高中數(shù)學(xué)人教版必修4教學(xué)案：第三章七角函數(shù)的積化和差與和差化積

3.3七角函數(shù)的積化和差與和差化積

課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P149?151,思考并完成以下問(wèn)題

(1)如何利用兩角差(和)的正、余弦公式導(dǎo)出積化和差與和差化積公式？

⑵兩組公式有何特點(diǎn)？

[新和初探]

1.三角函數(shù)的積化和差

11,

cosacos”=a[cos(a+/0+cos(a—/0],

1,

sinasin)?=~-[cos(a+y7)-cos(a-fi)],

sinacos-[sin(a+//)+sin(a—/?)],

乙

1,

cosasin^="[sm(?+/?)—sin(a-j^)J.

[點(diǎn)睛1積化和差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

(1)同名函數(shù)積化為余弦函數(shù)的和差；異名函數(shù)積化為正弦函數(shù)的和差.

⑵角的順序，“〃+夕”在前，“。一夕”在后.

2.三角函數(shù)的和差化積

sinx+siny=2sincos,

x+yx-y

sinx-sinv=Zcos—-sin—-,

,22

x+yx-y

cosx+cosy=2coscos,

x+yx-y

cosx-cosy=—2sinsin.

［點(diǎn)睛］和差化積公式的特點(diǎn)

(1)同名函數(shù)的和或差才可化積.

(2)余弦函數(shù)的和或差化為同名函數(shù)之積.

(3)正弦函數(shù)的和或差化為異名函數(shù)之積.

(4)等式左邊為單角a和從等式右邊為三”與中的形式.

(5)只有余弦函數(shù)的差化成積式后的符號(hào)為負(fù)，其余均為正.

1.下列等式錯(cuò)誤的是()

A.sin(A++sin(A~B)=2sinAcosB

B.sin(A+B)—sin(A-B)=2cosAsinB

C.cos(A+B)+cos(A—B)=2cosAcosB

D.cos(A+B)—cos(A—B)=2cosAcosB

答案：D

2.sin37.5°cos7.5。等于()

g+l

2

g+15+g

4

答案：C

3.cos75°cos150=

1

答案：4

課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

題型一"化簡(jiǎn)求值

［典例］化簡(jiǎn)：4sin(60°-〃)*in，?sin(600+0).

［解］原式=2sin例2sin(60°-〃)-sin(60°+。)］

=-2sin例cos1200-cos(-26>)］

=—2sin〃(一；-cos20

=sin。+2sin伊cos20

=sin0+(sin30—sinJ)=sin30.

國(guó)援㈣

用和差化積公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式時(shí)，若三角函數(shù)式中存在三個(gè)或三個(gè)以上的三角函數(shù)可

供化積時(shí)，應(yīng)選擇兩角和或差的一半是特殊角或與其他三角函數(shù)有公因式的兩個(gè)三角函數(shù)進(jìn)

行和差化積.

［活學(xué)活用］

求sin2700+cos240°—sin70°cos40。的值.

M一1-cos140°.1+cos80°,1

解：原式=---------+-----------sin70°cos40°=l+-(cos400+cos80°)-sin70°cos

40°=1+cos60°cos20°—^(sin110°+sin30°)=l+；cos20。一；cos20。-：=：.

三角恒等式證明

［典例］在△45C中，求證:sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.

24+2B2A—IB

［證明］左邊=sin2A+sin2B+sin2C=2sin-cos"+sin2C

=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)

=2sinC［cos(A—B)—cos(A+B)］

(A-均+(A+為.

=2sin0(-2)sin-sm-

=4sinAsinBsinC=右邊.

所以原等式成立.

三角恒等式的證明

(1)證明三角恒等式從某種意義上來(lái)說(shuō)，可以看成已知結(jié)果的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值.

(2)證明三角恒等式總體要求是：通過(guò)三角公式進(jìn)行恒等變形，論證等式左右兩邊相等,

論證過(guò)程要清晰、完整、推理嚴(yán)密.

(3)證明三角恒等式的基本思想是：化繁為簡(jiǎn)、左右歸一、變更論證等.

[活學(xué)活用]

求證：cos2x+cos2(X+a)-2cos(zcosxcos(x+a)=sin2a.

?CRL、乂1+cos2x,1+cos(2x+2d)

證明:左邊=~~-2cosacosx*cos(x+a)

=l+~[cos2x+cos(2x+2a)]-2cosacosxcos(x+a)

2x+2x+2a2x—2x-2a

=1+cos-cos--cosa[cos(2x+a)+cosa]

=l+cos(2x+a)cosa-cosacos(2x+a)—cos2a

=1—cos2a=sin2"=右邊，

???原等式成立.

