統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第六節(jié)正弦定理和余弦定理學(xué)生用書

第六節(jié)正弦定理和余弦定理·最新考綱·1．借助向量的運(yùn)算，探究三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系．2．駕馭余弦定理、正弦定理．·考向預(yù)料·考情分析：利用正、余弦定理解三角形，推斷三角形的形態(tài)，尤其是正、余弦定理的綜合問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，也有解答題．學(xué)科素養(yǎng)：通過利用正、余弦定理解三角形考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記3個(gè)學(xué)問點(diǎn)1．正弦定理______________________________________，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：(1)a∶b∶c＝____________________；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，________________；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sin2．余弦定理a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________________.余弦定理可以變形為：cosA＝______________，cosB＝________________，cosC＝________________．3．三角形面積公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r二、必明3個(gè)常用結(jié)論1．在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB．2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA+B2＝cosC(4)cosA+B2＝sinC3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)在△ABC中，A>B必有sinA>sinB．()(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，則△ABC為銳角三角形．()(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，則∠B＝45°或∠B＝135°.()(4)若滿意條件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3，2)．()(5)在△ABC中，若acosB＝bcosA，則△ABC是等腰三角形．()(6)在△ABC中，若tanA＝a2，tanB＝b2，則△ABC是等腰三角形．()(二)教材改編2．[必修5·P10T4改編]在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC＝()A．π6B．π3C．2π3．[必修5·P10B組T2改編]在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c<bcosA，則△ABC為________三角形．(三)易錯(cuò)易混4．(推斷三角形解的個(gè)數(shù)失誤)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的狀況是()A.有一解B．有兩解C．無解D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定5．(忽視cosC＝0，出現(xiàn)丟根)在△ABC中，角A，B，C滿意sinAcosC－sinBcosC＝0，則三角形的形態(tài)為________．(四)走進(jìn)高考6．[2024·全國乙卷]記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，則b＝________．提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形[基礎(chǔ)性]1．[2024·四川攀枝花市模擬]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且B＝π3，b＝3，a＝3，則cA．3B．23C．3－3D．32．[2024·四川成都市測(cè)試]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a＝3b，sinA＝35，則sinBA．15B．115C．13．[2024·安徽安慶市測(cè)評(píng)]在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊．若a，b，c成等比數(shù)列，且a2＋3bc＝c2＋ac，則∠A的大小是()A．π6B．π3C．2π4．[2024·甘肅高三模擬]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶9，則cosC＝()A．－335B．－C．－15D．－反思感悟用正、余弦定理求解三角形基本量的方法考點(diǎn)二推斷三角形的形態(tài)[基礎(chǔ)性、綜合性][例1]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形態(tài)為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定聽課筆記：一題多變1．(變條件)若將例1中“若bcosC＋ccosB＝asinA”變?yōu)椤癱osAcosB＝ba＝2”，則△2．(變條件)若將例1中“若bcosC＋ccosB＝asinA”變?yōu)椤叭鬭b＝cosBcosA”，則△ABC反思感悟判定三角形形態(tài)的常用技巧[提示]留意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)分．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)測(cè)試]若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿意sinA∶sinB∶sinC＝7∶11∶13，則△ABC()A．肯定是銳角三角形B．肯定是直角三角形C．肯定是鈍角三角形D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形2．[2024·安徽高三月考]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A－2cosA＋32＝0且滿意a＝3(b－c)，則△ABC的形態(tài)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形3．[2024·甘谷縣第四中學(xué)測(cè)試]在△ABC中，若1-sin2C1-sin2BA．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考點(diǎn)三與三角形面積、周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)有關(guān)的問題[綜合性]角度1與三角形面積有關(guān)的問題[例2][2024·江西五校聯(lián)考]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosA＝b3(1)求A；(2)若a＝3，求△ABC的面積．聽課筆記：反思感悟求三角形面積的方法角度2與最值(范圍)有關(guān)的問題[例3]在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab.(1)求角C的值；(2)若c＝2，且△ABC為銳角三角形，求a＋b的取值范圍．聽課筆記：反思感悟求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值(范圍)問題在解決求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值(范圍)問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再應(yīng)用基本不等式求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·陜西寶雞市測(cè)試]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b＝13，a＝1，B＝60°，則△ABC的面積為()A．