2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（8）教學(xué)教案 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（8）教學(xué)教案新人教A版必修4課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3節(jié)，重點探討正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象。教學(xué)內(nèi)容主要包括正切函數(shù)的定義、性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性等）以及其圖象特征。與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中掌握了銳角三角函數(shù)的基本概念，特別是正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象，為本節(jié)課的正切函數(shù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。此外，學(xué)生在初中階段已經(jīng)了解過函數(shù)的基本概念，具備了一定的圖象識別和分析能力，有利于本節(jié)課的教學(xué)展開。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能更好地理解三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，并掌握正切函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要圍繞數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等方面進(jìn)行。通過正切函數(shù)性質(zhì)與圖象的學(xué)習(xí)，旨在提升學(xué)生的以下能力：

1.數(shù)學(xué)抽象：使學(xué)生能夠從具體的三角函數(shù)問題中抽象出一般性的規(guī)律，理解正切函數(shù)的定義及其與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系，形成對三角函數(shù)的深刻理解。

2.邏輯推理：培養(yǎng)學(xué)生運用已知的數(shù)學(xué)性質(zhì)和定理，推導(dǎo)出正切函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、周期性等，并能運用邏輯推理解釋正切函數(shù)圖象的特點。

3.數(shù)學(xué)建模：通過分析正切函數(shù)的實際應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)會構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而提高解決實際問題的能力。

4.數(shù)學(xué)運算：使學(xué)生能夠熟練運用三角函數(shù)的基本性質(zhì)，解決涉及正切函數(shù)的計算問題，提高數(shù)學(xué)運算的準(zhǔn)確性和效率。

5.數(shù)據(jù)分析：通過觀察和分析正切函數(shù)圖象，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)敏感度，提升數(shù)據(jù)分析能力。

6.空間想象：結(jié)合正切函數(shù)的圖象，引導(dǎo)學(xué)生運用空間想象能力，理解正切函數(shù)在不同象限的圖象變化，加深對函數(shù)圖象的理解。三、學(xué)情分析本節(jié)課面向的是高中一年級學(xué)生，他們在知識、能力、素質(zhì)方面具備以下特點：

1.知識層面：

-學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦、余弦函數(shù)的基本概念，具備一定的三角函數(shù)知識基礎(chǔ)。

-學(xué)生在高中階段已初步掌握了函數(shù)的基本性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性等，但可能對周期性、對稱性等性質(zhì)的理解不夠深入。

-學(xué)生在數(shù)學(xué)分析方面，對圖象的識別和分析能力有限，尤其是對復(fù)合函數(shù)圖象的把握。

2.能力層面：

-學(xué)生具備一定的邏輯推理能力，但部分學(xué)生在運用性質(zhì)推導(dǎo)正切函數(shù)性質(zhì)時可能存在困難。

-學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力參差不齊，部分學(xué)生可能對三角函數(shù)的計算不夠熟練。

-學(xué)生的空間想象能力有待提高，對正切函數(shù)在不同象限的圖象變化理解可能不夠深入。

3.素質(zhì)層面：

-學(xué)生具備一定的自主學(xué)習(xí)能力，但部分學(xué)生對新知識的接受程度較低，需要教師引導(dǎo)。

-學(xué)生的團(tuán)隊合作能力較強(qiáng)，但在解決問題時可能過于依賴同伴，缺乏獨立思考。

-學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，部分學(xué)生對困難問題有畏懼心理，缺乏解決問題的信心。

4.行為習(xí)慣：

-學(xué)生在課堂上能夠積極參與討論，但部分學(xué)生發(fā)言不夠主動。

-學(xué)生的筆記習(xí)慣較好，但部分學(xué)生在課后復(fù)習(xí)方面存在不足。

-學(xué)生在課堂紀(jì)律方面表現(xiàn)良好，但部分學(xué)生對作業(yè)的完成態(tài)度不夠端正。

對課程學(xué)習(xí)的影響：

1.知識層面：學(xué)生已有的三角函數(shù)知識基礎(chǔ)有利于正切函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，但知識點的深入理解和運用仍需加強(qiáng)。

2.能力層面：學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和空間想象能力對正切函數(shù)的學(xué)習(xí)有一定影響，需要教師在教學(xué)中注重能力的培養(yǎng)。

3.素質(zhì)層面：學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、團(tuán)隊合作和問題解決能力對課程學(xué)習(xí)有積極影響，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生心理素質(zhì)的提升，提高學(xué)習(xí)信心。

