高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)第二冊(cè)綜合拔高試卷2

高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)第二冊(cè)綜合拔高試卷2

第I卷（選擇題）

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一、單選題

1.已知一圓錐底面圓的直徑為3,圓錐的高為地，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為“的正

2

四面體，并且正四面體在該幾何體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則。的最大值為（）

A.3B.72

C.義6-碼D.半

2.如圖，將矩形紙片A8CQ折起一角落（/XEAF）得到記二面角A-砂-。的

大小為直線A，E,AF與平面BCD所成角分別為a,。,則（）.

A.a+/3>0B.a+P<0

TT

C.ot+>—D.a+/3>20

3.如圖，已知在“ABC中，/BAC=90。,43=1,8C=2,0為線段8c上一點(diǎn)，沿AD將

△ABD翻轉(zhuǎn)至V4?Z>,若點(diǎn)B'在平面A3c內(nèi)的射影”恰好落在線段AC上，則二面角

B'-DC—A的正切的最大值為（）

A#1

A.------B.1C.V2D.73

3

x/3x-y+\/3N0

4.已知平面區(qū)域C：〈氐若圓C:(x—a)2+(y—。)2=，”>0)與x軸和直

y>0

線y=6*+1)均相切，且圓心CeC,則竺匕的最小值為

a~+b

1+5/2

A.0B.C.D.

422

5.已知函數(shù)/(幻=:+"—"20,其中,對(duì)于任意占eR且x尸0,均存在唯

ar+/?,x<0

一實(shí)數(shù)與，使得/心)=/(占)，且X產(chǎn)乙，若If(尤)|=/(〃?)有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，貝！

的取值范圍是

A.(0,1)B.(—1,0)C.(-2,-1)U(T。)D.(-2,-1)

6.如圖，已知。，。分別是正四面體43C￡>的側(cè)面A3C與側(cè)面4D上動(dòng)點(diǎn)(不包含側(cè)

面邊界)，則異面直線CP,3Q所成角不可能的是

A.45°B.65°C.75°D.90°

二、多選題

7.已知函數(shù)/(幻=|：一下列關(guān)于函數(shù)y=/[/(x)]+i的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法

log2x,x>()

中，正確的是()

A.當(dāng)后>1,有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)〃=-2時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)1>%>0,有4個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)Z=Y時(shí)，有7個(gè)零點(diǎn)

8.已知函數(shù)/(x)=sin」(x+1■卜os4(x+/)在區(qū)間((小用上的最大值為

加⑺，最小值為制。，令咐="[)一硬),則下列結(jié)論中正確的是()

A-B./??)的最大值為近

SIT

C./?(/)的最小值為1D.當(dāng)九(/)=1時(shí)，t=k/+—(ZeZ)

6

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

第II卷(非選擇題)

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三、填空題

9.己知平面內(nèi)不同的三點(diǎn)。，A,B滿足|方|=|而|=5,若時(shí)，

\WB-OA\+(\-2.)Bd--BA的最小值為百，則|而上.

10.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABS-ABC",點(diǎn)尸沿正方形ABC。按ABCD4的方向

作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。沿正方形8CCB按BCCBBI的方向以同樣的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)

P，Q分別從點(diǎn)A與點(diǎn)4同時(shí)出發(fā)，則PQ的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積大小是

11.已知函數(shù)/(x)=(2x+a?(|x-a|+|x+2a|)(4<0),若

/(1)+/(2)+/(3)+-.+/(100)=0,則滿足/(力=909的x的值為.

12.已知常數(shù)ae/?,設(shè)函數(shù)〃x)=3x3+(2a-l)x+aj^/^W7,定義域?yàn)?喋.若〃x)

\7

的最小值為0,則。=.

四、解答題

13.已知函數(shù)，(x)=*^.

(1)當(dāng)“=2時(shí)，比較〃”)，/((?”)，川(3-2萬(wàn)四);

O1

⑵當(dāng)xe[-l,2]時(shí)，恒有f(2x)-，(x)+成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

14.已知函數(shù)y=f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，，*)=2*+2-*.

