高考數(shù)學泰勒展開式與超越不等式在導數(shù)中的應用 精講含答案解析

泰勒展開式與超越不等式在導數(shù)中的應用(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點一：利用超越不等式比較大小高頻考點二：利用對數(shù)型超越放縮證明不等式高頻考點三：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、泰勒公式形式：泰勒公式是將一個在處具有階導數(shù)的函數(shù)利用關于的次多項式來逼近函數(shù)的方法.若函數(shù)在包含的某個閉區(qū)間上具有階導數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導數(shù)，則對閉區(qū)間上任意一點，成立下式：其中：表示在處的階導數(shù)，等號后的多項式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小量.2、麥克勞林(Maclaurin)公式雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取的特殊結(jié)果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經(jīng)常會涉及到.3、常見函數(shù)的麥克勞林展開式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、兩個超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）4.1對數(shù)型超越放縮：（）上式（1）中等號右邊只取第一項得：結(jié)論①用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②對于結(jié)論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：（）結(jié)論③4.2指數(shù)型超越放縮：（）上式（2）中等號右邊只取前2項得：結(jié)論①用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②當時，對于上式結(jié)論②結(jié)論③當時，對于上式結(jié)論②結(jié)論④第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析高頻考點一：利用超越不等式比較大小1．（2022·全國·高三專題練習（文））已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．2．（2021·安徽·毛坦廠中學高三階段練習（理））設，，，（其中自然對數(shù)的底數(shù)）則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則（

）A． B． C． D．4．（2022·河南洛陽·高二期末（文））下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．35．（2021·浙江·模擬預測）已知數(shù)列滿足，給出以下結(jié)論，正確的個數(shù)是（

）①；②；③存在無窮多個,使；④A．4 B．3 C．2 D．17．（2022·安徽·六安一中高二開學考試）已知成等比數(shù)列，且，若，則A． B．C． D．高頻考點二：利用對數(shù)型超越放縮證明不等式1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設g(x)＝，對?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實數(shù)k的取值范圍；(3)證明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).2．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.3．（2022·陜西咸陽·二模（文））已知函數(shù).(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.4．（2022·陜西咸陽·二模（理））已知函數(shù).(1)若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)證明：(，).5．（2022·重慶市實驗中學高二階段練習）已知函數(shù)，其中且．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明：；(3)求證：對任意的且，都有：…．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）6．（2022·內(nèi)蒙古·元寶山平煤高中高二階段練習（理））已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：.7．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：；(3)若且，證明：.高頻考點三：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式1．（2022·四川·棠湖中學高二階段練習（文））已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；(3)當時，證明：.2．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））已知函數(shù)，．(1)若恒成立，求實數(shù)a的值；(2)若，求證：．3．（2022·浙江省諸暨市第二高級中學模擬預測）已知函數(shù)，，(1)當，時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若且恒成立，求的取值范圍：(3)當時，記，（其中）為在上的兩個零點，證明：.4．（2022·新疆昌吉·高三階段練習（文））已知函數(shù)．(1)試比較與的大?。?2)證明：，．泰勒展開式與超越不等式在導數(shù)中的應用(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點一：利用超越不等式比較大小高頻考點二：利用對數(shù)型超越放縮證明不等式高頻考點三：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、泰勒公式形式：泰勒公式是將一個在處具有階導數(shù)的函數(shù)利用關于的次多項式來逼近函數(shù)的方法.若函數(shù)在包含的某個閉區(qū)間上具有階導數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導數(shù)，則對閉區(qū)間上任意一點，成立下式：其中：表示在處的階導數(shù)，等號后的多項式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小量.2、麥克勞林(Maclaurin)公式雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取的特殊結(jié)果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經(jīng)常會涉及到.3、常見函數(shù)的麥克勞林展開式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、兩個超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）4.1對數(shù)型超越放縮：（）上式（1）中等號右邊只取第一項得：結(jié)論①用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②對于結(jié)論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：（）結(jié)論③4.2指數(shù)型超越放縮：（）上式（2）中等號右邊只取前2項得：結(jié)論①用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②當時，對于上式結(jié)論②結(jié)論③當時，對于上式結(jié)論②結(jié)論④第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析高頻考點一：利用超越不等式比較大小1．（2022·全國·高三專題練習（文））已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】先用導數(shù)證明這兩個重要的不等式①，當且僅當時取“=”，函數(shù)遞減，函數(shù)遞增故時函數(shù)取得最小值為0故，當且僅當時取“=”②，當且僅當時取“=”，函數(shù)遞增，函數(shù)遞減，故時函數(shù)取得最大值為0，故，當且僅當時取“=”故故選：C2．（2021·安徽·毛坦廠中學高三階段練習（理））設，，，（其中自然對數(shù)的底數(shù)）則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，，所以在上遞增，在上遞減，所以，即.令，則，，，考慮到，可得，即，化簡得等號當且僅當時取到，故時，排除A，B.下面比較a，b大小，由得，，故.所以.故選:D3．（2022·全國·高三專題練習）已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，，即，所以，所以，即，又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故選：A.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是利用經(jīng)典不等式可得.4．（2022·河南洛陽·高二期末（文））下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C5．（2021·浙江·模擬預測）已知數(shù)列滿足，給出以下結(jié)論，正確的個數(shù)是（

