蘇教版(蘇科版)九年級數(shù)學(xué)上冊課堂同步練習(xí)試題 全冊

題：等腰三角形的性質(zhì)和判定

角形的性質(zhì)判定定理.

、思考與探索

性質(zhì)定理和判定定理的聯(lián)系與區(qū)別.5

角形性質(zhì)定理和判定定理的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.”等腰三角形的兩個底角相等"（1）寫出它的逆命題:

質(zhì)的區(qū)別.

經(jīng)證明的定理”為依據(jù)，證明等腰三角形性質(zhì)定理和判定定理。（2）畫出圖形，寫出

6、通過上面的證明，我們又得到了等腰三角形的判定日

"你還記得按邊分可以怎樣分類嗎？

拳腰三角形的定義）思考：1、在aABC中，NA=110°,ZC=35°,則△ABC是—

2、如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,D是/

爾能否用從基本事實(shí)出發(fā)，對它們進(jìn)行證明？

NBDC=72°,則圖形中共有（）個等腰三角形。

的兩底角相等A、1B、2C、3D、4

:設(shè)和結(jié)論，畫出3有一個三角形，它的內(nèi)角分別是20°,40°,120°,東

形分成兩個等腰三角形？分成的兩個等腰三角形的內(nèi)角分另

三、典例分析

1、已知：如圖，AB=AC,BD1AC,垂足為點(diǎn)D。求

F分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

我們得到了等腰三角形的性質(zhì)定理。

號語言嗎？（請完成下表）

多形符號語言2、已知：如圖（1）NEAC是AABC的外角，AD平

在4ABC中求證：AB=AC

E

,**___________________：

*

??__________________0

在△ABC中，AB=AC

(1)VZBAD=ZCAD

*

??________，________o

(2)VBD=CD

??_______，________0(1)

(3)VAD1BC

?,_______，________o

:,AD〃BC,那么AD平分/EAC嗎？如果結(jié)論成立，你能證明五拓展提高

1ZXABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC延長線上，且

與NACB的平分線交于點(diǎn)D.過點(diǎn)D作EF〃BC交AB于點(diǎn)E、

2如圖村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)；若河岸小，2彼此平;

問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近.

六小結(jié)與作業(yè)1、在本節(jié)課中，我們用基本事實(shí)又證明了明

為3和7,那么周長為。

2、要等腰三角形中，底邊上的中線，底邊

等于30°,那么另兩個角為。

能過畫輔助線，把一個等腰三角形分成一對全等的三角形。

12,一邊長為5,那么另兩邊長分別為

3、實(shí)際上，我們以前曾學(xué)習(xí)過很多圖形的

學(xué)于120°,那么另兩個角為。

形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。對于這些圖形，我們通

在今后的學(xué)習(xí)中，我們將進(jìn)一步證明它們的正確性

AF=BD=CE,求證：Z\DEF也是等邊三角形。

評價與反思

BDC

1、2直角三角形全等的判定（一）

/

一般三角形全等的方法判定兩個直角三角形全等.

上理及其應(yīng)用.

MB。

圖2

（5）把AABC剪下，兩位同學(xué)比較一下，看看兩人剪下I

2.上面的實(shí)驗(yàn)和操作，說明“斜邊和直角邊對應(yīng)相等

1哪些?

角三角形的“斜邊、直角邊”公理（簡稱HL）.

兩個直角三角形一定全等嗎？為什么？

三、例題教學(xué)：

I等的兩個直角三角形，可以根據(jù)“AAS”判定它們?nèi)龋灰粚χ?、如圖，在AABC中，已知D是BC中點(diǎn)，DE_LAB,DF

:角形，可以根據(jù)“ASA”或“AAS”判定它們?nèi)龋粌蓪χ苯沁吺荅、F,DE=DF.

“SAS”判定它們?nèi)?求證：AB=AC

一對直角邊相等（邊邊角），這兩個三角形是否可能全等呢？

B'C'中，若AB=A'B',AC=A'C,ZC=ZCz=RtZ,

是否全等？

S'）

2、如圖：如果NBAC=30%那么BC=-AB,你能證明

（C3g2

）

實(shí)驗(yàn)：

四、小結(jié)

’拼合在一起（教師演示）如圖1（2）,因?yàn)镹ACB=/A'CB'=

由于直角三角形是特殊三角形，因而不僅可以應(yīng)用判定一般

生?條直線上，因此，AABB，是一個等腰三角形，可以知道/B

邊、直角邊”公理判定兩個直角三角形全等.“HL”只能月

A'B'C^RtAABC.