(1)求/J)的解析式；

(2)若時(shí)(x)(27+〃?-1在((),+<?)上恒成立，求團(tuán)的取值范圍.

15.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椤?，若存在?shí)數(shù)”，6,對(duì)任意的xe。，W2a-xe￡>,

且使得/(x)+/(2a-x)=26均成立，則函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(?,b)對(duì)稱，反之亦

然，我們把這樣的函數(shù)Ax)叫做“甲函數(shù).

(1)已知"中函數(shù)”的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，且X€(0,1)時(shí)，/(X)=X」；求X€(1，2)時(shí)，

X

函數(shù)/(X)的解析式；

Yr-4-1v4-9r+4

(2)已知函數(shù)/a)=」7+j+j+問人龍)是否為“平函數(shù)”？請(qǐng)說明理由；

(3)對(duì)于不同的“中函數(shù)”/(x)與g(x),若/(*)、g(x)有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心，分別記

為(，"，/))和5,。),

①求證：當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，/(x)+g(x)仍為“中函數(shù)”；

②問：當(dāng)機(jī)工〃時(shí)，/(x)+g(x)是否仍一定為“中函數(shù)”？若是，請(qǐng)說明理由；若不一定

是，請(qǐng)舉出具體的反例.

16.已知函數(shù)〃x)=(-lnx(a>0,e=2.71828L為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，判斷函數(shù)“X)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)xw[l,e]時(shí)，關(guān)于x的不等式〃x)>2x-Ina恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案

1.B

【分析】

根據(jù)題意，該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，通過內(nèi)切球即可得到。的最大值.

【詳解】

依題意，四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球

設(shè)球心為P,球的半徑為「，下底面半徑為R,軸截面上球與圓錐母線的切點(diǎn)為。，圓錐的

軸截面如圖：貝IJQA=OB=:，因?yàn)镾O=羋，

22

故可得：SA=Sfi=slS02+0B2=3;

所以為等邊三角形，故P是△S4?的中心，

連接BP,則8P平分NSBA,

所以/PBO=30°；

所以tan3(r=￡,即/=立/?=走、3=3，

R3322

即四面體的外接球的半徑為r=也.

2

另正四面體可以從正方體中截得，如圖：

從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為“時(shí)，截得它的正方體的棱長(zhǎng)為也a,

2

而正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在正方體上，

故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，

所以2廠=\/5例=,所以q=

即”的最大值為a.

答案第1頁(yè)，共案頁(yè)

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正四面體的外接球，將正四面體的外接球轉(zhuǎn)化為正方體的外接球，是一種比較好

的方法，本題屬于難題.

2.A

【分析】

如圖，過H作A'"平面BCD,垂足為“，過4作AG_LEF,垂足為G,可證

sin=+sin2￡=sin2。，利用三角變換公式可證。+尸＞〃，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

如圖，過4作A7/J_平面88,垂足為H,過N作A'G_LEF,垂足為G,

設(shè)A'G=d,A'H=〃,NA'EG=y,

因?yàn)锳'”_L平面SC。，EFu平面BCD,故A”_L￡F,

而A'GcA'，=A'，故￡F"L平面A'G",而G，u平面A'G",

所以￡F_LGH,故NA'G”=6,

又ZA'EH=a,"FH=0.

在直角三角形A'GE中，A'E=--,同理A'F=——，

sin/cosy

.hh..八.

sina=———=—sin/=sin6/siny一.八.八

故dd,同理s】n/9=s】n6cosy,

sin/

故5由21+$山2/=$抽26,故1一￡?s2區(qū)一鄭2邑=Sil?e,

22

木仙rraZR穴cos2acos20■,_

整理得到——+——=cos-e,

22

故cos(a+/?+a-/?)+儂口+6——.)］二夕，

22

答案第2頁(yè)，共21頁(yè)

、cos(a+￡)cos。

整理得到cos(a+^)cos(a-/^)=cos~0即一鼠二,=cos(a_/7)，

若a+￡4。，由0<6<2可得cos(a+/?)2cos6即"“("+〃)？1,

4cos6?

