江蘇省南通市南通中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，矩形的中心為直角坐標(biāo)系的原點，各邊分別與坐標(biāo)軸平行，其中一邊交軸于點，交反比例函數(shù)圖像于點，且點是的中點，已知圖中陰影部分的面積為，則該反比例函數(shù)的表達式是（）A． B． C． D．2．式子有意義的的取值范圍（）A．x≥4 B．x≥2 C．x≥0且x≠4 D．x≥0且x≠23．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且E為OB的中點，∠CDB=30°，CD=4，則陰影部分的面積為（）A．π B．4π C．π D．π4．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2－5x+3 B．2x2－y+1=0 C．x2=0 D．+x=25．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC交AB于點D，AD＝DB，OC＝5，OD＝3，則AB的長為（）A．8 B．6 C．4 D．36．下列事件中，屬于必然事件的是（）A．小明買彩票中獎 B．投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得的點數(shù)是奇數(shù)C．等腰三角形的兩個底角相等 D．是實數(shù)，7．已知，，是反比例函數(shù)的圖象上的三點，且，則、、的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．若反比例函數(shù)的圖象過點（-2，1），則這個函數(shù)的圖象一定過點（）A．（2，-1） B．（2，1） C．（-2，-1） D．（1，2）9．如圖，我國傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖由四個圖案構(gòu)成，這四個圖案中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．10．已知銳角α，且sinα=cos38°，則α=（）A．38° B．62° C．52° D．72°11．如圖已知CD為⊙O的直徑，過點D的弦DE平行于半徑OA，若∠D的度數(shù)是60°，則∠C的度數(shù)是（）A．25° B．40° C．30° D．50°12．如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，過點的直線與軸，軸分別交于點，，且，的面積為，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖,是以點為圓心的圓形紙片的直徑，弦于點,.將陰影部分沿著弦翻折壓平，翻折后，弧對應(yīng)的弧為，則點與弧所在圓的位置關(guān)系為____________.14．如圖，把直角三角板的直角頂點放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點、．量得，，則該圓玻璃鏡的半徑是__________．15．已知∠A＝60°，則tanA＝_____．16．某商品原售價300元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為260元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則滿足x的方程是______．17．計算：的結(jié)果為____________．18．方程的解是_____________．三、解答題（共78分）19．（8分）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點D為OC中點，點P在拋物線上．（1）直接寫出A、B、C、D坐標(biāo)；（2）點P在第四象限，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，PE交BC、BD于G、H，是否存在這樣的點P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）若直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個交點，直接寫出t的取值范圍．20．（8分）在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，請畫出．21．（8分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+x+4，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側(cè)）與y軸交于C點．（1）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由．（2）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當(dāng)MN＝3時，求M點的坐標(biāo)．22．（10分）如圖，點C在以AB為直徑的半圓⊙O上，AC＝BC．以B為圓心，以BC的長為半徑畫圓弧交AB于點D．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）若AB＝4，求陰影部分的面積．23．（10分）拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，連接BC．（1）如圖1，求直線BC的表達式；（2）如圖1，點P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，連接PC，PB，當(dāng)△PCB面積最大時，一動點Q從點P從出發(fā)，沿適當(dāng)路徑運動到軸上的某個點G處，再沿適當(dāng)路徑運動到軸上的某個點H處，最后到達線段BC的中點F處停止，求當(dāng)△PCB面積最大時，點P的坐標(biāo)及點Q在整個運動過程中經(jīng)過的最短路徑的長；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)△PCB面積最大時，把拋物線向右平移使它的圖象經(jīng)過點P，得到新拋物線，在新拋物線上，是否存在點E，使△ECB的面積等于△PCB的面積．若存在，請求出點E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．24．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時．求證CF+CD=BC；（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變；①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；②若正方形ADEF的邊長為，對角線AE，DF相交于點O，連接OC．求OC的長度．25．（12分）如圖1，中，，是的中點，平分交于點，在的延長線上且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如圖2若四邊形是菱形，連接，，與交于點，連接，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的所有等邊三角形．26．一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A（﹣1，4），B（2，n）兩點，直線AB交x軸于點D．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；（2）過點B作BC⊥y軸，垂足為C，連接AC交x軸于點E，求△AED的面積S．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性以及已知條件，可得矩形的面積是8，設(shè)，則，根據(jù)，可得，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可求出該反比例函數(shù)的表達式．【詳解】∵矩形的中心為直角坐標(biāo)系的原點O，反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點對稱的中心對稱圖形，且圖中陰影部分的面積為8，

