高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)課時(shí)174.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式課件

§4.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式教材研讀考點(diǎn)突破考點(diǎn)一利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)考點(diǎn)二利用誘導(dǎo)公式求值考點(diǎn)三同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:①

sin2α+cos2α=1

.(2)商的關(guān)系:②

=tanα(α≠

+kπ,k∈Z)

.教材研讀組序一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α

-α

+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosα③

cosα

余弦cosα-cosαcosα④

-cosα

sinα-sinα正切tanαtanα-tanα⑤

-tanα

口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限

函數(shù)名改變符號(hào)看象限

記憶規(guī)律六組誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一成k·

±α(k∈Z)的形式,因此得記憶規(guī)律:奇變偶不變,符號(hào)看象限

易錯(cuò)警示1.α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函數(shù)值,等于α的同名函數(shù)值,前面加上把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào);

±α的正弦(余弦)函數(shù)值,等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).α與

的奇數(shù)倍的和差角的正切值,不能直接用誘導(dǎo)公式求,但可以用同角三角函數(shù)關(guān)系將正切化為正弦與余弦的商,再利用正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式解決.如:tan

=

=

=

.1.tan330°等于

(D)A.

C.

2.已知cos(-80°)=k,則tan100°=

(B)A.

C.

3.已知sin

=

,則cos

的值為

(D)A.

C.

4.sin2490°=

-

;cos

=

-

.5.化簡(jiǎn)

·sin(α-π)·cos(2π-α)的結(jié)果為

-sin2α

.

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)典例1化簡(jiǎn):

.考點(diǎn)突破解析原式=

=

=

=-

=-

·

=-1.規(guī)律總結(jié)任意負(fù)角的三角函數(shù)

任意正角的三角函數(shù)

0°到360°的角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)(1)切化弦,統(tǒng)一名.(2)用誘導(dǎo)公式,統(tǒng)一角.(3)用因式分解將式子變形,化為最簡(jiǎn).1-1化簡(jiǎn):

.解析原式=

=

=

=

.

典例2(1)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)=

1

;(2)已知cos

=

,則cos

-sin2

的值為

-

.利用誘導(dǎo)公式求值解析(1)原式=-sin1200°cos1290°-cos1020°·sin1050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin120°cos210°-cos300°sin330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°=

×

+

×

=1.(2)因?yàn)閏os

=cos

=-cos

=-

,sin2

=sin2

=sin2

=1-cos2

=1-

=

,所以cos

-sin2

=-

-

=-

.◆探究若本例(2)的條件不變,求sin

+sin

的值.解析

sin

=sin

=cos

=

,sin

=sin

=cos

=

,所以sin

+sin

=

.方法技巧用誘導(dǎo)公式求值時(shí),要善于觀察所給角之間的關(guān)系,利用整體代換的思

想簡(jiǎn)化解題過(guò)程,常見(jiàn)的互余關(guān)系有

-α與

+α,

+α與

-α,

+α與

-α等,常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有

-θ與

+θ,

+θ與

-θ,

+θ與

-θ等.2-1

求值:sin690°sin150°+cos930°cos(-870°)+tan120°·tan1050°.解析原式=sin690°sin150°+cos930°cos870°+tan120°·tan1050°=sin(360°+330°)sin150°+cos(360°×2+210°)cos(360°×2+150°)+tan120°tan(180°×5+150°)=sin330°sin150°+cos210°cos150°+tan120°tan150°=sin(360°-30°)sin(180°-30°)+cos(180°+30°)cos(180°-30°)+tan(180°-60°)tan(180°-30°)=-sin230°+cos230°+tan60°tan30°=-

+

+1=

.

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系典例3(1)(2017杭州四校高三上期中)已知-

<α<0,sinα+cosα=

,則

的值為

(B)A.

B.

C.

D.

(2)(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試)已知3sinα+4cosα=5,則tanα=

.解析(1)∵sinα+cosα=

,∴1+2sinαcosα=

?2sinαcosα=-

,∴(cosα-sinα)2=

,又∵-

<α<0,∴cosα>0>sinα,∴cosα-sinα=

,∴

=

=

=

,故選B.(2)解法一:由題意知3sinα=5-4cosα,兩邊平方得9sin2α=25-40cosα+16cos2α,即25cos2α-40cosα+16=0,得cosα=

,則sinα=

,故tanα=

.解法二:把等式平方得(3sinα+4cosα)2=25,即9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25(sin2α+cos2α),兩邊同時(shí)除以cos2α,整理得16tan2α-24tanα+9=0,解得tanα=

.解法三:設(shè)4sinα-3cosα=x,則x2+25=(4sinα-3cosα)2+(3sinα+4cosα)2=25,故x=0,則tanα=

.解法四:因?yàn)?sinα+4cosα=5sin(α+φ),其中cosφ=

,sinφ=

.易知sin(α+φ)=1,有α+φ=2kπ+

(k∈Z),則sinα=sin

=cosφ=

,cosα=cos

=sinφ=

,故tanα=

.解法五:設(shè)x=cosα,y=sinα,則有4x+3y=5,且x2+y2=1,從而角α終邊上的點(diǎn)P

(x,y)在單位圓上,且在直線l:4x+3yl與單位圓相切,故直線l與

角α的終邊所在直線垂直,所以角α的終邊所在直線的斜率為

,故tanα=

=

.方法指導(dǎo)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的使用技巧(1)利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用

=tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用:對(duì)于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα這三個(gè)式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα和(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,可以知一求二.(3)注意公式的逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.同類(lèi)練1若tanα=2,則

+cos2α=

(A)A.

C.

解析∵tanα=2,∴

+cos2α=

+

=

+

=

.同類(lèi)練2已知sinαcosα=

,且

<α<

,則cosα-sinα的值為

(D)A.

B.±

解析因?yàn)閟inαcosα=

,所以(cosα-sinα)2=cos2α-2sinαcosα+sin2α=1-2sinαcosα=1-2×

=

,因?yàn)?/p>

<α<

,所以cosα<sinα,即cosα-sinα<0,所以cosα-sinα=-

.變式練已知θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角,且sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程4x2+

px-2=0的兩根,則θ等于

.解析由題意知sinθ