小學數(shù)學奧數(shù)四升五

第頁小學奧數(shù)基礎教程（四年級）第1講速算及巧算（一）第2講速算及巧算（二）第3講高斯求和第4講4，8，9整除的數(shù)的特征第5講棄九法第6講數(shù)的整除性（二）第7講找規(guī)律（一） 第8講找規(guī)律（二） 第9講數(shù)字謎（一） 第10講數(shù)字謎（二）第11講歸一問題及歸總問題第12講年齡問題第13講雞兔同籠問題及假設法第14講盈虧問題及比較法（一）第15講盈虧問題及比較法（二）第16講數(shù)陣圖（一）第17講數(shù)陣圖（二）第18講數(shù)陣圖（三）第19將乘法原理第20講加法原理（一）第21講加法原理（二）第22講還原問題（一）第23講還原問題（二）第24講頁碼問題第25講智取火柴第26講邏輯問題（一）第27講邏輯問題（二）第28講最不利原則第29講抽屜原理（一）第30講抽屜原理（二）第1講速算及巧算（一）兩位數(shù)乘法速算口訣一般口訣：

首位之積排在前，首尾交叉積之和十倍再加尾數(shù)積。如37x64=1828+(3x4+7x6)x10=2368

1、同尾互補，首位乘以大一數(shù)，尾數(shù)之積后面接。如：23×27=621

2、尾同首互補，首位之積加上尾，尾數(shù)之積后面接。87×27=2349

3、首位差一尾數(shù)互補者，大數(shù)首尾平方減。如76×64=4864

4、末位皆一者，首位之積接著首位之和，尾數(shù)之積后面接。如：51×21=1071

“幾十一乘幾十一”速算特殊：用于個位是1的平方，如21×21=441

5、首同尾不同，一數(shù)加上另數(shù)尾，整首倍后加上尾數(shù)積。23×25=575

速算1），首位皆一者，一數(shù)加上另數(shù)尾，十倍加上尾數(shù)積。17×19=323“十幾乘十幾”速算包括了十位是1（即11~19）的平方，如11×11=121“十幾平方”

速算2）首位皆二者，一數(shù)加上另數(shù)尾，廿倍加上尾數(shù)積。25×29=725“二十幾乘二十幾”

速算3）首位皆五者，廿五接著尾數(shù)積，百位再加尾數(shù)之和半。57×57=3249“五十幾乘五十幾”

速算4）首位皆九者，八十加上兩尾數(shù)，尾補之積后面接。95×99=9405“九十幾乘九十幾”

速算5）首位是四平方者，十五加上尾，尾補平方后面接。46×46=2116“四十幾平方”

速算6）首位是五平方者，廿五加上尾，尾數(shù)平方后面接。51×51=2601“五十幾平方”

6、互補乘以疊數(shù)者，首位加一乘以疊數(shù)頭，尾數(shù)之積后面接。37×99=36637、末位是五平方者，首位加一乘以首，尾數(shù)之積后面接。如65×65=4225“幾十五平方”

8、某數(shù)乘以一一者，首尾拉開，首尾之和中間站。如34×11=33+44=3749、某數(shù)乘以十五者，原數(shù)加上原數(shù)的一半后后面加個0（原數(shù)是偶數(shù)）或小數(shù)點往后移一位。如151×15=2265，246×15=3690

10、一百零幾乘一百零幾，一數(shù)加上另數(shù)尾，尾數(shù)之積后面接。如108×107=11556

11、倆數(shù)差2者，倆數(shù)平均數(shù)平方再減去一。如49x51=50x50-1=2499

12、幾位數(shù)乘以幾位九者，這個數(shù)減去(位數(shù)前幾位的數(shù)＋1)的差作積的前幾位，末位及個位補足幾個0。

1）一個數(shù)乘9：這個數(shù)減去(個位前幾位的數(shù)＋1)的差作積的前幾位，末位及個位補足104×9=36想：個位前是0,4－（0＋1）＝3,末位是10－4＝6合起來是36783×9＝7047想個位前是78,783－（78＋1）＝704,末位是10－3＝7合起來是7047

