概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版）課件 張?zhí)斓?第4章 數(shù)字特征與極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）本章導(dǎo)學(xué)第4章數(shù)字特征與極限定理2而且在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨如果知道了隨機變量X

的分布，那么X

的全部概率特性或統(tǒng)計規(guī)律也就知道了.然而，在實際問題中，隨機變量的分布往往不容易確定.機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，就夠了.案例導(dǎo)入3考察LED燈管的質(zhì)量:命.比較兩臺機床生產(chǎn)精度：寸，還要考察每個零件尺寸與平均尺寸的偏離程度，偏離程度小意味著精度高.離的程度也是一個重要的數(shù)量特征.日?，F(xiàn)象舉例

常常關(guān)注的是LED燈管的平均壽

不僅要看生產(chǎn)零件的平均尺

這說明隨機變量與其平均值偏

這說明隨機變量的平均值是一個重要的數(shù)量特征.由上面例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖4不能完整地描述隨機變量但能清晰地描述隨機變量在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義.5還將介紹數(shù)字特征的重要應(yīng)用——極限定理本章將介紹常用的隨機變量數(shù)字特征隨機變量的平均取值01隨機變量取值與均值的平均偏離程度描述兩隨機變量間的某種關(guān)系的數(shù)0203——數(shù)學(xué)期望——方差——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容6請進入本章第1講隨機變量的數(shù)學(xué)期望??積分??級數(shù)預(yù)備知識——高等數(shù)學(xué)（微積分）學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第1講數(shù)學(xué)期望第4章數(shù)字特征與極限定理01數(shù)學(xué)期望的定義02隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望03數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)本講內(nèi)容問甲、乙兩人誰的技術(shù)好些？1001

數(shù)學(xué)期望的定義甲、乙兩工人用相同的設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,設(shè)??例1兩人各生產(chǎn)10組產(chǎn)品,每組中出現(xiàn)的廢品件數(shù)分別記為X、Y,廢品件數(shù)與相應(yīng)的組數(shù)記錄如下：甲的每組平均廢品數(shù)為乙的每組平均廢品數(shù)為從每組的平均廢品數(shù)看,乙的技術(shù)優(yōu)于甲!X0123組數(shù)4321Y012組數(shù)352X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.211用分布律表示01

數(shù)學(xué)期望的定義其和為X

的數(shù)學(xué)期望,記作E(X),即若無窮級數(shù)絕對收斂,則稱12設(shè)X為離散型隨機變量.其分布列為??定義1??數(shù)學(xué)期望的定義01

數(shù)學(xué)期望的定義即若廣義積分絕對收斂,則稱此積分為X

的數(shù)學(xué)期望記作E(X),13??數(shù)學(xué)期望的定義設(shè)連續(xù)型隨機變量X

的密度為??定義201

數(shù)學(xué)期望的定義14??前例01

數(shù)學(xué)期望的定義15X~P(λ),求E(X)

.??例201

數(shù)學(xué)期望的定義解01

數(shù)學(xué)期望的定義解設(shè)X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，求E(X).??例3X的密度函數(shù)為所以17解求下列連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：??例4(1)指數(shù)分布；(2)正態(tài)分布.01

數(shù)學(xué)期望的定義18則01

數(shù)學(xué)期望的定義分布期望0-1分布pB(n,p)npP(

)

(a,b)上的均勻分布E(

)N(,2)19??常見分布的數(shù)學(xué)期望01

數(shù)學(xué)期望的定義柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在!不是所有的隨機變量都有數(shù)學(xué)期望！20??注意01

數(shù)學(xué)期望的定義??例5

在三種情形下，試問的數(shù)學(xué)期望是否存在嗎？為什么？

??例6解01

數(shù)學(xué)期望的定義21設(shè)隨機變量的分布律分別為（1）因為發(fā)散，

所以的數(shù)學(xué)期望不存在。

01

數(shù)學(xué)期望的定義22（2）因為

發(fā)散，所以的數(shù)學(xué)期望不存在。

（3）因為收斂，所以的數(shù)學(xué)期望存在。

23??應(yīng)用——平均利潤問題

??例7解因為X服從指數(shù)分布,故分布函數(shù)為則設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為01

