高中數(shù)學講義100微097不等式選講

微專題97不等式選講

一、基礎(chǔ)知識:

(一)不等式的形式與常見不等式：

1、不等式的基本性質(zhì)：

(1)a>bob<a

(2)a>b,b>a>c(不等式的傳遞性)

注：a>b,b>c=>a>c,a>c等號成立當且僅當前兩個等號同時成立

(3)a>b=>a+c>b+c

(4)a>b,c>0=>ac>he;a>b,c<O=>ac<he

(5)=22,〃EN)

(6)a>Z?>0=>標>窈(〃之2,〃cN)

2、絕對值不等式：|同一|同4.+6區(qū)同+M|

⑴|a+a<同+網(wǎng)等號成立條件當且僅當"20

(2)料—例W卜+4等號成立條件當且僅當ab<0

(3)\a-h\+\b-c\>\a-c\：此性質(zhì)可用于求含絕對值函數(shù)的最小值，其中等號成立當且

僅當(a—匕)儂-c)20

3、均值不等式

(1)涉及的幾個平均數(shù)：

n

①調(diào)和平均數(shù)：Hn=---------------

—+—++—

q?2%

②幾何平均數(shù)：G“=M4%

③代數(shù)平均數(shù)：A,=%+%++%

n

④平方平均數(shù)：Q卜；+—++%

Vn

(2)均值不等式：Hn<Gn<^<Q〃,等號成立的條件均為：6=%=

(3)三項均值不等式:

①6f+Z?+c>3\[abca2+b2+c2>3abe

3

Q+Z7+C

②abc<

3

/+/+c2

〃+Z?+c<3,

4、柯西不等式：(a：+a；++硝(廳+優(yōu)+(3+生劣++〃也了

等號成立條件當且僅當色="==%■或t>]=t>2==2=0

h瓦bn

⑴二元柯西不等式：("+〃)卜2+〃2"/+加/)2,等號成立當且僅當加=此

(2)柯西不等式的幾個常用變形

①柯西不等式的三角公式：

2

荷+嫉+~U+J斤+￡+.+〃+(a2±b2)+~~+(a“±a)2

②心$+…+*但15二堂

仿偽bnbt+b2++bn

,222\

—-H——+?-H——(4+4+.+2)之(。]+%++〃〃)―

”2b〃J

②式體現(xiàn)的是當各項。:,媛,?，d系數(shù)不同時，其“平方和”與“項的和”之間的不等關(guān)系,

剛好是均值不等式的一個補充。

③色+"+…+(卬+=+

伉b2bnafy+a2b2++anb?

5、排序不等式：設(shè)q4%4^b2<42為兩組實數(shù)，C1,C2，-,c”是乙也，

的任一排列，則有:

a}bn+a2b“7+??+anbt<a^c]+a2c2++ancn<a占+a2b2++anbH

即“反序和W亂序和《順序和”

(-)不等式選講的考察內(nèi)容：

1、利用不等式的變形與常見不等式證明不等式成立

2、利用常見不等式(均值不等式，柯西不等式)求表達式的最值，要注意求最值的思路與利

用基本不等式求最值的思路相似，即“尋找合適的模型一將式子向定值放縮(消元)一驗證

等號成立條件”

3、解不等式(特別是含絕對值的不等式一一可參見“不等式的解法”一節(jié))

二、典型例題：

例1：若不等式|x+l|+|x+3以加恒成立，則"2的取值范圍為.

