新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案

第十八章勾股定理

18.1勾股定理（一）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理。

2.培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。

3.介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，促其勤奮學(xué)

習(xí)。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：勾股定理的內(nèi)容及證明。

2.難點(diǎn)：勾股定理的證明。

3.難點(diǎn)的突破方法：幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們對(duì)土地面積的測(cè)量需要。在古埃及，尼羅

河每年要泛濫一次；洪水給兩岸的田地帶來了肥沃的淤積泥土，但也抹掉了田地之間的界限

標(biāo)志。水退了，人們要重新畫出田地的界線，就必須再次丈量、計(jì)算田地的面積。幾何學(xué)從

一開始就與面積結(jié)下了不解之緣，面積很早就成為人們認(rèn)識(shí)幾何圖形性質(zhì)與爭(zhēng)鳴幾何定理的

工具。本節(jié)課采用拼圖的方法，使學(xué)生利用面積相等對(duì)勾股定理進(jìn)行證明。其中的依據(jù)是圖

形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變。

三、例題的意圖分析

例1（補(bǔ)充）通過對(duì)定理的證明，讓學(xué)生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學(xué)生的思

維，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力；這個(gè)古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激

發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。

例2使學(xué)生明確，圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變。進(jìn)一步

讓學(xué)生確信勾股定理的正確性。

四、課堂引入

目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，

如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定

理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別這種語言的。這個(gè)事實(shí)可以說明

勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。

讓學(xué)生畫一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的長。

以上這個(gè)事實(shí)是我國古代3000多年前有一個(gè)叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺

折成直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說一個(gè)直

角三角形較短直角邊（勾）的長是3,長的直角邊（股）的長是4,那么斜邊（弦）的長是

5。

再畫一個(gè)兩直角邊為5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的長。

你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系,52+122和132的關(guān)系,即32+42=52,52+122=132,那么就

有勾2+股2=弦2。

對(duì)于任意的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？

五、例習(xí)題分析

例1（補(bǔ)充）已知：在aABC中，ZC=90°,/A、/B、

NC的對(duì)邊為a、b、c?

求證：a2+b2=c2?

AB

分析：⑴讓學(xué)生準(zhǔn)備多個(gè)三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學(xué)生拼擺不同的形狀，利

用面積相等進(jìn)行證明。

⑵拼成如圖所示，其等量關(guān)系為：4SA+S小正=S大正

4X—ab+(b-a)2=c2,化簡可證。

2

⑶發(fā)揮學(xué)生的想象能力拼出不同的圖形，進(jìn)行證明。

(4)勾股定理的證明方法，達(dá)300余種。這個(gè)古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家

之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。

例2已知：在△ABC中，Z

C=90°,NA、NB、NC的對(duì)邊

為a、b、Co

求證：a2+b2=c2o

分析：左右兩邊的正方形邊長相

等，則兩個(gè)正方形的面積相等。

左邊S=4X-ab+c2

2

右邊S=(a+b)2

左邊和右邊面積相等，即

4X-ab+c2=(a+b)2

2

化簡可證。

六、課堂練習(xí)

1.勾股定理的具體內(nèi)容是：________________________________________________________

2.如圖，直角AABC的主要性質(zhì)是：ZC=90°,(用幾何語言表示)

⑴兩銳角之間的關(guān)系：;

⑵若D為斜邊中點(diǎn)，則斜邊中線；

⑶若NB=30°,則NB的對(duì)邊和斜邊：

⑷三邊之間的關(guān)系：。

3.ZXABC的三邊a、b、c,若滿足b2=a?+c2,則=90°；若

滿足b2>c2+a2,則NB是角；若滿足b2<c2+a2,則NB是

角。

4.根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。

七、課后練習(xí)

1.己知在RtZiABC中，ZB=90°,a、b、c是AABC的三邊，則

⑴c=o（已知a、b,求c）

（2）a=o（已知b、c,求a）

（3）b=o（已知a、c,求b）

2.如下表，表中所給的每行的三個(gè)數(shù)a、b、c,有aVbVc,試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律,

寫出當(dāng)a=19時(shí)，b,c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來。

3、4、532+42=52

5、12、1352+122=132

7、24、2572+242=252

9、40、4192+402=412

19,b、c192+b2=c2

3.在aABC中，ZBAC=120°,AB=AC=10J5cm,一動(dòng)點(diǎn)P從B向C以每秒2cm的

速度移動(dòng)，問當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)多少秒時(shí)，PA與腰垂直。

4.己知：如圖，在aABC中，AB=AC,D在CB的延長線上。

求證：（DAD2-AB2=BD?CD

⑵若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論。

八、參考答案

課堂練習(xí)

1.略；

2.(l)ZA+ZB=90°；(2)CD=-AB；(3)AC=-AB；(4)AC2+BC2=AB2,.