數(shù)學(xué)期望的定義為參數(shù)的指數(shù)分布,工廠規(guī)定,出售的設(shè)備若在售出

一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換,若工廠售出一臺設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費300元.求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望.Y-200100P設(shè)Y表示出售一臺設(shè)備的凈贏利,則分布律為廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望24??售出一臺設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺設(shè)備需花費300元01

數(shù)學(xué)期望的定義25在一個人數(shù)為N的人群中普查某種疾病，為此要??例801

數(shù)學(xué)期望的定義抽驗N個人的血.如果將每個人的血分別檢驗，則共需檢檢驗N次.為了能減少工作量，一位統(tǒng)計學(xué)家提出一種方方法：按

k個人一組進行分組，把同組

k個人的血樣混合后檢驗，如果這混合血樣呈陰性反應(yīng)，就說明此k個人的血都呈陰性反應(yīng)，此k個人都無疾病，因而此k個人只要檢驗1次就夠了，相當于每個人檢驗1/k次，檢驗的工作量明顯減少.如果這混合血樣呈陽性反應(yīng)，就說明此k個人中至少有一個人的血呈陽性反應(yīng)，則再對此

k個人的血樣分別進行檢驗，因而此

k個的血要檢驗1+k次，相當于每個人檢驗1+k/k次，這時增加了檢驗次假設(shè)該疾病的發(fā)病率為p，且得此病相互獨立，試問此種方法能否減少平均檢驗次數(shù)？2601

數(shù)學(xué)期望的定義Xp

1/k

1+k/k

所以每人平均驗血次數(shù)為由此可知，只要選擇k使或就可減少驗血次數(shù)，而且還可適當選取k使其達到最小.解令X為該人群中每個人需要的驗血次數(shù)，則X的分布列為01數(shù)學(xué)期望的定義02隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望03數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)本講內(nèi)容02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望28假如需要計算的不是X的期剛剛我們介紹了數(shù)學(xué)期望,如果已知隨機變量X的分布,我們可以求出X的期望.望,而是X的某個函數(shù)的期望,比如說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計算呢？現(xiàn)在提出一個問題：(常數(shù)k>0),求F的數(shù)學(xué)期望.每臺儀器進貨價500元,銷售價1000,若賣不出去廠家設(shè)某經(jīng)銷商進了三臺儀器,銷售量X的分布律為??例9設(shè)風速V是一個隨機變量,它服從(0,a)上的均??例10勻分布,而飛機某部位受到的壓力F是風速V的函數(shù)：按200元回購,求利潤Y的數(shù)學(xué)期望.02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望29

一種方法是:因為g(X)也是隨機變量,故應(yīng)有概率使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分如何計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?分布,它的分布可以由X的分布求出來.了g(X)的分布,就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.布,一般是比較復(fù)雜的.

一旦我們知道02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望30是否可以不求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出,答案是肯定的.公式的重要性在于:g(X)的分布,而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.當我們求E[g(X)]時,不必知道02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望31

若無窮級數(shù)絕對收斂,則絕對收斂,則若廣義積分

(1)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散r.v.X

的概率分布為設(shè)連續(xù)r.v.X的密度為f(x)02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望32絕對收斂,則若級數(shù)絕對收斂,則若廣義積分(2)Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散r.v.(X,Y)的概率分布為設(shè)連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y)

02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望33每臺儀器進貨價500元,銷售價1000,若賣不出去廠家按200元回購,求利潤Y的數(shù)學(xué)期望.設(shè)某經(jīng)銷商進了三臺儀器,銷售量X的分布律為??例9解02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望34(常數(shù)k>0),求F的數(shù)學(xué)期望.設(shè)風速V是一個隨機變量,它服從(0,a)上的均勻分??例10V的概率密度為解布,而飛機某部位受到的壓力F是風速V的函數(shù)：02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望35其他YX1210.250.3220.080.35求設(shè)隨機變量(X,Y)