2）一個數(shù)乘99：這個數(shù)減去（十位前幾位的數(shù)＋1），末兩位湊100：14×99＝14－（0＋1）＝13,100－14＝861386158×99＝158－(1＋1)=156,100－58=42156427357×99=7357－(73＋1)=7283100－57=43728343

3）一個數(shù)乘999：可以依照上面的方法進行推理：這個數(shù)減去（百位前幾位的數(shù)＋1），末三位湊100011234×999＝11234-（11+1）＝11222，末三位是1000-234＝766，11222766計算是數(shù)學的基礎，小學生要學好數(shù)學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發(fā)展。我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運算的速算及巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準數(shù)法和乘法的補同及同補速算法。例1四年級一班第一小組有10名同學，某次數(shù)學測驗的成績（分數(shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求這10名同學的總分。分析及解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當?shù)臄?shù)作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數(shù)及80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號表示這個數(shù)比80小。于是得到總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。實際計算時只需口算，將這些數(shù)及80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上80×10，就可口算出結果為809。例1所用的方法叫做加法的基準數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準”的數(shù)（如例1的80）叫做基準數(shù)，各數(shù)及基準數(shù)的差的和叫做累計差。由例1得到：總和數(shù)=基準數(shù)×加數(shù)的個數(shù)+累計差，平均數(shù)=基準數(shù)+累計差÷加數(shù)的個數(shù)。在使用基準數(shù)法時，應選取及各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數(shù)及加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數(shù)應盡量選取整十、整百的數(shù)。例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準數(shù)為450，則累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋50÷10＝455（千克）。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)及最接近的整十數(shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉化成一個整十數(shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例3求292和822的值。解：292=29×29＝（29＋1）×（29-1）＋12＝30×28＋1＝840+1＝841。822＝82×82＝（82－2）×（82＋2）＋22＝80×84＋4＝6720+4＝6724。由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。由湊整補零法計算352，得35×35＝40×30＋52=1225。這及三年級學的個位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結果相同。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。例4求9932和20192的值。解：9932=993×993＝（993＋7）×（993-7）+72＝1000×986＋49＝986000＋49＝986049。20192=2019×2019＝（2019-4）×（2019+4）＋42＝2000×2019＋16＝4016000＋16＝4016016。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請看下面的算式：66×46，73×88，19×44。這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)及個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)及個位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。例588×64＝？分析及解：由乘法分配律和結合律，得到88×64＝（80＋8）×（60＋4）＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4＝80×（60＋6＋4）＋8×4＝80×（60＋10）＋8×4＝8×（6＋1）×100+8×4。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個位及十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)及“個位及十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×（6＋1）。例677×91＝？解：由例3的解法得到由上式看出，當兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應在十位上補一個0，本例為7×1＝07。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。練習11.求下面10個數(shù)的總和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。3.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他們共加工了多少個零件？4.計算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。5.計算下列各題：（1）372；（2）532；（3）912；（4）682：（5）1082；（6）3972。6.計算下列各題：（1）77×28；（2）66×55；（3）33×19；（4）82×44；（5）37×33；（6）46×99。