22

3.ZB,鈍角，銳角;

4.提示：因?yàn)镾SWABCD=SAABE+SABCE+SAEDA，又因?yàn)镾慨柩ACDG=—(a+b)2,

2

I1,17、,1,I,

SABCE=SAEDA--ab，SAABE-—c~,—(a+b)-2X—ab+—Co

22222

課后練習(xí)

I.Wc-ylb2—a2；(2)a=-\lb2—c2；(3)b=Vc2+a2

[a2+b2=c2a2-1a2+1

2.<；貝ijb=-----,c=------；當(dāng)a=19時(shí)，b=180,c=181。

c=b+\22

3.5秒或10秒。

4.提示：過A作AE_LBC于E。

18.1勾股定理（二）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：勾股定理的簡單計(jì)算。

2.難點(diǎn)：勾股定理的靈活運(yùn)用。

3.難點(diǎn)的突破方法：

⑴數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生每做一道題都畫圖形，并寫出應(yīng)用公式的過程或公式的推倒過程，在

做題過程中熟記公式，靈活運(yùn)用。

⑵分類討論，讓學(xué)生畫好圖后標(biāo)圖，從不同角度考慮條件和圖形，考慮問題要全面，在討

論的過程中提高學(xué)生的靈活應(yīng)用能力

⑶作輔助線，勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的條件，要

創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法，在做輔助線的過程中，提高

學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

⑷優(yōu)化訓(xùn)練，在不條件、不同環(huán)境中反復(fù)運(yùn)用定理，使學(xué)生達(dá)到熟練使用，靈活運(yùn)用的程

度。

三、例題的意圖分析

例1（補(bǔ)充）使學(xué)生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形,

理清邊之間的關(guān)系。讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學(xué)會(huì)

利用不同的條件轉(zhuǎn)化為已知兩邊求第三邊。

例2（補(bǔ)充）讓學(xué)生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會(huì)分類討論思

想。

例3（補(bǔ)充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要?jiǎng)?chuàng)造直角三角形，作

高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識(shí)和新知識(shí)綜合運(yùn)用，提

高綜合能力。

四、課堂引入

復(fù)習(xí)勾股定理的文字?jǐn)⑹觯汗垂啥ɡ淼姆?hào)語言及變形。學(xué)習(xí)勾股定理重在應(yīng)用。

五、例習(xí)題分析

例1（補(bǔ)充）在RtZ\ABC,NC=90°

⑴已知a=b=5,求c?

⑵已知a=l,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷己知a：b=l：2,c=5,求a。

⑸已知b=15,ZA=30°,求a,c。

分析：剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。⑴已知兩

直角邊，求斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的

便形式。⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知

任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明確已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊,

學(xué)會(huì)見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想。

例2（補(bǔ)充）已知直角三角形的兩邊長分別為5和12,求第三

C

邊?！?/p>

分析：已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)

分兩種情況分別進(jìn)形計(jì)算。讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會(huì)分類

討論思想。

ADB

例3（補(bǔ)充）己知：如圖，等邊4ABC的邊長是6cm。

⑴求等邊4ABC的高。

⑵求SAABC。

分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要

創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做

法。欲求高CD,可將其置身于Rt^ADC或RtZ\BDC中，

但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求AD=CD=，AB=3cm,則此題可解。

2

六、課堂練習(xí)

1.填空題

⑴在RtaABC,NC=90°,a=8,b=15,貝ljc=。

⑵在RtaABC,ZB=90°,a=3,b=4,則c=。

⑶在Rt^ABC,NC=90°,c=10,a：b=3：4,則a=,b=。

⑷一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為。

⑸已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm,,則第三邊長為

⑹已知等邊三角形的邊長為2cm,則它的高

為,面積為。

2.已知：如圖，在4ABC中，NC=60°,AB=4，^,

AC=4,AD是BC邊上的高，求BC的長。

3.已知等腰三角形腰長是10,底邊長是16,求這個(gè)等腰

三角形的面積。

七、課后練習(xí)

1.填空題

在Rt^ABC,ZC=90°,

⑴如果a=7,c=25,貝ljb二。

⑵如果NA=30°,a=4,貝Ub=。

⑶如果NA=45°,a=3,則c=。

⑷如果c=10,a-b=2,則b=。

⑸如果a、b^c是連續(xù)整數(shù)，則a+b+c=。

⑹如果b=8,a：c=3：5,則c=。

2.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,AD1DC,

AB±AC,ZB=60°,CD=lcm,求BC的長。

八、參考答案

課堂練習(xí)

1.17；V7；6,8；6,8,10；4或南；6

2.8；3.48o

課后練習(xí)

26

1.24：4百；3A/2；6；12；10；2.

