北師大版數(shù)學選修4-4新素養(yǎng)講義第一章22.1極坐標系的概念

§2極坐標系2．1極坐標系的概念1.了解極坐標系的概念.2.理解點的極坐標的不唯一性.3.能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置.eq\a\vs4\al(1.)極坐標系的概念如圖所示，在平面內取一個定點O，叫作極點，從O點引一條射線Ox，叫作極軸，選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向)．這樣就確定了一個平面極坐標系，簡稱為極坐標系．1．建立極坐標系需要哪幾個要素？提示：建立極坐標系的要素是(1)極點；(2)極軸；(3)單位長度；(4)角度的正方向，四者缺一不可．eq\a\vs4\al(2.)極坐標的概念對于平面內任意一點M，用ρ表示線段OM的長，θ表示以Ox為始邊、OM為終邊的角度，ρ叫作點M的極徑，θ叫作點M的極角，有序實數(shù)對(ρ，θ)叫作點M的極坐標，記作M(ρ，θ)．特別地：當點M在極點時，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值．eq\a\vs4\al(3.)點與極坐標的關系一般地，極坐標(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)表示同一個點，特別地：極點O的坐標為(0，θ)(θ∈R)．和點的直角坐標的唯一性不同，平面內一個點的極坐標有無數(shù)種表示．2．要使平面內的點和極坐標一一對應，應作何規(guī)定？提示：建立極坐標后，如果規(guī)定ρ＞0，0≤θ＜2π或者－π＜θ≤π，那么除極點外，平面內的點和極坐標就一一對應了．根據(jù)點的位置確定點的極坐標已知邊長為a的正六邊形ABCDEF，建立適當?shù)臉O坐標系，寫出各頂點的極坐標．[思路點撥]因正六邊形的中心到各頂點的距離都等于邊長a，可以其中心為極點，以中心及一頂點所在的射線為極軸建立極坐標系，然后找出各頂點的極角即可．[解]以正六邊形中心O為極點，OC所在射線為極軸建立如圖所示的極坐標系．由正六邊形的性質得：C(a，2kπ)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,3)＋2kπ))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2π,3)＋2kπ))，F(xiàn)(a，π＋2kπ)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(4,3)π＋2kπ))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(5,3)π＋2kπ))，k∈Z.[規(guī)律方法]在極坐標系下確定各點的極坐標，關鍵是由幾何圖形的性質確定該點的極徑和極角，注意點的極坐標形式并不唯一．變式訓練1已知邊長為2的正方形ABCD的中心在極點，且一組對邊與極軸Ox平行，求正方形的頂點的極坐標．(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)解：如圖所示，由題意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝eq\r(2)，∠xOA＝eq\f(π,4)，∠xOB＝eq\f(3π,4)，∠xOC＝eq\f(5π,4)，∠xOD＝eq\f(7π,4).∴正方形的頂點的極坐標分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(5π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(7π,4))).由極坐標確定點的位置在極坐標系中，作出以下各點：A(4，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,4))).[思路點撥]eq\x(\a\al(建立極,坐標系))eq\o(→,\s\up7(極角))eq\x(\a\al(作出極角,的終邊))eq\o(→,\s\up7(極徑))eq\x(\a\al(以極點O為圓心，以,極徑為半徑分別畫弧))→eq\x(\a\al(點的,位置))[解]如圖，A，B，C，D四個點分別是唯一確定的．[規(guī)律方法]由極坐標確定點的位置的步驟：①取定極點O；②作方向為水平向右的射線Ox為極軸；③以極點O為頂點，以極軸Ox為始邊，通常按逆時針方向旋轉極軸Ox確定出極角的終邊；④以極點O為圓心，以極徑為半徑畫弧，弧與極角終邊的交點即是所求點的位置．變式訓練2在極坐標系中，若等邊△ABC的兩個頂點是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4)))，那么頂點C的坐標可能是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(3π,4)))C．(2eq\r(3)，π) D．(3，π)解析：選B.如圖，由題設，可知A、B兩點關于極點O對稱，即O是AB的中點．又|AB|＝4，△ABC為正三角形，∴|OC|＝2eq\r(3)，∠AOC＝eq\f(π,2)，C對應的極角θ＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,2)＝eq\f(3π,4)或eq\f(5π,4)＋eq\f(π,2)＝eq\f(7π,4)，即C點的極坐標可能為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(3π,4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(7π,4))).