練習1答案1.1596。2.26厘米。3.711個。4.147。5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；（4）4624；（5）11664；（6）157609。6.（1）2156；（2）3630；（3）627；（4）3608；（5）1221；（6）4554。第2講速算及巧算（二）上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補”及“補同”速算法。兩個數(shù)之和等于10，則稱這兩個數(shù)互補。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)及乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)及乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。72×78的被乘數(shù)及乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；26×86的被乘數(shù)及乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。例1（1）76×74＝？（2）31×39＝？分析及解：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。（1）由乘法分配律和結合律，得到76×74＝（70＋6）×（70+4）＝（70＋6）×70＋（70＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4＝70×（70＋6＋4）＋6×4＝70×（70＋10）＋6×4＝7×（7+1）×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：（2）及（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如1×9＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)及十位數(shù)加1的乘積。“同補”速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。我們在三年級時學到的15×15，25×25，…，95×95的速算，實際上就是“同補”速算法。例2（1）78×38＝？（2）43×63＝？分析及解：本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結合律，得到78×38＝（70＋8）×（30＋8）＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8＝70×30+8×30＋70×8＋8×8＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8＝7×3×100＋8×100＋8×8＝（7×3＋8）×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：（2）及（1）類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如3×3＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)?！把a同”速算法簡單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數(shù)的和是10，100，1000，…時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如43及57互補，99及1互補，555及445互補。在一個乘法算式中，當被乘數(shù)及乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如，因為被乘數(shù)及乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。又如，等都是“同補”型。當被乘數(shù)及乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，等都是“補同”型。在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例3（1）702×708=？（2）1708×1792＝？解：（1）（2）計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應占乘積的后2n位，不足的位補“0”。在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”及“同”，即“頭”及“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補”及“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例42865×7265＝？解：

練習2計算下列各題：1.68×62；2.93×97；3.27×87；4.79×39；5.42×62；6.603×607；7.693×607；8.4085×6085。

第3講高斯求和德國著名數(shù)學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）×100÷2＝5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項及前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項及前項之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項+末項）×項數(shù)÷2。例11＋2＋3＋…＋2019＝？分析及解：這串加數(shù)1，2，3，…，2019是等差數(shù)列，首項是1，末項是2019，共有2019個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋2019）×2019÷2＝2019000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構成等差數(shù)列。例211＋12＋13＋…＋31＝？分析及解：這串加數(shù)11，12，13，…，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。原式=（11+31）×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關系，可以得到項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1，末項=首項+公差×（項數(shù)-1）。例33＋7＋11＋…＋99＝？分析及解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。例4求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種及等差數(shù)列求和有關的問題。例5在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析及解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。綜合列式為：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