?般三角形全等.所以判定兩個直角三角形全等的方法有五

驗(yàn)證：

.直角邊AC的長為2cm,斜邊AB的長為3cm.

(二)提高練習(xí)

1、P10、第1題、第2題

/RtAAzB'C'(其中NC=NC'=Rt/)是否全等？如果全等,

()里打“X”：

..................()

...............()

2.己知：如圖，在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,

...................()

...................()

..................()

3過等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C任畫一條直線L,分

i=RtZ,若要使4ACB且Z\BDA,還需要什么條件？把它們分別(a)試畫出本題的圖形.(提示：有兩種不同的圖形)

1)：

(b)在你所畫的兩種圖形中分別說明4ACD絲Z\CBE的

(c)若已知：AD=4cm,BE=3cm,求DE的長.

六布置作業(yè)

4C,AD是角平分線，BEVF,則下列說法

評價與反思

2直角三角形全等的判定（二）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離是指這個

點(diǎn)到角兩邊的垂線段的長度，而不是過此

生質(zhì)定理和逆定理、三角形三條角平分線交與-點(diǎn);

點(diǎn)與角平分線垂直（或僅僅相交）的直線

中體會反證法的含義；

目方法，發(fā)展演繹推理能力。。與角兩邊相交所得的線段的長度.

逆定理、學(xué)生往往出現(xiàn)如下錯誤：°工

法，發(fā)展演繹推理能力

如圖2:?點(diǎn)P在NAOB的平分線上，

，PD=PE.

3等的角，這條射線二、角平分線判定定理：

在一個角的內(nèi)部，并且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在近

線，【要點(diǎn)】條件：1.點(diǎn)在角的內(nèi)部，

IAOB=2/1=2N2或ZAOB).2.點(diǎn)到角兩邊的距離相等，

2

結(jié)論：3.點(diǎn)在角的平分線上.

勺平分線OC?（可由學(xué)生任選方法畫出OC）.

【解釋】到角兩邊距離相等的點(diǎn)所在的射線有4條，如

，的方法，

缺少.

上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等.

:,2.點(diǎn)到兩邊的距離，結(jié)論：3.距離相等.A

）B的平分線上，①

D,PE_LOB于E,②【符號語言】如圖1,\

一\

：PD_L（）A于D,PE_LOB于E,\

；.PD=PE,'

上的點(diǎn)，點(diǎn)P在NAOB的平分線上.

段.【作用】：證點(diǎn)在角平分線上，證角相等.

J平分線性質(zhì)時，在做題步驟中往往出現(xiàn)類似漏寫,三、例題教學(xué)

例、“如果一個點(diǎn)到角的兩邊的距離不相等，那么這

；認(rèn)識不足.A1

明它嗎？

D、BE相交與點(diǎn)O。（1）點(diǎn)O到AABC各邊的距離相等嗎？點(diǎn)O

角形的三條角平分線交于一點(diǎn)

5.如圖，在AABC中，ZC=90",AC=BC,AD是/BAC

求4DBE的周長。

（-）能力提高

一點(diǎn)嗎？三條呢？與上題中的交點(diǎn)重合嗎？

1已知（如右圖）BD_LAM于點(diǎn)D,CE±AN于點(diǎn)E,BD、CE

求證：點(diǎn)F在/A的平分線匕

角形的底角是銳角“，那么提出的假設(shè)應(yīng)該是

分線，BC=32,BD：DC=9：7,貝IJ點(diǎn)D至ijAB的距離為（）

2如圖，已知NB=/C=90。，M是BC中點(diǎn)，MN1；

cmD.12cm若N1=N2,求證N3=N4

.P到4ABC的三邊距離相等，則點(diǎn)P應(yīng)是△ABC的哪三條線交你還有什么發(fā)現(xiàn)？

（C）中線（D）邊的垂直平分

五小結(jié)與作業(yè)

W三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公

有：（）

D.四處評價與反思

題：平行四邊形的性質(zhì)例2：已知：如圖，CABCD中，E、F分別是AD、BC的中/

據(jù)定義探究平行四邊形性質(zhì)。

勺應(yīng)用，能根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題.

勺過程，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、觀察能力及推理能力。

展學(xué)生的探究意識、創(chuàng)新精神和合作交流的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)

例3已知：如圖(a),OABCD的對角線AC、BE

別相交于點(diǎn)E、F.