,..,cos0,

\Q\a-p\<a+p<0,故cos|c-/7|>cose,即一((/-￡)<1'矛盾，

故<z+尸>6.

故A正確，B錯(cuò)誤.

由sin2a+sin2/?=sin??？傻胹ina<sine,sin￡<sin，，

而a,夕力均為銳角，故。<金尸<，，a+/3<2d<^,故CD錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：空間中不同類型的角的關(guān)系，應(yīng)利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于角的等式關(guān)系,

注意平面幾何、三角變換、解三角形等計(jì)算中的應(yīng)用.

3.C

【分析】

過8'作B'ELBC交BC于E,連接E4,結(jié)合已知條件有二面角A-OC-A的平面角為

ZB'EH,而tanZB'￡7/=-----=m設(shè)A/7=%且0vxvl,則"C=G-x,即可求3'H,

EH9

EH二券應(yīng)用函數(shù)與方程思想，構(gòu)造g(x)且在0<x<l上有解求參數(shù)機(jī)的范圍，即可得

二面角8-DC-A正切的最大值.

【詳解】

過B'作8EJ.8C交BC于E,連接E4,

,/￡在平面ADC內(nèi)的射影H恰好落在線段AC上，即B77_L面ABC,

：.B'H，BC且BE±BC,=B',即8C_L面B'HE,

EHu面B'HE,則BC_L￡H,

答案第3頁(yè)，共21頁(yè)

.,.二面角笈-OC-A的平面角為ZB'E",

B’H

在及/HE中,若令A(yù)H=x,則HC=6-x,又AB^ABT,

EH

B'H=Jl-x2＞EH=_^￡=且0cx＜1,

22

故tanZB'EH=2好'=，〃，則g(x)=(，/+4)f-2拒m—+3，/-4=(),即方程在0＜》＜1上

y3—x

有解時(shí)，加的最大值即為所求，

而g(x)開口向上且A=16-8/20,即0＜加42,對(duì)稱軸X=

1+—

tn-

歷

二當(dāng)病=2時(shí)，x=y-e(0,l),顯然成立；

當(dāng)0(?。?時(shí)，當(dāng)對(duì)稱軸在(0,；)上，/⑴=(4-2向而＞0恒成立；當(dāng)對(duì)稱軸在[；,￡)上，

/(0)=3/H2-4＞0,即＞＞g；

???綜上，有g(shù)＜，/42,即,"€[-&,-手)。(半，血"故二面角B'-DC-A的正切的最

大值為應(yīng).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三垂線定理找到二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)線段關(guān)系、勾股定理求B77,

D'f-f

EH,由tand'E"="=〃?，結(jié)合函數(shù)與方程的思想求參數(shù)/范圍，進(jìn)而確定最大值.

EH

4.C

【分析】

由約束條件畫出可行域，為一個(gè)等邊三角形，那么圓C與x軸和直線y=g(x+I)均相切，則

圓心在NNM。的角平分線MP上移動(dòng)，且人=/?，代入所求關(guān)系式中，化簡(jiǎn)后令左=左g=2轉(zhuǎn)

a

化到斜率，利用求函數(shù)最值的方式，借助雙勾函數(shù)求得最小值.