3

18.1勾股定理（三）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用。

2.難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。

3.難點(diǎn)的突破方法：

數(shù)形結(jié)合，從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形，讓學(xué)生畫好圖后標(biāo)圖；在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問

題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，教師要向?qū)W生交代清楚，解釋明白；優(yōu)化訓(xùn)練,

在不條件、不同環(huán)境中反復(fù)運(yùn)用定理，使學(xué)生達(dá)到熟練使用，靈活運(yùn)用的程度；讓學(xué)生深入

探討，積極參與到課堂中，發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動(dòng)性.

三、例題的意圖分析

例1（教材P74頁）明確如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意條件的轉(zhuǎn)化；學(xué)會(huì)如何

利用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法解決實(shí)際問題。

例2（教材P75頁）使學(xué)生進(jìn)一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形

三邊的關(guān)系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。

四、課堂引入

勾股定理在實(shí)際的生產(chǎn)生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使

用解決了許多生活中的問題，今天我們就來運(yùn)用勾股定理解決一些問題，你

可以嗎？試一試。

五、例習(xí)題分析

例1（教材P74頁）

分析：⑴在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框?yàn)殚L方形,

四個(gè)角都是直角。⑵讓學(xué)生深入探討圖中有幾個(gè)直角三角形？圖中標(biāo)字母的線段哪條最長？

⑶指出薄木板在數(shù)學(xué)問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？⑷轉(zhuǎn)化為勾股定理

的計(jì)算，采用多種方法。⑸注意給學(xué)生小結(jié)深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。

例2（教材P75頁）

分析：⑴在aAOB中，已知AB=3,AO=2.5,利用勾股定理計(jì)算

OB?（2）在△COD中，已知

CD=3,CO=2,利用勾股定理計(jì)算OD。

則BD=OD—OB,通過計(jì)算可知BDWAC。

⑶進(jìn)一步讓學(xué)生探究AC和BD的關(guān)系，給AC不同的值，

計(jì)算BD。

六、課堂練習(xí)

1.小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹,

這棵紅葉樹的離地面的高度是,.米。

2.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是46米，則這兩株樹之間的垂直距離是

2題圖3題圖4題圖

3.如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離

是_______________

4.如圖，原計(jì)劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路,后因技術(shù)攻關(guān)，可以打隧道由

A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價(jià)為300萬

元，隧道總長為2公里，隧道造價(jià)為500萬元，AC=80公

里，BC=60公里，則改建后可省工程費(fèi)用是多少？

七、課后練習(xí)

1.如圖，欲測(cè)量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩點(diǎn)，

在江對(duì)岸取一點(diǎn)A,使AC垂直江岸，測(cè)得BC=50米，

ZB=60°,則江面的寬度為。

2.有一個(gè)邊長為1米正方形的洞口，想用一個(gè)圓形蓋去

蓋住這個(gè)洞口，則圓形蓋半徑至少為米。

3.一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q

兩點(diǎn)，PQ=16厘米，且RPLPQ,則RQ=厘米。

4.如圖，鋼索斜拉大橋?yàn)榈妊切危е?4

米，NB=NC=30°,E、F分別為BD、CD中點(diǎn)，試

求B、C兩點(diǎn)之間的距離，鋼索AB和AE的長度。

（精確到1米）

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

1.25072;2.6,2收

3.18米：4.11600；

課后練習(xí)

I.50Vl米;

3.20；4.83米，48米，32米:

18.1勾股定理（四）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)用勾股定理解決較綜合的問題。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用。

2.難點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用。

3.難點(diǎn)的突破方法：

⑴數(shù)形結(jié)合，正確標(biāo)圖，將條件反應(yīng)到圖形中，充分利用圖形的功能和性質(zhì)。

⑵分類討論，從不同角度考慮條件和圖形，考慮問題要全面，在討論的過程中提高學(xué)生

的靈活應(yīng)用能力。

⑶作輔助線，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法，在做輔助線的過程中，提高

學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

⑷優(yōu)化訓(xùn)練，在不條件、不同環(huán)境中反復(fù)運(yùn)用定理，使學(xué)生達(dá)到熟練使用，靈活運(yùn)用的

程度。

三、例題的意圖分析

例1（補(bǔ)充）“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，熟練掌握“雙垂圖”的圖形結(jié)構(gòu)和圖形性

質(zhì)，通過討論、計(jì)算等使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識(shí)點(diǎn)有：3個(gè)直

角三角形，三個(gè)勾股定理及推導(dǎo)式BCJBD2=AC2-AD2,兩對(duì)相等銳角，四對(duì)互余角，及30°

或45°特殊角的特殊性質(zhì)等.