3B．2C．23D．32．[2024·蘭州市其次十七中學(xué)測(cè)試]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，則a-2b+csinA．2393C．8333．[2024·北京人大附中檢測(cè)]在△ABC中，a＝3，A＝π3，則△ABC的最大周長(zhǎng)是A．23B．33C．3＋3D．4＋34．[2024·浙江高三模擬]在△ABC中，AB＝AC，D為AC的中點(diǎn)，ACsinA＝2sin∠ABD，則BD＝________，△ABC面積的最大值為________．微專題19計(jì)算三角形中的未知量數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程．主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、駕馭運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等．[例][2024·全國卷Ⅰ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面積；(2)若sinA＋3sinC＝22，求C解析：(1)由題設(shè)及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×3c2×cos150°.解得c1＝－2(舍去)，c2＝2，從而a＝23.△ABC的面積為12×23×2×sin150°＝3(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，所以sinA＋3sinC＝sin(30°－C)＋3sinC＝sin(30°＋C)．故sin(30°＋C)＝22而0°<C<30°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.名師點(diǎn)評(píng)(1)求邊：利用公式a＝bsinAsinB，b＝asin(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝asinBb，sinB＝bsinA(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解．[變式訓(xùn)練][2024·江西省名校高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)]在△ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB.(1)求角C的大小；(2)若bcosC＋ccosB＝4，B＝π4，求△ABC第六節(jié)正弦定理和余弦定理積累必備學(xué)問一、1．a(chǎn)sinA＝bsinB＝csinC＝2RsinA∶sinB∶sinCc＝22．b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2+c

a三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×2．解析：在△ABC中，設(shè)AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝b2+c2-a22bc由A∈(0，π)，得A＝2π3，即∠BAC＝2π答案：C3．解析：依題意得sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B為鈍角，△ABC是鈍角三角形．答案：鈍角4．解析：由bsinB＝csinC，得sinB＝bsinCc＝40×3答案：C5．解析：∵sinAcosC－sinBcosC＝0∴cosC(sinA－sinB)＝0即cosC＝0或sinA＝sinB.若cosC＝0，則C＝90°，即為直角三角形；若sinA＝sinB，則A＝B.即為等腰三角形．答案：直角三角形或等腰三角形6．解析：由S△ABC＝12acsinB＝34ac＝3得由b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，結(jié)合a2＋c2＝3ac得到b2＝2ac＝8，∴b＝22.答案：22提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一1．解析：在△ABC中，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB＝3＋c2－3c＝9，即c2－3c－6＝0，解得：c＝23或c＝－3(舍)，∴c＝23.答案：B2．解析：由正弦定理可知：asinA＝bsinB?3b35＝答案：A3．解析：由已知得b2＝ac，因此a2＋3bc＝c2＋ac可化為b2＋c2－a2＝3bc.于是cosA＝b2+c2-a22bc＝32答案：A4．解析：由正弦定理：asinA＝bsinB＝c得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，又因?yàn)閟inA∶sinB∶sinC＝5∶7∶9，所以a∶b∶c＝5∶7∶9，令a＝5t，b＝7t，c＝9t(t>0)，所以cosC＝a2+b2-c22ab答案：D考點(diǎn)二例1解析：因?yàn)閎cosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，所以sinA＝1，所以A＝π2，故△ABC答案：B一題多變1．解析：因?yàn)閏osAcosB＝ba，由正弦定理得cosAcosB＝sinBsinA，所以sin2A＝sin2B.由ba＝2√，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝π－2B，即A答案：直角三角形2．解析：由ab＝cosBcosA，得sinA所以sinAcosA＝cosBsinB，所以sin2A＝sin2B.因?yàn)锳，B為△ABC的內(nèi)角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝π2所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶11∶13，設(shè)a＝7x，b＝11x，c＝13x，cosC＝a2+b2-c22ab∴最大角A為銳角，∴△ABC為銳角三角形．答案：A2．解析：cos2A－2cosA＋32＝2cos2A－1－2cosA＋32＝0，解得cosA＝12，A＝π3，則B＝2π∵a＝3(b－c)，∴由正弦定理得sinA＝3(sinB－sinC)，32＝3[sin(2π3-c)-32cosC＋12sinC－sinC＝sin(π3-C)＝12，因?yàn)?<C<∴－π3<π3－C<π3，∴π3－∴C＝π6，B＝π2，△答案：B3．解析：由已知1-sin2C1-sin2B＝cos2ccos2B＝bcosCccosB，得cosCcosB＝bc或cosCcosB＝0，即C＝90°或cosCcosB＝bc，由正弦定理得cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcos答案：D考點(diǎn)三例2解析：(1)∵acosA＝b3∴由正弦定理得sinAcosA＝sin即tanA＝13tanB＝2tan∴tanB＝3tanA，tanC＝12tan∵在△ABC中，tanA＝－tan(B＋C)＝－tanB∴tanA＝－3tanA+1即tanA＝－3或tanA＝3.當(dāng)tanA＝－3時(shí)，tanB＝－33，tanC＝－32，則A，B，C均為鈍角，與A＋B＋C＝π沖突故tanA＝3，即A＝π3解析：(2)由(1)知tanB＝33，tanC＝32，∴sinB＝32114，sin∵a＝3，∴3sinπ3＝b解得b＝977，c＝∴S△ABC＝12bcsinA＝12×例3解析：(1)由題意知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可知，cosC＝a2+b又C∈(0，π)，∴C＝π3解析：(2)由正弦定理可知，asinA＝bsinB＝2sinπ3＝433，即a＝4∴a＋b＝433(sinA＋sinB＝23sinA＋2cosA＝4sinA+π又△ABC為銳角三角形，∴0<A<π2，0<B=2π則π3<A＋π6<2π3，∴23綜上，a＋b的取值范圍為(23，4].對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：由余弦定理可知，b2＝a2＋c2－2c·a·cosB，即13