的分布律為??例11解02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望36求E(X),E(-3X+2Y),E(XY).設(shè)(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布,其中A為x軸,y軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域.??例12解其他02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3702

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望38設(shè)市場上對某種產(chǎn)品每年需求量為X噸,

其中??例13設(shè)組織n噸貨源,利潤為Y,

解X~U[200,400],每出售一噸可賺300元,售不出去,則每噸需保管費100元,問應(yīng)該組織多少貨源,才能使平均利潤最大？其他02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望39故n=350時,E(Y)最大n=3504002

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望??例14解設(shè)二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為求E(X),E(Y),E(XY)其他02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望41某工廠每天從電力公司得到的電能X(單位：千瓦)??例15設(shè)工廠從電力公司得到的每千瓦電能可取得300元利潤,如工廠用電量超過電力公司所提供的數(shù)量,就要使用自備發(fā)電機提供的附加電能來補充,使用附加電能時每千瓦只能取得100元利潤.問一天中該工廠獲得利潤的數(shù)學(xué)期望是多少？02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望42服從[10,30]上的均勻分布,該工廠每天對電能的需要量Y(單位：千瓦)服從[10,20]上的均勻分布,其中X與Y相互獨立.設(shè)Z為一天中該工廠獲得的利潤,由題意解即而(X,Y)的密度函數(shù)為其他02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望43即該工廠一天中獲得利潤的數(shù)學(xué)期望是4333元.故02

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4401數(shù)學(xué)期望的定義02隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望03數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)本講內(nèi)容03

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)46(1)設(shè)C是常數(shù),則E(C)=C,

D(C)=0;(4)設(shè)X、Y獨立,則E(XY)=E(X)E(Y),(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(2)若C是常數(shù),則E(CX)=CE(X),

D(CX)=C2

D(X);（諸Xi獨立時）??推廣??推廣由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求的數(shù)學(xué)期望E(Y)已知隨機變量??例16解由于X服從正態(tài)分布則03

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)47??例17設(shè)一電路中電流與電阻是兩個相互獨立的隨機試求電壓的數(shù)學(xué)期望.解因為I與R相互獨立,所以根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),有變量,其概率密度分別為其他其他03

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)48學(xué)海無涯,祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第3講協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第4章數(shù)字特征與極限定理51前面我們介紹了一維隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差,對于二維隨機變量,除每個分量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系,我們現(xiàn)在要討論的就是反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第3講

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)本講內(nèi)容稱為X,Y的協(xié)方差.記為若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y的記為協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念53??定義01

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系,但它還受X與Y本身度量單位的影響.54??解釋為了克服這一缺點,對協(xié)方差進行標準化,從而引入了相關(guān)系數(shù)的概念.01

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)本講內(nèi)容cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì),可得cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)即=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)計算協(xié)方差的簡單公式5602

協(xié)方差的計算設(shè)離散型隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為

YX-10100.070.180.1510.080.320.20求X與Y的相關(guān)系數(shù)57??例102

協(xié)方差的計算由于解5802

協(xié)方差的計算從而X與Y的相關(guān)系數(shù)的聯(lián)合分布律為設(shè)保險公司對投保人的汽車保險和財產(chǎn)保險分別設(shè)定了免賠額(單位：元),現(xiàn)任選一位同時投保汽車保險和財產(chǎn)保險的客戶,X表示其汽車保單的免賠額,Y表示其財產(chǎn)保單的免賠額,隨機變量