例2（補(bǔ)充）讓學(xué)生注意所求結(jié)論的開放性，根據(jù)已知條件，作適當(dāng)輔助線求出三角形

中的邊和角。讓學(xué)生掌握解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。使學(xué)

生清楚作輔助線不能破壞已知角。

例3（補(bǔ)充）讓學(xué)生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形

轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。在轉(zhuǎn)化的過程中注意條件

的合理運(yùn)用。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識(shí)和新知識(shí)綜合運(yùn)用，提高解題的綜合能力。

四、課堂引入

復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用。

五、例習(xí)題分析

例1（補(bǔ)充）1.已知：在RtaABC中，ZC=90°,CD_LBC于D,ZA=60°,CD=V5,

求線段AB的長。

分析：本題是“雙垂圖”的計(jì)算題，“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，所以要求學(xué)生對(duì)圖形及

性質(zhì)掌握非常熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的

知識(shí)點(diǎn)有：3個(gè)直角三角形，三個(gè)勾股定理及推導(dǎo)式

BC2-BD2=AC2-AD2,兩對(duì)相等銳角，四對(duì)互余角，及30°或45°

特殊角的特殊性質(zhì)等。

要求學(xué)生能夠自己畫圖，并正確標(biāo)圖。引導(dǎo)學(xué)生分析：欲求

AB,可由AB=BD+CD,分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特

殊角，求出BD=3和AD=1?；蛴驛B,可由A6=AC2+BC2,

分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和

BC=6。

例2（補(bǔ)充）已知：如圖，^ABC中，AC=4,ZB=45°,

ZA=60",根據(jù)題設(shè)可知什么？

分析：由于本題中的aABC不是直角三角形，所以根據(jù)題設(shè)只

能直接求得NACB=75°。在學(xué)生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置

AB邊上的高這條輔助線，就可以求得AD,CD,BD,AB,BC

及SAABC。讓學(xué)生充分討論還可以作其它輔助線嗎？為什么？

小結(jié)：可見解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。并指出如何作

輔助線？

解略。

例3（補(bǔ)充）已知：如圖，/B=/D=90°,ZA=60°,

AB=4,CD=2o求：四邊形ABCD的面積。

分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,

或延長AB、DC交于E或延長AD、BC交于E,根據(jù)本

題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種

較為簡單。教學(xué)中要逐層展示給學(xué)生，讓學(xué)生深入體會(huì)。

解：延長AD、BC交于E。

VZA-Z600,ZB=90°,AZE-30°。

；.AE=2AB=8,CE=2CD=4,

BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=748=4,>

DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE=V12=273?

?'?Spniiff；ABCD=SAABE-SACDE=—AB,BE—CD

22

小結(jié)：不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形

的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。

例4（教材P76頁探究3）

分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一

對(duì)應(yīng)的理論。

變式訓(xùn)練：在數(shù)軸上畫出表示6-1,2-四的點(diǎn)。

六、課堂練習(xí)

I.aABC中，AB=AC=25cm,高AD=20cm,貝BC=,SAABC=。

2.AABC中，若NA=2NB=3NC,AC=2百cm,則/A=度，NB=度,

ZC=度，BC=,SAABC=_________。

3.AABC中，ZC=90",AB=4,BC=26,CD_LAB于D,

則AC=___________,CD=___________,BD=____________,/\

AD=,SAABC=oB/\C

4.已知：如圖，ZXABC中，AB=26,BC=25,AC=I7,

求SAABCo

七、課后練習(xí)

1.在RtZSABC中，ZC=90°,CDJLBC于D,ZA=60°,CD=BAB=。

2.在RtZ\ABC中，ZC=90°,SAABC=30,C=13,且a〈b,貝Ua=,b=.

3.已知：如圖，在AABC中，NB=30°,ZC=45°,AC=2A/2,

求（DAB的長；（2）SAABC。A

BC

4.在數(shù)軸上畫出表示一石，、6+6的點(diǎn)。

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

1.30cm,300cm2；

2.90,60,30,4,2A/3；

3.2,后，3,1,2A/3；

4.作BD_LAC于D,設(shè)AD=x,則CD作7-x,252-x2=262-（17-x）2,x=7,BD=24,

1

SAABC=—AC?BD=254；

2

課后練習(xí)：

1.4；

2.5,12；

3.提示：作ADJ_BC于D,AD=CD=2,AB=4,BD=2有，BC=2+2A/J,SAABC==2+2百；

4.略。

18.2勾股定理的逆定理（一）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.體會(huì)勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的證明方法。