練習31.計算下列各題：（1）2＋4＋6＋…＋200；（2）17＋19＋21＋…＋39；（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3.求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？第四講我們在三年級已經(jīng)學習了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質：性質1如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質2如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和及差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如，21及15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性質3如果一個數(shù)能分別被兩個互質的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9及7互質，那么126能被9×7＝63整除。利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多及整除有關的問題。為了進一步學習數(shù)的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數(shù)字特征列出來：（1）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除。（2）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5，那么這個數(shù)就能被5整除。（3）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。（4）一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個數(shù)就能被4（或25）整除。（5）一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個數(shù)就能被8（或125）整除。（6）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年級學過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學習的內(nèi)容。因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)及這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質1和性質2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4‘）一個數(shù)除以4的余數(shù)，及它的末兩位除以4的余數(shù)相同。（5＇）一個數(shù)除以8的余數(shù)，及它的末三位除以8的余數(shù)相同。（6＇）一個數(shù)除以9的余數(shù)，及它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。例1在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064；能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。例2在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應能被9整除，所以當十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數(shù)能否被6整除，因為6＝2×3，2及3互質，所以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質3，可判定這個數(shù)能被6整除。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。例3從0，2，5，7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。解：因為組成的三位數(shù)能同時被2，5整除，所以個位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0及5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。例4五位數(shù)能被72整除，問：A及B各代表什么數(shù)字？分析及解：已知能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質數(shù)，所以既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求能被8整除，由此可確定B＝6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A＝7。解答例4的關鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應先確定B所代表的數(shù)字，因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。例5六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個？分析及解：因為6＝2×3，且2及3互質，所以這個整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數(shù)能被3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個值。由于B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有5×4＝20（個）。例6要使六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代表什么數(shù)字？分析及解：因為36＝4×9，且4及9互質，所以這個六位數(shù)應既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個六位數(shù)盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數(shù)的各位數(shù)字之和為12＋B＋C。它應能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因為B，C應盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應取B＝1，C＝5。當A=0，B=1，C＝5時，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。練習41．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數(shù)整除？2．個位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4．五位數(shù)能被12整除，求這個五位數(shù)。5．有一個能被24整除的四位數(shù)□23□，這個四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6．從0，2，3，6，7這五個數(shù)碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？7．在123的左右各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。8．學校買了72只小足球，發(fā)票上的總價有兩個數(shù)字已經(jīng)辨認不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少錢嗎？第5講棄九法從第4講知道，如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)能被9整除；如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。例如，3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。但是，當一個數(shù)的數(shù)位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？因為我們只是判斷這個式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個數(shù)的和是9時，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數(shù)除以9的余數(shù)是3。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。一個數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四則運算的正確性。例1求多位數(shù)7645821369815436715除以9的余數(shù)。分析及解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。只剩下7，6，1，5四個數(shù)，這時口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數(shù)除以9余1。例2將自然數(shù)1，2，3，…依次無間隔地寫下去組成一個數(shù)1234567891011213…如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？分析及解：因為這個數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當?shù)姆治觥Ｎ覀円呀?jīng)熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，…，9都可以劃掉。在1～99這九十九個數(shù)中，個位數(shù)有十組1，2，3，…，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，…，9，也都劃掉。這樣在這個大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個數(shù)除以9余1。在上面的解法中，并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數(shù)及它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和，及1＋2＋…＋100除以9的余數(shù)相同。利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。例3檢驗下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。分析及解：若干個加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應當?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。因為0≠1，所以這個算式不正確。例4檢驗下面的減法算式是否正確：7832145-2167953＝5664192。分析及解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應當?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等，那么這個減法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）-6＝6知，原題等號左邊的九余數(shù)是6。等號右邊的九余數(shù)也是6。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有0，1，2，…，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。例5檢驗下面的乘法算式是否正確：46876×9537＝447156412。分析及解：兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應當?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，4×6＝24，24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。6≠7，所以這個算式不正確。說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801÷253=1517的正確性，只需檢驗1517×253=383801的正確性。練習51．求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：（1）7468251；（2）36298745；（3）2657348；（4）6678254193。2．求下列各式除以9的余數(shù)：（1）67235＋82564；（2）97256-47823；（3）2783×6451；（4）3477+265×841。3．用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：（1）228×222＝50616；（2）334×336＝112224；（3）23372428÷6236＝3748；（4）12345÷6789＝83810105。4．有一個2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是D。求D。第6講數(shù)的整除性（二）這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，…位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，…位稱為偶數(shù)位。也就是說，個位、百位、萬位……是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位……是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位及偶數(shù)位如下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和及偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。例1判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析及解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。一個數(shù)除以11的余數(shù)，及它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例2求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）41873；（2）296738185。分析及解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以41873除以11的余數(shù)是7。（2）奇數(shù)位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為9＋7＋8＋8＝32。因為17＜32，所以應給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余數(shù)是7。需要說明的是，當奇數(shù)位數(shù)字之和遠遠小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)及11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余數(shù)是11-4=7。例3求除以11的余數(shù)。分析及解：奇數(shù)位是101個1，偶數(shù)位是100個9。（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余數(shù)是4。例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差9-1＝8，奇數(shù)位上的數(shù)字和及偶數(shù)位上的數(shù)字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相當于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。例4用3，3，7，7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個3和一個7即可。有3377，3773，7337，7733。例5用1～9九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復數(shù)字的最大九位數(shù)。分析及解：最大的沒有重復數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5知，987654321不能被11整除。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和及偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋3×2=11，這個數(shù)就能被11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可達到目的。此時，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。所求數(shù)為987652413。例6六位數(shù)能被99整除，求A和B。分析及解：由99=9×11，且9及11互質，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。因為六位數(shù)能被9整除，所以A+2+8+7+5+B＝22+A+B應能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因為六位數(shù)能被11整除，所以（A＋8＋5）－（2＋7＋B）＝A-B＋4應能被11整除，即A-B+4=0或A-B+4=11?；喌肂-A＝4或A-B＝7。因為A+B及A-B同奇同偶，所以有在（1）中，A≤5及A≥7不能同時滿足，所以無解。在（2）中，上、下兩式相加，得（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，2B＝18，B=9。將B=9代入A＋B=14，得A＝5。所以，A=5，B＝9。