.質(zhì)的探究和應(yīng)用。求證：OE=OF,AE=CF,BE=DF.

法?四邊形與平行四邊形的關(guān)系是:

【弓I申】若例1中的條件都不變，將EF轉(zhuǎn)動到圖b|1

EF向兩方延長與平行四邊形的兩對邊的延長線分別相交(E

_______________叫平行四邊形你的理由.

三練習(xí)鞏固

1.在5靦中，/】：乙B：ZC：/〃的值可以是(

是平行四邊形，綠地上要修幾條筆直的小路，如圖，AB=15cm,

A.1：2：3：4B.1

,CD,0C的長，并算出綠地的面積.C.1：1：2：2D.2

）的對角線的交點(diǎn)0，交AD于E,交BC于F,若AB=4,

形EFCD的周長是（）

12D.10

B=4cm,AD=7cm,NABC的平分線BF交AD于點(diǎn)E,交CD的延2平行線間的距離

從推論可以知道，如果兩條直線平行，那么從一條上

等，如下圖.

我們把兩條平行線中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條上

,相鄰兩邊的差為4cm,求兩邊的長.

》CD為長是仁和的兩線段則QABOT的

交于點(diǎn)0,兩條對角線的和為30cm,A0CD的周長為20cm,注意：（1）兩相交直線無距離可言.（2）連結(jié)兩點(diǎn)間f

外一點(diǎn)到一條直線的垂線段的長，叫點(diǎn)到直線的距離.1

一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離，一定要

五小結(jié)與作業(yè)

間的枕木是否一樣長?

線段相等。

,則AB=CD1、平行四邊形對邊相等，對角相等，鄰角互補(bǔ)，對角線互:

的交點(diǎn)是對稱中心。3、夾在兩條平行線之間的平行線段相

兩條平行線段的兩條直線平行，被夾的兩條線段平行，缺一不評價與反思

和出，-OH.

生質(zhì)

義、性質(zhì)等知識，解決有關(guān)問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力。3）如圖矩形ABCD,對角線相交于E,圖中全等三角形有

［綜合應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的探索精神。將目光鎖定在RtZSABC中，你能看到并想到它有什么特殊

“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

用

形的演變過程，得到矩形的概念，并理解矩形與平行四邊形的關(guān)

形作為道具，既增強(qiáng)了學(xué)生的動手能力和參與感，有在教學(xué)中有

更輕松）

三、精講例題

用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點(diǎn)上（作出對角線），拉動

形的形狀.

勺長度分別是怎樣變化的？例1如圖矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O,且AC=：

E成矩形，此時它的其他內(nèi)角是什么樣的角？它的兩條對角線的長求證4OCD為正三角形。

形的性質(zhì).四、鞏固練習(xí)

:的平行四邊形，就應(yīng)具有平行四邊形的性質(zhì)，同時矩形又是特殊

一個角是直角的條件，因而它就增加了一些特殊性質(zhì)。1.矩形的一內(nèi)角平分線把矩形的一條邊分成3和5兩部分,

A.16B.22

2.矩形的兩條對角線的夾角是60°,一條對角線與矩形夕

角對角線對稱性短邊長為.

3、若一個直角三角形的兩條直角邊分別為5和12,則斜邊

4如圖矩形/及力中，若4?=4,BB9,E、尸分別為應(yīng)；DA_

A.12B.24C.36D.48

5.如圖，周長為68的矩形420被分成7個全等的矩形，貝

A.98B.196C.2：

(1)AAEF是什么三角形?證明你的結(jié)論.

(2)對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三

線AC上一點(diǎn)，DE1AC于E,ZADE:NEDC=2:3,求:

六小結(jié)與作業(yè)

從位置、形狀、大小等不同的角度，觀察和比較平行四邊1

異同，發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用直角三角形的判定證明矩形的特殊性質(zhì)；

角三角形，11斜邊上的中線等于斜邊的一半”。

評價與反思

，具體操作過程如下；

折痕為MN,如圖⑴.

MN上，折痕為AE,點(diǎn)B在MN上的對應(yīng)點(diǎn)為B',得RtAABzE.如

〒痕EF.如圖(3).