思路：本題為恒成立問題，可知何一1|4(,+1|+忖+3|)“所以只需求出|x+l|+|x+3|的

最小值即可，一種思路可以構(gòu)造函數(shù)/(x)=|x+l|+|x+3],通過對絕對值里的符號進行分

2x+4,x>-1

類討論得到分段函數(shù)：/(X)=b,-3<X<-l,進而得到了(X)Nn=2,另一種思路可

—2x—4,x<—3

以想到絕對值不等式：|x+l|+|x+3閆(x+l)-(x+3)|=2,進而直接得到最小值，所以

|/n-1|<2,從而一14加43

答案：-14根<3

例2：若存在實數(shù)x使得f+4x+|a-2|+,一1|=0成立，求實數(shù)a的取值范圍

思路：本題可從方程有根出發(fā)，得到關(guān)于。的不等式，從而解出。的范圍

解：依題意可知二次方程f+4x+,—2|+|a—1|=0有解

.-.A=16-4(|?-2|+|?-l|)>0

B|J—2|+|o-1|<4

7「7-

當a22時，2。—3<4aK—/.Q€2,一

22」

當l〈a<2時，2-a+a-lW4=lW4恒成立/.?G[1,2)

當a<1時，2—a+1—cz<4=5,a2—ciG—,1|

2L2)

「171

綜上所述，可得ae—

22

例3：己知函數(shù)/(x)=W+2|x—a](a>0)

(1)當a=l時，解不等式/(x)W4

(2)若不等式/(x)24對一切xeE恒成立，求實數(shù)。的取值范圍

(1)思路：所解不等式為|x|+2|x—1|W4,可通過分類討論去掉絕對值進而解出不等式

解：(1)當時，x+2(x—1)<4=>%<2e[1,2]

當OWxcl時，x+2(l-x)<4=>x>-2xe[0,l)

2「2、

當x<0時，-x+2(1—x)K4x之一§x€——,0I

■?-

綜上所述：不等式的解集為-±,2

3

(2)思路：若不等式恒成立，可知只需/(力疝24即可，“X)含絕對值，從而

3x-2a,xe[a,+8)

可通過分類討論將其變?yōu)榉侄魏瘮?shù)/(x)=<2a-x,xe[0,a),通過分析函數(shù)性質(zhì)即可得

2?-3X,XG(-CO,0)

到/(次1加=/(。)=。,所以"N4

解：/(X)24恒成立

，，f(Mmin"

3X-2Q,XE[a,+00)

考慮/(x)=|x|+2|x-?|{2a-x,x￡[0,。)

2a-3x,xe(-oo,0)

「./(九)在(一00,〃)單調(diào)遞減，在(a,+8)單調(diào)遞增

；J(xL=/(a)=a

.\a>4

例4：已知。力,c都是正數(shù)，且。+2〃+3c=6,求Ja+1+」2b+1+N3c+1的最大值

思路一：已知a+2Z?+3c為常數(shù)，從所求入手，發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)的和為(a+2/?+3c)+3也為

常數(shù)，所以想到均值不等式中“代數(shù)平均數(shù)4平方平均數(shù)”，進而求得最大值

da+1+y/2b+\+V3c+1<|(或+1)+(=2b+l)+(j3c+l>

3-\3

/a+1+2b+]+3c+]

=V3

Q+2Z,3

Va+T+J20+1+A/3C+1<3J(+￡)j2=3G

a=2

Q+1=2〃+1=3c+1

等號成立當且僅當《=></?=!

。+2。+3c=6

2

c=—

I3

思路二：由所求可聯(lián)想到柯西不等式(活用1)：

(x/a+1+d2b+1+J3c+1)—?Ja+1+1,d2b+1+1,J3c+1，,從而可得：

(1-4a+\+1-J28+1+1-V3c+1)2<(l2+12+l2)[(^/?+T)2+(j2Z?+l『+(V3c+l)2

即(1.Ja+1+1.12b+1+1?)3c+1)<3(a+20+3c+3)=27,所以可知

+J21+1+J3c+1W3>/3

小煉有話說：本題分為兩個思路只是想到的常用不等式不同（分別為均值不等式和柯西不等

式），但實質(zhì)上利用柯西不等式是可以證明“代數(shù)平均數(shù)4平方平均數(shù)二證明的過程如下:

(a；+《++工)?1+1++1~2(q?1+生?1+…?1)

\>

.\(%+/++4JK〃(a；+/++%)

4Z|+%+…+〃”WJu(〃；+a：+???+a；)