練習61．為使五位數(shù)6□295能被11整除，□內(nèi)應當填幾？2．用1，2，3，4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？3．求能被11整除的最大的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)。4．求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485；（2）63582；（3）987654321。5．求除以11的余數(shù)。6．六位數(shù)5A634B能被33整除，求A+B。7．七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。第7講找規(guī)律（一）我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個題目，學習了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點學習具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三個數(shù)重復出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。下面，我們通過一些例題作進一步講解。例1節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、……這樣排下去。問：（1）第100盞燈是什么顏色？（2）前150盞彩燈中有多少盞藍燈？分析及解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。（1）100÷12＝8……4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。（2）150÷12=12……6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈4×12＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49（盞）。例2有一串數(shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。已知第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。問：這串數(shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？分析及解：因為第1，2，3，4個數(shù)的和等于第2，3，4，5個數(shù)的和，所以第1個數(shù)及第5個數(shù)相同。進一步可推知，第1，5，9，13，…個數(shù)都相同。同理，第2，6，10，14，…個數(shù)都相同，第3，7，11，15，…個數(shù)都相同，第4，8，12，16…個數(shù)都相同。也就是說，這串數(shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個數(shù)等于第6個數(shù)，是6；第3個數(shù)等于第11個數(shù)，是7。前三個數(shù)依次是3，6，7，第四個數(shù)是25-（3+6+7）=9。這串數(shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個數(shù)及第4個數(shù)相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77個數(shù)是19個周期零1個數(shù)，其和為25×19+3=478。例3下面這串數(shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問：這串數(shù)中第88個數(shù)是幾？628088640448…分析及解：這串數(shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字及前面的某兩個相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串數(shù)的構成規(guī)律，這兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然及前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串數(shù)再多寫出幾位：當寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發(fā)現(xiàn)，它們及第1，2位數(shù)相同，所以這串數(shù)按每20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由88÷20=4……8知，第88個數(shù)及第8個數(shù)相同，所以第88個數(shù)是4。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4在下面的一串數(shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么在這串數(shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000”？135761939237134…分析及解：無休止地將這串數(shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，這串數(shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串數(shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……可以看出，這串數(shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”。例5A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子……當100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？分析及解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數(shù)如下表：可以看出，第6人放過后及第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個盒子中球的情況重復出現(xiàn)一次。（100-1）÷4＝24……3，所以第100次后的情況及第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。

練習71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將1，2，3，4，…除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個數(shù)列。求這個數(shù)列前100個數(shù)的和。3．有一串數(shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。這串數(shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)及7的和的個位數(shù)。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？5．小明按1～3報數(shù)，小紅按1～4報數(shù)。兩人以同樣的速度同時開始報數(shù)，當兩人都報了100個數(shù)時，有多少次兩人報的數(shù)相同？6．A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球……當100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？

第8講找規(guī)律（二）整數(shù)a及它本身的乘積，即a×a叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2＝a×a；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因為積的個位數(shù)只及被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關，所以an的個位數(shù)只及a的個位數(shù)有關，而a的個位數(shù)只有0，1，2，…，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，…的個位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。（2）當a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1求67999的個位數(shù)字。分析及解：因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999÷4＝249……3，所以67999的個位數(shù)字及73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。例2求291+3291的個位數(shù)字。分析及解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4＝22……3，所以，291的個位數(shù)字及23的個位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4＝72……3，所以3291及33的個位數(shù)相同，等于7。最后得到291+3291的個位數(shù)字及8+7的個位數(shù)字相同，等于5。例3求28128-2929的個位數(shù)字。解：由128÷4＝32知，28128的個位數(shù)及84的個位數(shù)相同，等于6。由29÷2＝14……1知，2929的個位數(shù)及91的個位數(shù)相同，等于9。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16－9＝7。例4求下列各除法運算所得的余數(shù)：（1）7855÷5；（2）555÷3。分析及解：（1）由55÷4＝13……3知，7855的個位數(shù)及83的個位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10×a＋2。因為10×a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。（2）因為a÷3的余數(shù)不僅僅及a的個位數(shù)有關，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解。為了尋找5n÷3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)及1×5=5除以3的余數(shù)相同。這是因為52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)及1×5除以3的余數(shù)相同。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由55÷2=27……1知，555÷3的余數(shù)及51÷3的余數(shù)相同，等于2。例5某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？分析及解：1時后有1×3=31（個）細菌，2時后有31×3=32（個）細菌……20時后，有320個細菌，所以本題相當于“求320÷7的余數(shù)”。由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n÷7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20÷6＝3……2知，320÷7的余數(shù)及32÷7的余數(shù)相同，等于2。所以最后還剩2個細菌。最后再說明一點，an÷b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因為所得余數(shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內(nèi)必會重復出現(xiàn)。