YX01002001000.20.10.22500.050.150.3求cov(X,Y),59??例202

協(xié)方差的計算

YX

01002001000.20.10.20.52500.050.150.30.50.250.250.56002

協(xié)方差的計算6102

協(xié)方差的計算設(shè)隨機變量（X,Y）具有概率密度62??例3其他求02

協(xié)方差的計算63其他02

協(xié)方差的計算64解設(shè)隨機變量（X,Y）在區(qū)域上服從均勻分布，求??例4因為區(qū)域D的面積為所以(X,Y)的概率密度為則02

協(xié)方差的計算65同理故02

協(xié)方差的計算66解

習題課??例567解設(shè)X,與Y為兩隨機變量,且已知求:??例6的數(shù)學(xué)期望;02

協(xié)方差的計算（2）（3）的方差.（1）(1)(2)6802

協(xié)方差的計算(3)設(shè)(X,Y)~N(

1,

2;

12,

22;

)利用二維正態(tài)分布及協(xié)方差相關(guān)系數(shù)的計算公式可得二維正態(tài)分布的數(shù)字特征6902

協(xié)方差的計算70解

習題課??例7設(shè)隨機變量

服從區(qū)間

上的均勻分布，令

，求01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)本講內(nèi)容存在常數(shù)a,b(a≠0),使P(Y=aX+b)=1,即X和Y以概率1線性相關(guān)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)7203

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)若稱X,Y不相關(guān).顯然,若X與Y獨立,

cov(X,Y)=0,反之,X與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示沒有關(guān)系！顯然是不相互獨立的X,Y不相關(guān)73??例803

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)因為若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)相關(guān)系數(shù)含義及重要結(jié)論7403

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)若X~N(0,1)且Y=X2,問X與Y是否不相關(guān)？是否相互獨立？75解??例9因為X~N(0,1),密度函數(shù)為偶函數(shù),于是由得這說明X與Y是不相關(guān)的,但Y=X2顯然,X與Y是不相互獨立的.所以03

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)利用性質(zhì)簡化計算

因為X與Y相互獨立,所以則由協(xié)方差的性質(zhì)設(shè)隨機變量X和Y相互獨立且都服從正態(tài)分布思考：還有其他方法嗎？76解??例10已知其中a,

b為常數(shù),求U和V的相關(guān)系數(shù)03

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

則由協(xié)方差的性質(zhì)7703

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)利用性質(zhì)簡化計算將一枚硬幣重復(fù)擲??次,X與Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則X與Y的相關(guān)系數(shù)等于78解??例11所以所以03

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)79證明設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度證明:??例1203

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（2）X與Y不獨立.（1）X與Y不相關(guān);（1）關(guān)于X與Y的兩個邊緣概率密度分別為8003

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)于是8103

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)同理故從而有(1)(2)即X與Y不相關(guān);即X與Y不獨立.學(xué)海無涯,祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第4講大數(shù)定律與中心極限定理第4章數(shù)字特征與極限定理84概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究內(nèi)容是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性,而隨機現(xiàn)象的規(guī)律性是通過大量的重復(fù)試驗才呈現(xiàn)出來的.研究大量的隨機現(xiàn)象,常常采用極限方法,利用極限定理進行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛,其中最重要的有兩種:大數(shù)定律與中心極限定理.第4講

大數(shù)定律與中心極限定理01切比雪夫不等式02大數(shù)定律03中心極限定理本講內(nèi)容設(shè)隨機變量

X的期望E(X)與方差D(X)存在,則對于任意實數(shù)

>0,或理論價值證明大數(shù)定律等等實用價值估計概率切比雪夫不等式8601

切比雪夫不等式由切比雪夫不等式可以看出,若方差越小,則事件由此可體會方差的概率意義：它刻劃了隨機變量取值的離散程度.87{|X-E(X)|<}的概率越大,即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.01

切比雪夫不等式某車間生產(chǎn)一種電子器件,月平均產(chǎn)量為9500只,方差為10000只,試估計車間月產(chǎn)量為9000至10000只之間的概率．設(shè)X表示車間月產(chǎn)量,則由切比雪夫不等式可得車間月產(chǎn)量為9000至10000只之間的概率超過0.96.88??例1解01

切比雪夫不等式設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈,夜晚時每盞燈開燈的概率均為0.7,假定所有電燈的開或關(guān)是相互獨立的,試用切比雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200盞之間的概率.

