2024中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 規(guī)律探索題 (含答案)

2024中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題規(guī)律探索題類型一數(shù)式規(guī)律1.(2023鄂州)生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，請你推算22023的個位數(shù)字是()A.8B.6C.4D.22.(2023泰安)將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：…若有序數(shù)對(n，m)表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如(3，2)表示6，則表示99的有序數(shù)對是________．3.(2022懷化)觀察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是________．4.(2023張家界)有一組數(shù)據(jù)：a1＝eq\f(3,1×2×3)，a2＝eq\f(5,2×3×4)，a3＝eq\f(7,3×4×5)，…，an＝eq\f(2n＋1,n（n＋1）（n＋2）).記Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，則S12＝________．5.(2023達(dá)州)人們把eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618這個數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)a＝eq\f(\r(5)－1,2)，b＝eq\f(\r(5)＋1,2)，記S1＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，S2＝eq\f(2,1＋a2)＋eq\f(2,1＋b2)，…，S100＝eq\f(100,1＋a100)＋eq\f(100,1＋b100)，則S1＋S2＋…＋S100＝________．6.(2023安徽)觀察以下等式：第1個等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2個等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3個等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4個等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：____________________；(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示)，并證明．類型二圖形規(guī)律考向1累加型7.(2023重慶B卷)把菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為()第7題圖A.15B.13C.11D.98.(2023濟(jì)寧)如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點…按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)是()第8題圖A.297B.301C.303D.4009.(2023青海省卷)木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第n個圖中共有木料________根．第9題圖源自人教七上P70第10題10.(2022常德)如圖中的三個圖形都是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，其中第一個圖形有1×1個小正方形，所有線段的和為4，第二個圖形有2×2個小正方形，所有線段的和為12，第三個圖形有3×3個小正方形，所有線段的和為24，按此規(guī)律，則第n個網(wǎng)格中所有線段的和為________．(用含n的代數(shù)式表示)第10題圖11.(2023遂寧)“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數(shù)為________．第11題圖12.(2023德陽)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對整數(shù)進(jìn)行了深入的研究，尤其注意形與數(shù)的關(guān)系，“多邊形數(shù)”也稱為“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結(jié)合物．用點排成的圖形如下：第12題圖其中：圖①的點數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個三角形數(shù)是1，第二個三角形數(shù)是1＋2＝3，第三個三角形數(shù)是1＋2＋3＝6，…圖②的點數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個正方形數(shù)是1，第二個正方形數(shù)是1＋3＝4，第三個正方形數(shù)是1＋3＋5＝9，……由此類推，圖④中第五個正六邊形數(shù)是________．考向2成倍遞變型13.(2023威海)由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為()第13題圖A.(eq\f(4,3))3B.(eq\f(4,3))7C.(eq\f(4,3))6D.(eq\f(3,4))614.(2023荊州)如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2；…如此反復(fù)操作下去，則第n次操作后，得到四邊形AnBnCnDn的面積是()A.eq\f(ab,2n)B.eq\f(ab,2n－1)C.eq\f(ab,2n＋1)D.eq\f(ab,22n)第14題圖15.