2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè) 71 復(fù)數(shù)的概念 教案

課題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念及幾何意義

1.在問題情境中,了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，在數(shù)系

的擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.

教學(xué)目標(biāo)

2.理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件.

3了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示

1.理解復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件.

教學(xué)重點(diǎn)

2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示

1.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.

教學(xué)難點(diǎn)

2.理解復(fù)數(shù)的概念及數(shù)系的擴(kuò)充過程.

高考考點(diǎn)

課型新授課教具

教法誘思探究

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)

新課引入問題1.昨天新冠狀病毒肺炎確診病例達(dá)到40239(14:00),新學(xué)生回答

增病例有3073人，昨天鐘南山院士發(fā)表的一篇文章中稱根據(jù)

最新的數(shù)據(jù)病毒致死率約為1.4%。那么同學(xué)們通過上面一段

話，得到了哪些信息？

答：確診人數(shù)，新增人數(shù)，可以進(jìn)一步的通過運(yùn)算算出增長(zhǎng)

率，以及病毒致死率。希望同學(xué)們?cè)诩依镆惨⒁鈧€(gè)人衛(wèi)生，

少出門，不出門，做好每天的學(xué)習(xí)。

問題2.數(shù)應(yīng)用于生活的方方面面，那么咱們這些數(shù)在生活中

又是如何產(chǎn)生和發(fā)展的呢？

誘思探究數(shù)學(xué)的生活中的發(fā)展過程,遠(yuǎn)古時(shí)期人們?yōu)榱私y(tǒng)計(jì)捕獲的獵物

引導(dǎo)學(xué)生和采集的野果等用手指、石子或刻痕數(shù)個(gè)數(shù)，從而創(chuàng)造了自

思考理解然數(shù)1,2,3,……，后來人們把表示無的0也歸入自然數(shù)，形

數(shù)的擴(kuò)充成了自然數(shù)集。大約在四千年前，在公平分配物質(zhì)的時(shí)候，

過程.人們發(fā)現(xiàn)自然數(shù)不夠用.于是產(chǎn)生了分?jǐn)?shù).兩千年前中國(guó)人發(fā)

現(xiàn),具有相反意義的兩種量，例如收入與支出，上升與下降,入

庫(kù)與出庫(kù)等等,可以用相反數(shù)表示,從此數(shù)的研究進(jìn)入了有理

數(shù)的范疇.后來為了表示邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為

多少，我們進(jìn)一步把數(shù)的范圍擴(kuò)展到無理數(shù),此時(shí)有理數(shù)和無

生活中的理數(shù)構(gòu)成了我們目前為止所研究的數(shù)的最大范圍實(shí)數(shù).

數(shù)學(xué)數(shù)的擴(kuò)展是我們生活的實(shí)際需要，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展所要求

的.

請(qǐng)大家自己3性看一下這個(gè)表格中的問題：

方程在該集合為了求出該方程的解我們

內(nèi)有解嗎？要把數(shù)集擴(kuò)展到_____?

N無Z

Z無Q

數(shù)學(xué)發(fā)展

Q無R

的需要

R無

我們?yōu)榱私鉀Q方程的解的問題,數(shù)學(xué)家歐拉在1777年首次提

出了用平方表示-1.

這樣一來就產(chǎn)生了一個(gè)新的數(shù),規(guī)定:?即的平方根為.

那么我們解出來兩個(gè)方程的根應(yīng)該分別為:和.

那好我們給出的方程（）如果的解為:x=a±二也

2a2a

所以我們可以看出所有這種方程的根可以表示成一種統(tǒng)一的

形式:的形式，由此人們從實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)集.

從此人們實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的一個(gè)理想讓一個(gè)一元次方程在復(fù)數(shù)

范圍內(nèi)恰有個(gè)根.

好那么這就是咱們這節(jié)課所學(xué)習(xí)的第一個(gè)內(nèi)容,認(rèn)識(shí)數(shù)系的擴(kuò)

充過程，感受數(shù)系的擴(kuò)充在數(shù)學(xué)中的作用同時(shí)也開啟了我們這

節(jié)課所要研究的內(nèi)容.

