九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期課時(shí)知識(shí)同步測(cè)試41

專(zhuān)題十__有關(guān)切線的輔助線作法__[見(jiàn)A本P45]一切線的性質(zhì)(教材P101習(xí)題24.2第5題)如圖1，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn)，求證：AP＝BP.證明：連接OP.∵AB是小圓的切線，∴OP⊥AB.在大圓中由垂徑定理得AP＝BP.圖1圖2【思想方法】圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，所以作過(guò)切點(diǎn)的半徑得到垂直關(guān)系是常用的輔助線作法．如圖2，兩個(gè)同心圓的半徑分別為4cm和5cm，大圓的一條弦AB與小圓相切，則弦AB的長(zhǎng)為(CA．3cmB．4cmC．6cmD．如圖3，已知點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)D，連接AE.(1)求證：AE平分∠CAB；(2)探求圖中∠1與∠C的數(shù)量關(guān)系，并求當(dāng)AE＝EC時(shí)∠C的值．圖3變形2答圖解：(1)證明：如圖，連接OE，∵BC是⊙O的切線，且切點(diǎn)為E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.又∵△ABC是直角三角形，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB，∴∠BAE＝∠OEA.∵OA＝OE，∴∠1＝∠OEA，∴∠BAE＝∠1，∴AE平分∠CAB.(2)∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC＋∠C＝90°.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC＝2∠1，∴2∠1＋∠C＝90°，即∠1＝eq\f(1,2)(90°－∠C)．當(dāng)AE＝EC時(shí)，∠1＝∠C，則2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°.圖4如圖4，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，AT平分∠BAD交⊙O于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T作AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.(1)求證：CT為⊙O的切線；(2)若⊙O半徑為2，CT＝eq\r(3)，求AD的長(zhǎng)．解：(1)證明：連接OT∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT∴CT為⊙O的切線．(2)解：過(guò)O作OE⊥AD于E，則E為AD中點(diǎn)又∵CT⊥AC，∴OE∥CT∴四邊形OTCE為矩形∵CT＝eq\r(3)，∴OE＝eq\r(3)又∵OA＝2∴在Rt△OAE中，AE＝eq\r(OA2－OE2)＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1∴AD＝2AE＝2.二切線的判定(教材P101習(xí)題24.2第4題)如圖5，直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA＝OB，CA＝CB.求證：直線AB是⊙O的切線．證明：連接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底邊AB上的中線．∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切線．圖5【思想方法】證明某直線為圓的切線時(shí)，(1)如果該直線與已知圓有公共點(diǎn)，即可作出經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于該半徑，即“連半徑，證垂直”；(2)如果不能確定該直線與已知圓有公共點(diǎn)，則過(guò)圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑，即“作垂直，證半徑”．注意：在證明垂直時(shí)，常用到直徑所對(duì)的圓周角是直角．如圖6，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AED＝45°.判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．圖6解：CD與⊙O相切．理由如下：連接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠CDO＝∠AOD＝90°.又∵OD是⊙O的半徑，CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴CD是⊙O的切線．[2012·溫州]如圖7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB上的一點(diǎn)，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一點(diǎn)，以EC為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若CD的弦心距為1，BE＝EO，求BD的長(zhǎng)．圖7變形2答圖解：(1)證明：如圖，連接OD，∵∠DOB＝2∠DCB，又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB.又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切線．(2)解法一：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，∵OD＝OE＝BE＝eq\f(1,2)BO，∠BDO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠DCB＝30°，∴OC＝2OM＝2，∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝2eq\r(3).解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，連接DE，∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OC＝OE，∴DE＝2OM＝2.∵Rt△BDO中，OE＝BE，∴DE＝eq\f(1,2)BO，∴BO＝4，∴OD＝OE＝2，∴BD＝2eq\r(3).圖8如圖8，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過(guò)D作⊙O的切線，C是AD的中點(diǎn)，AE交⊙O于B點(diǎn)，四邊形BCOE是平行四邊形．(1)求AD的長(zhǎng)；(2)BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說(shuō)明理由．解：(1)連接BD，則∠DBE＝90°.∵四邊形BCOE是平行四邊形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，C為AD的中點(diǎn)，∴BC＝eq\f(1,2)AD＝1.∴AD＝2.(2)連接OB，由(1)得BC∥OD，且BC＝OD.∴四邊形BCDO是平行四邊形．又∵AD是⊙O的切線，∴OD⊥AD.∴四邊形BCDO是矩形．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線．圖9如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作DA的平行線與AF相交于點(diǎn)F，CD＝4eq\r(3)，BE＝2.求證：(1)四邊形FADC是菱形；(2)FC是⊙O的切線．解：(1)連接OC，依題意知：AF⊥AB，又CD⊥AB，∴AF∥CD，又CF∥AD，∴四邊形FADC是平行四邊形，由垂徑定理得：CE＝ED＝eq\f(1,2)CD＝2eq\r(3)，設(shè)⊙O的半徑為R，則OC＝R，OE＝OB－BE＝R－2，在△ECO中，由勾股定理得：R2＝(R－2)2＋(2eq\r(3))2，解得：R＝4，∴AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(62＋（2\r(3)）2)＝4eq\r(3)，∴AD＝CD，因此平行四邊形FADC是菱形；(2)連接OF，由(1)得：FC＝FA，又OC＝OA，F(xiàn)O＝FO，∴△FCO≌△FAO，∴∠FCO＝∠FAO＝90°，因此FC是⊙O的切線．