(2023煙臺)如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個正方形的邊長為()A.(2eq\r(2))5B.(2eq\r(2))6C.(eq\r(2))5D.(eq\r(2))6第15題圖16.(2023廣安)如圖，四邊形ABCD是邊長為eq\f(1,2)的正方形，曲線DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圓心角所對的弧組成的．其中，弧DA1的圓心為A，半徑為AD；弧A1B1的圓心為B，半徑為BA1；弧B1C1的圓心為C，半徑為CB1；弧C1D1的圓心為D，半徑為DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圓心依次按點A、B、C、D循環(huán)，則弧C2023D2023的長是________(結(jié)果保留π).第16題圖17.(2023綏化)如圖，∠AOB＝60°，點P1在射線OA上，且OP1＝1，過點P1作P1K1⊥OA交射線OB于K1，在射線OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；過點P2作P2K2⊥OA交射線OB于K2，在射線OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2；…；按照此規(guī)律，線段P2023K2023的長為________.第17題圖考向3周期變化型18.(2023玉林)如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDEF的頂點A處．兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2023秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是()A.4B.2eq\r(3)C.2D.0第18題圖19.(2023河南)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，AB∥x軸，交y軸于點P.將△OAP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為()A.(eq\r(3)，－1)B.(－1，－eq\r(3))C.(－eq\r(3)，－1)D.(1，eq\r(3))第19題圖20.(2023畢節(jié))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點A1(1，1)；把點A1向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點A2(－1，3)；把點A2向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點A3(－4，0)；把點A3向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點A4(0，－4)；…；按此做法進(jìn)行下去，則點A10的坐標(biāo)為________．第20題圖類型三與函數(shù)圖象結(jié)合21.(2023龍東地區(qū))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1，A2，A3，A4…在x軸上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此規(guī)律，過點A1，A2，A3，A4…作x軸的垂線分別與直線y＝eq\r(3)x交于點B1，B2，B3，B4…記△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面積分別為S1，S2，S3，S4…則S2023＝________．第21題圖22.(2022菏澤)如圖，一次函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝eq\f(1,x)(x＞0)的圖象交于點A，過點A作AB⊥OA，交x軸于點B；作BA1∥OA，交反比例函數(shù)圖象于點A1；過點A1作A1B1⊥A1B交x軸于點B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函數(shù)圖象于點A2，依次進(jìn)行下去…，則點A2022的橫坐標(biāo)為________．第22題圖23.(2023鹽城)《莊子·天下篇》記載“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”．如圖，直線l1：y＝eq\f(1,2)x＋1與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交直線l2：y＝x于點O1，過點O1作y軸的平行線交直線l1于點A1，以此類推，令OA＝a1，O1A1＝a2，…，On－1An－1＝an，若a1＋a2＋…＋an≤S對任意大于1的整數(shù)n恒成立，則S的最小值為________．第23題圖類型四與實際問題結(jié)合24.(2022安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖①表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．【觀察思考】當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊(如圖②)；當(dāng)正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊(如圖③)；以此類推．第24題圖【規(guī)律總結(jié)】(1)若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加________塊；(2)若一條這樣的人行道一共有n(n為正整數(shù))塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為______(用含n的代數(shù)式表示)；【問題解決】(3)現(xiàn)有2022塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？