令X表示在夜晚同時開著的電燈數(shù)目,則X服從89??例2解由切比雪夫不等式可得n=10000,p=0.7的二項分布,這時01

切比雪夫不等式這個概率的近似值表明,在10000盞燈中,開著的燈數(shù)在6800到7200的概率大于0.95.90由切比雪夫不等式可得而實際上,此概率可由二項分布求得精確值為0.99999.由此可知,切比雪夫不等式雖可用來估計概率,但精度不夠高.01

切比雪夫不等式設(shè)X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為－2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為－0.5,則由切比雪夫不等式91??例3解01

切比雪夫不等式設(shè)n次伯努利試驗中,每次試驗事件A出現(xiàn)的概率由切比雪夫不等式可得92??例4解01

切比雪夫不等式均為0.70,要使事件A出現(xiàn)的頻率在0.68到0.72之間的概率

不小于0.90,問至少要進行多少次試驗？9301

切比雪夫不等式欲使只要解得即至少要進行5250次試驗才能滿足要求.01切比雪夫不等式02大數(shù)定律03中心極限定理本講內(nèi)容

大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大數(shù)定律的客觀背景：大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率產(chǎn)品的廢品率大數(shù)定律9502

大數(shù)定律頻率具有穩(wěn)定性.

在大量的隨機現(xiàn)象中,隨機事件的

大量的隨機現(xiàn)象的

概率論中用來闡明大量隨機現(xiàn)象96大數(shù)定律平均結(jié)果具有穩(wěn)定性.平均結(jié)果的穩(wěn)定性大數(shù)定律（lawoflargenumber).的一系列定理,稱為02

大數(shù)定律大數(shù)定律為概率論所存在的基礎(chǔ)——“概率是頻率的穩(wěn)定值”提供了理論依據(jù),它以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性.97它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn),也成為數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ).02

大數(shù)定律設(shè)

nA

是n

次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是每次試驗中A發(fā)生的概率,則有或依概率收斂即頻率p.伯努利大數(shù)定律9802

大數(shù)定律給概率的統(tǒng)計定義提供了理論依據(jù)在概率的統(tǒng)計定義中,事件A

發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗中發(fā)生的概率.如命中率等在n

足夠大時,可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.伯努利大數(shù)定律的意義99??理論價值??實用價值02

大數(shù)定律則有或且具有相同相互獨立,設(shè)隨機變量序列且相互獨立同分布,設(shè)隨機變量序列切比雪夫大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律100的數(shù)學(xué)期望和方差具有數(shù)學(xué)期望02

大數(shù)定律

具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨立隨機變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.算術(shù)均值數(shù)學(xué)期望近似代替.可被平均數(shù)法則定理的意義101當

n

足夠大時,算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù).02

大數(shù)定律

設(shè)總體X~E(2),(X1,……,Xn)為獨立同分布樣本,則n→∞時,因此根據(jù)大數(shù)定律有依概率收斂于102??例5依概率收斂于______因為X1,X2,……,Xn獨立同分布,所以因為X12,X22,……,Xn2也獨立同分布,02

大數(shù)定律01切比雪夫不等式02大數(shù)定律03中心極限定理本講內(nèi)容104中心極限定理的客觀背景觀察表明,如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成,而每一個因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.在實際問題中,常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.03

中心極限定理設(shè)隨機變量序列獨立同分布,則對于任意實數(shù)x,列維-林德伯格中心極限定理[獨立同分布的中心極限定理]且有期望和方差：105??定理一03

中心極限定理它表明:當n充分大時,n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和或者平均值近似服從正態(tài)分布.即n足夠大時,Yn的分布函數(shù)近似于標準正態(tài)的分布函數(shù)記近似近似服從近似服從106??注03