3.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：掌握勾股定理的逆定理及證明。

2.難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明。

3.難點(diǎn)的突破方法：

先讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲,

再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，由實(shí)踐到理論學(xué)生更容易

接受。

為學(xué)生搭好臺(tái)階，掃清障礙。

⑴如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形,現(xiàn)在只知道若有一個(gè)角是直角的三角形是直角三

角形，從而將問題轉(zhuǎn)化為如何判斷一個(gè)角是直角。

⑵利用已知條件作一個(gè)直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決。

⑶先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計(jì)算斜邊A?產(chǎn)c,則通過三邊對(duì)應(yīng)

相等的兩個(gè)三角形全等可證。

三、例題的意圖分析

例1（補(bǔ)充）使學(xué)生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關(guān)系。

例2通過讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和

求知欲，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實(shí)踐上升到理論，提高學(xué)

生的理性思維。

例3（補(bǔ)充）使學(xué)生明確運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一

般步驟：①先判斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計(jì)算出a?+b2和c2的值。③判斷a2+b2和

是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。

四、課堂引入

創(chuàng)設(shè)情境：⑴怎樣判定一個(gè)三角形是等腰三角形？

⑵怎樣判定一個(gè)三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進(jìn)行對(duì)比，從勾股定

理的逆命題進(jìn)行猜想。

五、例習(xí)題分析

例1(補(bǔ)充)說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

⑴同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。

⑵如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩個(gè)實(shí)數(shù)平方相等。

⑶線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

⑷直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

分析：⑴每個(gè)命題都有逆命題，說逆命題時(shí)注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)

和結(jié)論，并注意語言的運(yùn)用。

⑵理順?biāo)麄冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真

一假，還可能都假。

解略。

例2證明：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,

那么這個(gè)三角形是直角三角形。

分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖

形，然后寫已知求證。

⑵如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道

若有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題

轉(zhuǎn)化為如何判斷一個(gè)角是直角。

⑶利用已知條件作一個(gè)直角三角形，再證明和原三

角形全等，使問題得以解決。

⑷先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計(jì)算斜邊AiB尸c,則通過三邊對(duì)應(yīng)

相等的兩個(gè)三角形全等可證。

⑸先讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知

欲，再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，由實(shí)踐到理論學(xué)生更

容易接受。

證明略。

例3(補(bǔ)充)已知：在aABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,a=n2—1,

b=2n,c=n2+1(n>1)

求證：ZC=90°?

分析：⑴運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判

斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計(jì)算出a?+b2和c?的值。③判斷a2+b?和c2是否相等，若

相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。

⑵要證NC=90。，只要證AABC是直角三角形，并且c邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定

理只要證明a2+b?=c2即可。

⑶由于a?+b2=(n2-l)2+(2n)2=n4+2n2+l,c2=(n2+l)2=n4+2n2+l,>^Wa2+b2=c2,

故命題獲證。

六、課堂練習(xí)

1.判斷題。

⑴在一個(gè)三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角。

⑵命題：“在一個(gè)三角形中，有一個(gè)角是30°,那么它所對(duì)的邊是另一邊的一半?！?/p>

的逆命題是真命題。

⑶勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個(gè)三角形是

直角三角形。

⑷AABC的三邊之比是1：1：、歷，則4ABC是直角三角形。

2.4ABC中NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,下列命題中的假命題是()

A.如果NC-ZB=/A,則AABC是直角三角形。

B.如果c2=b?—a?,則AABC是直角三角形，且NC=90°。

C.如果(c+a)(c-a)=b2,則4ABC是直角三角形。

D.如果NA：ZB：NC=5：2：3,則4ABC是直角三角形。

3.下列四條線段不能組成直角三角形的是()

A.a=8,b=15,c=17

B.a=9,b=12,c=15

C.a=A/5,b=V3,c=V2

D.a：b：c=2：3：4

4.已知：在AABC中，/A、ZB./C的對(duì)邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判斷

該三角形是否是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？

(Da=VJ,b=2-\/2,c-y[5；⑵a=5,b=7,c=9；

⑶a=2,b=V3,c-y/l；⑷a=5,b=2屈,c=l。

七、課后練習(xí)，

I.敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。

⑴如果a3＞0,那么a?》。；

⑵如果三角形有一個(gè)角小于90°,那么這個(gè)三角形是銳角三角形；

⑶如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等；

⑷關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩條線段一定相等。

2.填空題。

⑴任何一個(gè)命題都有,但任何一個(gè)定理未必都有。

⑵“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等?！钡哪娑ɡ硎?。

⑶在AABC中，若a2=b2-c2,則AABC是三角形，是直角；

若a2＜導(dǎo)一＜?,則NB是o

⑷若在AABC中，a=m2—n2,b=2mn,c=m2+n2,則△ABC是三角形。

3.若三角形的三邊是⑴1、百、2；⑵(3)32,42,52(4)9,40,41；

345

(5)(m+n)2—1,2(m+n),(m+n)2+1；則構(gòu)成的是直角三角形的有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