能.課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.cos15°sin105°=()

AU+2B立-1

42

g

D『1

解析：選Acos15°sin1050=;[sin(15°+105°)-sin(15°-105°)]=;[sin1200-sin(-90°)]

2'

..^.cosa-cos3a,,.._、，

2化簡(jiǎn)sin3?—sina的結(jié)果為()

B.tan2a

Dtan2a

-2sin勿喧in(—a)

解析：選B原式=

2cos2a*sina

=tan2a.

3.函數(shù)./U)=2sinjinQ—的最大值等于()

A.2sin2"B.—2sin號(hào)

22

aa

C.2cos2.D.—2cos2~

22

_x

解析：選A/(x)=2sin-sin

=-[cosa-cos(x—a)]

=cos(x-a)-cosa.

當(dāng)cos(x—a)=l時(shí)，

/'(x)取得最大值1—cosa=2sin2；.

4.將cos2*-sin2y化為積的形式，結(jié)果是()

A.—sin(x+j)sin(x-j)B.cos(x+j)cos(x-j)

C.sin(x+j)cos(x—j)D.—cos(x+j)sin(x—j)

L,1+cos2x1-cos2y

解析：選Bcos2x-sin2j="一"

1

="(cos2x+cos2y)

=cos(x+y)cos(x-y).

5.已知COS2Q—cos豺=/n,那么sin((z+/O?sin(a—切等于(

A.-mB.m

mm

C——

L22

解析：選AVcos2a—cos2/y=m,

:.sin(a+/?)*sin(a—/0=-geos2a—cos2/0

-(2cos2〃一1—2cos/+1)

=cos2//-cos2a=_zzi.

6.cos2a—cos3a化為積的形式為.

2a+3a2a-3a5a(<zA5aa

解析:cos2a-cos3Q=-2sin-sin-=-2sin-sinl-"l=2sin--sinz.

222\2/22

答案：2sinysin^

7.sing+J?cosg+a化為和差的結(jié)果是.

解析：原式=如府+a+p)+sin("一4)]

1,,1

=~cos(a+/0+；sin(a一4).

答案：；cos(a+/?)+；sin(a一0)

sin35。+sin25°

&cos35°+cos25°

35°+25°35°-25°

2sin-cos_

_______22______cos5°

解析:原式=

,35。+25°35。-25。=geos5°=3,

2cos-cos-

22

答案：y

9.求下列各式的值:

(l)sin54°-sin18°；

(2)cos1460+cos940+2cos47°cos73°.

解:(l)sin54°-sin18°=2cos36°sin18°

_2sin180cos18°cos3602sin36°cos36°

~2cos1802cos180

sin72°cos1801

-2cos18。-2cos18。-2'

(2)cos1460+cos940+2cos470cos73°

=2cos120°cos26°+2X^(cos1200+cos26°)

Xcos26°+G)+

=2Xcos26°

1

=-cos26°+cos26°=-

㈢+2,

'一1+cosa+cos2a+cos3a

，0-求證：2eo^+eos?-l

(1+cos2a)+(cosa+cos3(z)

證明：因?yàn)樽筮?

(2cos2a—l)+cosa

2cos2〃+2cos2acosa

cos2a+cosa

2cosa(cosQ+COS2a)

;;=2cosa=右邊,

cosa+cos2a

所以原等式成立.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.sin20°cos700+sin10°sin50°的值是()

15

A4BT

c-2DT

解析:選A原式=；[sin900+sin(-50°)]-|[cos600-cos(-40°)]=；-；sin500-^+1cos

1

40。=]

-+sin2+-

2.函數(shù)J=COS4u)Gn)1是(

A.最小正周期為27r的奇函數(shù)

B.最小正周期為27r的偶函數(shù)

C.最小正周期為n的奇函數(shù)

D.最小正周期為江的偶函數(shù)

l+cos(2x—l—cos(2x+7

解析：選c?.，=------------------

2

JcosQx—3一cos(2x+利

1

=-sin2xsin"sin2x,

此函數(shù)是最小正周期為it的奇函數(shù).

3.已知cos（a+y?）cos（。一4）=；,貝?。輈os?］一出口力的值為（）

2

A——

3

解析：選Dcos(a+//)cos(a—fl)=~(cos2a+cos2/?)=-[(2cos2a—1)+(1-2sin2/0]=cos2a

-sin2/?=^.

