上海市延安市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試卷含解析

Page10上海市延安市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試卷一、填空題（每小題3分，共39分）1．復(fù)數(shù)z＝2+i的虛部為．2．計(jì)算：＝．3．函數(shù)，的值域?yàn)椋?．方程的解集為．5．已知M（3，﹣2），N（0，4），若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．6．已知復(fù)數(shù)z滿意＝，則|z+i|＝．7．已知復(fù)數(shù)z1，z2滿意|z1|＝|z2|＝1，，則|z1﹣z2|＝．8．已知向量，，若平面上隨意向量都可以唯一地表示為與的線性組合，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．9．已知虛數(shù)z是1的一個(gè)四次方根，復(fù)數(shù)μ＝zn+（）n，n∈N，用列舉法表示滿意條件的μ組成的集合為．10．已知向量，，則在方向上的投影的坐標(biāo)為．11．已知復(fù)數(shù)﹣3+3i在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量是，將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到向量，則向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（結(jié)果用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示）．12．已知函數(shù)y＝tanωx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是．13．如圖是某自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圓A（前輪）、圓D（后輪）的半徑均為，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形；設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過(guò)程中，的最大值為．二、選擇題（每小題3分，共15分)14．設(shè)z1、z2∈C，則“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．的三角形式是（）A． B． C． D．16．在下列各式中，正確的是（）A． B． C．若，則 D．若，且，則17．已知平面對(duì)量，，滿意，且，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．若，則x＞0，y＞0 B．若，則x＜0，y＜0 C．若，則x＞0，y＞0 D．若，則x＜0，y＜018．甲、乙兩個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“已知m＞0，n＞0，若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2﹣px+m＝0的兩個(gè)根x1，x2，滿意|x1﹣x2|＝n，求實(shí)數(shù)p的值”，各自提出一個(gè)揣測(cè)：甲說(shuō)：“對(duì)于隨意一組m，n的值，p的不同值最多有4個(gè)；”乙說(shuō)：“存在一組m，n的值，使得p的不同值恰有3個(gè)．”則下列選項(xiàng)正確的是（）A．甲的揣測(cè)正確，乙的揣測(cè)錯(cuò)誤 B．甲的揣測(cè)錯(cuò)誤，乙的揣測(cè)正確 C．甲、乙的揣測(cè)都正確 D．甲、乙的揣測(cè)都錯(cuò)誤三、解答題（共46分)19．已知復(fù)數(shù)z滿意z+4為純虛數(shù)，且為實(shí)數(shù)；若復(fù)數(shù)（z+mi）2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20．已知向量，．（1）求，的夾角；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．21．若在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，關(guān)于x的方程x2﹣2ax+a2﹣a＝0至少有一個(gè)模為2的根，求實(shí)數(shù)a的值．22．如圖，平行四邊形ABCD中，．（1）若，E為AM中點(diǎn)，求證：點(diǎn)D，E，N共線；（2）若∠DAB＝60°，，求的最小值，及此時(shí)的值．23．已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為y＝asinx+bcosx（x∈R），向量稱為函數(shù)y＝asinx+bcosx的“相伴向量”；記平面內(nèi)全部向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．（1）已知α∈R，h（x）＝cos（x+α）+2cosx，若函數(shù)y＝h（x）為集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范圍；（2）已知點(diǎn)M（a，b）滿意條件：a＝3，；若向量的“相伴函數(shù)”y＝f（x）在x＝x0處取得最大值，當(dāng)b在區(qū)間改變時(shí)，求tan2x0的取值范圍．