【詳解】

VSx-y+Vs＞0

做出約束條件Q：阮+)」G?0的可行域如圖XMNQ,為一個(gè)等邊三角形

y＞0

因?yàn)閥=G(x+l)就是圖像中的直線MQ,

答案第4頁(yè)，共21頁(yè)

又因?yàn)閳AC:(x-a)2+(y-32=r2(r>0)與x軸和直線y=瘋x+l)均相切

故其圓心C應(yīng)在/NMQ的角平分線MP上移動(dòng)，且6=>

1

ah+r2ah+hJ,

所以

a2+b2

ba

b

令k=k0c=7,因?yàn)閳A心Ceil,所以k<k0M=0或k2kop=\fi

ab+r2\+k.k-\.k-\.1

_________—_______=1_i_________-1J_____________________________=14_______________________

則/+"kR+l("l)，2(I)+2(%一1)+2+2

kv'k-\

ab+r21+^—

令f=Z-l,fe(-oo,-l)u[K-l,甸，貝！I/+從

r+-+2

令m=1+2,則由雙勾函數(shù)可知mw(-oo,-20]U[20,+00)

則白ab-^r11「〔

故示二F"

c”ah+r21-61+V2’所以然的最小值為十

即戶h2'2

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查求函數(shù)最值問題,其中涉及線性規(guī)劃作圖分析，非線性的斜率問題，雙勾函數(shù)值域,

還考查了不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于難題.

5.D

【詳解】

由題意可知.穴X)在［0,+8)上單調(diào)遞增,值域?yàn)椋奂?+8),

??,對(duì)于任意Xl6R且尤1和,均存在唯一實(shí)數(shù)X2,使得於2月3)，

答案第5頁(yè)，共21頁(yè)

?；/U）在（-8,0）上是減函數(shù),值域?yàn)椋?+8）,

/.a<Q,b=m.

有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

0勺,又m<-\,

Q<am+b<-m,即0<（a+1）m<-m,

：.-2<a<~\.

點(diǎn)睛：（1）求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然

后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)式/3））的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

⑵當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段

上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足

相應(yīng)段自變量的取值范圍.

6.A

【分析】

取的中點(diǎn)N,根據(jù)線面垂直判定定理可得CNL平面ACN,進(jìn)一步可得O0_L平面曲

然后計(jì)算直線8與平面9所成角，最后進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

另設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為2,

取80的中點(diǎn)N,連接⑷V,CN,并作CMJ.AN,連接

如圖

答案第6頁(yè)，共案頁(yè)

A

在該正四面體中，有A8=A28C=C￡>

所以Br>_LCN,B￡>_LAN,CNcAN=N,CN,AVu平面ACN

所以B￡>_L平面ACN,又CMu平面ACN

所以BZ)_LCM,由E)c4V=N,BD,AVu平面4?

所以CM_L平面加，則CD與平面曲所成的角為NCDM

又CN=AN=2xsin60-=G,則cos4ACN=CN-AU-AN-=也

2CNAC3

所以sinN4CN=^,

3

則，AN.CM='cN.ACsinNACW=CM=亞

223

所以sinNCDW=也=亞〉正，所以NCDM>45

CD32

所以若點(diǎn)P為點(diǎn)D,CP與平面ABD所成的角要大于45

則當(dāng)。在平面ACZ)內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，CP與8。所成角要大于45

所以P,。在側(cè)面ABC與側(cè)面4口運(yùn)動(dòng)，CP與8。所成角要大于45

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成角，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，線線角轉(zhuǎn)化為線面角，便于計(jì)算與判斷，考查分

析能力與邏輯推理能力，屬難題.

7.ABD

【分析】

令y=o得丹〃x)]=-1,利用換元法將函數(shù)分解為〃x)=，和〃。=一1,作出函數(shù)〃x)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

令y=0,得/"(x)]=-l,設(shè)“X)=f,則方程f[f(x)]=-l等價(jià)為〃f)=T,

答案第7頁(yè)，共21頁(yè)

函數(shù)y=x?-自+1,開口向上，過點(diǎn)(0,1),對(duì)稱軸為x=g

對(duì)于A,當(dāng)&>1時(shí)，作出函數(shù)/(x)的圖象:

?.?/(/)=-1,此時(shí)方程〃。=-1有一個(gè)根f=g,由/(x)=g可知，此時(shí)x只有一解，即函

數(shù)y=/[/(x)]+l有1個(gè)零點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)％=—2時(shí)，作出函數(shù)f(x)的圖象:

—1,此時(shí)方程/⑺=一1有一個(gè)根f=g,由〃x)=g可知，此時(shí)x有3個(gè)解，即函

數(shù)y=/[/(x)]+l有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確;

對(duì)于C,當(dāng)1>%>0時(shí)，圖像如A,故只有1個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)k=Y時(shí)，作出函數(shù)“力的圖象:

答案第8頁(yè)，共21頁(yè)

v/(r)=-l,止匕時(shí)方程/(。=一1有3個(gè)根，其中^G(TO),%€(-4,-3)由〃x)=g

可知，此時(shí)x有3個(gè)解，由/(%)=，2€(-1,0),此時(shí)x有3個(gè)解，由/(x)=4e(T,-3),此

時(shí)x有1個(gè)解，即函數(shù)＞=/[/(x)]+l有7個(gè)零點(diǎn)，故D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合

是解決本題的關(guān)鍵，已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，屬于難題.

8.AB

【分析】

應(yīng)用同角平方關(guān)系、二倍角余弦公式得〃x)=sin(2x-京)，A將/=]代入求區(qū)間，根據(jù)正弦

型函數(shù)的性質(zhì)即可求〃閭，B、C討論與“力的遞增區(qū)間的關(guān)系,結(jié)

合己知區(qū)間的長(zhǎng)度為孑，分析不同情況下的力(。的取值范圍，進(jìn)而確定最大、小值，D由題

設(shè)知/(f)=l,，〃(。=0或M(f)=O,m(r)=-1,結(jié)合區(qū)間長(zhǎng)度即可求r.

【詳解】

〃x)=sin4(x+1)-cos，(x+1)=sin2(x+1)-cos2(x+5)=-cos(2x+?)

答案第9頁(yè)，共21頁(yè)

7Tti冗71得T茅到此時(shí)2吒?jìng)黝?/p>

A：當(dāng)/=7時(shí)，由xet--,t+-

2[_oo

7TT]37F

/.M(r)=sin—,/n(/)=sin-j^-,于是

冗JT=而嗚邛,正確.

/?(r)=M(f)-7n(r)=sin-sin=cos^+sin^=sin一+一

124

由2%萬(wàn)一（?2%—工+可得4萬(wàn)一（《。?）%+5（）￡Z）,所以函數(shù)/（x）的單調(diào)

rrrr

遞增區(qū)間為k7r--,kn+-（ZeZ）.

o5J

當(dāng)左"一看《/一?<￡+：?%萬(wàn)+?2￡2）,即左乃一看W/Wz乃+葛仕￡Z）時(shí)，則有

71

7z(r)=M(r)-zn(z)=f=sin

:

=sin^2/+-^-j-sin^2r-jyj=sin(2/+-j^-j+cos(2r+專)=V2sin(2r+y而

.?.V2sin2r+|G[1,V2],即/?⑺￡[1,收].

當(dāng)(YIU-；℃，即f=臬丘Z)時(shí),

M(r)_，〃(r)=_/(A乃+_/1%%+葛)=

???函數(shù)〃x）的最小正周期7=開，而區(qū)間一飛+飛的長(zhǎng)度為7，即（，

，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，/?■）的最大值為正，最小值為1-孝，故B正確，C錯(cuò)

誤.

D：當(dāng)帖）=1時(shí)，必有M（f）=l,m（f）=0或M（f）=O,機(jī)。）=-1,由于區(qū)間t-\、t+鼻

OO_

的長(zhǎng)度為9,即J，所以2"q）-*=q（AeZ）,即r=與+胃丘2）,錯(cuò)誤.

44\0/0Z>4N4

故選：AB

【點(diǎn)睛】

答案第10頁(yè)，共21頁(yè)

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解〃(。最值的關(guān)鍵是想到將區(qū)間+?放到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)

_OO_

間上和函數(shù)/(X)的關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的區(qū)間上考慮;判斷D的關(guān)鍵是能夠結(jié)合/(X)的值域和

/?(。的取值得到M(r)=l,相(f)=0或機(jī)(f)=0,，〃”)=—1,從而得到結(jié)果.