證明：菱形四條邊相等

1.已知平行四邊形ABCD,且AB=AD,求證

使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用菱形知識解決有關(guān)問題，提高能力①AB=BC=CD=DA

義、性質(zhì)將易混淆的知識點(diǎn)分清楚，并以此培養(yǎng)學(xué)生辨正觀點(diǎn)

數(shù)學(xué)與理論數(shù)學(xué)的相互轉(zhuǎn)化。

一個菱形來嗎？

的邊折疊到較長的邊上，剪去不重合部分，可得到一個菱形。

已知菱形對角線相交于求證：對角線互

個菱形，也認(rèn)可。/\2.ABCD,0,

__________________________________________叫菱形。

平行四邊形的性質(zhì)

____________?___________________________________

三.例題講解

例1.如圖3個全等的菱形構(gòu)成的活動衣帽架，頂點(diǎn)A、E.

需要可以改變掛鉤之間的距離（比如AC兩點(diǎn)可以自由上下

排掛鉤之間的距離為24厘米，并在點(diǎn)B、M處固定，貝IJI

①$=底乂高_(dá)__________________

②s=對角線乘積的一半

I邊長為20w,N4吐60°,沿著菱形的對角線修建了兩條小路力C

j積（分別精確到0.01m和O.Olmb.B<

五：課后小結(jié)

矩形、菱形各具有哪些性質(zhì)？填寫下表:

矩形

共有性質(zhì)

特有性質(zhì)

長，則它的一組鄰角的度數(shù)分別為

為2,則菱形的面積為.

1.在解已知菱形的題目時，既要注意菱形的特殊性質(zhì)，又

對條對角線的交點(diǎn)，AC=8cm,DB=6cm,菱形的邊長是cm.

2.計算菱形的面積有兩種方法。我們在解題過程中要注意

，對角線AC：BD=4：3,那么對角線AC=cm,BD=cm.常重要的。

:,如果一條對角線長為12厘米，3.圖形的定義既是這個圖形的?個性質(zhì)，又是這個圖形的

D用它的定義判定是最基本、最重要的方法。

>AC=8,BD=6,求：菱形的局4.矩形、菱形都是特殊的平行四邊形。矩形有?個特殊角

我們要注意比較矩形和菱形之間的異同點(diǎn)。

B六布置作業(yè)

評價與反思

E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF.求證：ZAEF=ZAFE.

二、精典例題

果題：正方形性質(zhì)

例1、已知:如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)0

性質(zhì)，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系重合，A'B'交BC于點(diǎn)E,A'D'交CD于點(diǎn)I

解決問題的能力。求證：OE=OF

聯(lián)系與區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生辨證唯物主義觀點(diǎn)

四邊形，那么更加特殊的平行四邊形是什么圖形？它又有什么特

;的定義，觀察這兩種圖形的定義是在什么圖形的基礎(chǔ)上給出的，

的定義是在矩形基礎(chǔ)上給出的，即：

矩形叫做正方形。

、矩形、平行四邊形的關(guān)系。

矩形

注：①重合部分（四邊形AECF）與正方形ABCD的面積關(guān);

②正方形ABCD改成矩形，結(jié)論還成立嗎？其它四邊形?

正方形

例2、如圖所示，在正方形ABCD中，M是CD的中點(diǎn)，￡是1

求證：AE=BC+CE。

菱形

志直角的平行四邊形叫做正方形。

下定義的？

邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，那么它具有什么性質(zhì)呢？

巨形、菱形這些圖形性質(zhì)的綜合，因此正方形有以下性質(zhì)三鞏固練習(xí)

在邊長為的正方形中有一點(diǎn)那么這個點(diǎn)到

J四個角都是直角，四條邊相等。1.2P,PI

兩條對角線相等并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。

是軸對稱圖形，并找出對稱軸，平行四邊形不是的，矩形、菱形、2、正方形ABCD中，AC=10,P是AB上任意一點(diǎn)，PE±

可以用一句話概括：正方形邊上的任意一點(diǎn)到兩對

于。

3如圖在正方形48切中，CE=MN,乙底=35°,那么

6以銳角△4比的邊AC,46為邊向外作正方形和正方:

（1）試探索朝和"'的關(guān)系？并說明理由.

（2）你能找到哪兩個圖形可以通過旋轉(zhuǎn)而相互得到，

C.65°D.75°

正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A,、Az、…、4分別是正方形的中心,

四、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

積和為（）

正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)，

圖表示出來.

