高考數(shù)一輪復習 第八章 第七節(jié) 拋物線突破熱點題型 文

第七節(jié)拋物線考點一拋物線的定義及應(yīng)用[例1]設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點．(1)求點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x＝－1.由拋物線的定義知：點P到直線x＝－1的距離等于點P到焦點F的距離．于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(－1，1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最?。@然，連接AF交曲線于點P，則所求的最小值為|AF|，即為eq\r(5).(2)如圖，過點B作BQ垂直準線于Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值為4.【互動探究】若將本例(2)中的B點坐標改為(3,4)，求|PB|＋|PF|的最小值．解：由題意可知點(3,4)在拋物線的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離．∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq\r(42＋22)＝eq\r(16＋4)＝2eq\r(5).即|PB|＋|PF|的最小值為2eq\r(5).【方法規(guī)律】拋物線定義中的“轉(zhuǎn)化”法利用拋物線的定義解決此類問題，應(yīng)靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉(zhuǎn)化．“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的有效途徑．1．(·天津模擬)已知動圓過定點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，且與直線x＝－eq\f(p,2)相切，其中p>0，則動圓圓心的軌跡E的方程為____________．解析：依題意得，圓心到定點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離與到直線x＝－eq\f(p,2)的距離相等，再依拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡E為拋物線，其方程為y2＝2px.答案：y2＝2px2．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，若|AF|＝3，則|BF|＝________.解析：因為拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)．顯然，當AB垂直于x軸時，|AF|≠3，所以AB的斜率k存在，設(shè)AB的方程為y＝k(x－1)，與拋物線y2＝4x聯(lián)立，消去y得k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2).又|AF|＝3＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1，所以x1＝2，代入k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，得k2＝8，所以x1＋x2＝eq\f(5,2)，x2＝eq\f(1,2)，故|BF|＝x2＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)考點二拋物線的標準方程及性質(zhì)[例2](1)(·四川高考)拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線的距離是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．1D.eq\r(3)(2)(·江西高考)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.[自主解答](1)由拋物線y2＝4x，有2p＝4，p＝2.其焦點坐標為(1,0)，雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.不妨取其中一條eq\r(3)x－y＝0.由點到直線的距離公式有d＝eq\f(|\r(3)×1－0|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2).(2)在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，eq\f(AB,2)＝eq\f(\r(3),3)p，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)p，－\f(p,2))).又因為點B在雙曲線上，故eq\f(\f(p2,3),3)－eq\f(\f(p2,4),3)＝1，解得p＝6.答案：(1)B(2)6【方法規(guī)律】1．求拋物線的標準方程的方法及流程(1)方法：求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可．(2)流程：因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．2．確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準線等性質(zhì)時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標準方程．(2)技巧：要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面幾何的性質(zhì)以圖助解．1．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|＝()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4D．2eq\r(5)解析：選B依題意，設(shè)拋物線方程是y2＝2px(p>0)，則有2＋eq\f(p,2)＝3，得p＝2，故拋物線方程是y2＝4x，點M的坐標是(2，±2eq\r(2))，|OM|＝eq\r(22＋8)＝2eq\r(3).2．(·湖州模擬)已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)yB．