=〃]+%+

例5：已知a,h,c是實數(shù)，且4+22+。2=],則2a+/?+2c的最大值是

思路：考慮將2Q+〃+2C向〃+〃+/進行靠攏，由柯西不等式可知

(ax+hy+cz^<(a2+b2+c2)(x2+y2+z2),對照條件可知令x=2力=l,z=2即可，所

以(2a+H2c)24)+。2+。2乂22+12+22)=9,則勿+b+2cW3

答案：3

小煉有話說：使用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造符合條件的形式。首先要選擇合適的柯西不等

式形式，然后找到所求與已知之間的聯(lián)系，確定系數(shù)在柯西不等式的位置即可求解。

例6：已知實數(shù)a,/?,c,d滿足a+6+c+d=3,/+2〃+3/+64?=5,則a的取值范圍是

思路：本題的核心元素為a,若要求a的取值范圍，則需要尋找兩個等式中項的不等關(guān)系，即

關(guān)于的不等關(guān)系，考慮到6+。+4=3-。,2從+3。2+6/=5—42,聯(lián)想到柯西不等

式——H——+---I——（4+仇+一.+6“）N+a,+.+，則有

、b、b2bnJ

2

（2〃+3。2+6/）[3+；+1]之佳+0+67）2,代入可得：5-a2（3-0）2解得：4€[1,2],

驗證等號成立條件：迫瓜瓜d

=―j==-在。=I,。=2時均有解。

答案：ae[\,2]

例7：已知。，仇c均為正數(shù)，求證：a2+b2+c2+(-+-+^\>673,并確定a,"c為何

\abc)

值時，等號成立

思路：觀察到不等式左邊的項作和且存在倒數(shù)關(guān)系，右側(cè)為常數(shù)，所以可想到基本不等式中a,。

互為倒數(shù)時，a+b>2\[ab,右側(cè)為一個常數(shù)。

a2+b2+c2>3\lcrb2c2,—+-+->9N^—,從而將左側(cè)的項均轉(zhuǎn)化為與a"c相關(guān)的項，

abcvabc

然后再利用基本不等式即可得到最小值6G,即不等式得證

解：由均值不等式可得：?2+/?2+C2>3^/?W

等號成立條件：a=b=c

例8：已知。>0,〃>0

14

(1)若4+0=2,求——十——的最小值

1+Q1+Z?

(2)求證：a2b2-\-cT-\-k^>ab[a-F/?+1)

(1)思路：從所求出發(fā)可發(fā)現(xiàn)其分母若作和，則可與。+人=2找到聯(lián)系，從而想到柯西不等

式的變式：4+五+.+￡?(%+/+?+%)，從而_L+J_?I11^=3

b}b2bn4+4+?+21+Q1+。1+a+。

14I222

解：----+-----=-----+-----

1+。1+〃1+a1+b

一七寸丁群ire14I222、（1+2）-

由柯西不等式可得：+=+>-—

1+a\+b\+a\+b\+a+b

,c14、°

a+b=2----1---->3

1+a1+/?

