(gè)項(xiàng)目，其中男生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為0.6，女生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為（）．假設(shè)每個(gè)同學(xué)能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學(xué)能完成“夾球跑”的人數(shù)為．（1）證明：在的概率分布中，最大．（2）對(duì)于“定點(diǎn)投籃”項(xiàng)目，競(jìng)賽規(guī)則如下：該代表隊(duì)先指派一人上場(chǎng)投籃，假如投中，則競(jìng)賽終止，假如沒(méi)有投中，則重新指派下一名同學(xué)接著投籃，假如三名同學(xué)均未投中，競(jìng)賽也終止．該班代表隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)覺(jué)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次為（，2，3），每位同學(xué)能否命中相互獨(dú)立．請(qǐng)幫領(lǐng)隊(duì)分析如何支配三名同學(xué)的出場(chǎng)依次，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最??？并給出證明．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的依次支配出場(chǎng)依次，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分別求出（，1，2，3）的值，作差法比較大小得證；（2）由（1）知，設(shè)三人隨意依次出場(chǎng)時(shí)三場(chǎng)投中的概率分別為，，，計(jì)算競(jìng)賽時(shí)所需派出的人數(shù)的期望，證明成立，說(shuō)明按排列時(shí)最小，應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的依次支配出場(chǎng).【小問(wèn)1詳解】由已知，的全部可能取值為0，1，2，3，，，∵，∴，所以概率最大．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，有的值最大，且，，所以應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的依次支配出場(chǎng)依次，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小．證明如下：假設(shè)，，為，，的隨意一個(gè)排列，即若甲、乙、丙依據(jù)某依次派出，該