練習81．求下列各數(shù)的個位數(shù)字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）17215。2．求下列各式運算結果的個位數(shù)字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）469-6211；（4）37×48+59×610。3．求下列各除法算式所得的余數(shù)：（1）5100÷4；（2）8111÷6；（3）488÷7第9講數(shù)字謎（一）我們在三年級已經(jīng)學習過一些簡單的數(shù)字謎問題。這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要學習一些新的內(nèi)容。例1在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：5+7×8+12÷4-2＝20。分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的7×8所得的積比20大得多。因此必須設法使這個積縮小一定的倍數(shù)，化大為小。從整個算式來看，7×8是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋17-2=20。解：5+（7×8+12）÷4-2=20。例2把1～9這九個數(shù)字填到下面的九個□里，組成三個等式（每個數(shù)字只能填一次）：分析及解：如果從加法及減法兩個算式入手，那么會出現(xiàn)許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：2×3＝6或2×4＝8，所以應當從乘法算式入手。因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□-□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和也是偶數(shù)。于是可知，原題加減法算式中的六個數(shù)的和應該是偶數(shù)。若乘法算式是2×4＝8，則剩下的六個數(shù)1，3，5，6，7，9的和是奇數(shù)，不合題意；若乘法算式是2×3＝6，則剩下的六個數(shù)1，4，5，7，8，9可分為兩組：4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。所以答案為及例3下面的算式是由1～9九個數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□÷□□=□-□=□-7。分析及解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數(shù)只能填9，由此知左端被除數(shù)的百位數(shù)只能填1，故中間減式有8-6，6-4，5-3和4-2四種可能。經(jīng)逐一驗證，8-6，6-4和4-2均無解，只有當中間減式為5-3時有如下兩組解：128÷64=5-3=9-7，或164÷82＝5-3＝9-7。例4將1～9九個數(shù)字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：□+□=6，□×□=8，□-□=6，□□÷□=8。分析及解：因為每個□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：1×8或2×4。加式及乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為2×4；（2）加式為2+4，乘式為1×8。對于（1），還剩3，6，7，8，9五個數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時除式無法滿足；對于（2），還剩3，5，6，7，9五個數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時除式可填56÷7。答案如下：2＋4＝6，1×8＝8，9－3＝6，56÷7＝8。例2～例4都是對題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。例5從1～9這九個自然數(shù)中選出八個填入下式的八個○內(nèi)，使得算式的結果盡可能大：分析及解：為使算式的結果盡可能大，應當使前一個中括號內(nèi)的結果盡量大，后一個中括號內(nèi)的結果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。通過分析，A，C，D，H應盡可能大，且A應最大，C，D次之，H再次之；B，E，F(xiàn)，G應盡可能小，且B應最小，E，F(xiàn)次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F(xiàn)=3，G=4，其中C及D，E及F的值可互換。將它們代入算式，得到[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。

