高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積演練知能檢測 文

第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積[全盤鞏固]1．設(shè)一個球的表面積為S1，它的內(nèi)接正方體的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π)B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,2)解析：選D設(shè)球的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長為a，則易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))2)＝eq\f(π,2).2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．1解析：選B根據(jù)該三視圖可知，該幾何體是三棱錐，V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×2＝eq\f(1,3).3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為()A．24－eq\f(3π,2)B．24－eq\f(π,3)C．24－πD．24－eq\f(π,2)解析：選A據(jù)三視圖可得該幾何體為一長方體內(nèi)挖去一個半圓柱，其中長方體的棱長分別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為1，母線長為3，故其體積V＝2×3×4－eq\f(1,2)×π×12×3＝24－eq\f(3π,2).4．某品牌香水瓶的三視圖如下(單位：cm)，則該幾何體的表面積為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95－\f(π,2)))cm2B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94－\f(π,2)))cm2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94＋\f(π,2)))cm2D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95＋\f(π,2)))cm2解析：選C該幾何體的上下部分為長方體，中間部分為圓柱．S表面積＝S下長方體＋S上長方體＋S圓柱側(cè)－2S圓柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×eq\f(1,2)×1－2×πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝94＋eq\f(π,2).5．一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是eq\f(32π,3)，那么這個三棱柱的體積是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)解析：選D如圖設(shè)球的半徑R，由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，得R＝2.∴正三棱柱的高h(yuǎn)＝4.設(shè)其底面邊長為a，則eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2，∴a＝4eq\r(3).∴V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).6．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)(單位：cm)，可知此幾何體的表面積是()A．24cm2B.eq\f(64,3)cm2C．(6＋2eq\r(5)＋2eq\r(2))cm2D．(24＋8eq\r(5)＋8eq\r(2))cm2解析：選D如圖所示，依題意可知四棱錐P-ABCD是此幾何體的直觀圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB與底面ABCD垂直，底面ABCD是正方形，△PAD≌△PBC，△PAB是等腰三角形，設(shè)M是AB的中點，N是CD的中點，連接PM、PN、MN，由題知PM＝AB＝4，MN＝4，則PN＝4eq\r(2)，故此幾何體的表面積為S＝S正方形ABCD＋S△PAB＋2S△PBC＋S△PCD＝4×4＋eq\f(1,2)×4×4＋2×eq\f(1,2)×4×2eq\r(5)＋eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝(24＋8eq\r(5)＋8eq\r(2))cm2.7．(·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________．解析：如圖所示，設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因為AH∶HB＝1∶2，所以O(shè)H＝eq\f(1,3)R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由題意得πr2＝π，則r＝1，故R2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)R))2，即R2＝eq\f(9,8).由球的表面積公式，得S＝4πR2＝eq\f(9π,2).答案：eq\f(9π,2)8．(·杭州模擬)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為____________．解析：據(jù)三視圖可知該幾何體為四棱錐，其中底面為正方形，對角線長為10，四棱錐的高為5，故側(cè)面高為h′＝eq\r(52＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2)＝eq\f(5\r(6),2)，因此表面積S＝eq\f(1,2)×4×5eq\r(2)×eq\f(5\r(6),2)＋eq\f(1,2)×10×10＝50(1＋eq\r(3))．答案：50(1＋eq\r(3))9．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中的長度單位為cm，則該幾何體的體積為________cm3.解析：由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，底面直角梯形的上底為4cm，下底為5cm，高為3cm，四棱柱的高為4cm，所以該幾何體的體積為eq\f(4＋5,2)×3×4＝54cm3.答案：5410.如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點，求四棱錐C1-B1解：連接EF，B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a.由題意得，VC1-B1EDF＝VB1-C1EF＋VD-C1EF＝eq\f(1,3)·S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3.11．一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為eq\r(3)，寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C所以S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).12.如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.記CD＝x，V(x)表示四棱錐F-ABCD的體積．(1)求V(x)的表達(dá)式．(2)求V(x)的最大值．解：(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，∴FA＝2，BD＝eq\r(4－x2)(0<x<2)，S?ABCD＝CD·BD＝xeq\r(4－x2)，∴V(x)＝eq\f(1,3)S?ABCD·FA＝eq\f(2,3)xeq\r(4－x2)(0<x<2)．(2)V(x)＝eq\f(2,3)xeq\r(4－x2)＝eq\f(2,3)eq\r(－x4＋4x2)＝eq\f(2,3)eq\r(－x2－22＋4).∵0<x<2，∴0<x2<4，∴當(dāng)x2＝2，即x＝eq\r(2)時，V(x)取得最大值，且V(x)max＝eq\f(4,3).[沖擊名校]1．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(\r(2),2)解析：選A由于三棱錐S-ABC與三棱錐O-ABC的底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍．所以三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍．在三棱錐O-ABC中，其棱長都是1，如圖所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，故VS-ABC＝2VO-ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).2.如圖所示，動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上．過點P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N兩點．設(shè)BP＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()解析：選B顯然，只有當(dāng)P移動到中心O時，MN有唯一的最大值，排除選項A、C；P點移動時，取AA1的中點E，CC1的中點Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N兩點在菱形D1EBQ的邊界上運動，故x與y的關(guān)系應(yīng)該是線性的，排除選項D，選B.[高頻滾動]1．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析：選C側(cè)視圖是從圖形的左邊向右邊看，看到一個矩形的面，在面上有一條對角線，對角線是左下角與右上角的連線，故選C.2