新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步3空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系3.2刻畫空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的公理第2課時(shí)空間圖形的基本事實(shí)4與等角定理學(xué)案北師大版必修第二冊(cè)

第2課時(shí)空間圖形的基本領(lǐng)實(shí)4與等角定理[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一基本領(lǐng)實(shí)4(1)條件：兩條直線平行于________．(2)結(jié)論：這兩條直線________．(3)符號(hào)表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?________.eq\x(狀元隨筆)基本領(lǐng)實(shí)4所表述的性質(zhì)也叫作空間平行線的傳遞性，這是對(duì)初中所學(xué)的平行線的傳遞性內(nèi)容的推廣．留意并非全部對(duì)于平面圖形成立的結(jié)論對(duì)于立體圖形都成立．在應(yīng)用基本領(lǐng)實(shí)4證明兩條直線平行時(shí)，常與平行四邊形的性質(zhì)及三角形的中位線定理等結(jié)合．要點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系1．空間中兩條直線的位置關(guān)系2．異面直線(1)定義：把不同在________平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．(2)畫法：(通常用平面襯托)eq\x(狀元隨筆)1.異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．2．不能把異面直線誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有a?α，b?β，即a，b分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，但是因?yàn)閍∩b＝O，所以a與b不是異面直線．要點(diǎn)三等角定理文字語言假如空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)________，那么這兩個(gè)角________或________符號(hào)語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判定兩個(gè)角相等或互補(bǔ)要點(diǎn)四異面直線所成的角定義已知兩條異面直線a，b，過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，這時(shí)a′，b′共面，我們把a(bǔ)′與b′所成的________的角稱為異面直線a，b所成的角(或夾角)取值范圍異面直線所成的角O的取值范圍：________特例當(dāng)θ＝________時(shí)，a與b相互垂直，記作a⊥beq\x(狀元隨筆)1.探討異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．這是探討空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題．2．異面直線所成的角的大小不能是0°，若兩條直線所成的角是0°，則這兩條直線平行，不行能異面．3．兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)分別平行于兩條異面直線的兩條直線肯定是異面直線．()(2)若a∥b，b∥c，c∥d，則a∥d.()(3)假如空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行且同向，那么這兩個(gè)角相等．()(4)若∠AOB＝110°，則分別和邊OA，OB平行的兩條異面直線所成的角為110°.()2．一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，則它與另一條()A．相交B．異面C．相交或異面D．平行3．三棱錐A-BCD中，E、F、M、N分別是AB、AD、BC、CD的中點(diǎn)，則EF與MN的位置關(guān)系()A．平行B．相交C．異面D．都有可能4．已知正方體ABCD-A′B′C′D′中：(1)BC′與CD′所成的角為________；(2)AD與BC′所成的角為________．題型一基本領(lǐng)實(shí)4的應(yīng)用——師生共研例1在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：四邊形MNA′C′是梯形．方法歸納在應(yīng)用基本領(lǐng)實(shí)4證明兩條直線平行時(shí)，常與平行四邊形的性質(zhì)及三角形的中位線定理等結(jié)合．跟蹤訓(xùn)練1如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．題型二等角定理及其應(yīng)用——師生共研例2如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．求證：∠EA1F＝∠E1CF1.要證明∠EA1F＝∠E1CF1，可證明A1F∥CF1，A1E∥CE1且射線A1E與CE1，射線A1F與CF1的方向分別相反.方法歸納(1)空間等角定理實(shí)質(zhì)上是由以下兩個(gè)結(jié)論組成的：①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向都相同或相反，那么這兩個(gè)角相等；②若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)邊方向相同，另一組對(duì)邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．(2)證明角相等，一般采納三種途徑①利用等角定理及推論；②利用三角形相像；③利用三角形全等．跟蹤訓(xùn)練2在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC和AB的中點(diǎn)．求證：∠PNA1＝∠BCM.題型三求異面直線所成的角——師生共研例3如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若EF＝eq\r(3)，求異面直線AD，BC所成角的大?。旬惷嬷本€AD，BC平移到同一平面內(nèi)變式探究1將本例中的條件“AD＝BC＝2”改為“AD＝BC且AD⊥BC，”求EF與AD所成的角．變式探究2將本例中的條件“AD＝BC＝2，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若EF＝eq\r(3)”改為“AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)”求EF與AB所成角的大?。