練習91．在下面的算式里填上括號，使等式成立：（1）4×6+24÷6-5=15；（2）4×6+24÷6-5=35；（3）4×6+24÷6-5=48；（4）4×6+24÷6-5＝0。2．加上適當?shù)倪\算符號和括號，使下式成立：12345＝100。3．把0～9這十個數(shù)字填到下面的□里，組成三個等式（每個數(shù)字只能填一次）：4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符號，使各個等式成立：4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。5．將2～7這六個數(shù)字分別填入下式的□中，使得等式成立：6．將1～9分別填入下式的九個□內(nèi)，使算式取得最大值：7．將1～8分別填入下式的八個□內(nèi)，使算式取得最小值：第10講數(shù)字謎（二）例1把下面算式中缺少的數(shù)字補上：分析及解：一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)，差是一個兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)及減數(shù)相差不到100。四位數(shù)及三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。（1）填百位及千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應填9，被減數(shù)的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。（2）填個位。由于被減數(shù)個位數(shù)字是0，差的個位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個位數(shù)字是9。（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實際數(shù)值是18，18分解成兩個一位數(shù)的和，只能是9及9，因此，減數(shù)及差的十位數(shù)字都是9。所求算式如右式。由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。例2在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個算式：分析及解：（1）這是一道四個數(shù)連加的算式，其特點是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個位及百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學”。從個位相同數(shù)相加的情況來看，和的個位數(shù)字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8及7＋7＋7＋7＝28，即“學”＝2或7。如果“學”＝2，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字6。此時，百位上的和為“學”＋“學”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學”≠2。如果“學”＝7，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個位進位的2，和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數(shù)字3。滿足條件的解如右式。（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學”=9，“習”=1。滿足條件的算式如右下式。例2中的兩題形式類似，但題目特點并不相同，解法也不同，請同學們注意比較。例3下面豎式中每個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。分析及解：由于個位上的“賽”ד賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個數(shù)，所以“賽”的取值只能是2，3，4，7，8，9。下面采用逐一試驗的方法求解。（1）若“賽”＝2，則“數(shù)”＝4，積=444444。被乘數(shù)為444444÷2＝222222，而被乘數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽”≠2。（2）若“賽”＝3，則“數(shù)”=9，仿（1）討論，也不行。（3）若“賽”＝4，則“數(shù)”＝6，積=666666。666666÷4得不到整數(shù)商，不合題意。（4）若“賽”＝7，則“數(shù)”＝9，積=999999。被乘數(shù)為999999÷7＝142857，符合題意。（5）若“賽”＝8或9，仿上討論可知，不合題意。所以，被乘數(shù)是142857。例4在□內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。分析及解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，…表示□內(nèi)應填入的數(shù)字（見右上式）。由被乘數(shù)大于500知，E=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)及被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個是5。若C＝5，則有6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，及題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時被乘數(shù)為695，無論C為何值，它及695的積不可能等于□5□5，及題意不符，所以G=0，F(xiàn)=A=4。此時已求出被乘數(shù)是645，經(jīng)試驗只有645×7滿足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數(shù)，經(jīng)試驗知D=2。右式為所求豎式。此類乘法豎式題應根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進位情況，先填比較容易的未知數(shù)，再依次填其余未知數(shù)。有時某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。例5在□內(nèi)填入適當數(shù)字，使左下方的除法豎式成立。分析及解：把左上式改寫成右上式。根據(jù)除法豎式的特點知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除數(shù)應是99的兩位數(shù)的約數(shù)，可能取值有11，33和99，再由商的個位數(shù)是5以及5及除數(shù)的積是兩位數(shù)得到除數(shù)是11，進而知A＝C-9。至此，除數(shù)及商都已求出，其余未知數(shù)都可填出（見右式）。此類除法豎式應根據(jù)除法豎式的特點，如商的空位補0、余數(shù)必須小于除數(shù)，以及空格間的相互關系等求解，只要求出除數(shù)和商，問題就迎刃而解了。例6把左下方除法算式中的*號換成數(shù)字，使之成為一個完整的式子（各*所表示的數(shù)字不一定相同）。分析及解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數(shù)字“*”是0，即商為。因為除數(shù)及8的積是兩位數(shù)，除數(shù)及商的千位數(shù)字的積是三位數(shù)，知商的千位數(shù)是9，即商為9807。因為“除數(shù)×9”是三位數(shù)，所以除數(shù)≥12；又因為“除數(shù)×8”是兩位數(shù)，所以除數(shù)≤12。推知除數(shù)只能是12。被除數(shù)為9807×12＝117684。除法算式如上頁右式。練習101．在下面各豎式的□內(nèi)填入合適的數(shù)字，使豎式成立：2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。問：“小”代表什么數(shù)字？3．在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字相同的漢字代表相同的數(shù)字。求出下列各式：4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。這些算式中各字母分別代表什么數(shù)字？第11講歸一問題及歸總問題在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量”，然后以這個“單一量”為標準，根據(jù)其它條件求出結果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產(chǎn)量、單位時間所走的路程等。例1一種鋼軌，4根共重1900千克，現(xiàn)在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計）分析：以一根鋼軌的重量為單一量。（1）一根鋼軌重多少千克？1900÷4＝475（千克）。（2）95000千克能制造多少根鋼軌？95000÷475＝200（根）。解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。答：可以制造200根鋼軌。例2王家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？分析：以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量。（1）1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？630÷5÷7＝18（千克）。（2）8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？18×8×15＝2160（千克）。解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。答：可產(chǎn)牛奶2160千克。例3三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？分析及解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量。（1）1臺磨面機1時磨面粉多少千克？2400÷3÷2.5=320（千克）。（2）8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？25600÷320÷8=10（時）。綜合列式為25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時）。例44輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸?，F(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？分析及解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量。（1）1輛卡車1趟運沙土多少噸？336÷4÷7=12（噸）。（2）5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？420÷12÷5＝7（輛）。（3）需要增加多少輛卡車？7-4＝3（輛）。綜合列式為420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。及歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據(jù)其它條件求出結果。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價等。例5一項工程，8個人工作15時可以完成，如果12個人工作，那么多少小時可以完成？分析：（1）工程總量相當于1個人工作多少小時？15×8＝120（時）。（2）12個人完成這項工程需要多少小時？120÷12＝10（時）。解：15×8÷12＝10（時）。答：12人需10時完成。例6一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。若要4時到達，則每小時需要多行多少千米？分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？60×5=300（千米）。（2）4時到達，每小時需要行多少千米？300÷4＝75（千米）。（3）每小時多行多少千米？75－60＝15（千米）。解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。答：每小時需要多行15千米。例7修一條公路，原計劃60人工作，80天完成。現(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？分析：（1）修這條公路共需要多少個勞動日（總量）？60×80＝4800（勞動日）。（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動日？4800-60×20=3600（勞動日）。（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？3600÷（60＋30）=40（天）。解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。答：再用40天可以完成。