第3課時(shí)切線長(zhǎng)定理和三角形內(nèi)切圓[見(jiàn)B本P46]1．如圖24－2－30，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的長(zhǎng)是(B)圖24－2－30A．4B．8C．6D．10【解析】∵PA、PB都是⊙O的切線，∴PA＝PB，又∵∠P＝60°，∴△PAB是等邊三角形，即AB＝PA＝8，2．如圖24－2－31，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是(D)圖24－2－31A．∠1＝∠2B．PA＝PBC．AB⊥OPD．PA2＝PC·PO3．如圖24－2－32，已知△ABC中，⊙I內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，則I是△DEF的(A)圖24－2－32A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【解析】⊙I是△DEF的外接圓．4．如圖24－2－33，已知PA，PB切⊙O于A，B，C是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線交PA于M，交PB于N，已知∠P＝56°，則∠MON＝(C)圖24－2－33A．56°B．60°C．62°D．不可求【解析】連接OA，OB，則∠AOB＝124°，∴∠MON＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×124°＝62°，故選C.5．△ABC中∠A＝80°，若O為外心，M為內(nèi)心，則∠BOC＝__160__度，∠BMC＝__130__度．【解析】根據(jù)分析，得∠BOC＝2∠A＝160°；∠BMC＝90°＋eq\f(1,2)∠A＝130°.6．[2013·天津]如圖24－2－34，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，若∠P＝70°，則∠C的大小為_(kāi)_55°__．圖24－2－34【解析】連接OA，OB，∵PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠P－∠PBO＝360°－90°－70°－90°＝110°，∴∠C＝eq\f(1,2)∠AOB＝55°.7．[2012·菏澤]如圖24－2－35，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，若∠P＝46°，則∠BAC＝__23°__．圖24－2－35【解析】∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，又∠P＝46°，∴∠PAB＝∠PBA＝eq\f(180°－46°,2)＝67°.又PA是⊙O的切線，AO為⊙O的半徑，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°.8．如圖24－2－36，PA，PB分別切⊙O于A，B，連接PO與⊙O相交于C，連接AC，BC，求證：AC＝BC.圖24－2－36證明：∵PA，PB分別切⊙O于A，B，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC.∴AC＝BC.9．如圖24－2－37，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4.(1)求△ABC的面積；(2)求⊙O的半徑；(3)求AF的長(zhǎng)．圖24－2－37解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴△ABC的面積為：eq\f(1,2)×3×4＝6；(2)連接OE，OD，∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)為切點(diǎn)，∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC，又∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四邊形ECDO為正方形，∴設(shè)OE＝OD＝CE＝CD＝x，∴BE＝3－x，DA＝4－x；∴FB＝3－x，AF＝4－x，∴3－x＋4－x＝5，解得x＝1.(3)∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.10．如圖24－2－38所示，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝60°，連接AB，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作⊙O的切線，兩切線交于點(diǎn)P.若已知⊙O的半徑為1，則△PAB的周長(zhǎng)為_(kāi)_3eq\r(3)__．圖24－2－38【解析】∵AP，BP是⊙O的切線，∴∠PAC＝90°，PA＝PB.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，∴∠PAB＝90°－30°＝60°，∴△PAB是等邊三角形．在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2＝1，∴AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，∴△PAB的周長(zhǎng)為3eq\r(3).11．如圖24－2－39，已知AB為⊙O的直徑，PA，PC是⊙O的切線，A，C為切點(diǎn)，∠BAC＝30°.(1)求∠P的大?。?2)若AB＝2，求PA的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))．圖24－2－39第11題答圖解：(1)∵PA是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°.∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°.又∵PA，PC切⊙O于點(diǎn)A，C，∴PA＝PC，∴△PAC為等邊三角形，∴∠P＝60°.(2)如圖，連接BC，則∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2＝1，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，∴PA＝AC＝eq\r(3).12．如圖24－2－40，直尺、三角尺都和圓O相切，AB＝8cm.求圓O圖24－2－40第12題答圖解：作出示意圖如答圖，連接OE，OA，OB，∵AC，AB都是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是E，B，∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝eq\f(1,2)∠BAC.∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，∴∠OAB＝eq\f(1,2)×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16cm由勾股定理得OB＝eq\r(OA2－AB2)＝eq\r(162－82)＝8eq\r(3)(cm)，即⊙O的半徑是8eq\r(3)cm，∴⊙O的直徑是16e13．如圖24－2－41，PA，PB分別切⊙O于A，B，連接PO，AB相交于D，C是⊙O上一點(diǎn)，∠C＝60°.(1)求∠APB的大??；(2)若PO＝20cm求△AOB圖24－2－41解：(1)∵PA，PB分別為⊙O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°.在四邊形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°.(2)∵PA，PB分別為⊙O的切線，∴PA＝PB.∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO，∴∠APO＝∠BPO＝eq\f(1,2)∠APB＝30°，∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°，∴OA＝eq\f(1,2)×OP＝eq\f(1,2)×20＝10(cm)．在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝10cm∴AD＝eq\f(\r(3),2)×OA＝eq\f(\r(3),2)×10＝5eq\r(3)(cm)，OD＝eq\f(1,2)×OA＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)，∴AB＝2