9.2舊

【分析】

由題設(shè)，將平面向量轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形,B在以A為圓心5為半徑的圓上,利用向量加減、

2______

數(shù)乘的幾何意義分別確定。、E使(1-/1)的=而、-BA=BE,進(jìn)而可知

______2__

\AbB-OA\+(\-A)BO-jBA^AD+ED,若4是A關(guān)于。8的對(duì)稱點(diǎn)，可知共

線時(shí)AD+ED最小，△A'8E中應(yīng)用余弦定理求coszEBA,即可求|而

【詳解】

2____

由題設(shè)，如下圖示，若歷=4礪，BE=-BA,則(1-2)80=80,WB-OA.=AD>

9________2_____.

-BA=BE,BP(1-2)BO--BA=ED,

：.\AOB-OA\+(\-A)Bd-^B^=\Ab\+\ED\,^AD+ED,

若A是A關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)，

AA'D^AD,即A￡)+￡D=A'O+E￡),如下圖示，

答案第11頁(yè)，共21頁(yè)

A

當(dāng)且僅當(dāng)A',。,E共線時(shí)，即AD+EO=4E="T最小，

V|tt4|=|AB|=5,即AB=5,BE=2,

25+4-413

,此時(shí)，△A'BE中，cosZEBA'=--=,而cos/EBA=2cos?480-1且NAB。為

2x5x25

銳角，

AcosZABO=—.而I麗［=2AB.coszABO=26.

5

故答案為：2石.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)平面向量加減、數(shù)乘的幾何意義，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為平面幾何中的點(diǎn)線距

離最短問題.

A

10.—##

4

【分析】

畫出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進(jìn)行充分性和必要性兩方面的證明，并求解

出軌跡圖形的面積.

【詳解】

如圖，E,￡G分別是正方形4BC￡>,4B8M，BCC田的中心，下面進(jìn)行證明：菱形EFGC

的周界即為動(dòng)線段尸。的中點(diǎn)H的軌跡，

首先證明：如果點(diǎn)，是動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)，那么點(diǎn)”必在菱形EFGC的周界上，

分兩種情況證明：(1)P,Q分別在某一個(gè)定角的兩邊上，不失一般性，設(shè)P從B到C,而

。同時(shí)從C1到C,由于速度相同，所以PQ必平行于BC，故PQ的中點(diǎn)”必在CG上；

(2)P,。分別在兩條異面直線上，不失一般性，設(shè)尸從A到B,同時(shí)。從4到C1,由于

答案第12頁(yè)，共21頁(yè)

速度相同，則AP=B?,由于H為尸。的中點(diǎn)，連接片”并延長(zhǎng)，交底面ABCD于點(diǎn)T,

連接PT,則平面PBtQT與平面A8C。交線是PT,

,/B,C,〃平面48C。，

B、G//PT,

二AHBQ-HTP,

而尸T=4Q=AP,PT//BC,

jr

二/XAPT是等腰直角三角形，ZTAP=~,從而7在AC上，可以證明FH〃/IC,GH//AC,

4

DG//AC,基于平行線的唯一性，顯然“在力G上，

綜合（1）（2）可證明，線段尸。的中點(diǎn)一定在菱形EFGC的周界上；

下面證明：如果點(diǎn)H在菱形EFGC的周界上，則點(diǎn)，必定是符合條件的線段的中點(diǎn).

