高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 7.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系限時集訓(xùn) 理

限時集訓(xùn)(四十一)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(限時：50分鐘滿分：106分)一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分)1．(·福州檢測)給出下列四個命題：①沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行；②互相垂直的兩條直線是相交直線；③既不平行也不相交的直線是異面直線；④不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．42．若直線a∥b，b∩c＝A，則直線a與c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交3．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．64．(·浙江高考)若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交5．(·重慶模擬)若兩條直線和一個平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是 ()A．平行 B．異面C．相交 D．平行、異面或相交6．(·福州模擬)如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)7．(·聊城模擬)對于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線8．(·重慶高考)設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，eq\r(2)和a，且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是()A．(0，eq\r(2)) B．(0，eq\r(3))C．(1，eq\r(2)) D．(1，eq\r(3))二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)9．給出如下四個命題：①有三個角是直角的四邊形一定是矩形；②不共面的四點(diǎn)可以確定四個平面；③空間四點(diǎn)不共面的充要條件是其中任意三點(diǎn)不共線；④若點(diǎn)A、B、C∈平面α，且點(diǎn)A、B、C∈平面β，則平面α與平面β重合．其中真命題的序號是________．(把所有真命題的序號都填上)10．對于空間三條直線，有下列四個條件：①三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點(diǎn)；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，使三條直線共面的充分條件有________．11．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個命題中，正確命題的序號是________．12．(·大綱全國卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F13．若P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則下列命題中假命題的序號是________．①過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行；②過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直；③過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交；④過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面．14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于________．三、解答題(本大題共3個小題，每小題14分，共42分)15．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CC1，AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD16．如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值．17．(·上海高考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．已知AB＝2，AD＝2eq\r(2)，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面積；(2)異面直線BC與AE所成的角的大?。鸢竅限時集訓(xùn)(四十一)]1．B2.D3.C4.B5.D6.D7.C8.A9．解析：如圖(1)，平面α內(nèi)∠ABC為直角，P?α，過P作PD⊥AB，垂足為D，PE⊥BC，垂足為E，則四邊形PDBE有三個直角，故①假；在圖(2)的平面α內(nèi)，四邊形ABCD中任意三點(diǎn)不共線，則③假；圖(3)中，平面α∩平面β＝l，A、B、C都在l上，則④假，只有②真．答案：②10．解析：①中兩相交直線確定一個平面，則第三條直線在這個平面內(nèi)．②中可能有直線和平面平行，③中直線最多可確定3個平面．④同①.答案：①④11.解析：將展開圖還原為正方體，如圖所示，則AB⊥EF，故①正確；AB∥CM，故②錯誤；EF與MN顯然異面，故③正確；MN與CD異面，故④錯誤．答案：①③12.解析：如圖，連接DF，因?yàn)镈F與AE平行，所以∠DFD1即為異面直線AE與D1F所成角的平面角，設(shè)正方體的棱長為2，則FD1＝FD＝eq\r(5)，由余弦定理得cos∠DFD1＝eq\f(\r(5)2＋\r(5)2－22,2×\r(5)2)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)13．解析：①是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn)P不存在一條直線與l，m都平行；②是真命題，因?yàn)檫^點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直，這條直線與兩異面直線的公垂線平行或重合；③是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn)P也可能沒有一條直線與l，m都相交；④是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn)P可以作出無數(shù)條直線與l，m都異面．答案：①③④14．解析：如圖：延長CA到D，使得AD＝AC，連接A1D，BD，則四形邊形ADA1C1為平行四邊形，∴∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，又三角形A1DB為等邊三角形，∴∠DA1B＝60°.答案：60°15．解：如圖所示．PB即為平面BED1F與平面ABCD16．解：(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即為平面ABE，∴P∈平面ABE，這與P?平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線．(2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EF∥PB，所以∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角，∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)；cos∠AEF＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為eq\f(1,4).17．解：(1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.因?yàn)镻D＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，CD＝2，所以三角形PCD的面積為eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).