高中數(shù)學(xué)選擇題解題技巧

高中數(shù)學(xué)選擇題解題技巧

高考數(shù)學(xué)選擇題在高考試卷中所占比例較大，具有題

小、基礎(chǔ)、快速、靈活的特征.下面對高考數(shù)學(xué)高考選

擇題的解法作一些歸納，以期對同學(xué)們有所幫助.

解答選擇題的基本策略

解答選擇題的基本策略是"小題小做，不擇手段”.

1.要充分挖掘各選擇支的暗示作用；

2.要巧妙有效的排除迷惑支的干擾.

快速解答選擇題要靠基礎(chǔ)知識的熟練和思維方法的靈活

以及科學(xué)、合理的巧解，應(yīng)盡量避免小題大做.

選擇題常用解題方法

由于高考數(shù)學(xué)選擇題四個選項中有且只有一個結(jié)論正

確，因而解選擇題要沿著以下兩個途徑思考：一是否定

3個結(jié)論；二是肯定一個結(jié)論.常用的方法有：直接

法，篩選法（排除法），利用數(shù)學(xué)中的二級結(jié)論法，特例

法（特殊值，特殊圖形，特殊位置，特殊函數(shù)，）是

重點方法，還有數(shù)形結(jié)合法，驗證法，估算法，特征

分析法，極限法等，下面舉例說明.

直接法

從題設(shè)條件出發(fā)，運用數(shù)學(xué)知識通過推理或計算得出結(jié)

論，再對照各選項作出判斷的方法稱為直接法.直接法

的思路是肯定一個結(jié)論，是將選擇題當(dāng)作解答題求解的

常規(guī)解法.對一些為考查考生的邏輯推理能力和計算能

力而設(shè)計編擬的定量型選擇題常用直接法求解.

例1.設(shè)F為拋物線）2=4.x的焦點，A、B、C為該拋物

線上三點，若石4+“+戶6=0,則|必i|+|F川+|前|

等于（）

A.9B.6C.4D.3

【解析】拋物線）'=4x的焦點為F（1,O）,設(shè)A（%，x）,

B（x2,y2）.。（七，/），則由西+麗+正句，

得$一1+W—1+$-1=0,即與+Aj+Aj=3.

而|西|+|而|+|正|可轉(zhuǎn)化為A、B、C三點到準(zhǔn)線

的距離,即|而|+|而|+|而|=%+1+%+1+/+1=6.

故選B.

【評析】本題考查拋物線及向量的基本知識，解題的關(guān)

鍵是將向量運算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算，再結(jié)合拋物線的性質(zhì)

將點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離.

【跟蹤訓(xùn)練1】已知以耳（一2,0）,居（2,0）為焦點的橢

圓與直線x++4=0行且僅有一個交點，則橢圓的

長軸長為（）

A.3&B.276C.25/7D.472

【解析】設(shè)長軸長為2。，則橢圓方程為

22

0+Y—=1,與直線方程聯(lián)立消去X,得

a2a2-4

(4a2-12)/+873(?2-4)y+(16-/)(/-4)=0,

由條件知△=(),即

192(/-4)2-16(a2-3)(16—/)(/一%=0,

得。=0(舍)，a=2(舍)，a=幣,

2a=2-77，故選C.

篩選法（排除法）

當(dāng)題目題設(shè)條件未知量較多或關(guān)系較復(fù)雜，不易從正面

突破，但根據(jù)一些性質(zhì)易從反面判斷某些答案是錯誤的

時候，可用篩選法排除不正確的選項，得到正確答案.

篩選法思路是否定三個結(jié)論，有些問題在仔細(xì)審視之

后，憑直覺可迅速作出篩選.

例2.函數(shù)f(x)=cos2x—2cos2m的一個單調(diào)增區(qū)間

是()

不2TT、c,乃乃、

A.(、,/-)B.(-,-)

3362

c.(()4)D.(-1,/)

366

［解析］/(A)=COS2A-(1+COSX)=COS2X-COSX-1,

%J5145

則f(5)=-C>/G)=-7*排除B；

62434

r(o)=-i>"￡)=—』，排除C；f(0)=-l>

,34

槨=祗一L，排除D.故選A.

624

【評析】若用直接法求解則耗時費力，而用篩選法則是

明智的選擇.

【跟蹤訓(xùn)練2】已知兩點^(-4,--),給出

44

卜列曲線方程①4x+2y-l=0；②F+,2=3；③

++y2=i；④+-），2=1在曲線上存在點p滿足

|MP|=|NP|的所有曲線方程是（）

A.①@B.②④C.①?③D.②③④

13

【解析】=-,MN的中點坐標(biāo)為（―二,0）,則滿足

22

|MP|=|NP|的方程為/：v=_2*+$，即/：2x+v+3=O,

顯然它與①平行而無交點，應(yīng)排除A、C：而根據(jù)B、D

選項可知/與②④?定有公共點，故只要判斷/與③是

否有公共點即可，而易判斷/與③有公共點，故選D.