中心極限定理設(shè)Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…則對任一實數(shù)x,有Yn

~N(np,np(1-p))(近似)即n

足夠大時,棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理[二項分布以正態(tài)分布為極限分布]107??定理二03

中心極限定理由中心極限定理近似設(shè)有50臺接收機,每臺接收機收到的呼叫次數(shù)服從泊松分布??(0.05),求50臺接收機收到的呼叫次數(shù)總和大于3次的概率.108??例603

中心極限定理解近似服從則EXi=0.9,DXi=1.92，由中心極限定理109

??例7設(shè)Xi表示第i輛車的氮氧化物排放量,03

中心極限定理解一臺儀器同時收到50個信號????(??=1,2,?,50)

,設(shè)它們相互獨立且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布,記110??例8解求因為Wi~U(0,10),所以近似服從正態(tài)分布則03

中心極限定理

得某單位有200臺電話分機,每臺分機使用外線的概率為0.2,假定每臺分機是相互獨立的,問要安裝多少條外線,才能以95%以上的概率保證分機用外線時不等待？設(shè)有X部分機同時使用外線，則有其中設(shè)有N條外線.由題意有由棣莫弗-拉普拉斯定理有111??例9查表得即即至少要安裝50條外線.03

中心極限定理解112某個計算機系統(tǒng)有120個終端,每個終端有10%的時間要與主機交換數(shù)據(jù),如果同一時刻有超過20臺的終端要與主機交換數(shù)據(jù),系統(tǒng)將發(fā)生數(shù)據(jù)傳送堵塞.假定各終端工作是相互獨立的,問系統(tǒng)發(fā)生堵塞現(xiàn)象的概率是多少？設(shè)X為同時與主機交換數(shù)據(jù)的終端數(shù),??例10解則X～B(120,0.1)由棣莫弗—拉普拉斯定理,X近似服從即X近似服從則03

中心極限定理113??例11解03

中心極限定理

每袋味精的凈重為隨機變量，平均重量為100克，標準差為10克.一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?設(shè)箱中第i

袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨立同分布，且E(Xi)=100，D(Xi)=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.115??例12解03

中心極限定理

設(shè)X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03

設(shè)Xi

為第i

次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi

獨立同分布，且E(Xi)

=9.62，D(Xi)

=0.82，故=0.9997903

中心極限定理學(xué)海無涯,祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）本章小結(jié)第4章數(shù)字特征與極限定理01知識點歸納02教學(xué)要求和學(xué)習建議本講內(nèi)容120原點矩中心矩一維隨機變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望二維隨機變量的數(shù)字特征協(xié)方差相關(guān)系數(shù)數(shù)字特征的應(yīng)用數(shù)字特征大數(shù)定律切比雪夫不等式方差及標準差中心極限定理定義性質(zhì)重要分布的數(shù)字特征定義性質(zhì)定義性質(zhì)定義性質(zhì)01

知識點歸納01知識點歸納02教學(xué)要求和學(xué)習建議本講內(nèi)容理解隨機變量數(shù)字特征(數(shù)學(xué)期望、方差、標準差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù))的概念,會運用數(shù)字特征的基本性質(zhì),并掌握常用分布的數(shù)字特征；122??(1)??(2)??(3)會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；了解切比雪夫不等式、伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律、列維-林德伯格定理和棣莫弗-拉普拉斯定理,并會用相關(guān)定理近似計算有關(guān)隨機事件的概率.02

教學(xué)要求和學(xué)習建議123原點矩中心矩一維隨機變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望二維隨機變量的數(shù)字特征協(xié)方差相關(guān)系數(shù)數(shù)字特征的應(yīng)用數(shù)字特征大數(shù)定律切比雪夫不等式方差及標準差中心極限定理定義性質(zhì)重要分布的數(shù)字特征定義性質(zhì)定義性質(zhì)定義性質(zhì)會求數(shù)字特征會做近似計算02

教學(xué)要求和學(xué)習建議學(xué)海無涯,祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）習題課第4章數(shù)字特征與極限處理126

習題課解??例1設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為

，其中Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，求E(X).X的概率密度為則令，故.因為，，，127

習題課??例2設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為

，其中Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，求E(X).解X的概率密度為則令，則128例1和例2的題型相同，隨即變量X的分布函數(shù)都用標準??方法歸納

習題課正態(tài)分布的分布函數(shù)

表示，求X的期望.