∴矩形的面積是8，

設(shè)，則，

∵點P是AC的中點，

∴，

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，

∵反比例函數(shù)圖象于點P，

∴，

∴反比例函數(shù)的解析式為．

故選：B．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，得出矩形的面積是8是解題的關(guān)鍵．2、C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：且，解得：且．故選：C．【點睛】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．本題應(yīng)注意在求得取值后應(yīng)排除不在取值范圍內(nèi)的值．3、D【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠COB，進而求出∠AOC，再利用垂徑定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出OC的長，再結(jié)合扇形面積求出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴陰影部分的面積為，

故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，扇形面積公式等知識點，能求出線段OC的長和∠AOC的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．4、C【解析】一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是1；（1）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】A、不是方程，故本選項錯誤；B、方程含有兩個未知數(shù)，故本選項錯誤；C、符合一元二次方程的定義，故本選項正確；D、不是整式方程，故本選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1．5、A【分析】連接OB，根據(jù)⊙O的半徑為5，CD＝2得出OD的長，再由垂徑定理的推論得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的長，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：連接OB，如圖所示：∵⊙O的半徑為5，OD＝3，∵AD＝DB，∴OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴BD＝∴AB＝2BD＝1．故選：A．【點睛】本題主要考查的是圓中的垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧”，掌握垂徑定理是解此題的關(guān)鍵.6、C【分析】由題意根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可判斷選項．【詳解】解：A.小明買彩票中獎，是隨機事件；B.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得的點數(shù)是奇數(shù)，是隨機事件；C.等腰三角形的兩個底角相等，是必然事件；D.是實數(shù)，，是不可能事件；故選C.【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．7、C【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)y=的系數(shù)2>0判斷出函數(shù)圖象在一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，再根據(jù)x1<x2<0<x3，判斷出y1、y2、y3的大小.【詳解】解：函數(shù)大致圖象如圖，∵k>0，則圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，又∵x1<x2<0<x3，∴y2<y1<y3.故選C.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.8、A【解析】先把（-2，1）代入y=求出k得到反比例函數(shù)解析式為y=，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，通過計算各點的橫縱坐標(biāo)的積進行判斷．【詳解】把（-2，1）代入y=得k=-2×1=-2，

所以反比例函數(shù)解析式為y=，

因為2×（-1）=-2，2×1=2，-2×(-1)=2，1×2=2，

所以點（2，-1）在反比例函數(shù)y=的圖象上．

故選A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．9、B【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念逐一判斷即可.【詳解】A.不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意，B.是中心對稱圖形，符合題意，C.不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意，D.不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意，故選：B.【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．10、C【分析】根據(jù)一個角的正弦值等于它的余角的余弦值求解即可．【詳解】∵sinα=cos38°，