1.我們把集合C={a+Ma力eR}中的數(shù)，即形如:的數(shù)叫做

復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，全體復(fù)數(shù)所組成的集合稱為復(fù)數(shù)集.

2.復(fù)數(shù)的表示形式：

復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式:，其中和分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.

3.復(fù)數(shù)的分類

對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi,{a,bGR）可以分類如下：

‘實(shí)數(shù)0。=0

z<

虛數(shù)ob*0（特別的當(dāng)a=0z/w0時(shí),Z為純虛數(shù)）

填寫下圖表示現(xiàn)在所學(xué)數(shù)集以及純虛數(shù)集之間的關(guān)系：

學(xué)生自學(xué)

明確思考

方式復(fù)數(shù)

問題實(shí)數(shù)

化.

4.復(fù)數(shù)相等的充要條件

兩個(gè)不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)只能說相等與不相等，不能比較大小.

復(fù)數(shù)Z1=a+hi,z2-c+di(a,h,c,deR),

Z]=z2=a=c,b=d.

【當(dāng)堂訓(xùn)練】學(xué)生回答上黑

1.說出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部并指出下列各數(shù)中那些是實(shí)數(shù)，板板演

那些是虛數(shù)，那些是純虛數(shù).

-2+-i,x/2+i,—，-瓜z,O,z(l-73),i2

32

實(shí)數(shù)：、一,0,『=一1

2

虛數(shù):-2+V2+i,z,z(l-V3),

純虛數(shù)：

易錯(cuò)；或與

2.如果(x+y)+(y—l)i=(2x+3y)+(2y+l))求實(shí)數(shù)的值.

且

,fx+y=2x+3y_fx=4

解：《，，解得

」-l=2y+l[y=-2

3.實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=(m+1)+(/?-1)/是⑴實(shí)數(shù)⑵虛

數(shù)(3)純虛數(shù).

解:當(dāng)時(shí)，即時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù).

當(dāng)/〃—1聲0,/〃+1=0時(shí)，即時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù).

4.如果(>-1)+(m2-2m)z>0，求實(shí)數(shù)的值.

??z2-l＞0

解：〈2解得：

m~—Im-0

【達(dá)標(biāo)測(cè)試】

1.求適合下列條件的實(shí)數(shù)的值當(dāng)堂測(cè)試

⑴(3x+2y)+(5x—y)i=17—2z

'3x+2y=17x=

解:<解得

5x-y=-2[y=7

⑵(x+y—3)+(x-4)i=0

&x+y-3=0fx=4

解：＜，解得：＜

x—4=0[y=-1

2.實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)(〃/-5m+6)+(加2-3〃?"是(1)實(shí)

數(shù)(2)虛數(shù)(3)純虛數(shù)

解:當(dāng)時(shí).，即:或，此時(shí)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，

當(dāng)時(shí),即:且，此時(shí)復(fù)數(shù)為虛數(shù)，

當(dāng)且時(shí)，即:時(shí),此時(shí)復(fù)數(shù)為純虛數(shù).

3.已知關(guān)于的方程x2+(k+2z)x+(2+狂)=0有實(shí)根，求這個(gè)

實(shí)根以及實(shí)數(shù)的值.

解：已知關(guān)于的方程x2+(k+2z)x+(2+ki)=0有實(shí)根，設(shè)該

實(shí)根為，所以x；+%+2+i(2再+6=0,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條

2

x.+kx,+2=0~/口xx—±5/2

件可得：!11解得：\

2玉+Z=0k=±2\/2

4.已知4=2+(龍一2//2=(丁+3)+(爐一4?,其中均為實(shí)

數(shù)，且，求.

y+3=2fy=—1fy=—1

解：由已知可得：《二，解得或4學(xué)生自主總結(jié)

x-4=x-2x=2x=-\

小結(jié)：

1.將數(shù)擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)，明確了復(fù)數(shù)的分類.

