安徽省2023中考數(shù)學(xué)第4章三角形第5節(jié)解直角三角形試題

第四章三角形

第五節(jié)解直角三角形

易錯自糾

易錯點1根據(jù)定義求銳角三角函數(shù)值時忽略“直角三角形”這個前提

1.如圖,在4X4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,AABC的頂點都在這些小正方形的頂點上,那么

sinZACB的值為(D)

A.竽B*屋屋

555o

易錯點2誤認(rèn)為坡度是“坡面的水平寬度與鉛直高度的比”

2.如圖所示的斜坡AB的坡度為3:4,若坡面AB長為10m,則BC=6m.

易錯點3直角三角形的直角頂點不明確,求銳角三角函數(shù)值時忽略分類討論

3.[2019浙江杭州]在直角三角形ABC中，若2AB=AC,則cosC=_曰或等

方法幫

提分特訓(xùn)

1.[2020湖北十堰]要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角?--般要滿足

50°WaW75°.如圖,現(xiàn)有一架長為6m的梯子AB斜靠在墻面BC上，當(dāng)梯子底端A離墻面2m時，人是否能夠

安全地攀上梯子的頂端？(參考數(shù)據(jù);sin50°^0.77,cos50°^0.64,sin75°=0.97,cos75°-0.26)

解：當(dāng)a=50。時,cos50。/，

所以AC=6Xcos50°g6X0.64=3.84(m).

當(dāng)a=75°時，cos75°吟毛，

AB6

所以AC=6Xcos75°弋6X0.26=1.56（m）,

所以要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子底端與墻面的距離應(yīng)該在1.56m~3.84m之間（包括

1.56m和3.84m）,

故當(dāng)梯子底端離墻面2m時,人能夠安全地攀上梯子的頂端.

2.[2020山東荷澤]如圖,某興趣小組為了測量大樓CD的高度,先沿著斜坡AB走了52米到達(dá)坡頂點B處,然后

在點B處測得大樓頂點C的仰角為53°,已知斜坡AB的坡度i=l：2.4,點A到大樓的距離AD為72米,求大

樓的高度CD.

（參考數(shù)據(jù):sin53°V，cos53°tan53"玉）

553

解:如圖,過點B作BE1AD于點E,BF1CD于點F,

易知四邊形BEDF是矩形，

.*.FD=BE,FB=DE.

在RtAABE中，BE:AE=1:2.4=5：12.

設(shè)BE=5x,AE=12x,

根據(jù)勾股定理,得AB=13x,

A13x=52,

解得x=4,

.,.FD=BE=5x=20,AE=12x=48,

I'B=DE=AD-AE=72-48=24,

.?.在RtZXCBF中,CF=FBXtanNCB-24x1=32,

.'.CD=FD+CF=20+32=52(米).

答:大樓的高度CD約為52米.

3.“防洪防汛,人人有責(zé)”.為加強防洪工作,某災(zāi)區(qū)在某一樓頂上豎起4米高的宣傳牌(GH).如圖,在點A處,

用測角儀測得點H的仰角為26.6°,在點B處測得點G的仰角為38.V.已知測角儀AE=1.5米,AB=10米,求

樓高CH.(點A,B,C,E,F,H,G在同一平面上)

(參考數(shù)據(jù)：tan26.6°?=0.50,sin26.6°?=0.45,tan38.7°?=0.80,sin390=0.63)

解：如圖，延長EF交C1I于點D,則CD=BF=AE=1.5,EF=AB=10.

在RtADEH中，DE二二產(chǎn)2DH.

tanZDEII

在RtADFG中，DF-DG^-(DH+4).

tanZDFG4

由題意可知DE-DF=10,

.\2DH--(DH+4)=10,解得DH=20,

4

.\CH=DH+CD=20+1.5=21.5.

故樓高CH約為21.5米.

4.[2020合肥蜀山區(qū)一模]某校數(shù)學(xué)興趣小組選取南泗河兩岸互相平行的一段,開展了測量這段河的寬度的活

動.如圖,在河的南岸邊點A處,測得河的北岸邊點C在其東北方向,然后向南走20m到達(dá)點B處,測得點C在

點B的北偏東30°方向上.

(1)求NACB的度數(shù)；

(2)求出這段河的寬度.(結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù):北比1.41,73和1.73)

解:

(1)如圖，延長BA交CE于點D.由題意得NCAD=45°,NB=30°,

/.ZACB=ZCAD-ZB=15".