∴α=90°-38°=52°．

故選C.【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，掌握正余弦的轉(zhuǎn)換方法：一個角的正弦值等于它的余角的余弦值．11、C【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠AOD，然后根據(jù)圓周角定理可得答案．【詳解】解：∵DE∥OA，∴∠AOD＝∠D＝60°，∴∠C＝∠AOD＝30°，故選：C．【點睛】本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．12、D【分析】過點C作CD⊥x軸交于點D，連接OC，則CD∥OB，得AO=OD，CD=2OB，進而得的面積為4，即可得到答案．【詳解】過點C作CD⊥x軸交于點D，連接OC，則CD∥OB，∵，∴AO=OD，∴OB是?ADC的中位線，∴CD=2OB，∵的面積為，∴的面積為4，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴k=2×4=8，故選D．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，添加輔助線，求出的面積，是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、點在圓外【分析】連接OC，作OF⊥AC于F，交弧于G，判斷OF與FG的數(shù)量關(guān)系即可判斷點和圓的位置關(guān)系.【詳解】解：如圖，連接OC，作OF⊥AC于F，交弧于G，∵，∴OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,∵,∴，∴，∵OF⊥AC，∴CF=AC,∴,∵，∴,∴,∴,∴點與弧所在圓的位置關(guān)系是點在圓外.故答案是：點在圓外.【點睛】本題考查了點和圓位置關(guān)系，利用垂徑定理進行有關(guān)線段的計算，通過構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.14、1．【解析】解：∵∠MON=90°，∴為圓玻璃鏡的直徑，，∴半徑為．故答案為：1．15、【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【詳解】tanA=tan60°=．故答案為：．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．16、．【分析】根據(jù)降價后的售價=降價前的售價×（1-平均每次降價的百分率），可得降價一次后的售價是，降價一次后的售價是，再根據(jù)經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為260元即得方程．【詳解】解：由題意可列方程為故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，增長率問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程，要注意增長的基礎(chǔ)．17、【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則得出．【詳解】．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的乘法運算．二次根式的乘法法則：．18、x1=3，x2=-1【分析】利用因式分解法解方程.【詳解】，（x-3）（x+1）=0，∴x1=3，x2=-1，故答案為：x1=3，x2=-1.【點睛】此題考查一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點選擇適合的方法解方程是關(guān)鍵.三、解答題（共78分）19、（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣)；（2）存在，(，﹣)；（3）﹣＜t＜﹣1【分析】（1）可通過二次函數(shù)的解析式列出方程，即可求出相關(guān)點的坐標(biāo)；（2）存在，先求出直線BC和直線BD的解析式，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出點P坐標(biāo)；（3）求出直線y＝x+t經(jīng)過點B時t的值，再列出當(dāng)直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3只有一個交點時的方程，使根的判別式為0，求出t的值，即可寫出t的取值范圍．【詳解】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，當(dāng)x＝0時，y＝﹣3；當(dāng)y＝0時，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∵D為OC的中點，∴D（0，﹣）；（2）存在，理由如下：設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣3，將點B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，設(shè)直線BD的解析式為y＝mx﹣，將點B（3，0）代入y＝mx﹣，解得m＝，∴直線BD的解析式為y＝x﹣，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣x+，HG＝x﹣﹣（x﹣3）＝﹣x+，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，當(dāng)EH＝HG＝GP時，﹣x+＝﹣x2+3x，解得x1＝，x2＝3（舍去），∴點P的坐標(biāo)為（，﹣）；（3）當(dāng)直線y＝x+t經(jīng)過點B時，將點B（3，0）代入y＝x+t，得，t＝﹣1，當(dāng)直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3只有一個交點時，方程x+t＝x2﹣2x﹣3只有一個解，即x2﹣x﹣3﹣t＝0，△＝（）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得t＝﹣，∴由圖2可以看出，當(dāng)直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個交點時，t的取值范圍為：﹣＜t＜﹣1時．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，涉及了求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)、一次函數(shù)的解析式、解一元二次方程、確定一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像的交點個數(shù)，靈活運用一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.20、見解析【分析】根據(jù)題意（將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)即可畫出圖形；【詳解】解：如圖所示，即為所求.【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)變換．注意抓住旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)方向是關(guān)鍵．21、（1）存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是2；（2）M點的坐標(biāo)為（1﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，1）或（1+2，﹣﹣1）．