2.學(xué)會(huì)了復(fù)數(shù)相等的判定及求解方法

3.學(xué)會(huì)了復(fù)數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)方程來解決.即：復(fù)數(shù)問題課后思考

實(shí)數(shù)化.

課后思考:咱們知道實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，那么我們

現(xiàn)在學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)除了上面學(xué)習(xí)的代數(shù)形式的表示之外，

如何用幾何圖形來表示呢?

板書設(shè)計(jì)

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念

N—Z—Q—R—C學(xué)生板演

復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式：

z=a+bi,(a,beR)

復(fù)數(shù)的分類

復(fù)數(shù)z?

復(fù)數(shù)相等的充要條件

不全為實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能

比較大小.

教后記

教研組長(zhǎng)意見:

課題：復(fù)數(shù)的幾何意義

1.理解用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

教學(xué)目標(biāo)2.理解實(shí)軸、虛軸、共軌復(fù)數(shù)等概念；

3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法，理解復(fù)數(shù)的集合意義.

教學(xué)重點(diǎn)1.理解用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

2.理解實(shí)軸、虛軸、共軌復(fù)數(shù)等概念；

3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法，理解復(fù)數(shù)的集合意義.

教學(xué)難點(diǎn)1.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法，理解復(fù)數(shù)的集合意義.

高考考點(diǎn)

課型新授課教具

教法誘思探究

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)

新課引入問題1.我們知道實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，那么復(fù)數(shù)可學(xué)生回答

以用什么圖形來表示呢？

那么我們來看看復(fù)數(shù)的特點(diǎn)：如果說一個(gè)復(fù)數(shù)那么這個(gè)復(fù)數(shù)

一定能寫成z=a+4,（a,/?eR）的形式，它有兩部分組成一

部分是實(shí)部，一部分是虛部乘以，我們要確定兩個(gè)復(fù)數(shù)相等

必須保證實(shí)部實(shí)部相等，虛部虛部相等。因此同學(xué)們根據(jù)這

個(gè)特點(diǎn)可以考慮一下一個(gè)數(shù)字確定不了一個(gè)復(fù)數(shù)，因此要確

定一個(gè)復(fù)數(shù)需要實(shí)部和虛部共同確定，因此我們要想表示一

個(gè)復(fù)數(shù)那么必須要用一個(gè)點(diǎn)，因此我們可以用坐標(biāo)平面來內(nèi)

的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)。

因此我們得到：

2=4+次（。力€/?）可以和坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；

而坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)也可以和以為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)。

我們知道在實(shí)數(shù)內(nèi)：表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，我們現(xiàn)在給了這

樣一種對(duì)應(yīng)關(guān)系之后，我們來思考一下：表示什么？

\z\=\OZ\=yla2+b2

其中我們把表示復(fù)數(shù)的坐標(biāo)平面叫做復(fù)平面，軸叫實(shí)軸，軸

叫做虛軸。

3

練習(xí)：1.已知復(fù)數(shù)2+i,-2+4z,-2z,4,——4i（】）在復(fù)平面

2

內(nèi)畫出這些復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量；（2）求出這些復(fù)數(shù)的模.

2.教材P73T4,5

拓展判斷：1.實(shí)軸上點(diǎn)都是對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)；

2.純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在虛軸上

3.虛軸上的點(diǎn)都是純虛數(shù).

例2.設(shè)復(fù)數(shù)馬=4+3i,22=4-3z

（1）在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量；

（2）求復(fù)數(shù)的模，并比較他們的大小。

一般地：兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)

復(fù)數(shù)叫做互為共枕復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共規(guī)復(fù)數(shù)也叫做

共輸虛數(shù)，復(fù)數(shù)的共施復(fù)數(shù)記做，即：如果那么.

思考：

1.若是共規(guī)復(fù)數(shù)，那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有什么特點(diǎn)？

2.如果為實(shí)數(shù)，則什么關(guān)系？