(2)設(shè)這段河的寬度為xm,則CD=AD=xm,BD=(x+20)m.

在RtZXBCD中，NB=30°,

.,.x=10(V3+l)??10X(1.73+1)=27.

真題幫

【考法速覽】

考法1解直角三角形（10年2考）

考法2解直角三角形的實際應(yīng)用（10年8考）

考法1解直角三角形

1.[2020安徽,8]如圖,RtZXABC中，NC=90°,點D在AC上，NDBC=NA.若AC=4,cosAW，則BD的長度為（C）

5

2.[2012安徽，19]如圖，在△ABC中，ZA=30°,ZB=45°,AC=2V3,求AB的長.

過點C作CDJ_AB于點D(如圖).

在RtAACD中，ZA=30°,AC=2V3,

所以AD=ACcos30°=2gx/=3,

CD=ACsin300=V3.

在RtABCD中，ZB=45°,所以BD=CD=V3,

故AB=AD+BD=3+V3.

考法2解直角三角形的實際應(yīng)用

類型1背靠背型

3.[2015安徽，18]如圖，平臺AB高為12米，在B處測得樓房CD頂部點D的仰角為45°,底部點C的俯角為

30°,求樓房CD的高度.（參考數(shù)據(jù):代免1.7）

如圖，作BE±CD于點E,貝ijCE=

AB=12米.

在RtABCE中，BE-

tanZCBE

19=12迎（米）.

tan30

在RtZkBDE中，

VZDBE=45°,

.?.DE=BE=12V3米.

ACD=CE+DE=12+12V3^32.4（^）,

故樓房CD的高度約為32.4米.

類型2母子型

4.[2020安徽，18]如圖，山頂上有一個信號塔，已知信號塔的高AC=15米,在山腳下點B處測得塔底C的仰角

NCBD=36.9°,塔頂A的仰角NABD=42.0°,求「山高CD（點A,C,D在同一條豎直線上）.（參考數(shù)

據(jù)：tan36.9°比0.75,sin36.9°比0.60,tan42.0°?0.90）

解:在RtZXABD和RtZXCBD中，

AD=BD?tanZABD^O.9BD,CD=BD?tanZCBD?=O.75BD,

于是AC=AD-CD=O.15BD.

因為AC=15米，所以BD=1OO米，

所以CD=O.75BD=75米.

答：山高CD約為75米.

5.[2018安徽，19]為了測量豎直旗桿AB的高度,某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD,并在地面上水

平放置一個平面鏡E,使得B,E.D在同?水平線上，如圖所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗

桿頂A（此時NAEB=NFED）.在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3°,平面鏡E的俯角為45。，F(xiàn)D=1.8米,問旗桿

AB的高度約為多少米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù):tan39.3°'0.82,tan84.3°?=10.02）

解:如圖，過點F作FGXAB于點G,

則AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.

由題意知AABE和aFDE均為等腰直角三角形,

.-.AB=BE,DE=FD=1.8,

/.FG=DB=DE+BE=AB+1.8.

在RtAAFG中,AG=FG?tanZAFG,

.,.AB-1.8^0.82(AB+1.8),

解得ABg18.2比18.

答:旗桿AB的高度約為18米.

6.[2016安徽,19]如圖,河的兩岸L與6相互平行,A,B是L上的兩點,C,D是6上的兩點.某人在點A處測得

ZCAB=90°,NDAB=30°,再沿AB方向前進(jìn)20米到達(dá)點E（點E在線段AB上），測得NDEB=60°,求C,D兩點間

的距離.

解:如圖,過點D作1,的垂線,垂足為點F.

VZDEB=60°,ZDAB=30",

/.ZADE=ZDEB-ZDAB=30°,

ADE=AE=20米.

在RtADEF中,EF=DE-cos600=20x1=10（米）.

VDF1AF,

.,.ZDFB=90°,

；.AC〃DF.

VI,/7b,

；.CD〃AF,

.?.四邊形ACDF為矩形，

/.CD=AF=AE+EF=30米.

答:C,D兩點間的距離為30米.

7.[2013安徽，19]如圖,防洪大堤的橫斷面是梯形ABCD,其中AD/7BC,坡角a=60".汛期來臨前對其進(jìn)行了加

固，改造后的背水面坡角8=45。.若原坡長AB=20m,求改造后的坡長AE.（結(jié)果保留根號）

EB

解:過點A作AF1BC于F.在RtAABF中，ZABF=a=60°,

AF=AB?sin600=20X^=10V3(m).