【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點C的坐標(biāo)，由點B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+1），過點P作PD//y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標(biāo)為（x，﹣x+1），PD＝﹣x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出S△PBC關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+1），則點N的坐標(biāo)為（m，﹣m+1），進而可得出MN＝|﹣m2+2m|，結(jié)合MN＝3即可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝﹣x2+x+1＝1，∴點C的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0）．將B（8，0）、C（0，1）代入y＝kx+b，．，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+1．假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+1）（0＜x＜8），過點P作PD//y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標(biāo)為（x，﹣x+1），如圖所示．∴PD＝﹣x2+x+1﹣（﹣x+1）＝﹣x2+2x，∴S△PBC＝PD?OB＝×8?（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣1）2+2．∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝1時，△PBC的面積最大，最大面積是2．∵0＜x＜8，∴存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是2．（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+1），則點N的坐標(biāo)為（m，﹣m+1），∴MN＝|﹣m2+m+1﹣（﹣m+1）|＝|﹣m2+2m|．又∵MN＝3，∴|﹣m2+2m|＝3．當(dāng)0＜m＜8時，有﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，∴點M的坐標(biāo)為（2，6）或（6，1）；當(dāng)m＜0或m＞8時，有﹣m2+2m+3＝0，解得：m3＝1﹣2，m1＝1+2，∴點M的坐標(biāo)為（1﹣2，﹣1）或（1+2，﹣﹣1）．綜上所述：M點的坐標(biāo)為（1﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，1）或（1+2，﹣﹣1）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，綜合性比較強，結(jié)合圖形掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22、（1）∠ABC＝45°；（2）【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB為半圓⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°；（2）∵AB＝4，∴BC=∴陰影部分的面積=．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．23、（1）（2）點Q按照要求經(jīng)過的最短路徑長為（3）存在，滿足條件的點E有三個，即（，），（，）,（，）【分析】（1）先求出點，，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）先確定出，再利用三角形的面積公式得出，即可得出結(jié)論；（3）先確定出平移后的拋物線解析式，進而求出，在判斷出建立方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）令，得，∴，．∴A（，0），B（，0）．令，得．∴C(0,3)．設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為，把B（，0）代入，得．解得，．所以直線BC的函數(shù)表達式為．（2）過P作PD⊥軸交直線BC于M．∵直線BC表達式為，設(shè)點M的坐標(biāo)為，則點P的坐標(biāo)為．則．∴．∴此時，點P坐標(biāo)為（，）．根據(jù)題意，要求的線段PG+GH+HF的最小值，只需要把這三條線段“搬”在一直線上．如圖1，作點P關(guān)于軸的對稱點，作點F關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于點G,交軸于點H．根據(jù)軸對稱性可得，．此時PG+GH+HF的最小值=．∵點P坐標(biāo)為（，），∴點的坐標(biāo)為（，）．∵點F是線段BC的中點，∴點F的坐標(biāo)為（，）．∴點的坐標(biāo)為（，）．∵點，P兩點的橫坐相同，∴⊥軸．∵，P兩點關(guān)于軸對稱，∴⊥軸．∴．∴．即點Q按照要求經(jīng)過的最短路徑長為．（3）如圖2，在拋物線中，令，，或，由平移知，拋物線向右平移到，則平移了個單位，，設(shè)點，過點作軸交于，直線的解析式為，，的面積等于的面積，，由（2）知，，，，或或或（舍，，或，或，．綜上所述，滿足條件的點E有三個，即（，），（，）,（，）．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，利用軸對稱確定最短路徑，平移的性質(zhì)，解絕對值方程，解本題的關(guān)鍵是確定出和．24、（1）證明見解析；（1）CF﹣CD=BC；（3）①CD﹣CF=BC；②1．【分析】（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據(jù)此即可證得．（1）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC．（3）①同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CD﹣CB=CF．②證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得DF的長，則OC即可求得．【詳解】解：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴AB=AC．∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF．∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC．（1）CF-CD=BC；

理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∴AB=AC，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴BD=CF

∴BC+CD=CF，

∴CF-CD=BC；

（3）①∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∴AB=AC，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，

∴∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，

∴CD-BC=CF，②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴AB=AC．∵四邊形ADEF是正方形