高考數(shù)學(xué)（新高考）總復(fù)習(xí)課件第二章第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第二章函數(shù)第五節(jié)

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)要求:1.掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.通過具體實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.1.指數(shù)冪的概念(1)根式的概念必備知識

·

整合

方根的概念符號表示備注如果①

xn=a

,n>1,n∈N*,那么x叫做a的n次方根

當n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個②

正數(shù)

,負數(shù)的n次方根是一個③

負數(shù)

0的n次方根是0當n為偶數(shù)時,正數(shù)的n次方根有④

兩個

,它們互為⑤

相反數(shù)

±

負數(shù)沒有偶次方根(2)兩個重要公式

=

(

)n=⑨

a

(注意a必須使

有意義).2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)分數(shù)指數(shù)冪的表示

=⑩

(a>0,m,n∈N*,n>1),

=

=

(a>0,m,n∈N*,n>1).(2)0的分數(shù)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪是

0

,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義.

(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則(i)aras=

ar+s

(a>0,r,s∈Q).(ii)(ar)s=

ars

(a>0,r,s∈Q).(iii)(ab)r=

arbr

(a>0,b>0,r∈Q).3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

定義域

R

值域

(0,+∞)

性質(zhì)過定點

(0,1)

當x>0時,

y>1

;當x<0時,

0<y<1

當x>0時,

0<y<1

;當x<0時,

y>1

在(-∞,+∞)上是

增函數(shù)

在(-∞,+∞)上是

減函數(shù)

?提醒(1)當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時,需分a>1和0<a<1兩種情況

進行討論.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點(0,1),(1,a),

,依據(jù)這三點的坐標可得到指數(shù)函數(shù)的大致圖象.知識拓展判斷指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示的是指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1

之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi),指

數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象越高,底數(shù)越大.1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1)

=(

)n=a.

()(2)(-1

=(-1

=

.

()(3)函數(shù)y=a-x(a>0,且a≠1)是R上的增函數(shù).

()(4)函數(shù)y=2x-1是指數(shù)函數(shù).

()(5)若am<an(a>0,且a≠1),則m<n.

()??????2.(新教材人教A版必修第一冊P107T2改編)設(shè)a>0,將

表示成分數(shù)指數(shù)冪,其結(jié)果是()A.

B.

C.

D.

C3.(新教材人教A版必修第一冊P115T2改編)若函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象

經(jīng)過點

,則f(-1)=

()A.1

B.2

C.

D.3C4.(新教材人教A版必修第一冊P115T3改編)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來是a件,在今

后m年內(nèi),計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%,則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化

的函數(shù)解析式為

()A.y=a(1+p%)x(0<x<m)B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N)C.y=a(1+xp%)(0<x<m)D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)B5.函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值是最小值的2倍,則a的值是

()A.

或

B.

或2C.

D.2B1.0.02

-

+

-(

-1)0=

-45

.關(guān)鍵能力

·

突破

考點一根式、指數(shù)式的化簡與求值解析

-

+

-(

-1)0=0.3-1-49+

-1=-50+

+

=-45.2.(2

)(-6

)÷(-3

)(a>0且b>0)=

4a

.解析(2

)(-6

)÷(-3

)=

·

=4a.3.化簡下列各式:(1)

+2-2×

-(0.01)0.5;(2)

(a>0,b>0).解析(1)原式=1+

×

-

=1+

×-

=1+-

=

.(2)原式=

=

=

.名師點評指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的,無括號的先進行指數(shù)運算.(2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負數(shù)的,先確定符號;底數(shù)是小數(shù)的,先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,先

化成假分數(shù).(4)若是根式,則化為分數(shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算

性質(zhì)來解答.?提醒運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負指數(shù)冪,形式要統(tǒng)一.考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用典例1(1)在同一平面直角坐標系中,如果a>0且a≠1,那么函數(shù)f(x)=xa與g(x)=

a-x在[0,+∞)上的圖象可能是

()

A(2)(多選題)已知實數(shù)a,b滿足等式

=

,則下列關(guān)系式中不可能成立的是

()A.0<b<a

B.a<b<0C.0<a<b

D.b<a<0CD解析(1)易知f(x)=xa為冪函數(shù),g(x)=a-x=

為指數(shù)函數(shù).g(x)=a-x=

的圖象過定點(0,1),當0<

<1,即a>1時,g(x)是減函數(shù),f(x)=xa是下凹增函數(shù),故A選項正確,B選項錯誤;當

>1,即0<a<1時,g(x)是增函數(shù),f(x)=xa是上凹增函數(shù),故C、D選項錯誤.(2)畫出函數(shù)y=

和y=

的圖象,如圖所示:結(jié)合圖象分析a,b滿足等式

=

時a,b的大小關(guān)系.易知,若a,b均為正數(shù),則a>b>0;若a,b均為負數(shù),則a<b<0;若a=b=0,則

=

=1.名師點評應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個技巧(1)畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點:(1,a),(0,1),