極坐標系的實際應用(12分)某大園的部分平面示意圖如圖所示．用點O、A、B、C、D、E、F分別表示校門、器材室、公寓、教學樓、圖書館、車庫、花園，建立適當?shù)臉O坐標系，寫出各點的極坐標．(限定ρ≥0，0≤θ＜2π且極點為(0，0))．[思路點撥]解答本題先選定極點作極軸，建立極坐標系，再求出各點的極徑和極角，即可得出各點的極坐標．[規(guī)范解答]以點O為極點，OA所在的射線為極軸Ox(單位長度為1m)，建立極坐標系，如圖所示． 6分由|OB|＝600m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得|AB|＝300m，|OA|＝300eq\r(3)m， 8分同樣求得|OD|＝2|OF|＝300eq\r(2)m，|OE|＝|OC|＝300m． 10分所以各點的極坐標分別為O(0，0)，A(300eq\r(3)，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(600，\f(π,6)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300，\f(π,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300\r(2)，\f(3π,4)))，E(300，π)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150\r(2)，\f(3π,4))). 12分[規(guī)律方法]在極坐標系中，由點的位置求極坐標時，隨著極角的范圍的不同，點的極坐標的表示也會不同，只有在ρ＞0，θ∈[0，2π)的限定條件下，點的極坐標才是唯一的．互動探究3(1)本例中，如果限定ρ＞0，θ∈R，如何求點A、C、D的坐標？(2)本例中，如果點Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z表示地鐵入口，試問點H在點O的什么位置？解：(1)由例3解析知A(300eq\r(3)，2kπ)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300，\f(π,2)＋2kπ))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300\r(2)，\f(3,4)π＋2kπ))，其中k∈Z.(2)由于Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(3,2)π＋2kπ))，k∈Z，結合圖形可知，點H在點O正南200m.極坐標系下兩點間的距離在極坐標系中，已知兩點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,3)))、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2π,3)))，求A、B兩點間的距離．[思路點撥]數(shù)形結合，根據(jù)A，O，B的位置關系求解．[解]∵∠AOB＝eq\f(2π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝π，∴A，O，B三點共線．∴A、B兩點間的距離為|AB|＝3＋1＝4.[規(guī)律方法]在極坐標系下，確定給定點的位置，若給定兩點與極點共線，則極角相差2kπ(k∈Z)時，距離為兩極徑的差；極角相差kπ(k∈Z)時，距離為兩極徑的和；若給定兩點與極點不共線時，可借助余弦定理求出兩點間的距離．變式訓練4在極坐標系中，求Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(7π,36)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，\f(43π,36)))兩點間的距離．解：A，B在過極點且與極軸成eq\f(7π,36)的直線上，它們位于極點的兩側，∴|AB|＝5＋12＝17.[A基礎達標]eq\a\vs4\al(1).在極坐標系中，下列點與點M(1，eq\f(2π,3))為同一點的是()A．(－1，eq\f(π,3)) B．(1，－eq\f(π,3))C．(－1，－eq\f(4π,3)) D．(－1，－eq\f(π,3))解析：選D.由極坐標的定義可以得，在極坐標系中，(－1，－eq\f(π,3))與M(1，eq\f(2π,3))表示同一點．eq\a\vs4\al(2).點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))關于極軸的對稱點的極坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(π,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)))解析：選D.在極坐標系中確定點P位置，再作出其關于極軸的對稱點P′知D正確．eq\a\vs4\al(3.)在極坐標系中，點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(π,6)))的位置，可按如下規(guī)則確定()A．作射線OP，使∠xOP＝eq\f(π,6)，再在射線OP上取點M，使|OM|＝2B．作射線OP，使∠xOP＝eq\f(7π,6)，再在射線OP上取點M，使|OM|＝2C．作射線OP，使∠xOP＝eq\f(7π,6)，再在射線OP的反向延長線上取點M，使|OM|＝2D．作射線OP，使∠xOP＝－eq\f(π,6)，再在射線OP上取點M，使|OM|＝2解析：選B.