椒w納求兩條異面直線所成的角的一般步驟(1)構(gòu)造：依據(jù)異面直線的定義，用平移法(常用三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等)作出異面直線所成的角．(2)證明：證明作出的角就是要求的角．(3)計(jì)算：求角度，常放在三角形內(nèi)求解．(4)結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角．易錯(cuò)辨析忽視異面直線所成的角的范圍致錯(cuò)．例4如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．解析：如圖，連接BD，并取其中點(diǎn)E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其補(bǔ)角)為BC與MN所成的角，∠MEN(或其補(bǔ)角)為BC與AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC與AD所成的角為60°.易錯(cuò)警示易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得解本題時(shí)易忽視異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°，從而由∠MEN＝120°干脆得出BC與AD所成的角為120°這一錯(cuò)解．事實(shí)上，在未推斷出∠MEN是銳角、直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩條異面直線所成的角，假如∠MEN為鈍角，那么它的補(bǔ)角才是直線所成的角.求異面直線所成的角θ的時(shí)候，要留意它的取值范圍是0°<θ≤90°.兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，簡(jiǎn)單忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩條異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.第2課時(shí)空間圖形的基本領(lǐng)實(shí)4與等角定理新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一同一條直線平行a∥c要點(diǎn)二一個(gè)沒有沒有任一要點(diǎn)三平行相等互補(bǔ)要點(diǎn)四不大于90°(0，eq\f(π,2)]eq\f(π,2)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AA1與直線B1C1是異面直線，與B1C1平行的直線有A1D1，AD，BC，明顯直線AA1與A1D1，AD相交，與BC異面．故選C.答案：C3．解析：∵E，F(xiàn)是AB、AD中點(diǎn)，∴EF∥BD.∵M(jìn)，N是BC，CD中點(diǎn)，∴MN∥BD，∴EF∥MN.答案：A4．解析：連接BA′，則BA′∥CD′，連接A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．由△A′BC′為正三角形．∴∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，∴AD與BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.答案：(1)60°(2)45°題型探究·課堂解透題型一例1證明：如圖，連接AC.∵M(jìn)，N分別為棱CD，AD的中點(diǎn)，∴MN綊eq\f(1,2)AC.由正方體的性質(zhì)可知AC綊A′C′，∴MN綊eq\f(1,2)A′C′，∴A′N與MC′相交，即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′，∴四邊形MNA′C′是梯形．跟蹤訓(xùn)練1證明：如圖所示，取DD1的中點(diǎn)Q，連接EQ，QC1.∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQ綊A1D1.∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1，∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1E綊C1Q.又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點(diǎn)，∴QD綊C1F，∴四邊形DQC1F為平行四邊形，∴C1Q綊FD，又B1E綊C1Q，∴B1E綊FD，∴四邊形B1EDF為平行四邊形．題型二例2證明：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)1M，則BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形，∴A1F∥BM.而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點(diǎn)，則F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四邊形F1MBC為平行四邊形．∴BM∥CF1.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中點(diǎn)N，連接DN，E1N，則有A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.跟蹤訓(xùn)練2證明：因?yàn)镻，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以PN∥BC.①又因?yàn)镸，N分別為A1C1，AC的中點(diǎn)，所以A1M綊NC.所以四邊形A1NCM為平行四邊形，于是A1N∥MC.②由①②及∠PNA1與∠BCM對(duì)應(yīng)邊方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.題型三例3解析：如圖，取BD的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以EM綊eq\f(1,2)AD，F(xiàn)M綊eq\f(1,2)BC，則∠EMF或其補(bǔ)角就是異面直線AD，BC所成的角．因?yàn)锳D＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，過點(diǎn)M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，則sin∠EMH＝eq\f(\r(3),2)，于是∠EMH＝60°.則∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以異面直線AD，BC所成的角為∠EMF的補(bǔ)角，即異面直線AD，BC所成的角為60°.變式探究1解析：如例3圖中，EM綊eq\f(1,2)AD，MF綊eq\f(1,2)BC又AD＝BC，∴EM＝MF，∴∠MEF就是EF與AD所成的角或其補(bǔ)角．∵AD⊥BC，∴EM⊥MF，∴∠EMF＝90°，∴△EMF為等腰直角三角形，∴∠MEF＝45°，即EF與AD所成的角為4