對稱性在數(shù)學教學中的應用

在數(shù)學教學中利用數(shù)學問題的對稱性不僅有助于找到簡潔優(yōu)美的解法，也有利于學生思維水平的提高。更重要的是可以在學習數(shù)學的同時欣賞數(shù)學美，正如古代哲學家普洛克拉斯曾說：“哪里有數(shù)學，哪里就有美?！倍鴮ΨQ美是數(shù)學美的基本內(nèi)容和重要體現(xiàn)，因此在數(shù)學教學中，教師要有意識地揭示數(shù)學中的對稱美，培養(yǎng)學生的美感，利用對稱性提高學生解決問題的能力。本文以例題為主，主要論述對稱性在函數(shù)，幾何等方面的應用，讓學生充分認識對稱性的作用，認識對稱美。運用對稱性可以鍛煉學生的思維，拓展學生的視野，豐富學生的想象，提高學習效果。一、對稱的概念“對稱”一詞，譯自希臘語，其含義是“和諧”“美觀”，原義指“在一些物品的布置時出現(xiàn)的般配與和諧”。我國老一輩數(shù)學家段學復教授也說過：“對稱，照字面來講，就是兩個東西相對而又相稱(或者說相仿、相等)。因此，把這兩個東西互換一下，好像沒動一樣?！痹诂F(xiàn)實世界中，形式上和內(nèi)容上的對稱性，廣泛地存在于客觀事物之中，既有軸對稱、中心對稱、鏡面對稱等等的空間對稱，又有周期、節(jié)奏和旋律的時間對稱。對稱美，作為數(shù)學美的主要表現(xiàn)形式之一，其數(shù)學的實質(zhì)就是自然物的和諧性在量和量的關系上最直觀的表現(xiàn)，是組元的一個構形在其自同構變換群作用下具有的不變性。從狹義上說，對稱是指通常意義下的幾何對稱和代數(shù)對稱；從廣義上講，對稱還包含對偶、勻稱等方面的內(nèi)容，及各種數(shù)學概念、公式、定理間的對稱思想。二、函數(shù)中的對稱性問題1.函數(shù)自身的對稱性。（1）利用奇偶函數(shù)的對稱性解題。眾所周知，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱，只要掌握這些知識的內(nèi)涵，就能得到處理這些問題的思路把看似復雜的問題簡單化。例1設（fx）是R上的奇函數(shù)，且（fx+3）=-（fx），當0≤時（fx）=x，求（f2008）。解：因為y=（fx）是定義在R上的奇函數(shù)，所以點（0，0）是其對稱中心，又（fx+3）=-（fx）=（f-x）=（f0-x），所以直線是y=（fx）的對稱軸，故y=（fx）是周期為6的周期函數(shù)，所以（f2008）=（f6×335-2）=f（-2）=-（f3-1）=（f-1）=-（f1）=-1。此題的關鍵是利用奇函數(shù)的重要性質(zhì)（f-x）=-（fx）以及關于原點（0，0）對稱，及函數(shù)（fx）的對稱軸（2）利用點的對稱性解題。例2（fx）是定義在R上的增函數(shù)，記F（x）=（fx）-（fk-x），求證：y=F（x）的圖像關于點（a，0）對稱的充要條件是k=2a。證明充分性，只須證F（2a-x）=-F（x），因為k=2a，所以F（2a-x）=（f2a-x）-（fx）=-[f（x）-f（2a-x）]=-F（x），所以y=F（x）關于點（a，0）對稱。必要性，因為y=F（x）關于點（a，0）對稱，所以F（2a-x）=-F（x），即f（2a-x）-f（k-2a+x）=（fk-x）-f（x），下面對k進行討論。①當k＞2a時f（2a-x）-f（k-2a+x）＜（fk-x）-（fx）。②當k＜2a時（f2a-x）-（fk-2a+x）＞（fk-x）-（fx）。③當k=2a時等式成立。（3）不同函數(shù)及圖像之間的對稱性。例3設定義域為R的函數(shù)y=（fx）與y=g（x）都有反函數(shù)并且f（x-1）和g-（1x-2）函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱，若g（5）=2007，求（f4）。解：因為函數(shù)y=（fx-1）和y=g-（1x-2）的圖像關于直線y=x對稱，所以y=g-1（x-2）的反函數(shù)是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函數(shù)是y=2+g（x），所以（fx-1）=2+g（x），所以（f5-1）=2+g（5）=2009，即（f4）=2009。三、輪換對稱式的應用所謂輪換對稱式即為：對于一個n元多項式p（x1，x2…，xn）把它的n個變元順次進行調(diào)換。如果這樣得到的結果仍與原式相同，即p（x1，x2…，xn）=p（x2，x3…xn，x1）那么這個多項式叫做關于這些變元的輪換對稱式，簡稱輪換對稱式，利用輪換對稱式可使解題簡潔優(yōu)美。舉例如下：例4已知α，β，γ，θ均為銳角，且α+β+γ+θ=π，求函數(shù)y=sinαsinβsinγsinθ的最大值。解：y=sinαsinβsinγsinθ當且僅當sinα=sinβ=sinγ=sinθ，不論在自然界里還是建筑中，不論在藝術還是科學中，甚至最普通的生活用品中，中學數(shù)學中對稱的形式隨處可見。人類在漫長的歲月里，體驗著對稱，享受著對稱。所以對稱思想方法應該在《初中課標》和《高中課標》中給予提出，因為這一思想是貫穿小學數(shù)學、中學數(shù)學直到整個數(shù)學學科的一個永恒的概念。其實不僅在數(shù)學中，在宇宙萬物中對稱都是一個至簡至深的概念，它是美的基本元素之一。但我相信數(shù)學是最能理解對稱本質(zhì)的一門學科。因此，在日常的數(shù)學教學中，要循序漸進地引導學生欣賞數(shù)學中的對稱美，掌握數(shù)學中的對稱思想，從而創(chuàng)