在RtAAEF中，；B=45°,；.EF=AF=10V5m.

/.AE^A^+EF^10V6m,

即改造后的坡長AE為10V6m.

8.[2011安徽，19]如圖，某高速公路建設(shè)中需要確定隧道AB的長度.已知在離地面1500m高的C處的飛機(jī)上,

測量人員測得正前方A,B兩點處的俯角分別為60°和45。，求隧道AB的長.（參考數(shù)據(jù):6-1.73）

解：由題意可知△＜：（?為等腰直角三角形，

.\0B=0C=1500m.

在RtACOA中，ZAC0=90°-60°=30°,

AOA=OC?tan30°=1500Xy=500V3（m）,

AAB=0B-0A=1500-500V3^1500-500X1.73=635（m）.

故隧道AB的長約為635m.

類型3解有公共頂點的兩個直角三角形

9.[2017安徽，17]如圖,游客在點A處坐纜車出發(fā),沿A—B—D的路線可至山頂D處.假設(shè)AB和BD都是直線段,

且AB=BD=600m,a=75°,B=45°,求DE的長.

（參考數(shù)據(jù)：sin75°^0.97,cos75°=0.26,72=1.41）

解:在RtABDF中，由sinB端可得，

DF=BD?sinB=600Xsin45°=600X43002=423(m).

在RtAABC中，由cosa考可得,

AB

BC=AB?cosa=600Xcos75°^156(m).

所以DE=DF+EF=DF+BC^423+156=579(m).

10.[2014安徽，18]如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路1，和L間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高

速公路L成30°角，長為20km;BC段與AB,CD段都垂直,長為10km;CD段長為30km.求兩高速公路間的距離

（結(jié)果保留根號）.

解:如圖,過點A作AB的垂線交DC的延長線于點E,過點E作L的垂線與1b分別交于點H,F,則HF".

由題意知AB_LBC,BC1CD.

又AE±AB,

，四邊形ABCE為矩形.

：.AE=BC,AB=EC.

ADE=DC+CE=DC+AB=30+20=50(km).

又TAB與L成30°角，

.,.ZEDF=30°,ZEAH=60°.

在RtADEF中，EF=DEsin30°=50x|=25(km),

在RtAAEH中,EH=AEsin600=10Xy=5V3(km),

.?.HF=EF+HE=(25+5V3)km,

即兩高速公路間的距離為(25+5g)km.

作業(yè)幫

基礎(chǔ)分點練（建議用時：40分鐘）

考點1解直角三角形

1.[2020浙江杭州]如圖,在ZXABC中，ZC=90",設(shè)NA,ZB,ZC所對的邊分別為a,b,c,則（B）

A.c=bsinBB.b=csinB

C.a=btanBD.b=ctanB

2.[2020四川南充]如圖，點A,B,C在正方形網(wǎng)格的格點上,則sinZBAC=(B)

3.[2020貴州遵義中考改編]構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要體現(xiàn),在計算tanl5°時，

如圖，在RtZXACB中，NC=90°,NABC=30°,延長CB使BD=AB,連接AD,得ND=15°,所以tanl5°類

vvN+VJ

比這種方法,計算的值為(A)

tanJZ.o

A.V2+1B.V2-1C.V2D.j

4.[2020山東菊澤]如圖,在ZXABC中，NACB=90°,點D為AB邊的中點，連接CD,若BC=4,CD=3,則cosZDCB的

值為:_?

5.[2019四川雅安中考改編]在RtZ\ABC中,AB=5,BC=4,則sinA=_涵瞿

A

6.[2019廣西柳州]如圖，在AABC中，sinB=1,tanC=^,AB=3,則AC的長為_g_.

考點2解直角三角形的實際應(yīng)用

7.[2020浙江溫州]如圖，在離鐵塔150米的D處,用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫閍,測傾儀的高AD為1.5米,則

鐵塔的高BC為(A)

A.(1.5+150tana)米

B.(1.5+-^-)*

tana

C.(1.5+150sina)米

D.(1.5-—)*

sina

8.[2020四川自貢]如圖,我市在建高鐵的某段路基的橫斷面為梯形ABCD,DC〃AB.BC長為6米，坡角B為

45°,AD的坡角a為30°,則AD的長為_@淄_米(結(jié)果保留根號).