4.已知：在aABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判

斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？

⑴a=9,b=41,c=40；(2)a=15,b=16,c=6；

(3)a=2,b=2-x/3,c=4；(4)a=5k,b=12k,c=13k(k>0)。

八、參考答案:

課堂練習(xí)：

I.對(duì)，錯(cuò)，錯(cuò)，對(duì);2.D；

3.D；4.（D是，NB；（2）不是；（3）是，/C；（4）是，/A。

課后練習(xí):

1.⑴如果a2>0,那么a3>0；假命題。

⑵如果三角形是銳角三角形，那么有一個(gè)角是銳角；真命題。

⑶如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等；假命題。

⑷兩條相等的線段一定關(guān)于某條直線對(duì)稱；假命題。

2.⑴逆命題，逆定理；⑵內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；⑶直角，ZB,鈍角；⑷直角。

3.B4.⑴是，ZB；⑵不是，；⑶是，NC；⑷是，ZCo

18.2勾股定理的逆定理（二）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

2.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

2.難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

3.難點(diǎn)的突破方法：

三、例題的意圖分析

例1讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識(shí)。

例2（補(bǔ)充）培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決

實(shí)際問題的意識(shí)。

四、課堂引入N

創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一?R

些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。

五、例習(xí)題分析Q\J/

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得PR=12X1.5=18,PQ=16X1.5=24,QR=30；

⑷因?yàn)?42+182=302,PQ2+PR2=QR2,根據(jù)勾股定理的逆定理，知NQPR=90°；

（5）ZPRS=ZQPR-ZQPS=45°?

小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)。

例2（補(bǔ)充）一根30米長的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長度比較

短邊長7米，比較長邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長；

⑵設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132,知三角形為直角三角形。

解略。

六、課堂練習(xí)C

1.小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走80m后，又走了60m,再走100m回到

原地。小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走了80m后，又走60m的方向\

DA

是0

2.如圖，在操場(chǎng)上豎直立著一根長為2米的測(cè)影竿，早晨測(cè)得它的影長為4米，中午測(cè)

得它的影長為1米，則A、B、C三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形？

為什么？

3.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海

域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B

兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知

甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海

里，航向?yàn)楸逼?0°,問：甲巡邏艇的航向？

七、課后練習(xí)

1.一根24米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形，則

三邊長分別為,此三角形的形狀

為。

2.一根12米的電線桿AB,用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知

用去鐵絲AC=15米，AD=13米，又測(cè)得地面上B、C兩點(diǎn)之間

距離是9米，B、D兩點(diǎn)之間距離是5米，則電線桿和地面是否

垂直，為什么？

3.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了

一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算一下土地的面積，以便計(jì)算一下

產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測(cè)得AB=4米，BC=3米，CD=13

米，DA=12米，又已知NB=90°?

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

1.向正南或正北。

2.能，因?yàn)锽C2=BD2+CD2=20,AC2=AD2+CD2=5,AB2=25,IUBC2+AC2=AB2；

3.由aABC是直角三角形，可知NCAB+/CBA=90°,所以有/CAB=40°,航向?yàn)楸逼?/p>

東50°。

課后練習(xí)：

1.6米，8米，10米，直角三角形；

2.AABCsZXABD是直角三角形，AB和地面垂直。

3.提示:連結(jié)AC。AC2=AB2+BC2=25,AC2+AD2=CD2,因此NCAB=90°,

S四邊彩=SAADC+SAABC=36平方

18.2勾股定理的逆定理（三）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。

2.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。

3.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

2.難點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

3.難點(diǎn)的突破方法：

⑴研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問題.

⑵構(gòu)造勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形，在利用勾股定理進(jìn)行

計(jì)算。

⑶注意給學(xué)生歸納總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法在題目中應(yīng)用的規(guī)律。

⑷優(yōu)化訓(xùn)練，在不條件、不同環(huán)境中反復(fù)運(yùn)用定理，使學(xué)生達(dá)到熟練使用，靈活運(yùn)用的

程度。

三、例題的意圖分析

例1（補(bǔ)充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。

例2（補(bǔ)充）使學(xué)生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的

問題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理

證明DE就是平行線間距離。

例3（補(bǔ)充）勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。

四、課堂引入

勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔,經(jīng)常綜合應(yīng)用來解決一些難度較大的題目。

五、例習(xí)題分析

例1（補(bǔ)充）已知：在4ABC中,/A、NB、ZC的對(duì)邊分別是a、b、c,滿足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