利用數(shù)學(xué)中的二級結(jié)論法

例3.設(shè)正項數(shù)列｛4｝的前n項和是S"，若｛4｝和

｛四｝都是等差數(shù)列，且公差相等，則q+d的值為

（）

1233

A.-B.-C.-D.一

2342

【解析】設(shè)數(shù)列｛q｝的首項為q,公差為d,

則citl=4+(〃—V)cl,故Js“=ir+(q——)n,

乂｛、及｝也是公差為d的等差數(shù)列，

.?.瘋是關(guān)于〃的一次函數(shù)，

二4=3'瘋=耳,

則"=，^(-級結(jié)論：an-ncl4-(a,-d)),

所以〃=0或

2

當(dāng)"=0時，a.=0,不合題意，當(dāng)時，a=—.

12｝4

所以q+d=』+'=3.故答案為C.

!424

【評析】通過數(shù)學(xué)中的一些重要結(jié)論，或者數(shù)學(xué)內(nèi)容的

重要特征，可以避免繁雜的運算.

【跟蹤訓(xùn)練3】若函數(shù)/(尤)=xln(x+\la+x2)為偶函

數(shù)，則a的值為()

A.2B.3C.1D.-

2

【解析】奇函數(shù)與奇函數(shù)的積是偶函數(shù)(二級結(jié)論)，

故h(x)=ln(x+>/a+A2)是奇函數(shù)，所以

ln(x+y/a+x')+ln(-v+yja+x')=ln(d+x2-x2)

=Int/=0(二級結(jié)論：奇函數(shù)f(x)+=0),

解得a=l.故選C.

特例法

有些選擇題涉及的數(shù)學(xué)問題具有一般性，而提供的選擇

支往往互相矛盾(即任意兩個選擇支不能同時成立),這

類選擇題要嚴(yán)格推證比較困難，此時不妨從一般性問題

退到特殊性問題上來，通過取適合條件的特殊值、特殊

圖形、特殊位置等進(jìn)行分析，往往能簡縮思維過程、降

低難度而迅速得解.

(1)特殊值法

例4.若。<x<+,則下列命題中正確的是()

A.sinx<—xB.sinx>—x

兀兀

4

C.sinx<--XD.sinx>--X

7T

【解析】取特殊值工=一代入驗證，可立即排除A、B、

C,故選D.

【評析】若直接求解則繁瑣且易錯，而通過特值法則能

迅速作出判斷，對考生的直覺思維能力和策略創(chuàng)造能力

是一個很好的檢測.

(2)特殊圖形法

例5.己知O是銳角三角形外接圓的圓心，=

0瓦+2￡m=2加而，則實數(shù)〃廠______

sinCsinB

(用8表示)

［解析】構(gòu)造等邊AABC,則可得到,〃=正，故

2

m=sin6.

【跟蹤訓(xùn)練4】AA8C的外接圓的圓心為0,兩條邊上

的高的交點為H,OH=m(0A+0B+0C),則實數(shù)

ni=.

【解析】構(gòu)造宜角AABC,點O為斜邊的中點，點〃與

直角頂點C重合，這時有兩=工*+而+次，，

(3)特殊位置法

22

例6.已知點尸是橢圓器+右=l(x豐0,yw0)上的

動點，耳,心為橢圓的兩個焦點，。是坐標(biāo)原點，若M

是2月PF?的角平分線上一點，且巴必?"P=(),則

OM的取值范圍是()

A.(0,3)B.(0,2>/2)

C.(20,3)D.(0,4)

【解析】由題意可得，當(dāng)點P在橢圓與〉，軸交點處時，

則點M與原點O重合，此時|OM|取最小值0.當(dāng)點P

在橢圓與x軸交點處時，點M與焦點Fi重合，此時|OM|

取最大值c=20.?盯w(),.」OM|的取值范圍

是(0,272),故選B.

KV2

【跟蹤訓(xùn)練5】已知橢圓J+==1(。>%>0)的離心

ab

率6=,，A,/3是橢圓的左右頂點，P為橢圓上不同

2

于A,B的動點，直線PA//S的傾斜角分別為以4，

則竺四皿()

cos(a-。)

1

A.1B.一C.7D.—

73

【解析】當(dāng)「在短軸的端點處時，可得《以=2,

cos(a+/?)_cosacos6一sinasinp

cos(a-/7)cosacos/7+sinasin/7

1十二

1-tanatanB4

;==7

1+tanatanp〔_J

一4

(4)特殊函數(shù)法

例7.己知/(x)與g(x)是定義在R上的連續(xù)函數(shù),如

果J3與g(x)僅當(dāng)x=0時的函數(shù)值為0,且f(x)2

g(x),那么下列情形不可能出現(xiàn)的的是()

A.0是/*)的極大值,也是g(%)的極大值;

B.0是/(x)的極小值,也是g(x)的極小值;

C.0是/(1)的極大值,但不是g(x)的極值；

D.()是/(.r)的極小值，但不是g(x)的極值.

