第09講 用配方法解一元二次方程（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級(jí)北師大版）

第09講用配方法解一元二次方程1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義；2．會(huì)把一元二次方程化為一般形式．一、直接開方法解一元二次方程：(1)直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.(2)直接開平方法的理論依據(jù)：平方根的定義.(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.若，則；表示為，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；若，則x=O；表示為，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若，則方程無實(shí)數(shù)根．②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是.要點(diǎn)：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根.二、配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：①把原方程化為的形式；②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.要點(diǎn)：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．三、配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．考點(diǎn)1：直接開平方法解一元二次方程例1．一元二次方程的解為（

）A． B．， C． D．例2．若，則是（

）A．-2 B．2 C．-2或2 D．4例3．方程x2-=0的根為_______．例4．有關(guān)方程的解說法正確的是（

）A．有兩不等實(shí)數(shù)根3和 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．無實(shí)數(shù)根例5．若方程的兩個(gè)根分別是與，則_____．例6．解方程：（1）；

（2）；（3）；

（4）．例7．計(jì)算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的結(jié)果分別為（）A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝例8．一元二次方程的實(shí)數(shù)根為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)2：直接開平方法解一元二次方程的條件例9．下列方程中，不能用直接開平方法求解的是(

)A． B． C． D．例10．方程y2＝-a有實(shí)數(shù)根的條件是（

）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)>0 D．a(chǎn)為任何實(shí)數(shù)例11．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接開平方法做的是(

)A． B． C． D．例12．方程x2=（x﹣1）0的解為（

）A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0例13．如果方程可以用直接開平方求解，那么的取值范圍是（

）.A． B．C． D．任意實(shí)數(shù)例14．已知方程有實(shí)數(shù)根，則與的關(guān)系是（

）.A． B．或、異號(hào)C．或、同號(hào) D．是的整數(shù)倍考點(diǎn)3：直接開平方法解一元二次方程的復(fù)合型例15．用直接開平方的方法解方程，做法正確的是（

）A． B．C． D．例16．方程的解為（

）A． B．C． D．例17．解方程：（1）；（2）．考點(diǎn)4：一元二次方程的根的概念深入理解例18．一元二次方程的根與的根（

）A．都相等 B．都不相等 C．有一個(gè)根相等 D．無法確定考點(diǎn)5：直接開平方法解一元二次方程的根的通用形式例19．關(guān)于x的方程(x+a)=b(b>0)的根是（

）A．x=±-a B．x=±a+C．當(dāng)b≥0時(shí)，x=-a± D．當(dāng)a≥0時(shí)，x=a±例20．形如的方程，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根D．原方程的根為考點(diǎn)6：直接開平方法解一元二次方程-降次例21．方程的根的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)7：直接開平方法解一元二次方程-換元法例22．若，則的值為(

)A．7 B．-3 C．7或-3 D．21考點(diǎn)8：直接開平方法解一元二次方程-創(chuàng)新題，數(shù)系的擴(kuò)充例23．我們知道，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于．若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)“i”，使其滿足（即方程有一個(gè)根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立，于是有，從而對(duì)于任意正整數(shù)n，我們可以得到，同理可得．那么的值為________．考點(diǎn)9：配方法解一元二次方程例24．用配方法解一元二次方程，此方程可化為（

）A． B． C． D．例25．用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．2 D．例26．用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為例27．關(guān)于y的方程，用___________法解，得__，__．例28．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四個(gè)學(xué)生在變形時(shí)得到四種不同結(jié)果，其中配方正確的是（）A．B．C．D．例29．用配方法解方程，正確的是（

）A． B．C．，原方程無實(shí)數(shù)解 D．，原方程無實(shí)數(shù)解例30．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．考點(diǎn)10：配方法的應(yīng)用1-三角形問題例31．的三邊分別為、、，若，，按邊分類，則是______三角形例32．如果一個(gè)三角形的三邊均滿足方程，則此三角形的面積是______例33．已知三角形的三條邊為，且滿足，則這個(gè)三角形的最大邊的取值范圍是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13考點(diǎn)11：配方法的應(yīng)用2-比較整式大小與求值問題例34．若M=2-12x+15，N=-8x+11，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N例35．已知下面三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值為（）A．0 B．1 C．3 D．不確定例36．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)12：配方法的應(yīng)用3-最值問題例37．若為任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式的值都不小于0，則常數(shù)滿足的條件是（