.(2)已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象一般是取特殊點,判斷所給的圖象是否過這

些點,若不滿足,則排除.(3)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入

手,通過平移、伸縮、對稱變換得到相應(yīng)函數(shù)的圖象.當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系

不確定時,應(yīng)注意分類討論.(4)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往要作出相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,運用數(shù)形結(jié)合的思想求解.1.函數(shù)y=ax-a2+a(a>0且a≠1)的圖象不可能是

()

D解析

當0<a<1時,函數(shù)y=ax-a2+a為減函數(shù),取x=0,則y=a0-a2+a=-

+

,又0<a<1,所以1<-

+

≤

,故C中圖象可能,D中圖象不可能;當a>1時,函數(shù)y=ax-a2+a為增函數(shù),取x=0,則y=a0-a2+a=-

+

,又a>1,所以-

+

<1,故A、B中圖象可能.2.函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是

()

A.a>1,b<0

B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0D解析

由題中f(x)=ax-b的圖象可以觀察出,函數(shù)f(x)=ax-b在定義域上單調(diào)遞減,所以0<a<1.函數(shù)f(x)=ax-b的圖象是將f(x)=ax的圖象向左平移得到的,所以b<0.考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度一比較指數(shù)式的大小典例2

(2020四川成都七中高三模擬)已知a=

,b=

,c=2

,則

()A.b<a<c

B.a<b<cC.b<c<a

D.c<a<bA解析

a=

=1

,b=

=1

,c=2

,因為冪函數(shù)y=

在R上單調(diào)遞增,所以a<c,因為指數(shù)函數(shù)y=16x在R上單調(diào)遞增,所以b<a,即b<a<c.角度二解簡單的指數(shù)方程或不等式典例3設(shè)函數(shù)f(x)=

.(1)解不等式f(x)<

;(2)求函數(shù)f(x)的值域.解析(1)因為f(x)=

=1+

<

,所以4x+1<3,即22x<21,所以x<

,即不等式的解集為

.(2)因為f(x)=1+

,4x>0,所以4x+1>1,-2<

<0,-1<1+

<1,所以f(x)的值域為(-1,1).角度三與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性典例4函數(shù)f(x)=

的單調(diào)遞增區(qū)間為

()A.

B.

C.

D.

C解析

由-x2+x+1≥0得

≤x≤

,∴f(x)的定義域為

.∵y=-x2+x+1在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,∴t=

在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,又y=

在R上單調(diào)遞減,∴f(x)=

的單調(diào)遞增區(qū)間為

.角度四指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題典例5已知定義在R上的函數(shù)f(x)=

是奇函數(shù).(1)求實數(shù)a,b的值;(2)若對任意實數(shù)x,不等式f(4x-k·2x)+f(22x+1-k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.解析(1)∵定義在R上的函數(shù)f(x)=

是奇函數(shù),∴f(0)=0,解得b=1.由f(-1)=-f(1),得

=-

,解得a=2.故實數(shù)a=2,b=1.(2)由(1)知f(x)=

=

=-

+

,∵y=2x+1在R上單調(diào)遞增,且y>1,∴f(x)在R上單調(diào)遞減.不等式f(4x-k·2x)+f(22x+1-k)<0恒成立即不等式f(4x-k·2x)<-f(22x+1-k)恒成立,∵f(x)是奇函數(shù),又是單調(diào)遞減函數(shù),∴4x-k·2x>k-22x+1,可得3·4x-k·2x-k>0恒成立,令t=2x(t>0),則3t2-kt-k>0(t>0)恒成立,若

≤0,則-k≥0,即k≤0;若

>0,則Δ<0,即k2+12k<0,此時無解.綜上,實數(shù)k的取值范圍是(-∞,0].名師點評指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用問題的解題策略:(1)比較大小問題.常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)比較大小.(2)解簡單的指數(shù)型不等式要充分利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),將指數(shù)型不等式轉(zhuǎn)化

為一次、二次不等式解決.(3)指數(shù)函數(shù)的綜合問題.要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì)(如

奇偶性、周期性)相結(jié)合,同時要特別注意,底數(shù)不確定時,應(yīng)對底數(shù)進行分類

討論.1.(多選題)已知函數(shù)f(x)=

,則下列說法正確的是

()A.f(x)的圖象關(guān)于原點對稱B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C.f(x)的值域為(-1,1)D.?x1,x2∈R,且x1