第13講 等邊三角形及含30°角的直角三角形的性質(zhì)（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級人教版）

第13講等邊三角形及含30°角的直角三角形的性質(zhì)【人教版】·模塊一等邊三角形的性質(zhì)和判定·模塊二含30°角的直角三角形的性質(zhì)·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一等邊三角形的性質(zhì)和判定等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【考點1等邊三角形的性質(zhì)】【例1.1】如圖是三個等邊三角形隨意擺放組成的圖形，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為（

）A．90° B．120° C．180° D．無法確定【例1.2】已知直線a∥b，將等邊三角形△ABC按如圖所示的位置擺放，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)為（

）A．95° B．85° C．75° D．70°【例1.3】如圖，點C在線段AB上，△DAC和△DBE都是等邊三角形，試說明：△DAB≌△DCE．

【變式1.1】如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠a＋∠β的度數(shù)是（

）A．220° B．180° C．270° D．240°【變式1.2】如圖，A，B，D三點在同一直線上，△ABC和△BDE均為等邊三角形，連結(jié)AE，CD，若∠BAE=39°，那么∠AEB=______．【變式1.3】如圖，在等邊△ABC中，點E為AB上一點，點F為AC上一點，且AE=CF．求證：CE=BF．

【考點2等邊三角形的判定】【例2.1】下列說法不正確的是（

）A．有一個角為60°的三角形是等邊三角形； B．三邊相等的三角形是等邊三角形C．三個角相等的三角形是等邊三角形 D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形【例2.2】如圖，已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內(nèi)部，點P1與點P關(guān)于OB對稱，點P2與點P1關(guān)于OA對稱，則P1，O，A．含30°角的直角三角形 B．等邊三角形C．頂角是30°的等腰三角形 D．視點P的位置而定【例2.3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AE是∠BAC的平分線，CD是AB【變式2.1】下列圖形中，一定是等邊三角形的是（

）A． B．C． D．【變式2.2】如圖，在△ABC中，∠C=60°，D為AB邊的中點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，DE=DF．求證：△ABC是等邊三角形．【變式2.3】已知，如圖，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求證：△DEC為等邊三角形．

【考點3等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】【例3.1】如圖，△ABC中，BC=8，AD是中線，∠ADB=60°，將△ADB沿AD折疊至△ADB'，則點C到B'A．4 B．23 C．3 D．【例3.2】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接AD，作∠DAE=∠BAC，且AD=AE，連接CE．若CE∥AB，∠BAD=40°，則∠DEC的度數(shù)為【例3.3】如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【變式3.1】將兩個直角三角形如圖放置，其中∠BAC=∠ECD=90°，∠D=60°，AB=AC，DA=DC，CE與AB交于點F，則∠BFC=_____．【變式3.2】已知：如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，延長BC至點E使CE=AD，連接DE交AC與點F．

(1)求證：FD=FE；(2)過點D作DG⊥AC于G，若等邊三角形ABC的邊長為6，求FG的長．【變式3.3】已知△ABC是等邊三角形，點P在AB上，過點P作PD⊥AC，垂足為D，延長BC至點Q，使CQ=AP，連接PQ交AC于點E，如圖所示．如果等邊△ABC的邊長為4，那么線段DE的長為（）A．1 B．2 C．1.8 D．2.5模塊二模塊二含30°角的直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)定理在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【考點1含30°角的直角三角形的性質(zhì)】【例1.1】在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=8，則A．8 B．4 C．16 D．2【例1.2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BD＝1，【例1.3】如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是邊AC，BC上的點，BD，AE交于點R，BF⊥AE于點F，若AD=CE．求證：BR=2FR．

【變式1.1】如圖，∠AOB=60°，以點O為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧交OA于點C，交OB于點D；分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點P；畫射線OP，在射線OP上截取線段OM=8，則點MA．6 B．5 C．4 D．3【變式1.2】如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=16，點M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=________．【變式1.3】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD，DF⊥BE，垂足為點F．

(1)求證：CE=2CF；(2)若CF=2，求△ABC的周長．【考點2含30°角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】【例2.1】如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC=150°，BC的長是8m，則乘電梯從點B到點C上升的高度h是（

A．833m B．4m C．【例2.2】如圖，CD是平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)CD上點O反射后照射到點B，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且∠α=60°，OB=10，則BD=______．【例2.3】如圖，早上8:00，一艘輪船以20海里/小時的速度由南向北航行，在A處測得小島P在北偏西15°方向上，到上午10:00，輪船在B處測得小島P在北偏西30°方向上，在小島P周圍18海里內(nèi)有暗礁，若輪船繼續(xù)向前航行，有無觸礁的危險？【變式2.1】如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校A與河對岸農(nóng)場B之間的距離，在學(xué)校附近選一點C，用測量儀器測得∠A=60°，∠C=90°，AC=2km，則學(xué)校與農(nóng)場之間的距離AB為（

A．8km B．6km C．4km模塊三模塊三課后作業(yè)1．在△ABC中，AB=AC=6，∠B=60°，則△ABC的周長為（A．24 B．18 C．12 D．62．若一個三角形的每一個外角都等于一個不相鄰的內(nèi)角的2倍，那么這個三角形是（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形3．如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形，∠1=40°，則

A．50° B．60° C．70° D．80°4．在△ABC中，∠A=60°，若使△ABC為正三角形，請你再添一個條件：___________．5．如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°,BC=18cm．AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E；AC的垂直平分線交AC于點G，交BC于點F．EF的長為_____6．如圖，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°，將△ABC沿射線BC方向平移2個單位后得到△DEF，連接DC，則DC的長為7．已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，點D為OC上一點，過D作直線DE⊥OA，垂足為點E，且直線DE交OB于點F，如圖所示．若DE=2，則DF=______________．

8．如圖，∠ABC=60°,AB=4，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC運動，設(shè)點P的運動時間為t秒t>0，當(dāng)△ABP為銳角三角形時，t的取值范圍是_____．9．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高，若AB=4，求CD的長度．10．如圖，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CE=CD，DB=DE，∠E=30°．求證：△ABC是等邊三角形．11．如圖，△ABC是等邊三角形，