練習111．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？5．平整一塊土地，原計劃8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場買雞蛋，原計劃按每千克3.00元買35千克。結果雞蛋價格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調(diào)后是每千克多少元？7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？第12講年齡問題年齡問題是一類以“年齡為內(nèi)容”的數(shù)學應用題。年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關系隨著年齡的增長而發(fā)生變化，年齡增大，倍數(shù)變小。根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進行求解。例1兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？分析及解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是30＋5=35（歲）。例2今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？分析及解：今年爸爸及兒子的年齡差為“48——20”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數(shù)，這樣就可以用“差倍問題”的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。例3兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？分析及解：根據(jù)題意，作示意圖如下：由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到弟今年6＋4＝10（歲），兄今年10＋5＝15（歲）。例4今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)及弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請問哥哥今年多少歲？分析及解：在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟歲數(shù)看成一份，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥及弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數(shù)及今年弟弟歲數(shù)相等，所以今年弟弟歲數(shù)為2份，今年哥哥歲數(shù)為2＋1=3（份）（見下頁圖）。由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數(shù)為55÷(3+2)×3=33(歲)。例5哥哥5年前的年齡及妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡及妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？分析及解：由“哥哥5年前的年齡及妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。由“哥哥2年后的年齡及妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由“和差問題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。例61994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？分析及解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生于1994——36＝1958（年）。例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？解法一：假設父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