(2)所證不等式等價于：a2b2+a2+b2>a2b+ah2+ab,觀察左右的項可發(fā)現(xiàn)對左邊任意

a2b2+a2>2a2b

兩項使用均值不等式，即可得到右邊的某項，即：Ja2b2+b2>lab2,三式相加即完成證

a2+b2>lab

明

a2b2+a2>2a2b

證明：由均值不等式可得：22a從

a2+b2>2ab

三式相加：2（“方+/+尸）22（。%+出?2+出?）

即a2b2+O2+tr>a2b+ab2+ab=ab（^a+b+1^

小煉有話說：對于求倒數(shù)和(即。],42，“〃為常數(shù))的最值，有兩個柯西不等式的變式可供

使用：式+注+.+4和

a瓦bn4+4+.-一+2

%+空++%2(4+%++"”)，其不同之處在于對分母變形時運算的選擇，第

b[b2bn岫+a2b2+-+anbn

一個式子的變形為“分母作和”第二個式子的變形為“分母乘以對應系數(shù)再作和”，在解題時

要根據(jù)題目中不同的定值條件來選擇對應的不等式。

a+b+c

例9：設(shè)。，4CER+,求證：aabhcc>(ahc)3

思路：所證不等式中的變量位于指數(shù)和底數(shù)位置，且為乘法與乘方運算，并不利于不等式變

形；所以考慮利用兩邊同取對數(shù)使得指數(shù)變?yōu)橄禂?shù)，同時將乘法運算轉(zhuǎn)為加法運算。則所證

不等式等價于3alna+3/?ln/?+3clncN(Q+Z?+c)(lna+lnZ?+lnc),化簡后可得：

2a\na+2b\x\h+2c\nc>a\nb+a\nc+b\na+b\nc+c\nb+c\na?,所證不等式為輪

換對稱式，則不妨給a,。,c定序，即。2/?之。>0,\na>lnZ?>lnc,由①的特點想到排

序不等式，則alna+8InO+clnc為順序和，是最大的，剩下的組合為亂序和或反序和，必

a\na+b\nb+c\nc>alnh+b\nc+c\na

然較小，所以有《兩式相加即可完成證明。

a\na+b\nh+cine>h\na+c\nb+alnc

證明：a,b,ceR+

???將所證不等式兩邊同取對數(shù)可得：

a+b+c(Q+8+0)

aabhcc>(abc)3oaIna+Z?lnZ?+cine>----------(in^z+In。+Inc)

o3aIna+3Z?ln〃+3clncN(a+b+c)(ina+In〃+Inc)

<=>3cilna-i-3blnb+3clnc>alna+alnb+alnc+blna+blnb+blnc-i-clna+clnb-i-clnc

。2aIna+2Z?lnZ?+2clnc>a\nh+a\nc+b\na+binc+cln/?+cIna

：所證不等式為輪換對稱式

.e.不妨設(shè)QC>0

.\ln?>lnZ?>lnc

t71n6Z+/?ln/?+clnc>a\nb^b\nc^-clna①

a\na+b\nb+cine>b\nac\nb+a\nc②

①+②可得：2alna+2Z?lnZ?+2clncN41nZ?+alnc+Z?lna+Z?lnc+clnZ?+clna

a+b+c

即證明不等式>(abc)~^~

小煉有話說：使用排序不等式的關(guān)鍵在于首先要有一個“順序”，本題已知條件雖然沒有a,伍c

的大小關(guān)系，但由所證不等式“輪換對稱”的特點，可添加大小關(guān)系的條件，即aN〃2c>0,

從而能夠使用排序不等式。

例10：設(shè)正數(shù)x,y,z滿足2x+2y+z=1

(1)求3xy+yz+zx的最大值

311125

(2)證明：-一+------+------>—

1+xy1+yz1+zx26

(1)思路：所求表達式為多元表達式，所以考慮減少變量個數(shù)，由2x+2y+z=l得

]一z

2(x+y)=1-z,則3盯+yz+zx=3xy+z(x+y)=3Ay+z?《一，下面考慮將個進行

轉(zhuǎn)化，向x+y靠攏，利用基本不等式xy?("+>進行放縮，可得：

4

?)xy+yz+zx<—(x++z--~——+—~~—,再求關(guān)于z的表達式的最大

4V72442

值即可。

解：2x+2y+z=l

=1—z

,\z(l-z)