參考答案與解析1.C【解析】21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，則2的1，2，3，4次方的個位上的數(shù)分別為2，4，8，6，每4個一次循環(huán)，而22022中2022÷4＝550……2，∴個位上的數(shù)為4.2.(10，18)【解析】按照規(guī)律可得每一行的最后一個數(shù)為行數(shù)的平方，第n行有(2n－1)個數(shù)．∵92＝81，102＝100，∴99是第10行，第18個數(shù)，∴表示99的有序數(shù)對是(10，18).3.m2－m4.eq\f(201,182)【解析】∵an＝eq\f(2n＋1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(n＋n＋1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(n,n（n＋1）（n＋2）)＋eq\f(n＋1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(1,（n＋1）（n＋2）)＋eq\f(1,n（n＋2）)＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,2)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))，∴S12＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,13)－eq\f(1,14)＋eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,12)－eq\f(1,14))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,14)＋eq\f(1,2)×(1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,13)－eq\f(1,14))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,26)－eq\f(1,14)－eq\f(1,28)＝eq\f(201,182).5.5050【解析】∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)，b＝eq\f(\r(5)＋1,2)，∴ab＝1，∵S1＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)＝eq\f(2＋a＋b,1＋a＋b＋ab)＝eq\f(2＋a＋b,2＋a＋b)＝1，S2＝eq\f(2,1＋a2)＋eq\f(2,1＋b2)＝eq\f(2（2＋a2＋b2）,1＋a2＋b2＋a2b2)＝eq\f(2（2＋a2＋b2）,2＋a2＋b2)＝2，…，S100＝eq\f(100,1＋a100)＋eq\f(100,1＋b100)＝eq\f(100（2＋a100＋b100）,1＋a100＋b100＋a100b100)＝eq\f(100（2＋a100＋b100）,2＋a100＋b100)＝100，∴S1＋S2＋…＋S100＝1＋2＋…＋100＝eq\f(100×（100＋1）,2)＝5050.6.解：(1)(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2；(2)(2n＋1)2＝[2n(n＋1)＋1]2－[2n(n＋1)]2.證明：等式左邊＝4n2＋4n＋1，等式右邊＝4n2(n＋1)2＋1＋4n(n＋1)－4n2(n＋1)2＝4n(n＋1)＋1＝4n2＋4n＋1，∴左邊＝右邊，∴等式成立．7.C【解析】經(jīng)分析可得，第個圖案的菱形個數(shù)為2n－1，∴第⑥個圖案中菱形個數(shù)為2×6－1＝11(個).8.B【解析】第一幅圖中圓點的個數(shù)是4＝1×3＋1；第二幅圖中圓點的個數(shù)是7＝2×3＋1；第三幅圖中圓點的個數(shù)是10＝3×3＋1；第四幅圖中圓點的個數(shù)是13＝4×3＋1；…；按照此規(guī)律，第n幅圖中圓點的個數(shù)是3n＋1，∴第一百幅圖中圓點的個數(shù)是3×100＋1＝301.9.eq\f(n（n＋1）,2)【解析】∵第1個圖中有木料1根，第2個圖中有木料1＋2＝3根，第3個圖中有木料1＋2＋3＝6根，第4個圖中有木料1＋2＋3＋4＝10根，…，∴第n個圖中有木料1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)根．10.2n2＋2n【解析】觀察圖形可知：第一個圖形由1個小正方形組成，所有線段的和為4×1＝2×2×1,第二個圖形由4個小正方形組成，所有線段的和為6×2＝2×3×2,第三個圖形由9個小正方形組成，所有線段的和為8×3＝2×4×3,第4個圖形由16個小正方形組成，所有線段的和為10×4＝2×5×4，…由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：第n個圖形由n2個小正方形組成，所有線段的和為2(n＋1)·n＝2n2＋2n.11.127【解析】第一代勾股樹中正方形個數(shù)＝20＋21；第二代勾股樹中正方形個數(shù)＝20＋21＋22；第三代勾股樹中正方形個數(shù)＝20＋21＋22＋23；第四代勾股樹中正方形個數(shù)＝20＋21＋22＋23＋24，…，∴第六代勾股樹中正方形個數(shù)＝20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＝127.12.45【解析】由題圖可知，題圖④前三層點數(shù)分別是：1＝4×1－3，5＝4×2－3，9＝4×3－3，…，∴第n層的點數(shù)是4n－3，∴第n個正六邊形數(shù)是1＋5＋9＋…＋4n－3＝4×1－3＋4×2－3＋4×3－3＋…＋4n－3＝2n2－n，∴題圖④中第五個正六邊形數(shù)是2×52－5＝45.13.C【解析】在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，∵cos∠AOB＝eq\f(OA,OB)，∴OB＝eq\f(2,\r(3))OA.