高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 1.5 函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)與間斷

初等函數(shù)的連續(xù)性

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)§1-5函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)容提要函數(shù)連續(xù)的概念一為了準(zhǔn)確地描述函數(shù)連續(xù)的概念，我們首先引入函數(shù)增量的概念，如圖1-9所示。圖1-9設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)及其附近有定義，我們把x0

附近的x記作，并稱為自變量由x0

變到x時(shí)自變量的增量（或改變量），這時(shí)相應(yīng)地函數(shù)值由變到，我們稱

為函數(shù)值的增量（或改變量），記作，即引例1【植物的生長(zhǎng)高度】大家都知道植物的生長(zhǎng)高度h是時(shí)間t的函數(shù)，而且h隨著t的變化而連續(xù)變化。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)間t的變化很微小時(shí)，植物的生長(zhǎng)高度h的變化也很微小，即當(dāng)時(shí)，

。引例2【圖形得出的啟示】觀察圖1-9不難看出，函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，越小，點(diǎn)N越靠近點(diǎn)M，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量也越??；當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)N沿曲線無(wú)限接近于點(diǎn)M，這時(shí)。從以上兩個(gè)引例可以看出，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)具有以下數(shù)學(xué)特征：即因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，這時(shí)上式可以寫為根據(jù)連續(xù)的定義，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0

及其近旁有定義，若或

，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)。點(diǎn)稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。注意（1）在x0點(diǎn)有定義，且存在；（2）在x0點(diǎn)極限存在，即；（3）。如果函數(shù)在點(diǎn)x0處不滿足連續(xù)的條件，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0

不連續(xù)或間斷，點(diǎn)x0稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。解因?yàn)樵?點(diǎn)有定義，且，而，所以

。例1判斷函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性。由定義可知，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。解例2判斷函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性。因?yàn)樵?點(diǎn)有定義，且，又因?yàn)?，所以?點(diǎn)右連續(xù)；而，所以在點(diǎn)不左連續(xù)，從而函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)。解例3討論函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)性。設(shè)任意一點(diǎn)。因?yàn)?。所以，由定義1可知，函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)。由點(diǎn)x0

的任意性可得，函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)?；境醯群瘮?shù)的連續(xù)區(qū)間就是其定義域。根據(jù)極限的四則運(yùn)算法則和函數(shù)連續(xù)的定義，得出如下結(jié)論：（1）若函數(shù)和在點(diǎn)x0

處連續(xù)，則函數(shù)，

，在點(diǎn)x0

處也連續(xù)。初等函數(shù)的連續(xù)性二（2）若函數(shù)在點(diǎn)x0

處連續(xù)，而函數(shù)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u0

處也連續(xù)（其中），則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。根據(jù)結(jié)論2可得即

連續(xù)的復(fù)合函數(shù)求極限時(shí)，極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換順序。例4求極限：解例5求極限：解因?yàn)?，所以。一切初等函?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是它的定義區(qū)間。求初等函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)的極限值等于求該點(diǎn)的函數(shù)值。例6求下列函數(shù)的極限：（1）（2）解（1）因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，時(shí)函數(shù)有定義，所以（2）因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，時(shí)函數(shù)有定義，所以閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三性質(zhì)2（介值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且

，對(duì)于與之間的任意數(shù)C，則在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使。性質(zhì)的幾何意義是：閉區(qū)間上的連續(xù)曲線與水平直線至少相交于一點(diǎn)，如圖1-10所示有三個(gè)這樣的相交點(diǎn)，即。圖1-10性質(zhì)3（零點(diǎn)定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且

，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ

，使。性質(zhì)的幾何意義是：閉區(qū)間上的連續(xù)曲線，當(dāng)兩端點(diǎn)不在x軸同側(cè)時(shí)與x至少相交于一點(diǎn)，如圖1-11所示。圖1-11例7證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。解令，它在閉區(qū)間上連續(xù)，并且，