1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)（投影顯:

邊角

平行四

卜角線AC、BD的交點(diǎn),邊形

、F,若AE=4,

矩形

菱形

正方形

五布置作業(yè)

評價與反思

四邊形嗎？

3若BE=DF,四邊形BFDE是平行四邊形嗎？

邊形的判定

例2、如圖，如果OA=OC,OBVOD那么四邊形AB(

J判別條件中，理解并掌握用邊、對角線來判定平行四邊形的方法.四邊形。這個結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證外

邊形的判定方法和性質(zhì)來解決問題.

聯(lián)想及運(yùn)動的思維方法來研究問題.

假設(shè)條件成立，結(jié)論不成立，然后由這個“假設(shè)”出2

論一定成立，這種證明方法叫做反證法。

例3如圖，平行四邊形紙條ABCD中，E,F分別是:

方法及應(yīng)用.

(1)四邊形ABFE是平行四邊形嗎？請說明理由.

定理與性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用.

(2)連結(jié)AE、CF,四邊形AFCE是平行四邊形嗎

性質(zhì)有哪些？

的？具備什么的四邊形是平行四邊形？請與同學(xué)交流。

的四邊形是平行四邊形

相等的四邊形是平行四邊形。

(3)將(1)中的紙條下半部分四邊形ABFE沿EF翻

求/B'FC的大小.

(4)當(dāng)AF,CE分別是NDAB,NBCD的平分線時，

(5)你能變換一下條件，使四邊形AFCE仍是平行四

的四邊形是平行四邊形。

:行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CFo

:平行四邊形。

三、隨堂練習(xí)

FDE是平行四邊形嗎？

1AC于F,四邊形BFDE是平行1.如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)0,

B

BC=cm,CD=cm時,四邊形ABCD為平行四邊形；

1AO^cm,DO：cm時,四邊形ABCD為平行四邊形.

/CD,請補(bǔ)充一個條件,使得四邊形ABCD是平

2.如圖，等邊三角形ABC的邊長為a,P為4AE

戈的三點(diǎn)，則以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，可畫個。〃AC,那么，PD+PE+PF的值為一個定值.這個定值表

a,b,c,d,且￡+y+(?旦2=2ac+2bd,則這個四邊形

BC,分別添加下列條件,①AB〃CD,②AB=DC,③AD=BC,

能使四邊形ABCD成為平行四邊表的條件的序號是

交于0,EF過息0交AD于E,交9于下，6是物的中點(diǎn)，H是0C

風(fēng)說明理由.

3、田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角

田村準(zhǔn)備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴(kuò)大一f

建后的池塘成平行四邊形的形狀，請問田村能否實(shí)田

圖形；若不能，請說明理由(畫圖要保留痕跡，不1

五小結(jié)與作業(yè)

兩組對邊分別平行

1.從邊與邊的關(guān)系：

女圖，AF〃BC,EC±BC,BA〃DE,BD〃AE.甲、乙兩人同時從B站一組對邊平行且相等的,的四邊力

戔是B-AfE-F；乙乘2路車，路線是B-D-C-F.假設(shè)兩車速兩組對邊分別相等

IK么誰先到達(dá)F站？說明理由

2.從角與角的關(guān)系：兩組對角分別相等的四邊形是耳

3.從對角線的相互關(guān)系對角線互相平分的四邊，

評價與反思

例2、已知：如圖，E、F、G、H分別是菱形ABCD的各過

的判定

求證：四邊形是EFGH是矩形。

Z的判定定理的證明并會靈活運(yùn)用。

E明的過程，從中體會探索結(jié)論的思考方法，理解對猜想進(jìn)行證明

受和情推理是人們正確認(rèn)識事物的重要途徑。

上的思考方法，培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力。

及應(yīng)用。

用。

；教具，課堂上進(jìn)行演示，使學(xué)生注意觀察四邊形角的變化，當(dāng)變

:時平行四邊形是矩形，使學(xué)生明確矩形特殊的平行四邊形（特殊例3如圖04比〃四內(nèi)角平分線相交于反F、G、i

深刻理解矩形與平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別。求證：四邊形W〃是矩形

責(zé)有哪些？

8形是矩形？具備什么的四邊形是矩形？請與同學(xué)交流。

曼角平行四邊形是矩形。

5的平行四邊形是矩形。

上直角的四邊形是矩形。第四步：課后練習(xí)

1.工人師傅做鋁合金窗框分下面三個步驟進(jìn)行：

⑴先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料（如圖①），使AB=

匡是不是矩形⑵擺放成如圖②的四邊形，則這時窗框的形狀是形，

⑶將直角尺靠緊窗框的?個角（如圖③），調(diào)整窗框的邊