【解析】取=與g(x)=—2f適合條件，但0

是/(x)與g(幻的極大值，故A可以出現(xiàn)，排除A；取

〃%)=2%2與g(x)=/適合條件,則0是/(X)與

g(x)的極小值，故B可以出現(xiàn),排除B；取/(X)=2\x\

與g(x)=x滿足題意，則0是f(x)的極小值，但不是

g(x)的極值，故D可以出現(xiàn)，排除D.故選C.

【跟蹤訓(xùn)練6】設(shè)函數(shù).f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，(x),若對任

意xwR都有/'*)>/*)成立，則()

A./(In2016)<2016/(0)

B./(In2016)=2016/(0)

C./(In2016)>2016/(0)

D.fQn2016)與2016f(0)的大小關(guān)系不能確定

【解析】取.〃x)=-2,則『&)二(),觀察選項，可得正

確答案為C.

數(shù)形結(jié)合法

對于一些具有幾何背景的數(shù)學(xué)問題，如能構(gòu)造出與之相

應(yīng)的圖形進(jìn)行分析，往往能在數(shù)形結(jié)合、以形助數(shù)中獲

得形象直觀的解法.

x2,|x|>l,

例8.設(shè)f(x)=1g(x)是二次函數(shù)，若

X,|x|<l,

/(gCr))的值域是[0,+8),則a(x)的值域是()

A.(—X,—1]U[1,4-oo)B.(—QO,-1]U[(),4-00)

C.[0,+oc)D.[1,+<?)

【解析】畫出.f(x)的圖象如圖所示.

要使y=f(〃)的值域為0+8),則〃可取(-8,-1]

u[0,+OC).又4=g(x)是二次函數(shù)，其圖象是開口向

上或向下的拋物線，故g(x)的值域不可能同時取

(-8,-1]和[0,+00),故只能取[0,+OC),故選C.

【評析】本題考杳復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、圖象和性

肢，對考生分析解決問題的能力要求較高.結(jié)合圖形能

形象直觀的迅速得解，但注意淘汰抻（-00,-1］是正確解

答的突破口.

驗證法

將題目所提供的各選擇支或特值逐一代入題干中進(jìn)行驗

證，從而確定正確的答案.有時可通過初步分析，判斷

某個（或某幾個）選項正確的可能性較大，再代入檢驗，

可節(jié)省時間.

2112

例9.數(shù)列僅“｝滿足g=1,a.=~,fi—+—=—

3%?,）+i&

522）,則4等于（）

n+\（3）（3）n+2

【解析】先代入求得小=一，再對照給出的選擇支，分

2

21

別驗證4=1,生=彳，見=5即可得出結(jié)論，選人

估算法

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過程.

因此可以猜測、合情推理、估算而獲得.這樣往往可以

減少運算量，當(dāng)然自然加強(qiáng)了思維的層次.

例10.如圖所示，在多面體48CDE/中，已知面

A8CD是邊長為3的正方形，EF〃AB,EF=-,EF與平

2

面ABCD的距離為2,則該多面體的體積為（）

A.-B.5C.6D.—

22

B

【解析】BE,CE，人'/二^E-ABCD+%-BCF-

乂^EARCD=；'9乂2=6,所以VARCDEF>6?而在選擇支

中，只有”>6,故選I）.

2

【評析】估算，省去了很多推導(dǎo)過程和比較復(fù)雜的計

算，節(jié)省了時間，從而顯得快捷.其應(yīng)用廣泛，它是人

們發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的一種重要的運算方

法.

特征分析法

通過對題干和選擇支的關(guān)系進(jìn)行分析，挖掘出題目中的

各種特征，如結(jié)構(gòu)特征、數(shù)字特征、取值范圍特征、圖

形特征、對稱性特征、整體特征等，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，快

速辨別真?zhèn)?

例11.設(shè)△ABC的三邊〃、b、c滿足等式

acosA+bcosB=ccosC,則此三角形一定是（）

A.以4為斜邊的直角三角形C.等邊三角形

B.以b為斜邊的直角三角形D.其它三角形

【解析】觀察題設(shè)可看出等式是關(guān)于。、A與b、B的對

稱式，于是選擇支A、B等價，可同時排除；又若C正

確，則原式即為2=1,于是又排除C,故只有選D.

利用極限思想

極限思想是一種基本而重要的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)一個變量無

限接近一個定量，則變量可看作此定量.對于某些選擇

題，若能恰當(dāng)運用極限思想思考，則往往可使過程簡單

明快.

22

例12.P是雙曲線=一二二1(〃>(),/?>())右分支上

一點，F(xiàn)、、F2分別是左右焦點，且焦距為2c,則4Pg

的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為()

A.aB.bC.c