4.行為習(xí)慣：學(xué)生的課堂表現(xiàn)和課后復(fù)習(xí)習(xí)慣對學(xué)習(xí)效果具有重要影響，教師需關(guān)注學(xué)生行為習(xí)慣的培養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)效率。四、教學(xué)方法與策略針對本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生特點，采用以下教學(xué)方法與策略：

1.教學(xué)方法：

（1）講授法：教師以清晰、簡練的語言講解正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象，突出重點，解釋難點，確保學(xué)生掌握基本概念。

（2）討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生在探討正切函數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用的過程中，加深對知識的理解。

（3）案例研究：通過分析具體的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生運用正切函數(shù)解決實際問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

（4）項目導(dǎo)向?qū)W習(xí)：設(shè)置綜合性項目，讓學(xué)生在完成項目的過程中，自主探究正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

2.教學(xué)活動：

（1）角色扮演：讓學(xué)生扮演數(shù)學(xué)家，發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)正切函數(shù)的性質(zhì)，提高學(xué)生的邏輯推理能力。

（2）實驗：設(shè)計數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生通過觀察正切函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)并驗證性質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的實踐操作能力。

（3）游戲：設(shè)計數(shù)學(xué)游戲，如“正切函數(shù)接力賽”，讓學(xué)生在游戲中鞏固正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象，提高學(xué)習(xí)興趣。

（4）小組競賽：組織小組間的數(shù)學(xué)競賽，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作精神。

3.教學(xué)媒體和資源：

（1）PPT：制作精美的PPT，展示正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象，幫助學(xué)生直觀地理解知識點。

（2）視頻：播放與正切函數(shù)相關(guān)的教學(xué)視頻，讓學(xué)生了解正切函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（3）在線工具：利用在線數(shù)學(xué)工具，如幾何畫板、Desmos等，讓學(xué)生動態(tài)觀察正切函數(shù)圖象，深入理解性質(zhì)。

（4）教材與輔導(dǎo)書：提供教材和輔導(dǎo)書，引導(dǎo)學(xué)生課后復(fù)習(xí)，鞏固所學(xué)知識。五、教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過學(xué)校在線學(xué)習(xí)平臺，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括正切函數(shù)的基本概念和性質(zhì)預(yù)習(xí)PPT，明確要求學(xué)生預(yù)習(xí)正切函數(shù)的定義及其與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系。

-設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞“正切函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”，設(shè)計問題，如“正切函數(shù)的奇偶性如何證明？”“正切函數(shù)的周期性對其圖象有何影響？”

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過學(xué)習(xí)平臺的數(shù)據(jù)分析功能，跟蹤學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，確保學(xué)生掌握預(yù)習(xí)內(nèi)容。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照預(yù)習(xí)要求，閱讀資料，初步理解正切函數(shù)的基本概念。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生嘗試回答預(yù)習(xí)問題，記錄下自己的思考過程和疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)筆記或思維導(dǎo)圖通過平臺提交，或在微信群分享疑問。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生獨立探索，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)習(xí)慣。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺和微信群進(jìn)行資源分享和互動。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前接觸正切函數(shù)的概念，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和解決問題的初步嘗試。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過一個實際生活中的例子（如建筑物的斜率問題），引出正切函數(shù)的重要性。

-講解知識點：詳細(xì)講解正切函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、周期性，并通過圖象展示幫助理解。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學(xué)生探討正切函數(shù)在不同象限的圖象特點；進(jìn)行角色扮演，讓學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家推導(dǎo)正切函數(shù)的性質(zhì)。

-解答疑問：在課堂活動中，及時解答學(xué)生的疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入理解知識點。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：認(rèn)真聽講，對講解中的關(guān)鍵點進(jìn)行思考。

-參與課堂活動：在小組討論中積極發(fā)言，通過角色扮演等活動深入理解正切函數(shù)的性質(zhì)。

-提問與討論：對不理解的部分提出問題，與同學(xué)和老師進(jìn)行討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過講解，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握正切函數(shù)的知識點。

-實踐活動法：通過角色扮演和小組討論，讓學(xué)生在實踐中學(xué)習(xí)。

-合作學(xué)習(xí)法：促進(jìn)學(xué)生之間的合作與交流。

作用與目的：

-加深學(xué)生對正切函數(shù)性質(zhì)的理解，特別是周期性和奇偶性。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和團(tuán)隊合作能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置相關(guān)習(xí)題，要求學(xué)生鞏固正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象。

-提供拓展資源：推薦一些拓展閱讀材料，如數(shù)學(xué)歷史中關(guān)于三角函數(shù)的發(fā)展，以及正切函數(shù)在現(xiàn)代工程中的應(yīng)用案例。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給出個性化反饋，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并糾正錯誤。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：認(rèn)真完成作業(yè)，運用所學(xué)知識解決問題。