同理可得OC＝eq\f(2,\r(3))OB，∴OC＝(eq\f(2,\r(3)))2OA，…，∴OG＝(eq\f(2,\r(3)))6OA，由題圖可知△GOH與△AOB位似且位似比為(eq\f(2,\r(3)))6.∵S△AOB＝1，∴S△GOH＝[(eq\f(2,\r(3)))6]2＝(eq\f(4,3))6.14.A【解析】第一次操作后S四邊形A1B1C1D1＝eq\f(1,2)S矩形ABCD＝eq\f(1,2)ab，第二次操作后S四邊形A2B2C2D2＝eq\f(1,2)S四邊形A1B1C1D1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)ab＝eq\f(ab,22)，第三次操作后S四邊形A3B3C3D3＝eq\f(1,2)S四邊形A2B2C2D2＝eq\f(ab,23)，…，第n次操作后S四邊形AnBnCnDn＝eq\f(ab,2n).15.C【解析】∵正方形ABCD邊長為1，∴AB＝BC＝1，∴AC＝eq\r(2)，∴以AC為邊作第2個正方形ACEF的邊長為eq\r(2)；∵CF是正方形ACEF的對角線，∴CF＝eq\r(2)×eq\r(2)＝(eq\r(2))2＝2，∴以CF為邊作第3個正方形FCGH的邊長為2；又∵GF是正方形FCGH的對角線，∴GF＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝(eq\r(2))3＝2eq\r(2)，以GF為邊作第4個正方形FGMN的邊長為2eq\r(2)，…∴依此規(guī)律可知下一個正方形的邊長是原來正方形邊長的eq\r(2)倍，即第n個正方形的邊長為(eq\r(2))n－1，∴第6個正方形的邊長為(eq\r(2))5.16.2022π【解析】由題圖可知，題圖中由一段90°的弧組成的，弧所在圓的半徑每次增加eq\f(1,2)，則弧C1D1的半徑＝eq\f(1,2)×4＝eq\f(1,2)×4×1，弧C2D2的半徑＝eq\f(1,2)×8＝eq\f(1,2)×4×2，弧C3D3的半徑＝eq\f(1,2)×12＝eq\f(1,2)×4×3…，弧C2022D2022的半徑＝eq\f(1,2)×4×2022＝4044，∴弧C2022D2022的長＝eq\f(90π,180)×4044＝2022π.17.eq\r(3)(1＋eq\r(3))2022【解析】∵∠AOB＝60°，OP1＝1，∴P1K1＝eq\r(3)OP1＝eq\r(3)，∴P1P2＝P1K1＝eq\r(3)，∴OP2＝1＋eq\r(3).∵P2K2＝eq\r(3)OP2，∴P2K2＝eq\r(3)(1＋eq\r(3))，∴OP3＝(1＋eq\r(3))2，∴P3K3＝eq\r(3)OP3＝eq\r(3)(1＋eq\r(3))2，…，∴依此規(guī)律可得P2023K2023＝eq\r(3)(1＋eq\r(3))2022.18.B【解析】根據(jù)兩枚跳棋跳動規(guī)則可知，紅跳棋每過6秒鐘跳動回頂點A，黑跳棋每過18秒鐘跳動回頂點A，∵2022÷6＝337，∴經(jīng)過2022秒后，紅跳棋在頂點A處；∵2022÷18＝112……6，6÷3＝2，∴經(jīng)過2022秒鐘后，黑跳棋在頂點E處．如解圖，連接AE，過點F作FG⊥AE于點G，∵六邊形ABCDEF是邊長為2的正六邊形，∴∠AFE＝120°，F(xiàn)E＝AF，∴∠FAE＝30°，∴AG＝EG＝AF·cos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴AE＝2eq\r(3)，即兩枚跳棋之間的距離是2eq\r(3).第18題解圖19.B【解析】如解圖，連接OB，∵AB∥x軸，∴AB⊥y軸，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，點O是中心，∴OB＝OA，∠AOB＝60°，∴∠AOP＝30°，AP＝eq\f(1,2)AB＝1，∴OP＝eq\r(3)，∴點A(1，eq\r(3))，將△AOP繞點O順時針每次旋轉(zhuǎn)90°，則第1次結(jié)束點A的坐標(biāo)為(eq\r(3)，－1)，第2次結(jié)束點A的坐標(biāo)為(－1，－eq\r(3))，第3次結(jié)束點A的坐標(biāo)為(－eq\r(3)，1)，第4次結(jié)束點A的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，…，∴每4次一個循環(huán)，∵2022＝4×505＋2，∴第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于第2次結(jié)束，∴點A的坐標(biāo)為(－1，－eq\r(3)).第19題解圖20.(－1，11)【解析】由圖象可知，A5(5，1)，將點A5向左平移6個單位，再向上平移6個單位，可得A6(－1，7)，將點A6向左平移7個單位，再向下平移7個單位，可得A7(－8，0)，將點A7向右平移8個單位，再向下平移8個單位，可得A8(0，－8)，將點A8向右平移9個單位，再向上平移9個單位，可得A9(9，1)，將點A9向左平移10個單位，再向上平移10個單位，可得A10(－1，11).21.24043eq\r(3)【解析】∵S1＝eq\f(1×\r(3),2)＝20×eq\f(\r(3),2)，S2＝eq\f(2×2\r(3),2)＝22×eq\f(\r(3),2)，…，依此規(guī)律可得Sn＝22(n－1)×eq\f(\r(3),2)，∴S2023＝22×(2023－1)×eq\f(\r(3),2)＝24043eq\r(3).22.eq\r(2021)＋eq\r(2022)【解析】∵點A是函數(shù)y＝x與y＝eq\f(1,x)的圖象在第一象限的交點，∴點A的坐標(biāo)為(1，1)，又∵AB垂直于直線y＝x，∴點