部編人教版九上數(shù)學(xué)第22章-二次函數(shù)-22.2.3-二次函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合運用【習(xí)題課件】

22.2二次函數(shù)與一元二次方程第3課時二次函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合運用第二十二章二次函數(shù)

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y＝x2－4x＋41．如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸只有一個公共點P，與y軸的交點為Q.過Q點的直線y＝2x＋m與x軸交于點A，與這個二次函數(shù)的圖象交于另一點B.若S△BPQ＝3S△APQ，求這個二次函數(shù)的解析式．【點撥】本題用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式時，根據(jù)圖象的性質(zhì)尋找待定系數(shù)所滿足的條件，列方程或方程組求解．解題時還必須根據(jù)題目條件對結(jié)果進行檢驗，舍去不符合題意的解．聯(lián)立可得B點的坐標為(2－b，4－2b＋c)．作BC⊥x軸于C，則BC＝4－2b＋c.∵S△BPQ＝3S△APQ，∴S△APB＝4S△APQ.解：由題意知二次函數(shù)圖象與y軸的交點Q的坐標為(0，c)．又∵直線y＝2x＋m過點Q，∴m＝c.又∵OQ＝c(c>0)，∴(4－2b＋c)∶c＝4∶1.即2b＋3c－4＝0①.∵二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸只有一個公共點，∴Δ＝b2－4c＝0②.∵△APQ與△APB同底(AP)不等高，∴S△APB∶S△APQ＝4∶1＝BC∶OQ.經(jīng)檢驗知當(dāng)b＝

時，拋物線的頂點在y軸左側(cè)，不符合題意，舍去．∴b＝－4，c＝4.∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2－4x＋4.解聯(lián)立①②的方程組，可得2．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.(1)探究m取不同值時，該二次函數(shù)的圖象與x軸的公共點的個數(shù)；解：令y＝0，得x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4＝0，Δ＝(2m－1)2－4(m2＋3m＋4)＝－16m－15.當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即－16m－15＞0，∴m＜－

.此時二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點；當(dāng)Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根，即－16m－15＜0，∴m＞－

.此時二次函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點．當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即－16m－15＝0，∴m＝－

.此時二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點；(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點分別為A(x1，0)，B(x2，0)，且

＋

＝5，與y軸的交點為C，它的頂點為M，求直線CM對應(yīng)的函數(shù)解析式．解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋3m＋4，∴

＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋3m＋4)＝2m2－10m－7.∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，∴m＜－

.∴m＝－1.∴y＝x2＋3x＋2.∵

＝5，∴2m2－10m－7＝5.∴m2－5m－6＝0.解得m1＝6，m2＝－1.令x＝0，得y＝2，∴二次函數(shù)的圖象與y軸的交點C的坐標為(0，2)．又∵y＝x2＋3x＋2＝

，∴頂點M的坐標為

.∴直線CM對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝

x＋2.設(shè)過點C(0，2)與M

的直線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，則

解得3．關(guān)于x的二次函數(shù)y＝－x2＋(k2－4)x＋2k－2的圖象以y軸為對稱軸，且與y軸的交點在x軸的上方．(1)求此拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式，并在直角坐標系中畫出函數(shù)的大致圖象；解:根據(jù)題意，得k2－4＝0，解得k＝±2.∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，∴2k－2＞0，∴k＞1.∴k＝2.∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－x2＋2.函數(shù)的大致圖象如圖所示．(2)設(shè)A是y軸右側(cè)拋物線上的一個動點，過點A作AB⊥x軸于點B，再過點A作x軸的平行線交拋物線于點D，過點D作DC⊥x軸于點C，得到矩形ABCD.設(shè)矩形ABCD的周長為l，點A的橫坐標為x，試求l關(guān)于x的函數(shù)解析式；解:令－x2＋2＝0，得x＝±.如圖，當(dāng)0＜x＜

時，A1D1＝2x，A1B1＝－x2＋2，∴l(xiāng)＝2(A1B1＋A1D1)＝－2x2＋4x＋4.當(dāng)x＞

時，A2D2＝2x，A2B2＝－(－x2＋2)＝x2－2，∴l(xiāng)＝2(A2B2＋A2D2)＝2x2＋4x－4.綜上所述，l關(guān)于x的函數(shù)解析式是l＝(3)當(dāng)點A在y軸右側(cè)的拋物線上運動時，矩形ABCD能否成為正方形？若能，請求出此時正方形的周長；若不能，請說明理由．解:能．當(dāng)0＜x＜

時，令A(yù)1D1＝A1B1，得x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－

(舍去)，或x＝－1＋

.將x＝－1＋

代入l＝－2x2＋4x＋4，得l＝8－8.當(dāng)x＞

時，令A(yù)2D2＝A2B2，得x2－2x－2＝0，解得x＝1＋

，或x＝1－

(舍去)．將