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：選D雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由于eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.拋物線的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以eq\f(\f(p,2),2)＝2，則p＝8，所以拋物線方程為x2＝16y.高頻考點考點三直線與拋物線的位置關(guān)系1．直線與拋物線的位置關(guān)系，是高考命題的熱點，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為中、高檔題．2．直線與拋物線的位置關(guān)系有以下幾個命題角度：(1)已知拋物線方程及其他條件，求直線方程；(2)證明直線過定點；(3)求線段長度或線段之積(和)的最值；(4)求定值．[例3](·杭州模擬)已知直線y＝2x－2與拋物線x2＝2py(p＞0)交于M1，M2兩點，且|M1M2|＝8eq\r(15).(1)求p的值；(2)設(shè)A是直線y＝eq\f(p,2)上一點，直線AM2交拋物線于另一點M3，直線M1M3交直線y＝eq\f(p,2)于點B，求·的值．[自主解答](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－2，,x2＝2py，))整理得x2－4px＋4p＝0，設(shè)M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16p2－16p＞0，,x1＋x2＝4p，,x1·x2＝4p，))∵|M1M2|＝8eq\r(15)，∴eq\r([x1＋x22－4x1x2]1＋22)＝8eq\r(15)，即eq\r(16p2－16p×5)＝8eq\r(15).∴p2－p－12＝0，解得p＝4或p＝－3(舍去)，且p＝4滿足Δ＞0，∴p＝4.(2)由(1)知拋物線方程為x2＝8y，且x1＋x2＝16，x1x2＝16，M1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),8)))，M2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),8)))，設(shè)M3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3，\f(x\o\al(2,3),8)))，A(t,2)，B(a,2)，由A，M2，M3三點共線得kM2M3＝kAM2，∴eq\f(x2＋x3,8)＝eq\f(\f(x\o\al(2,2),8)－2,x2－t)，即xeq\o\al(2,2)＋x2x3－t(x2＋x3)＝xeq\o\al(2,2)－16，整理得x2x3－t(x2＋x3)＝－16，①由B，M3，M1三點共線，同理可得x1x3－a(x1＋x3)＝－16，②②式兩邊同乘x2得x1x2x3－a(x1x2＋x2x3)＝－16x2，即16x3－a(16＋x2x3)＝－16x2，③由①得x2x3＝t(x2＋x3)－16，代入③得16x3－16a－at(x2＋x3)＋16a＝－16x2即16(x2＋x3)＝at(x2＋x3)，∴at＝16.∴·＝at＋4＝20.直線與拋物線的位置關(guān)系的常見類型及解題策略(1)求直線方程．先尋找確定直線的兩個條件，若缺少一個可設(shè)出此量，利用題設(shè)條件尋找關(guān)于該量的方程，解方程即可．(2)證明直線過定點．可依題設(shè)條件尋找該直線的方程，可依據(jù)方程中的參數(shù)及其他條件確定該直線過那個定點．(3)求線段長度和線段之積(和)的最值．可依據(jù)直線與拋物線相交，依據(jù)弦長公式，求出弦長或弦長關(guān)于某個量的函數(shù)，然后利用基本不等式或利用函數(shù)的知識，求函數(shù)的最值；也可利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為兩點間的距離或點到直線的距離．(4)求定值．可借助于已知條件，將直線與拋物線聯(lián)立，尋找待定式子的表達式，化簡即可得到．(·濰坊模擬)已知過點A(－4,0)的動直線l與拋物線G：x2＝2py(p>0)相交于B，C兩點．當直線l的斜率是eq\f(1,2)時，＝4.(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．解：(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當直線l的斜率是eq\f(1,2)時，l的方程為y＝eq\f(1,2)(x＋4)，即x＝2y－4，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,x＝2y－4，))消去x，得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝eq\f(8＋p,2)，y1y2＝4，由已知＝4，∴y2＝4y1，由韋達定理及p>0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，∴拋物線G的方程為x2＝4y.(2)由題意知直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)l：y＝k(x＋4)，BC中點坐標為(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝kx＋4，))得x2－4kx－16k＝0，由Δ>0得k<－4或k>0，∴x0＝eq\f(xB＋xC,2)＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，BC中垂線方程為y－2k2－4k＝－eq\f(1,k)(x－2k)，∴b＝2(k＋1)2，∴b>2.故b的取值范圍為(2，＋∞)．———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————4個結(jié)論——直線與拋物線相交的四個結(jié)論已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點的直線交拋物線于A，B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有以下結(jié)論：(1)|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝eq\f(2p,sin2α)(α為AB所在直線的傾