參考答案一、填空題（每小題3分，共39分）1．解：由復(fù)數(shù)的基本概念知：復(fù)數(shù)z＝2+i的虛部為1．故答案為：1．2．解：∵＝＝＝＝2+i，∴＝|2+i|＝＝．故答案為：．3．解：當(dāng)x∈（，），x﹣∈（，），∴函數(shù)＞1，故函數(shù)y的值域?yàn)椋?，+∞），故答案為：（1，+∞）．4．解：方程sinx＝，在（0，2π）的解為x＝或x＝，依據(jù)終邊相同的角三角函數(shù)值相等，可得方程sinx＝的解集為：{x|x＝2kπ+，或x＝2kπ+，k∈Z}＝{x|x＝kπ+（﹣1）k，k∈Z}．故答案為：{x|x＝kπ+（﹣1）k，k∈Z}．5．解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），由M（3，﹣2），N（0，4），所以＝（x﹣3，y+2），＝（﹣x，4﹣y），由，得，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．故答案為：（1，2）．6．解：設(shè)z＝a+bi，則＝a﹣bi，∵＝，∴（）（z+i）＝9，即，∴a2+b2﹣a﹣bi+ai+b﹣i＝9∴（a2+b2﹣a+b）+（a﹣b﹣1）i＝9，則，解得或．當(dāng)時(shí)，|z+i|＝|（）+（）i|＝＝；當(dāng)時(shí)，|z+i|＝|（）+（）i|＝＝．故答案為：（）或（）．7．解：∵復(fù)數(shù)z1，z2滿意|z1|＝|z2|＝1，∴令z1＝cosA+isinA，z2＝cosB+isinB∵|z1+z2|＝，∴（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2＝2，整理得2cosAcosB+2sinAsinB＝0，又|z1﹣z2|2＝（cosA﹣cosB）2+（sinA﹣sinB）2＝2﹣2cosAcosB﹣2sinAsinB＝2，∴|z1﹣z2|＝．故答案為：．8．解：因?yàn)槠矫嫔想S意向量都可以唯一地表示為與的線性組合，則與為平面對(duì)量的一組基底，故與為不共線的非零向量，所以4（1﹣m）≠﹣3（m+2），所以m≠10，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，10）∪（10，+∞）．故答案為：（﹣∞，10）∪（10，+∞）．9．解：∵虛數(shù)z是1的一個(gè)四次方根，∴z＝i或z＝﹣i，故μ＝zn+（）n＝in+（﹣i）n，當(dāng)n＝1時(shí)，μ＝0，當(dāng)n＝2時(shí)，μ＝﹣2，當(dāng)n＝3時(shí)，μ＝0，當(dāng)n＝4時(shí)，μ＝2，故滿意條件的μ組成的集合為{0，﹣2，2}，故答案為：{0，﹣2，2}．10．解：向量，，所以?＝9﹣24＝﹣15，則在方向上的投影的坐標(biāo)為||cosθ?＝?＝×（3，﹣4）＝（﹣，）．故答案為：（﹣，）．11．解：向量與復(fù)數(shù)﹣3+3對(duì)應(yīng)，把繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到，可得與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（﹣3+3i）?[cos（﹣120°）+isin（﹣120°）]＝（﹣3+3i）（﹣）＝，故答案為：．12．解：∵函數(shù)y＝tanωx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，∴ω＜0，且﹣≤?ω，﹣?ω≤，求得﹣1≤ω＜0，故實(shí)數(shù)ω的取值范圍為[﹣1，0），故答案為：[﹣1，0）．13．解：據(jù)題意：圓D（后輪）的半徑均為，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系：則A（﹣8，0），B（﹣6，2），C（﹣2，2）．圓D的方程為x2+y2＝3，可設(shè)P（cosα，sinα），0≤α＜2π，所以＝（6，），＝（cosα+6，sinα﹣2）．故＝6sinα+6cosα+24＝12（sinα+cosα）+24＝12sin（α+）+24≤12+24＝36，當(dāng)且僅當(dāng)α＝時(shí)，取得最大值36．故答案為：36．二、選擇題（每小題3分，共15分)14．解：若z1＝i，z2＝1，滿意設(shè)“z12+z22＝0”，但“z1＝z2＝0”不成立，若z1＝z2＝0，則z12+z22＝0成立，故“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的必要不充分條件，故選：B．15．解：＝．故選：B．16．解：||＝|||||cos＜，＞|不肯定等于|||，∴A錯(cuò)；（）2＝（||||cos＜，＞）2＝?cos2＜，＞不肯定等于?，∴B錯(cuò)；由兩邊平方，得+2?+＝﹣2?+，∴?＝0，∴C對(duì)；由，得?﹣?＝0，∴?（﹣）＝0，又∵≠，∴﹣＝，∴＝，∴D錯(cuò)．故選：C．17．解：由于，且，若，取，則由于，即有0＝x﹣2y，1＝x+y，解得，則可解除B，取，則由于，即有1＝x+2y，1＝y(tǒng)，解得x＝﹣1，y＝1，則可解除C，D，故選：A．18．解：實(shí)系數(shù)一元二次方程x2﹣px+m＝0，則Δ＝p2﹣4m，當(dāng)Δ＝0時(shí)，x1＝x2，則|x1﹣x2|＝n＝0與條件n＞0沖突，當(dāng)Δ＞0時(shí)，，，可得有兩個(gè)值，當(dāng)Δ＜0時(shí)，，，可得有一個(gè)或兩個(gè)值．綜上可知，當(dāng)4m＝n2時(shí)，p的值有3個(gè)，當(dāng)4m＞n2時(shí)，p的值有4個(gè)，所以甲、乙二人的揣測(cè)都正確．故選：C．三、解答題（共46分)19．解：設(shè)z＝x+yi（x，y∈R），則z+4＝（x+4）+yi，∵z+4為純虛數(shù)，∴x+4＝0且y≠0，即x＝﹣4，y≠0．又＝＝∈R，∴2y﹣4＝0，即y＝2．∴z＝﹣4+2i，∵m為實(shí)數(shù)，且（z+mi）2＝[﹣4+（m+2）i]2＝（12﹣4m﹣m2）﹣8（m+2）i，由題意，，解得﹣2＜m＜2．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣2，2）．20．解：（1）依據(jù)題意，向量，．則||＝，||＝1，?＝﹣1，則cos＝＝＝﹣，又由0≤≤π，則＝π﹣arccos；（2）依據(jù)題意，3﹣2＝（5，6），k+＝（k﹣1，2k），若，則有（3﹣2）?（k+）＝5（k﹣1）+12k＝0，解可得：k＝．21．解：①若兩根為實(shí)根時(shí)，不妨設(shè)|x1|＝2，則x1＝±2，當(dāng)x1＝2時(shí)，則a2﹣5a+4＝0，解得a＝1或a＝4；當(dāng)x1＝﹣2時(shí)，則a2+3a+4＝0，由于Δ＝9﹣16＝﹣7＜0，可得a無(wú)解．②若兩根為虛根時(shí)，則x1＝，x1?x2＝＝4，即a2﹣a＝4，求得a＝．再依據(jù)此時(shí)Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣a）＝4a＜0，得a＜0，所以a＝．綜上可得，a＝，或a＝4，或a＝1．22．解：（1）∵平行四邊形ABCD中，，，E為AM中點(diǎn)，∴＝＝（+）＝（+）＝+，∵+＝1，∴D，E，N共線；（2）設(shè)||＝||＝x＞0，||＝||＝y(tǒng)＞0，依據(jù)∠DAB＝60°，，可得xy＝1，2＝（+）2＝（+）2＝x2+xy×+y2＝x2+y2+≥xy+＝2