試判斷4ABC的形狀。

分析：⑴移項(xiàng)，配成三個(gè)完全平方;⑵三個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,

則都為0;⑶已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形

狀為直角三角形。

例2（補(bǔ)充）己知：如圖，四邊形ABCD,AD〃BC,AB=4,

BC=6,CD=5,AD=3o

求：四邊形ABCD的面積。

分析：⑴作DE〃AB,連結(jié)BD,則可以證明△ABDgZ^EDB（ASA）；

（2）DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3；⑶在4DEC中，3、4、5

勾股數(shù)，ADEC為直角三角形，DE±BC：⑷利用梯形面積公式可解，

或利用三角形的面積。

例3（補(bǔ)充）已知：如圖，在AABC中，CD是AB邊上的高，

且CD2=AD?BDo

求證：△ABC是直角三角形。

分析：VAC2=AD2+CD2,BC2-CD2+BD2

AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD?BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2

六、課堂練習(xí)

1.若aABC的三邊a、b、c,滿足（a-b）（a2+b2-c2）=0,則4ABC是（)

A.等腰三角形；

B.直角三角形；

C.等腰三角形或直角三角形;

D.等腰直角三角形。

2.若AABC的三邊a、b、c,滿足a：b：c=l：1：、歷，試判斷4ABCD

的形狀。

313

3.已知：如圖，四邊形ABCD,AB=1,BC=-，CD=—,AD=3,且

44

AB1BC?

求：四邊形ABCD的面積。

4.已知：在AABC中，ZACB=90°，CD_LAB于D,且CD?=AD?BD。

求證：^ABC中是直角三角形。

七、課后練習(xí)，

1.若AABC的三邊a、b、ca2+b2+c2+50=6a+8b+10c,

求AABC的面積。

2.在aABC中，AB=13cm,AC=24cm,中線BD=5cm。

求證：AABC是等腰三角形.

3.已知：如圖，Z1=Z2,AD=AE,D為BC上一點(diǎn)，且

BD=DC,AC2-AE2+CE2O

求證：AB2=AE2+CE2O4.己知aABC的三邊為a、b、c,且a+b=4,ab=l,c=J11,

試判定AABC的形狀。

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

1.C；

2.4ABC是等腰直角三角形;

4.提示：VAC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,AAC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=

AD2+2AD?BD+BD2=(AD+BD)2=AB2,...NACB=90°.

課后練習(xí)：

1.6；

2.提示：因?yàn)锳D2+BD2=AB,所以ADJLBD,根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=BC。

3.提示：有AC2=AE2+CE2得NE=90°；由AADC畛△AEC,得AD=AE,CD=CE,NADC=

ZBE=90°,根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=AC,則AB2=AE2+CE2。

2222

4.提示：直角三角形，用代數(shù)方法證明，因?yàn)?a+b>=16,a+2ab+b=16,ab=l,所以a+b-14o

又因?yàn)镃2=14,所以a2+b2=c2o

第十九章平行四邊形

19.1.1平行四邊形及其性質(zhì)（一）

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角相等的性質(zhì).

2.會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)解決簡單的平行四邊形的計(jì)算問題，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的論證.

3.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力及邏輯推理能力.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：平行四邊形的定義，平行四邊形對(duì)角、對(duì)邊相等的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)：運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

3.難點(diǎn)的突破方法：

本節(jié)的主要內(nèi)容是平行四邊形的定義和平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等的性質(zhì).這一節(jié)

是全章的重點(diǎn)之一，學(xué)好本節(jié)可為學(xué)好全章打下基礎(chǔ).

學(xué)習(xí)這一節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)是平行線性質(zhì)、全等三角形和四邊形，課堂上可引導(dǎo)學(xué)生回憶有

關(guān)知識(shí).

平行四邊形的定義在小學(xué)里學(xué)過，學(xué)生是不生疏的，但對(duì)于概念的本質(zhì)屬性的理解并不

深刻，所以這里并不是復(fù)習(xí)鞏固的問題，而是要加深理解，要防止學(xué)生把平行四邊形概念當(dāng)

作已知，而不重視對(duì)它的本質(zhì)屬性的掌握.

為了有助于學(xué)生對(duì)平行四邊形本質(zhì)屬性的理解，在講平行四邊形定義前，要把平行四邊

形的對(duì)邊、對(duì)角讓學(xué)生認(rèn)清楚.

講定義時(shí)要強(qiáng)調(diào)"四邊形''和"兩組對(duì)邊分別平行”這兩個(gè)條件，一個(gè)“四邊形''必須具備有

“兩組對(duì)邊分別平行”才是平行四邊形；反之，平行四邊形，就一定是有“兩組對(duì)邊分別平行”

的一個(gè)“四邊形”.要指出，定義既是平行四邊形的一個(gè)判定方法，又是平行四邊形的一個(gè)性

質(zhì).