也分兩種情況進(jìn)行證明：

（1）〃在CG或CE上，過點(diǎn)H作尸?！?G（或8￡））,而與BC及CQ（或C。及BC）分

別相交于P和Q,由相似的性質(zhì)可得：P，=Q”,即〃是PQ的中點(diǎn)，同時(shí)可證：BP=C,Q（或

BQ=DP）,因此產(chǎn)、。符合題設(shè)條件

答案第13頁(yè)，共21頁(yè)

(2)”在EF或尸G上，不失一般性，設(shè)”在FG上，連接片，并延長(zhǎng)，交平面AC于點(diǎn)T,

顯然T在AC上，過了作TP〃CB于點(diǎn)P,則7P〃G4,在平面PTC4上，連接PH并延

長(zhǎng)，交耳G于點(diǎn)。，在三角形AC8,中，G是4c的中點(diǎn)，F(xiàn)G//AC,則H是與T的中點(diǎn)，于

是4PTH*QB\H,從而有4Q=PT,又因?yàn)?尸〃CB,NCAB=NATP=2,所以AP=",

4

從而BQ=AP,因此尸，。符合題設(shè)條件.

由(1)(2),如果H是菱形EFGC周界上的任一點(diǎn)，則H必是符合題設(shè)條件的動(dòng)線段PQ

的中點(diǎn)，證畢.

因?yàn)樗倪呅蜤FGC為菱形，其中CE=LAC=2X?R=正，所以邊長(zhǎng)為也且

2222

AC=CB,=ABI,VABC為等邊三角形，NGCE=?,所以面積s=Y2xY2xsif=且.

32234

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】

對(duì)于立體幾何軌跡問題，要畫出圖形，并要善于觀察，利用所學(xué)的立體幾何方面的知識(shí)，大

答案第14頁(yè),共21頁(yè)

膽猜測(cè)，小心驗(yàn)證，對(duì)于多種情況的，要畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

11.52

【分析】

先確定函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式和函數(shù)的對(duì)稱性解方程，即可求解.

【詳解】

八a—2aa

解：由題意，注意到了=0,-----=——

22

又一]+xJ=2x(x—”3+3(a<0),

22

ax=-2xx+3“+x_33

a(av0),

22

f[-rX+f%=。，

1+100a.,.八v

???/(*)關(guān)于點(diǎn)(4，。)對(duì)稱，二---=-—>解r得：a=-\0\

22

/.f(x)=(2x-101)(1x+1011+1x-2021)

-(2x-101)2a<-101)

f(x)=?，303(2%-101)(-101<x<202)

(2X-101)2(X>202)

又?.?/'(x)=909,經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)且僅當(dāng)-101<x<202時(shí)符合題意,

.-.303(2x-101)=909,.-.x=52

故答案為：52

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)解析式的求解，函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等知識(shí)，屬于難題.

⑵容

【分析】

lx?

由已知可得/(幻2o恒成立，且等號(hào)能取到，分離參數(shù)得到“"4仇丁恒成

2+7-2

1-3/

立，通過換元，求函數(shù)的最大值，即可求解.

【詳解】

答案第15頁(yè)，共21頁(yè)

3丁+(2〃―1〃+川2—20/0,*(*)恒成立，且等號(hào)能取至九

x(3x~—1)+a(2x+5/2-2x~)^0,3x"—1+〃(2+

11-3-^-

1-2,

7+2

g⑺=舁=_____lzl-------=-------!-------

々r+2(/-2)2+4(/-2)+6(-2)++4

“就T容’當(dāng)且僅當(dāng)T+如等號(hào)成立;

因?yàn)?*)取到等號(hào)，所以。=近2

44

故答案為:也二.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查最值與不等式的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，注意換

元法以及基本不等式的應(yīng)用，屬于較難題.

/16_32]3

13.(D，加石7)<〃七尸)</(”)；⑵匕■,+8).

o14

【分析】

(1)斫2時(shí)，分析出/U)的單調(diào)性，再比較詞，(《)1，,(3-2萬(wàn)>的大小而得;

(2)化簡(jiǎn)計(jì)算給定不等式的左邊，原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為空叱21,再分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成求

22X+1

函數(shù)的最大值得解.