）A． B． C． D．例38．無論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2－2x－4y+16的值總是_______數(shù)．例39．不論x，y為什么數(shù)，代數(shù)式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．總大于7 B．總不小于9C．總不小于﹣9 D．為任意有理數(shù)例40．若，則x2+y2+z2可取得的最小值為（）A．3 B． C． D．6例41．關(guān)于代數(shù)式，有以下幾種說法，①當(dāng)時(shí)，則的值為-4.②若值為2，則.③若，則存在最小值且最小值為0.在上述說法中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③考點(diǎn)13：配方法的應(yīng)用4-配方法在二次根式與分式中的應(yīng)用例42．我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，記，則其面積．這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值是_________．例43．已知（x，y均為實(shí)數(shù)），則y的最大值是______．例44．已知，則____________例45．已知，無論取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)式子都有意義，則c的取值范圍_______.例46．（1）設(shè)，求的值．（2）已知代數(shù)式，先用配方法說明：不論x取何值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小，最小值是多少？考點(diǎn)14：配方法的應(yīng)用5-創(chuàng)新與閱讀材料題例47．選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫作配方．例如①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：或；③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：．根據(jù)上述材料解決下面問題：（1）寫出的兩種不同形式的配方．（2）已知，求的值．（3）已知a、b、c為三條線段，且滿足，試判斷a、b、c能否圍成三角形，并說明理由．例48．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＜y＜z時(shí)，則稱x，y，z為正序排列．已知x=﹣m2+2m﹣1，y=﹣m2+2m，若當(dāng)m時(shí)，x，y，z必為正序排列，則z可以是()A．m B．﹣2m+4 C．m2 D．1一、單選題1．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．2．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則c的值為（）A．﹣3 B．0 C．3 D．9二、填空題3．（2019·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）方程的根是______．4．（2020·江蘇揚(yáng)州·中考真題）方程的根是_____．5．（2020·山東棗莊·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為，則______．三、解答題6．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）解方程：7．（2019·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）用配方法求一元二次方程的實(shí)數(shù)根．8．（2017·山東濱州·中考真題）根據(jù)要求，解答下列問題．（1）根據(jù)要求，解答下列問題．①方程x2－2x＋1＝0的解為________________________；②方程x2－3x＋2＝0的解為________________________；③方程x2－4x＋3＝0的解為________________________；…………（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請(qǐng)猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解為________________________；②關(guān)于x的方程________________________的解為x1＝1，x2＝n．（3）請(qǐng)用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性．一、單選題1．方程的根為（

）A． B． C． D．2．如果是方程的一個(gè)根，則這個(gè)方程的其它根是（）A． B． C． D．3．用直接開平方法解方程(x﹣3)2＝8，得方程的根為（）A．x＝3+2 B．x＝3﹣2 C．x＝3±2 D．x＝3±24．關(guān)于x的一元二次方程，下列說法正確的是（

）A．方程無實(shí)數(shù)解 B．方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解 D．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解5．關(guān)于的方程，下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)解 B．當(dāng)，有兩個(gè)解C．當(dāng)，有兩個(gè)解 D．當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根6．用配方法解方程：，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是（

）①，②，③，④．A．① B．② C．③ D．④7．對(duì)于方程，下列各配方式中，正確的是（

）A． B．C． D．8．下列各式：①；②；③；④；⑤變形中，正確的有（

）A．①④ B．① C．④ D．②④9．設(shè)一元二次方程（）（）=m（m＞0）的兩實(shí)數(shù)根分別為α、β且α＜β，則α、β滿足（

）A．-1＜α＜β＜3 B．α＜-1且β＞3 C．α＜-1＜β＜3 D．-1＜α＜3＜β10．新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式能取的最小值是（

）A．2011 B．2013 C．2018 D．2023二、填空題11．一元二次方程的兩根分別為_____________．12．方程2x2﹣8＝0的解是_____．13．若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為－1，則m的值是______．14．把方程用配方法化為的形式，則的值是________．15．用配方法解方程，將方程變?yōu)榈男问剑瑒t_____．16．已知，，滿足，，則的值是___________17．已知,,若的值為2014,則n的值為______.18．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則x+y的最大值為_______．三、解答題19．用直接開平方法解下列方程：（1）；（2）．20．解方程：．21．解方程：(1)；(2)．22．用配方法解關(guān)于的方程：．2