3xy+yz+zx=3xy+z[x+y)=3xy+------

°e(JZ)211

3AT+yz+zx<3--...-+-<-

-1655

x=y

.??3孫+沖+次的最大值為:，此時<11

z=—=>x=y=z=—

55

2x+2y+z=1

(2)思路：由(1)可知3孫+yz+zx的最大值為g,且所證不等式的左邊分母含有xy.yz.zx

項，所以考慮向3xy+yz+zx的形式進行靠攏，聯(lián)想到柯西不等式的一個變形公式：

幺+生+.+&m+%+,可得：

瓦瓦b?+a2b2++anbn

31125

——+-----+------>----------------,進而結(jié)合第(1)問的結(jié)果再進行放縮即可證

1+xy1+yz1+zx5+3xy+yz+zx

明不等式

解：由柯西不等式可得：

3+]+]〉(3+1+1『_25

1+盯1+yz1+zx3(1+孫)+1+yz+1+zx54-3xy+yz-hzx

由(1)知3xy+yz+〃Wg

3112525125

/.---------1----------1---------2-----------------------之----——-----

1+xy1+yz1+zx5+3xy+yz+zx5+126

5

等號成立條件：x-y-z--

5

三、歷年好題精選

1、設(shè)〃x)=|x+l|+|x—

(1)求證：/(x)22

(2)若不等式儂+-'對任意非零實數(shù)b恒成立,求x的取值范圍

2、(2014吉林九校聯(lián)考二模，24)已知關(guān)于X的不等式版一1|+/一a|zi(a〉o)

(1)當a=1時，求此不等式的解集；

(2)若此不等式的解集為R,求實數(shù)。的取值范圍.

3、(2015,福建)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)/(x)=|x+a|+|x—a+c的最小值為4

(1)求a+〃+c,的值

(2)求4/+]_02+,2的最小值

49

4、(2015,新課標II)設(shè)。，"C,△均為正數(shù)，且a+〃=c+d,證明：

(1)若ab>cd,則4a+4b>4c+4d

(2)&+北〉G+J7是|a—。|<上一4的充要條件

5、(2015,陜西)已知關(guān)于x的不等式以+同<匕的解集為{幻2<%<4}

(1)求實數(shù)a,b的值

(2)求&it+12+而的最大值

6、已知定義在R上的函數(shù)/(x)=|x+l|+|x—2]的最小值為a

(1)求。的值

(2)若〃,是正實數(shù)，且滿足p+q+r=a,求證：p2+<?2+r2>3

7,(2014,江西)對任意的|x—l|+|x|+|y—l|+|y+l|的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

8、(2014,浙江)(1)解不等式：2|x-2|-|x+l|>3

(2)設(shè)正數(shù)a,A,c滿足成c=a+b+c,求證：ab+4bc+9ac>36,并給出等號成

立條件

9、(2016,蘇州高三調(diào)研)設(shè)函數(shù)/(x)=x+|x-a](a>0)

(1)證明：f(x)N2

(2)若/(3)<5,求實數(shù)”的取值范圍

習題答案:

1、解析：⑴/(X)=|X+1|+|J:-1|>|(%+l)-(x-l)|=2

戶1|十|1|之叩產(chǎn)=國

(2)恒成立不等式為:

b

2+EHHJ

|x+1|+|x—1|N

max

設(shè)g(b)=

?他6)皿=3.-.|x+l|+|x-l|>3

3

當時，2x23nx\—

2

當工￡［一1,1)時，x+1-x+l23=>223不成立

3(3

當xv—1時，—2x23=>x?—xG—co,—+0

2I2.Ji0

2,解析：(1)4=1時，不等式為2|x—l|21n|x-l|zg

.二工一1之！或x-l<一!,解得

2212in

⑵問題轉(zhuǎn)化為VxcR,不等式卬一1|+版一421恒成立

?

..(版-1+版-4)1nhi之1

設(shè)/(x)=|依-1|+|依_々|——6/)|=|fz-l|

「Ja—1|21=>Q22或aW0

3、解析：(1)/(x)=|x+a\4-|x-Z?|+c>|(x+?)—(x—Z?)|4-c=?+Z?+c

:.a+b+c=4

(2)^a2+1/?2+c2^-(22+32+l2)>^a-2+^-3+c-l^=(a+/?+c)2=16

8

a--

7

:.-a2+-b2+c2>—=-,等號成立條件：=j=

49147231

a+b+c=42