4.若A+3=w，則COS2A+COS2B的取值范圍是()

A.0,；B.p1]

C「131A

-JD.[0,1]

解析：選CVA+B=y,：.B=~—A,

1+cos2A1+cos2B

:.cos2A+cos2B="+-

22

,1.

=1+-(cos2A+cosIB)

2n

=1+cos-cos(A-B)

5.函數(shù)y=sinG+；｝inQ+W）的最小正周期T=.

解析：

/(x)=sin(x+^IcosX

?27r

..T=—=7T.

2

答案：7T

6.cos400+cos600+cos800+cos160°=

解析：cos600+cos800+cos40。+cos160。=$+cos800+2cos100°cos60°=-+cos80。一

1

cos80°=-.

2

答案：I

7.已知/[X)=C0S2(X+〃)-2C0S"COSXCOS(X+，)+COS?，，求/(x)的最大值、最小值和最小

正周期.

解：?.?/(x)=cos2(x+〃)-2X；[cos(x+〃)+cos(x—〃)]cos(x+〃)+cos2〃

=COS2(x+6)-COS2(x+8)-COS(X-。)?cos(X+。)+COS2。

=cos20—；(cos20+cos2x)

1+cos2011

=--------TCOS20-"cos2x

222

1.1

=一二cos2x+-,

22

.?./（X）的最大值為1,最小值為0,最小正周期為兀

反選做題I

8.已知△A8C的三個(gè)內(nèi)角4,B,C滿足：（1）4+C=2B；（2）—三十一二=一八&.求

cosAcosCcosB

A—C

cos——的值.

解：VA+C=2B,A+B+C=180°,

...8=60°,A+C=120°.

啦-2\l2,

cos60°

2?

cosAcosC

cosA+cosC=—2\[2cosAcosC.

由和差化積與積化和差公式，得

A+CA-Cr-

2cos~~-cos---=~\2[cos(A+C)+cos(A-G],

A-C(-(1A-C、

:.cos~y-=—\/2^--+Zcos2-y-1J.

r-A—CA—C廠

化簡(jiǎn)，得4\/2cos2—+2cos-3\/2=0,

/-A—C,

V2\/2cos——+3=5^0,

A—Ci-

:.2cos-—-\/2=0,

A-C

..cos2=—.

階段質(zhì)量撿測(cè)（三）三角恒等變換

（時(shí)間120分鐘滿分150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.函數(shù)y=2cos2：+l的最小正周期是（）

A.4nB.27r

C.n

解析：選2

BVj=2cos|+l=+2

=cosx+2,

???函數(shù)的最小正周期T=2n.

2.若tana=3,則鬻的值等于（

A.2B.3

C.4D.6

sinla2sinacosa

解析：選D\~~==2tanct=2X3=6.

co鏟。cos，

3

3.已知a是第二象限角，且cosa=-g,則的值是（）

A?

B.

1010

7亞

D.

10

4

解析：選A由題意，sina=g

n.n\[1

所以coscos二cos(z+sin-sina=-

4410

的值域?yàn)椋ǎ?/p>

4.函數(shù)J(x)=sinx-cos!j+J

A.[-2,2]

c.[-1,1]』刈

nn

解析：選B/(x)=sinx—cosxcos~-sinxsiny

\66,

,5,1.

=sinx——cosx+二isnx

22

1)

=x~~cosxJ

=\Z5sinQ-J,

VxER,Ax-？ER,

6

.-./(x)eg].

g

5.設(shè)?=y(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c=sin370-sin670+sin53°sin23°,則()

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

解析：選Aa=cos45°sin170+sin45°cos17°

=sin(17°+45°)=sin62°,

6=cos26°=sin64°,

c=sin37°cos230+cos37°sin23°=sin(370+23°)

=sin60°,

故c<a<b.

已知；則

6.cos0=,6*6(0,it),等于（）

4g7

A.，

9B-9

7

D

99

解析：選CVcos^=->0,6G(0,TT),

Asin0=yfl-co^0=

:.cos^^+24=cos[;r+g+2@]

=-cos^+2^=sin20=2sin伊cos0

2\[114g

=2X^-X-=—,選LC?

cos20°\/l—cos40°…、r

7-化簡(jiǎn)：一嬴不一的值為（）

C.gD.2

解析：選B依題意得

cos20。4一cos40°cosZOWZsi/ZO0

cos50°cos50°

gg

_Vsin2(Fcos20。_萬(wàn)3in40。_萬(wàn)加40。_亞

一cos50°-cos50°-sin40°-2?