）①；②；③存在無窮多個,使；④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】，,，則單調(diào)遞增且大于0，所以單調(diào)遞增，所以，即故①正確；令，則，所以在上單調(diào)遞增，且當且僅當時，，所以，即.因為，且，，故②正確；，，，由歸納法可知，，故不存在無窮多個,使，故③錯誤；由得，，累加可得：可知④正確.故選：B.7．（2022·安徽·六安一中高二開學考試）已知成等比數(shù)列，且，若，則A． B．C． D．【答案】A【詳解】設,則,令,則,令,則,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,則,即,所以,故,又成等比數(shù)列,且,設其公比為,則,即,所以,故選:A.【點睛】本題考查導數(shù)中的不等式在數(shù)列中的應用,以及等比數(shù)列的相關性質(zhì),屬于中檔題.導數(shù)中存在著一些常用的不等式結(jié)論,學生可以盡可能掌握.高頻考點二：利用對數(shù)型超越放縮證明不等式1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設g(x)＝，對?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實數(shù)k的取值范圍；(3)證明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).【答案】(1)a＝1，增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)證明見解析(1)由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.于是f′(x)＝－1＝，當x(0，1)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當x(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞).(2)由(1)知x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值為0，由題意知：對?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，只需f(x)max≤g(x)max.∵g(x)＝，（等號成立）∴只需，解得.(3)證明：要證明(nN*，n≥2).只需證，只需證.由(1)當x(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，f(x)＝lnx－x＋1≤0，即lnx≤x－1，∴當n≥2時，，，所以＝，∴.2．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【答案】(1)見解析(2)證明見解析(1)當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增當時，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)由（1）可知，令，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故故，，故即3．（2022·陜西咸陽·二模（文））已知函數(shù).(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)由題意得：定義域為；由得：；設，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即實數(shù)的取值范圍為.(2)由（1）知：當，時，，在上單調(diào)遞減，，即；，，即，.【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到恒成立問題求解和不等式的證明問題；證明不等式的關鍵是能夠充分利用（1）中的結(jié)論，將所證不等式進行放縮，從而結(jié)合等比數(shù)列求和的知識進行證明.4．（2022·陜西咸陽·二模（理））已知函數(shù).(1)若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)證明：(，).【答案】(1)；(2)證明見解析﹒【解析】(1)，令，則＝，當時，單調(diào)遞增，當x＞1時，單調(diào)遞減，∴，∴；(2)由(1)知，時，有不等式對任意恒成立，當且僅當時，取“＝”號，∴，恒成立，令(，且)，則，∴，即(，)，∴(，).【點睛】本題關鍵是利用(1)中的結(jié)論，取k＝1時得到不等式，從而得到x＞1時，，令，即可構(gòu)造不等式，從而通過裂項相消法求出的范圍，從而證明結(jié)論.5．（2022·重慶市實驗中學高二階段練習）已知函數(shù)，其中且．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明：；(3)求證：對任意的且，都有：…．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，，①當時，，所以在上單調(diào)遞增；②當時，令，解得，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當時，函數(shù)在上調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)當時，，要證明，即證，即，設，則，令得，可得，當時，，當時，．所以，即，故.(3)由（2）可得，（當且僅當時等號成立），令，，則，故…………，即…，故….【點睛】本題考察利用導數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)證明不等式，以及數(shù)列和導數(shù)的綜合，屬綜合困難題.6．（2022·內(nèi)蒙古·元寶山平煤高中高二階段練習（理））已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：.【答案】(1)當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析.【解析】(1)因為（），所以的定義域為，.若，則，在上為增函數(shù)；若，則，當時，，當時，.綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當時，由上可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有在恒成立，且在上是減函數(shù)，即在上恒成立，令，則，即，且，，即：（，）成立．7．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：；(3)若且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】(1)，，則曲線在點處的切線方程為.(2)由（1）可得即函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故(3)由（2）可得在上恒成立令，則則故【點睛】關鍵點睛：解決第三問時，關鍵是由導數(shù)得出，進而由對數(shù)的運算證明不等式.高頻考點三：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式1．（2022·四川·棠湖中學高二階段練習（文））已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；(3)當時，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】(1)當時，，，切點為，斜率，.∴曲線在點處的切線方程為.即.(2)由，得恒成立，令，則，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，即，故的取值范圍是；(3)由（2）知時，有，所以.①要證，可證，只需證.先證，構(gòu)造函數(shù)，則，由得，由得，∴在上單減，在上單增，∴，故（當且僅當時取等號），從而當時，.故當時，成立.②要證，可證.構(gòu)造函數(shù)，則，由得，由得，∴在上單增，在上單減，故，即（當且僅當時取等號），從而當時，.由于，所以，所以，綜上所述，當時，證明：.【點睛】要證明，可通過證明來證得.在利用導數(shù)證明不等式的過程中，主要利用的是導數(shù)的工具性的作用，也即利用導數(shù)來求單調(diào)區(qū)間、最值等.2．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））已知函數(shù)，．(1)若恒成立，求實數(shù)a的值；(2)若，求證：．【答案】(1)1(2)證明見解析【解析】(1)設，則．當時，，單調(diào)遞增，，不滿足恒成立；當時，在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增．所以的最小值為．即，即．設，，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故的解只有．綜上，．(2)證明：先證當時，恒成立．令，，所以在（0，1）上單調(diào)遞增，又，所以．所以要證，即證，即證，即證．設，則，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，所以，即原不等式成立．所以當時，．【點睛】關鍵點點睛：