-拓展學(xué)習(xí)：閱讀拓展資源，拓寬知識視野。

-反思總結(jié)：對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，總結(jié)學(xué)習(xí)方法，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生自主完成作業(yè)和深入拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評價和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生對正切函數(shù)性質(zhì)的理解，提高解題能力。

-通過拓展閱讀，增加學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和認(rèn)識。

-通過反思總結(jié)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的改進(jìn)和自主學(xué)習(xí)能力的提升。六、知識點梳理1.正切函數(shù)的定義

正切函數(shù)定義為正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。這個定義幫助學(xué)生理解正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2.正切函數(shù)的奇偶性

正切函數(shù)是一個奇函數(shù)，即tan(-θ)=-tanθ。這一性質(zhì)說明了正切函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，有助于學(xué)生理解正切函數(shù)圖象的對稱性。

3.正切函數(shù)的周期性

正切函數(shù)的周期是π，即tanθ=tan(θ+π)。這個性質(zhì)解釋了正切函數(shù)圖象在水平方向上的重復(fù)性，有助于學(xué)生把握正切函數(shù)的整體特征。

4.正切函數(shù)的單調(diào)性

正切函數(shù)在每個周期內(nèi)是單調(diào)增加的，即當(dāng)θ從0增加到π/2時，tanθ的值從0增加到正無窮大。這一性質(zhì)幫助學(xué)生理解正切函數(shù)圖象在第一象限的形狀。

5.正切函數(shù)的圖象

正切函數(shù)的圖象是一條波浪線，它在每個周期內(nèi)穿過第一、第三象限，并在第二、第四象限不存在。這個性質(zhì)有助于學(xué)生直觀地認(rèn)識正切函數(shù)的圖象特征。

6.正切函數(shù)的值域

正切函數(shù)的值域是整個實數(shù)集，即tanθ可以取任何實數(shù)值。這一性質(zhì)說明了正切函數(shù)在不同象限的表現(xiàn)，有助于學(xué)生理解正切函數(shù)的廣泛應(yīng)用。

7.正切函數(shù)的應(yīng)用

正切函數(shù)在實際生活中有廣泛的應(yīng)用，如斜率問題、角度測量等。通過分析具體的應(yīng)用案例，學(xué)生可以更好地理解正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象。

8.正切函數(shù)與其他三角函數(shù)的關(guān)系

正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)之間有密切的關(guān)系，如tanθ=sinθ/cosθ。這個關(guān)系幫助學(xué)生理解三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能在實際問題中靈活運用。七、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測一、課堂小結(jié)

1.正切函數(shù)的定義

本節(jié)課首先介紹了正切函數(shù)的定義，即tanθ=sinθ/cosθ。這個定義揭示了正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)之間的密切關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)正切函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

2.正切函數(shù)的奇偶性

通過分析正切函數(shù)的奇偶性，我們得出正切函數(shù)是一個奇函數(shù)，即tan(-θ)=-tanθ。這一性質(zhì)說明了正切函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，有助于學(xué)生理解正切函數(shù)圖象的對稱性。

3.正切函數(shù)的周期性

本節(jié)課還介紹了正切函數(shù)的周期性，即tanθ=tan(θ+π)。這個性質(zhì)解釋了正切函數(shù)圖象在水平方向上的重復(fù)性，有助于學(xué)生把握正切函數(shù)的整體特征。

4.正切函數(shù)的單調(diào)性

我們還探討了正切函數(shù)的單調(diào)性，即在每個周期內(nèi)，正切函數(shù)是單調(diào)增加的。這一性質(zhì)幫助學(xué)生理解正切函數(shù)圖象在第一象限的形狀。

5.正切函數(shù)的圖象

通過觀察正切函數(shù)的圖象，我們發(fā)現(xiàn)它是一條波浪線，在每個周期內(nèi)穿過第一、第三象限，并在第二、第四象限不存在。這個性質(zhì)有助于學(xué)生直觀地認(rèn)識正切函數(shù)的圖象特征。

6.正切函數(shù)的值域

正切函數(shù)的值域是整個實數(shù)集，即tanθ可以取任何實數(shù)值。這一性質(zhì)說明了正切函數(shù)在不同象限的表現(xiàn)，有助于學(xué)生理解正切函數(shù)的廣泛應(yīng)用。