44

8.已知sin(a-/?)cosa—cos(“一/?)sina=g,且/?是第三象限角，則cos^的值等于()

4

解析：選A由已知，得sin[(a—夕)-a]=sin(-/?)=g,

4

故sinp=

3

??/在第三象限，Acos）?=--.

cos2a

cos2a

cos2a

10.在△ABC中，已知C,則△A3C的形狀為（）

A.正三角形等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

A+BA+BA+BA+B

解析：選C在△ABC中，tan-^—=sinC=sin(A+B)=2sin--COS,:.2cos~2

7t

1,Acos（A+B）=0,從而4+8=5，即△A3。為直角三角形.

作（一看。則tan字

11.已知方程x12+4a*+3a+1=0(。>1)的兩根為tana,tan0,且a.

的值為（）

B2

4

C3-2

解析：選A根據(jù)題意得tana+tan/?=-4a,tana'tan6=3。+1,；?tan(a+0=

tanc+tan0—4。4

1-tanatanp-3a3,

又?:a>\9Atana+tan//<0,tanatan/?>0,

Atana<0,tan/v0.

又昨(一今。；

：.a9眸0，

na+pa+fi

—T<_~—<0,:.tan<0

222

a+/?

2tan"

M得

由tan(a+y?)=

1-tan2

2

(z+2〃+夕

2tan2——+3tan———2=0,

22

a+p(

Atan-;—=-21tan

2V

12.已知0〈陣點(diǎn)Rl,4\/5）為角a的終邊上一點(diǎn)，且sincosacos(~+/?

智,貝!I角片（）

7T7T

A?石B6

7T

c-D

43

解析：選DVP(l,4\/3),：.\OP\=1,

cosa

7

3\li3\fi

又sinacoscosasinP=~^^??sin(a-fl)=

nn

/0<fl<a<-9:.0<a—/?<-

13

??cos(a-y?)=—,..sin/?=sin[a-(a-fl)]

=sinacos（a-^）—cosasin（a-//）

4河131355

=~xi4-7X-iT=T-

/J

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上）

13.設(shè)向量a=g,sin",b=（cos0,；）,其中〃e4，：），若a〃兒貝！|〃=.

解析：若a〃5,則sin-cos伊=；,

即2sin0cos0—1,

Asin20=1,又1）,；?，=：?

答案U

-J-cosla

14.若tan'則FT

廠—2

解析：由tanQ+：）=1+tana\21cos2a=2sina=tan

=3+2應(yīng)得tan?=T,--^T2sinacos??

出

2°

g

答案：y

_btan12°—3

15"(4cos2120-2)sin120-------------'

rsin12。_

融垢?Jf3cos12。3

解析：原式一2(2COS212。一l)sin12。

2\/3^sin12°—~~cos120)

cos1202x/jsin(-48。)

2cos24°sin12°2cos24°sin12°cos12°

-2\/5sin48°—2\/5siii48。

sin24°cos2401

Tsin48°

2

答案：一4\6

16.式子“cos（）（l+gtan10。）=1”,在括號(hào)里填上一個(gè)銳角，使得此式成立，則

所填銳角為.

,r1cos10°cos10°

解析：設(shè)cosa-(l+\/3tan10°)=1,則cosa=7==)==———

1+V3tan10°cos10o+\/3sin10°2sm40°

又a為銳角，故a=40°.

答案：40°

三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟）

17.（本小題滿分10分）已知且cos（?一手）=抵求cosa,sina的值.

解：因?yàn)椤筕aV（

o2

所以O(shè)Va一

63

因?yàn)?/p>

7：(n\n15\/3—8

cosy-sinla--lsin-=~.

6V6/634

JI4

18.(本小題滿分12分)已知0<aq,sina=j

⑴求cos2(z+cos2a

(2)求tanQ一等)的值.

,.n4p3

解AT：(1)由Ovav?sin〃=g,得cos<z=g,

.sii^a+sin2asiiPcrh2sinacosa

…cos2a+cosla3cos2?-1

sina4

4

—一i

(5TT\tan以-131

tsnla.—，I=~~=7=二.

V4)1+tana.47

1+-

19.(本小題滿分12分)設(shè)向量。=(\/5sinx,sinx),Z>=(cosx,sinx),0,

(1)若⑷=網(wǎng),求x的值；

⑵設(shè)函數(shù)/(工)=。協(xié)，求/(X)的最大值.

解：⑴由|a|2=(\/5sinx)2+(sinx)2=4sin2x,

網(wǎng)2=(cosx)2+(sinx)2=l,

及\a\=\b\,得4sin2x=1.

又xc[o,7J,從而sinx=；,

所以x=?.

6