首先，求出X的概率密度

f(x)，f(x)是用標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

表示的;其次，求出X的期望E(X)，計算過程中要用到

的和.性質(zhì)129解

習題課??例3設(shè)隨機變量X、Y相互獨立，且X的概率分布為，Y的概率密度為其他.（1）求；（2）求Z=X+Y的概率密度.（1）（2）記Z的分布函數(shù)為

，那么.130

習題課當z<0時，；

131132解

習題課??例4設(shè)隨機變量X的概率分布為.在給定

的條件下,隨機變量Y服從均勻分布.求.根據(jù)Y的分布函數(shù)可以求出Y的概率密度函數(shù)為其他.133

習題課因此，??方法歸納本題是第二章習題課例5的續(xù)，都是2014年考研題的一個

大題.這也是離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量混合的題型，在第二章習題課例5中，將離散型隨機變量

X的兩個取值分別代入，求出Y的分布函數(shù)；概率密度函數(shù)，再利用數(shù)學(xué)期望的定義進行計算.本題將分布函數(shù)求導(dǎo)得到

Y的.134解

習題課??例5設(shè)隨機變量X服從標準正態(tài)分布N(0,1),求.標準正態(tài)分布的概率密度為.則135??方法歸納

習題課本題是隨機變量函數(shù)期望定理的應(yīng)用:求解隨機變量函數(shù)的期望，用函數(shù)的取值乘以原隨機變量的概率密度函數(shù)，再求積分.136解

習題課??例6設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且EX與EY存在，記，，求=

.（A）.（B）.（C）.（D）.因為所以，，故應(yīng)選B.137解

習題課??例7設(shè)隨機變量X的概率分布為

，Y表示X被3除的余數(shù)，求E(Y).由題意知，Y所有可能的取值為0,1,2.則；.因此，；138??方法歸納

習題課

本題解題的關(guān)鍵是確定隨機變量Y與X之間的關(guān)系，因Y表示X被3除的余數(shù)，{Y=2}對應(yīng){X=3n+2}，再利用X的概率分布進行計算.{Y=0}對應(yīng){X=3n}、{Y=1}對應(yīng){X=3n+1}、故有139解

習題課??例8設(shè)二維隨機變量（X,Y）服從

，求.由于（X,Y）服從二維正態(tài)分布，且，則X與Y相互獨立.因此，??方法歸納本題用到了二維正態(tài)分布一個結(jié)論：對于服從二維正態(tài)分布的隨機變量（X,Y），X與Y不相關(guān)等價于X與Y相互獨立..140解

習題課，??例9設(shè)連續(xù)型隨機變量且X1與X2相互獨立,且方差均存在，X1與X2的概率密度分別為

與，隨機變量Y1的概率密度為，隨機變量.則（A）.，（B）.，（C）.，（D）.，141

習題課故.又因為，，則.故，應(yīng)選D.142解

習題課??例10設(shè)隨機變量X的概率分布為，，若，求.由題意知，解之得.因此，X的方差為143解

習題課??例11設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X的概率分布為，Y服從參數(shù)為λ的泊松分布.令Z=XY.（1）求

；（2）求Z的概率分布.（1）由題意知，，

，.所以，.144

習題課（2）Z的所有可能取值為全體整數(shù)值，且，對于，有145??方法歸納要求解Z的概率分布，首先要確定Z的取值范圍，因X的取值為

習題課，，即時，需要一定的技巧，根據(jù)X、Y的取值不妨設(shè)