7.正切函數(shù)的應(yīng)用

最后，我們通過分析具體的應(yīng)用案例，讓學(xué)生更好地理解正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象。這些應(yīng)用案例包括斜率問題、角度測量等，展示了正切函數(shù)在實際生活中的重要性。

8.正切函數(shù)與其他三角函數(shù)的關(guān)系

本節(jié)課還強(qiáng)調(diào)了正切函數(shù)與其他三角函數(shù)之間的關(guān)系，如tanθ=sinθ/cosθ。這個關(guān)系幫助學(xué)生理解三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能在實際問題中靈活運用。

二、當(dāng)堂檢測

1.判斷題

（1）正切函數(shù)是一個偶函數(shù)。（）

（2）正切函數(shù)的周期是2π。（）

（3）正切函數(shù)的值域是整個實數(shù)集。（）

2.填空題

（1）正切函數(shù)的定義是tanθ=______/______。

（2）正切函數(shù)的奇偶性是______。

（3）正切函數(shù)的周期是______。

（4）正切函數(shù)的值域是______。

3.選擇題

（1）下列哪個函數(shù)是奇函數(shù)？

A.正弦函數(shù)

B.余弦函數(shù)

C.正切函數(shù)

D.余切函數(shù)

（2）正切函數(shù)的周期是？

A.π

B.2π

C.1

D.無窮大

（3）下列哪個選項描述了正切函數(shù)的值域？

A.（-∞，+∞）

B.[0，1]

C.[-1，1]

D.（-1，1）

4.解答題

（1）已知tanθ=2，求sinθ和cosθ的值。

（2）已知sinθ=3/5，求tanθ的值。

（3）畫出正切函數(shù)的圖象，并指出其周期、單調(diào)區(qū)間和對稱性。八、教學(xué)反思與改進(jìn)在教學(xué)結(jié)束后，我進(jìn)行了一次反思活動，以評估本節(jié)課的教學(xué)效果并識別需要改進(jìn)的地方。

首先，我注意到學(xué)生們在預(yù)習(xí)階段的表現(xiàn)參差不齊。一些學(xué)生能夠認(rèn)真閱讀預(yù)習(xí)資料并積極思考問題，但另一些學(xué)生似乎沒有充分利用預(yù)習(xí)資源。我意識到我需要更好地監(jiān)控和指導(dǎo)學(xué)生的預(yù)習(xí)過程，以確保他們能夠有效地利用這些資源。

其次，在課堂上，我發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生對正切函數(shù)的周期性和單調(diào)性理解不夠深入。這可能是因為我在講解時沒有提供足夠的實例和圖象支持。我計劃在未來的教學(xué)中增加更多的實際例子和圖象，以幫助學(xué)生更好地理解這些性質(zhì)。

此外，我還注意到一些學(xué)生在完成課后作業(yè)時遇到了困難。這表明他們可能沒有完全掌握課堂上的知識點。為了解決這個問題，我計劃在未來的教學(xué)中增加更多的練習(xí)機(jī)會，并鼓勵學(xué)生在課堂上積極參與討論和提問。

最后，我意識到我需要更好地利用教學(xué)媒體和資源。雖然我使用了PPT和視頻，但我感覺這些資源并沒有充分發(fā)揮其潛力。我計劃在未來的教學(xué)中更加有效地利用這些資源，例如通過設(shè)計更具互動性的PPT和視頻，以吸引學(xué)生的注意力并提高他們的參與度。典型例題講解例題1:已知正切函數(shù)tanθ=3/4，求sinθ和cosθ的值。

解答：根據(jù)正切函數(shù)的定義，tanθ=sinθ/cosθ，所以sinθ=3/4*cosθ。由于sin^2θ+cos^2θ=1，代入sinθ=3/4*cosθ，得到(3/4*cosθ)^2+cos^2θ=1，解得cosθ=±4/5，sinθ=±3/5。

例題2:已知sinθ=5/13，求tanθ的值。

解答：根據(jù)正切函數(shù)的定義，tanθ=sinθ/cosθ。已知sinθ=5/13，由于sin^2θ+cos^2θ=1，可得cosθ=±12/13，所以tanθ=sinθ/cosθ=5/12。

例題3:已知tanθ=-1/2，求cosθ的值。

解答：根據(jù)正切函數(shù)的定義，tanθ=sinθ/cosθ，所以sinθ=-1/2*cosθ。由于sin^2θ+cos^2θ=1，代入sinθ=-1/2*cosθ，得到(-1/2*cosθ)^2+cos^2θ=1，解得cosθ=±2√5/5。

例題4:已知tanθ=√3，求sinθ和cosθ的值。

解答：根據(jù)正切函