當ρ＜0時，點M(ρ，θ)的位置按下列規(guī)則確定：作射線OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延長線上取|OM|＝|ρ|，則點M就是坐標(ρ，θ)的點，故選B.eq\a\vs4\al(4.)將極軸Ox繞極點順時針旋轉eq\f(π,6)得到射線OP，在OP上取點M，使|OM|＝4，則ρ＞0，θ∈[0，2π)時點M的極坐標為________．解析：如圖所示ρ＝0，OM＝4，極角θ＝eq\f(11,6)π∈[0，2π)．∴M點的極坐標為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(11,6)π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(11,6)π))[B能力提升]eq\a\vs4\al(5.)在極坐標系中，已知點M(－5，eq\f(π,3))，下列所給出的點不能表示點M的坐標的是()A．(5，－eq\f(π,3)) B．(5，eq\f(4π,3))C．(5，－eq\f(2π,3)) D．(－5，－eq\f(5π,3))解析：選A.由(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ，θ＋(2k＋1)π)，k∈Z表示同一個點可知B、C、D與M重合．eq\a\vs4\al(6.)若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點M1(ρ1，θ1)與點M2(ρ2，θ2)的位置關系是()A．關于極軸所在直線對稱B．關于極點對稱C．關于過極點垂直于極軸的直線對稱D．關于過極點與極軸成eq\f(π,4)角的直線對稱解析：選A.因為點(ρ，θ)關于極軸所在直線對稱的點為(－ρ，π－θ)，由此可知點(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關于極軸所在直線對稱，故選A.eq\a\vs4\al(7.)下列點在極軸上方的是()A．(3，0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7π,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(17π,4)))解析：選D.分別作出各點，觀察可知．eq\a\vs4\al(8.)在極坐標系中，已知點A(－2，－eq\f(π,2))，B(eq\r(2)，eq\f(3π,4))，O(0，0)，則△ABO為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰銳角三角形D．等腰直角三角形解析：選D.作出各點觀察可知．eq\a\vs4\al(9.)已知A，B的極坐標分別是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(π,12)))，則A和B之間的距離等于()A.eq\f(3\r(2)＋\r(6),2) B．eq\f(3\r(2)－\r(6),2)C.eq\f(3\r(6)＋3\r(2),2) D．eq\f(3\r(6)－3\r(2),2)解析：選C.A、B在極坐標系中的位置，如圖，則由圖可知∠AOB＝eq\f(13π,12)－eq\f(π,4)＝eq\f(5π,6).在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，所以，由余弦定理得|AB|2＝|OB|2＋|OA|2－2|OB|·|OA|·coseq\f(5π,6)＝9＋9－2×9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝18＋9eq\r(3)＝eq\f(9,2)(1＋eq\r(3))2.∴|AB|＝eq\f(3\r(6)＋3\r(2),2).eq\a\vs4\al(10).點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(5π,6)))到極軸所在直線的距離為________．解析：依題意，點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(5π,6)))到極軸所在直線的距離為d＝6×sineq\f(5π,6)＝3.答案：3eq\a\vs4\al(11).已知極坐標系中，極點為O，0≤θ＜2π，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，則在直線OM上與點M的距離為4的點的極坐標為________．解析：如圖所示，|OM|＝3，∠xOM＝eq\f(π,3)，在直線OM上取點P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，顯然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.點P，Q都滿足條件．且∠xOP＝eq\f(π,3)，∠xOQ＝eq\f(4π,3).故滿足條件的點的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)π))eq\a\vs4\al(12).已知A、B兩點的極坐標分別是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(5π,6)))，求A、B兩點間的距離和△AOB的面積．解：求兩點間的距離可用如下公式：|AB|＝eq\r(4＋16－2×2×4×cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3))))＝eq\r