9.[2020湖北孝感]某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示,其中AB〃CD,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AB的長為(乎-1.6)

m.(結(jié)果保留根號)

10.[2020合肥廬陽區(qū)模擬]如圖，水渠兩邊AB〃CD,一個矩形竹排EFGH斜放在水渠

中，NAEF=45°,ZEGD=105",竹排寬EF=2米,求水渠的寬.

解:如圖,過點F作FPJLAB于點P,延長PF交CD于點Q,則FQ1CD.

在RtAPEF中，ZPEF=45°,EF=2,

/.PF=EF?sin450=V2.

VAB/7CD,

NAEG=NEGD=105°,

ZGEF=ZAEG-ZAEF=105°-45°=60°,

；.FG=EF?tanZGEF=2tan60°=2V3.

VZEGF=90°-ZGEF=30",

AZFGQ=1800-ZEGD-ZEGF=180--105°-30°=45°,

；.FQ=FG-sin450=26X凈瓜

.,.PQ=PF+FQ=V2+V6,

即水渠的寬為(虎+遙)米.

11.[2020湖北荊門]如圖,海島B在海島A的北偏東30°方向，且與海島A相距20海里,一艘漁船從海島B出

發(fā)，以5海里/時的速度沿北偏東75°方向航行,同時一艘快艇從海島A出發(fā),向正東方向航行.2小時后,快艇

到達(dá)C處,此時漁船恰好到達(dá)快艇正北方向的E處.

(2)求快艇的速度及C,E之間的距離.

(參考數(shù)據(jù)：sinl5°^0.26,cosl5°^0.97,tanl5°=0.27,V3^1.73)

解：⑴如圖,過點B作BD±AC于點D,作BF±CE于點F.

由題意得NNAB=30°,ZGBE=75°.

；AN〃BD,

AZABD=ZNAB=30°.

又NDBE=1800-ZGBE=180--75°=105°,

AZABE=ZABD+ZDBE=30°+105°=135°.

（2）BE=5X2=10（海里）.

在RSBEF中，NEBF=90°-75°=15°,

AEF=BE?sinl50g10X0.26=2.6（海里），BF=BE?cos15°g10X0.97=9.7（海里）.

在RtAABD中，AB=20海里，ZABD=30°,

.".AD=AB-sin30°=20X；=10（海里）,BD=AB?cos30°=20X^=10V3=?10X1.73=17.3（Wfi）.

VBD1AC,BFXEC,CE±AC,

AZBDC=ZDCF=ZBFC=90°,

四邊形BDCF為矩形，

.,.DC=BF=9.7海里,FC=BD=17.3海里，

.,.AC=AD+DC=10+9.7=19.7（海里），CE=EF+CF=2.6+17.3=19.9（海里）.

設(shè)快艇的速度為v海里/時,則v#=9.85.

答:快艇的速度約為9.85海里/時,C,E之間的距離約為19.9海里.

12.[2020合肥包河區(qū)二模]某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶計劃開發(fā)一個三角形的養(yǎng)殖區(qū)域，已知三角形頂點A,B,C的位置如圖

所示，ZCAB=105°,ZB=45",AB=100方米.

(1)求養(yǎng)殖區(qū)域AABC的面積；

(2)養(yǎng)殖戶計劃在邊BC上選一點D,修建垂釣棧道AD,測得/CAD=40°,求垂釣棧道AD的長.

(參考數(shù)據(jù):虛心1.41,時~L73,sin20°=0.34,cos200=?0.94,tan20°〃0.36.結(jié)果保留整數(shù))

解：⑴如圖,過點A作AHXBC于點H.

在RtAABH中，ZB=45°,AB=100>/2,

.\AH=BH=100,ZBAH=45°,

AZCAH=105°-45°=60°.

在RtAACH中,CH=100?tan60°=10075,

.?.CB=100（l+V3）,

.,?SAW=；BC?AH=ix100(V3+l)x100=13650.

答:養(yǎng)殖區(qū)域4ABC的面積約為13650米：

(2)如圖，?.?NCAD=40°,.\ZDAH=ZCAH-ZCAD=20".

在RtZ\ADH中,cosNDAH瞿,

AD

?ACAH?IOO?

..AD=~—^—^110m6.

cos200.94

答:垂釣棧道AD的長約為106米.