【詳解】

2-2A-l_2(2Y+l)-33

⑴。=2時(shí),fM==2-

2—1--2*+12、+1

3

而21+1是R上的增函數(shù)，3是R上的減函數(shù)，則/U)是H上的增函數(shù)，

2+1

8；=4,(^P=[(|)4r#(3-2%)4=2萬(wàn)-3,即1(3-2%)4<(普)3<8；

012OO1

__________IX_32

所以/做3-2))4)</(喘)<)<f(歹)；

ol

答案第16頁(yè)，共21頁(yè)

a(2'+l)-(a+l).a+1

⑵/。)=----------=2--：—

2X+12A+1

"2x)_/(x)=(2_瑞a+1=)+1)(22*-2')

)2x+\~(22x+l)(2t+l),

/(2x)-/W+-3竺21o智竺至+畢+1)?.匕21

23X+22X+2X+1(22X+1)(2A+1)(22X+1)(2X+1)

(a+1)2

21<=>a+122*H—-“22"H—：—1,

oP+l2X2X

xe[-l,2],r=2xe[l4],f+：-I在g,l]上遞減，在[1,4]上遞增，

113113I13

時(shí)，tH---1=彳，/=4時(shí)，tH---1=—>所以/=4時(shí)，t—1取最大值一，

2t2t4t4

即產(chǎn)2時(shí)，2'+31-1取最大值143，

2'4

故實(shí)13數(shù)。的取值范圍是[1；3,+8).

44

【點(diǎn)睛】

(1)對(duì)勾函數(shù)f(x)=x+3(a>0)是奇函數(shù)，xe(O,+<?)時(shí),?r)在(0,折]上是減函數(shù),在

x

[&,+8)上是增函數(shù)；

(2)含參的不等式恒成立問題，最先思考的方法是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值解決.

2'+2-x,x>0

14.(1)f(x)=-0,x=0,(2)實(shí)數(shù)掰的取值范圍是1-8,-g

-2x-2-',x<0I'

【分析】

(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式：

(2)將恒成立轉(zhuǎn)化為令r=21>l,g(r)=機(jī)產(chǎn)+恒成立，討論二次函數(shù)系

數(shù)加=0,加片0結(jié)合根的分布.

【詳解】

解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，

所以〃0)=0,f(x)=-f(-x)

當(dāng)x<0時(shí)—x>0,則/(-x)=27+2*

所以當(dāng)x<0時(shí)/(%)=-/(-%)=-2-x-2,

答案第17頁(yè),共21頁(yè)

2工+21>0

所以/(幻=0,x=0

一2、一2T,x<0

(2)因?yàn)閤>0時(shí)，f(x)=2x+2-x

fnf(x)?2一"+加-1在(0,+oo)上恒成立

等價(jià)于m(2x+2-')<2一、+優(yōu)一1即“?(2")2-(加一1).2、+加一140在(0,+00)上恒成立

令/=2A,f>1,則g(t)=mt2-+

①當(dāng)初=0時(shí)，g⑺W0不恒成立，故舍去

/-?7—1

②當(dāng)加工0時(shí)必有機(jī)<0,此時(shí)對(duì)稱軸，=---->0

2m

若△=一3〃22+2機(jī)+1《0即加之/或加《一(時(shí)，g?)?。恒成立

因?yàn)閙<0,所以加工一;

若4=一3機(jī)2+2m+1>0即<機(jī)<1時(shí)，要使gQ)V0恒成立

g(l)=tn-m+\+m-\<0

則有，=>機(jī)<-1與-:<初<1矛盾，故舍去

2m3

m<Q

綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍是1-8,-g

【點(diǎn)睛】

應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法

(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；

(2)求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分

利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于/(x)的方程(組)，從而得到/(x)的解析式；

(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)/(幻±/(-*)=0得到關(guān)于待求

參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值；

(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間

上的單調(diào)性.

15.

(1)/(元)=x+2+J—(1<x<2)

答案第18頁(yè)，共21頁(yè)

(2)是“空函數(shù)”

(3)①f(x)+g(x)仍為“中函數(shù)”;②〃時(shí),f(x)+g(x)不一定是“中函數(shù)”.

【分析】

(1)根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱關(guān)系列關(guān)系式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)“中函