新教材是先讓學(xué)生用觀察、度量和猜想的方法得到平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等這

兩條性質(zhì)的，然后用兩個(gè)三角形全等，證明了這兩條性質(zhì).這有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、

猜想、歸納知識(shí)的自學(xué)能力.

教學(xué)中可以通過大量的生活中的實(shí)例：如推拉門、汽車防護(hù)鏈、書本等引入新課，使學(xué)

生在已有的知識(shí)和認(rèn)知的基礎(chǔ)上去探索數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，達(dá)到用問題創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，提高學(xué)

生學(xué)習(xí)興趣.

然后讓學(xué)生通過具體問題的觀察、猜想出一些不同于一般四邊形的性質(zhì)，進(jìn)一步由學(xué)生

歸納總結(jié)得到平行四邊形的性質(zhì).同時(shí)教師整理出一種推導(dǎo)平行四邊形性質(zhì)的范式，讓學(xué)生

在教師的范式的誘導(dǎo)下，初步達(dá)到演繹數(shù)學(xué)論證過程的能力.

最后通過不同層次的典型例、習(xí)題，讓學(xué)生自己理解并掌握本節(jié)課的知識(shí).

三、例題的意圖分析

例1是教材P84的例1,它是平行四邊形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，題目比較簡單，其目的就是

讓學(xué)生能運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，講課時(shí)，可以讓學(xué)生來解答.例2是補(bǔ)充

的一道幾何證明題，即讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證，又讓學(xué)生從較簡

單的幾何論證開始，提高學(xué)生的推理論證能力和邏輯思維能力，學(xué)會(huì)演繹幾何論證的方法.此

題應(yīng)讓學(xué)生自己進(jìn)行推理論證.

四、課堂引入

1.我們一起來觀察下圖中的竹籬笆格子和汽車的防護(hù)鏈，想一想它們是什么幾何圖形

的形象？

平行四邊形是我們常見的圖形，你還能舉出平行四邊形在生活中應(yīng)用的例子嗎？

你能總結(jié)出平行四邊形的定義嗎？

（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.A_______________川

（2）表示：平行四邊形用符號(hào)“O”來表示./7

如圖，在四邊形ABCD中，AB〃DC,AD〃BC,那么//

四邊形ABCD是平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“ZZ7BC

ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.

@"：AB//DC,AD//BC,四邊形A8CD是平行四邊形（判定）；

②?四邊形A8CO是平行四邊形.,.A8//CC,AD72c（性質(zhì)）.

注意：平行四邊形中對(duì)邊是指無公共點(diǎn)的邊，對(duì)角是指不相鄰的角，鄰邊是指有公共端

點(diǎn)的邊，鄰角是指有一條公共邊的兩個(gè)角.而三角形對(duì)邊是指一個(gè)角的對(duì)邊，對(duì)角是指一條

邊的對(duì)角.（教學(xué)時(shí)要結(jié)合圖形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)清楚）

2.【探究】平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除具有四邊形的性質(zhì)和兩組對(duì)邊分別平

行外，還有什么特殊的性質(zhì)呢？我們一起來探究一下.

讓學(xué)生根據(jù)平行四邊形的定義畫一個(gè)一個(gè)平行四邊形，觀察這個(gè)四邊形，它除具有四邊

形的性質(zhì)和兩組對(duì)邊分別平行外以，它的邊和角之間有什么關(guān)系？度量一下，是不是和你猜

想的一致？

（1）由定義知道，平行四邊形的對(duì)邊平行.根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，在平行四邊形中，

相鄰的角互為補(bǔ)角.

（相鄰的角指四邊形中有一條公共邊的兩個(gè)角.注意和第一章的鄰角相區(qū)別.教學(xué)時(shí)結(jié)合

圖形使學(xué)生分辨清楚.）

（2）猜想平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等.

下面證明這個(gè)結(jié)論的正確性.

已知：如圖口ABCD,

求證：AB=CD,CB=AD,ZB=ZD,ZBAD=ZBCD.

分析：作口ABCD的對(duì)角線AC,它將平行四邊形分成aABC和ACDA,證明這兩個(gè)

三角形全等即可得到結(jié)論.

（作對(duì)角線是解決四邊形問題常用的輔助線，通過作對(duì)角線，可以把未知問題轉(zhuǎn)化為已知

的關(guān)于三角形的問題.）

證明：連接AC,

■:AB/7CD,AD〃BC,

Z1=Z3,Z2=Z4.

又AC=CA,

，AABC^ACDA（ASA）.

二AB=CD,CB=AD