13.[2019山東濰坊]自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多.為方便群眾步行健身，某

地政府決定對一段坡路進(jìn)行改造,改造后如圖⑴所示.改造前的斜坡AB=200米,坡度為1:V3,如圖⑵所示.

將斜坡AB的高度AE降低20米后,斜坡AB改造為斜坡CD,其坡度為1：4,點E,B,D在同一水平線上.求斜坡

CD的長.（結(jié)果保留根號）

圖⑴圖⑵

解:在RtZXABE中,

VtanZABE-

杷3'

AZABE=300.

VAB=200米,

.\AE=100米.

VAC=20米,

，CE=100-20=80(米).

在Rt^CDE中,

tanD」,

4

.CE_80_l

EDED4'

.'.ED=320米,

CD=V3202+802=80VT7(>K).

答:斜坡CD的長是80JT7米.

綜合提升練（建議用時：10分鐘）

[2020湖北黃岡]因東坡文化遠(yuǎn)近聞名的遺愛湖公園，“國慶黃金周”期間,游人絡(luò)繹不絕，現(xiàn)有一艘游船載著

游客在遺愛湖中游覽.如圖，當(dāng)船在A處時,船上游客發(fā)現(xiàn)岸上P,處的臨皋亭和P2處的遺愛亭都在東北方向；

當(dāng)游船向正東方向行駛600m到達(dá)B處時,游客發(fā)現(xiàn)遺愛亭在北偏西15°方向；當(dāng)游船繼續(xù)向正東方向行駛

400m到達(dá)C處時,游客發(fā)現(xiàn)臨皋亭在北偏西60°方向.

(D求A處到臨皋亭P,處的距離；

(2)求臨皋亭R處與遺愛亭P,處之間的距離.(計算結(jié)果保留根號)

解：⑴依題意知NP2AB=45°,ZPJBA=75",ZPlCA=30°.

如圖⑴,過點Pi作PiM±AC于點M.

設(shè)PlM=xm,貝！1在RtAAP.M中，AM=PM=xm,

.,.APi=-\/2xm.

在RtAP.MC中,PiC=2P,M=2xm>MC=V3xm.

又：AC=AB+BC=AM+MC,

600+400=x+V3x,

Ax=500(V3-1).

AP,=V2X500(V3-1)=(500V6-500V2)(m),

故點A處到臨皋亭P,處的距離為(500V6-500V2)m.

⑵如圖(2),過點B作BNAP?于點N.

在RtAABN中，ZABN=45",

AN=BN=/=^=300調(diào)(m).

v2V2

在RtANP2B中,ZNBP2=30°,

...Np2m聾LiooVg?,

V3v3

AP2=AN+NP2=(300V2+100V6)m,

P,P2=AP2-API=300V2+100V6-500V6+500V2=(800V2-400A/6)(m),

...臨皋亭Pl處與遺愛亭P2處之間的距離為（800夜-400佃）m.

參考答案

q考點錯

【易錯自糾】

1.D如圖，在RtAACH>f,VAH=4,CH=3,/.AC=VAH2+CH2=V42+32=5,/.sinZACB=^4.

AC5

2.6由題意可知tanA=2￡=；,易得?三，10=6(m).

AC4AB555

3.駒葉設(shè)AB=k,；2AB=AC,；.AC=2k.易知NC<90°.①當(dāng)NB=90°時，由勾股定理得

BC=VAC2-AB2=J(2k)2-k2=V3k,；.cosC專嚕日;②當(dāng)NA=90°時，由勾股定理得

BC=VAC2+AB2=J(2k)2+k2=V5k,'cosC哈普絲綜上可知,cosC=^或竺

NBCvok52o

q方法幫

提分特訓(xùn)

q真題幫

l.C在Rt△ABC中,COSA卷弓,則

AB=^AC=5,.,.BC=VAB2-AC2=3.VZDBC=ZA,.?.凡cosNDBC=cosA,，ABD=2BC=^X3=^.

4BD5444

Q作業(yè)幫

基礎(chǔ)分點練

1.B根據(jù)三角函數(shù)的定義,得sinB±cosB=-,tanB=-,.,.b=csinB,a=ccosB,b=atanB,故選B.

cca

2.B過點B作AC的垂線,垂足為點H.不妨設(shè)小正方形的邊長為1,則AC=3V2,AB=<13.又S^X1X3=1,所

以BH-SfA