新教材人教A版高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第二冊(cè) 同步試題4.3.1等比數(shù)列的概念(第1課時(shí))(分層作業(yè))

4.3.1等比數(shù)列的概念(第1課時(shí))(分層作業(yè))

(夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升)

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.(2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)高二期中)在數(shù)列｛/｝中，4M=-2%且q=1,則%=()

A.2"-2B.(-2)7C.2"-'D.(-2)1

【答案】D

【分析】根據(jù)給定的條件，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解作答.

【詳解】數(shù)列｛““｝中，。用=-2%且q=l,因此數(shù)列｛““｝是首項(xiàng)為1,公比為-2的等比數(shù)列，

所以q=(-2)i.

故選：D

2.(2022?江蘇蘇州?高二期中)等比數(shù)列｛《｝中，a,=1.%=16,則%=()

A.—8B.8

C.±8D.±4

【答案】C

【分析】設(shè)公比為q,依題意牝=《小，從而求出/再根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)公比為4,因?yàn)?=1、生=16,所以4=6/=/=16,解得q=±2,

所以a=。闖'=±8.

故選：C

3.(2022?北京師大附中高二期中)已知等比數(shù)列｛4｝滿足％=2,公比是T,則%=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】由己知得，4=2,公比g=-l,則%=2x(-1)，=2.

故選：B.

4.(2022?重慶南開中學(xué)高二階段練習(xí))在等差數(shù)列｛(｝中，氣M廿%成公比為3的等比數(shù)列，則/=

（）

A.14B.34C.41D.86

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因?yàn)樯?七,%,%,%成公比為3的等比數(shù)列，所以&=3,

a\

所以％=3%,即q+d=3q,所以d=2q,

所以a“=q+（n-l）d=（2n-l）av

又因?yàn)?,4,%,氣,%成公比為3的等比數(shù)列，

所以%=%x34=81%,因?yàn)?=（2%-l）q,

所以*-1=81,解得&=41.

故選:C.

5.（2022?四川省南充高級(jí)中學(xué)高二期中）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，%=2,則數(shù)列｛logM,｝的前5項(xiàng)之

和為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)得=%%=必，

數(shù)列｛log?%｝的前5項(xiàng)之和為

log必+log2a2+log2a3+log,a4+log2as=log2（《七%/%）=log2a3,=5log?%=5,

故選：C

6.（2022?山東?濱州市沾化區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛，｝中，若“也=3,

則噫4+晦62+…+bg3%等于（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知所求式子等于10g3（打4）7，代入可求得結(jié)果.

【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可得：她=她=她0=i=6瓦=3

.?.log,b\+log3b2+---+log3%=log,（44…a）=log（帥了=log,5=，

故選：C

7.（2022?福建省仙游縣度尾中學(xué)高二期末）已知｛2｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，且?！?=4,%=6,則=()

A.8B.9C.12D.18

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：已知4q=4,則。；=4,

解得%=2或4=-2（舍去），

故生=36,解得%=18.

故選：D.

8.（2022?福建省永泰縣城關(guān)中學(xué)高二期中）已知等比數(shù)列｛《,｝單調(diào)遞增，且％+%=51,a2a4=144,則

￡^=（）

%+牝

A.2B.3C.4D.9

【答案】C

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算q和夕即可求解.

【詳解】因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列且單調(diào)遞增,

4,,[q=48

4+%=%+”?解得!（舍去）或憶,

所以

。2〃4=%"〃聞=144q=3

所以生出=紅山0=4,

a2+a6a2+a6

故選：C

二、多選題

9.（2022?江蘇?宿遷中學(xué)高二期中）若數(shù)列｛對(duì)｝是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的有)

A.｛叫B.｛a.q+i｝C.｛%+%“｝D.｛4+1｝

【答案】AB

【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的定義檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【詳解】若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則區(qū)=g,

an-\

A：華=必，符合等比數(shù)列，A正確；

an-\

B：左4包=/,符合等比數(shù)列，B正確；

an'an-\

當(dāng)a“=（-1）"時(shí)，CD顯然不符合題意.

故選：AB.

10.（2022?江蘇?鹽城市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若b2="c,則〃，b,c成等比數(shù)列

B.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為。的二次函數(shù)

C.數(shù)列｛初｝為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意“6N*,都有2a,m=4+4+2

D.若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公比是1

【答案】CD

【分析】A.舉數(shù)列0,0,0判斷；B.舉數(shù)列1,1,1，…，判斷；C.由等差數(shù)列的定義判斷；D.由等比

數(shù)列的定義判斷.

【詳解】A.如數(shù)列0,0,0,滿足〃=改，但a,b,c不成等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；

B.如數(shù)列1,1,1,…，是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為“，不是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，故錯(cuò)誤；

C.若數(shù)列｛即｝為等差數(shù)列,則a?+l-an=an+2-a?+i,即2a?+i=an+an+2,故必要,若2a?^=a?+aw即為

^-a,=an+1-an+i,則數(shù)列但〃｝為等差數(shù)列，故充分，故正確；D.若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，即%+1=%，

則這個(gè)數(shù)列的公比是9=4包=1,故正確；

勺

故選：CD

三、填空題

a.+a,

11.（2022?廣東?饒平縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列｛（｝滿足。向=2a?,則

【答案】4

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解,

%+%_4^3+/

【詳解】由題意得=4,

%+%+a\

故答案為：4

12.（2022?湖南?株洲市潦口區(qū)第三中學(xué)高二期中）0,6,c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其中。=1,c=9,則6=

【答案】±3

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閍,b,c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，

所以ac=6,=9,

所以b=±3.

故答案為：±3.

13.（2022?重慶一中高二期中）已知等比數(shù)列｛叫（〃eN*）滿足8a6%=。；，那么｛叫的公比9=

【答案】2

【分析】利用公式法列方程求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=a/q"’,

因?yàn)?做的=4,

所以8q-a,-q6=(q/)2,

化簡(jiǎn)得q?=8,

解得4=2.

故答案為：2.

14.（2022?陜西?興平市南郊高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））設(shè)S”是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且S“=2a”+1,

則｛%｝的通項(xiàng)公式為應(yīng)=

【答案】一2"1

【分析】由?！芭cS”的關(guān)系求出通項(xiàng)公式即可.

【詳解】當(dāng)〃22時(shí)，S“_|=2a“_I+1,則a“=S“-S,i=2a“+l-（2*+l）=2a“-2%,a“=2a“_|,；.｛%｝

是公比為2的等比數(shù)列,

,,_|,,_|

又q=S[=勿]+1=>q=-1,an=-\-2=-2,

故答案為：-2"-'

15.(2022?陜西?興平市南郊高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)(文))在等比數(shù)列｛"J中，見，%是方程Y+6X+2=()

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則詠的值為

【答案】-應(yīng)

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，即可直接求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為9,因?yàn)榈?4是方程f+6x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以。3，=。9-=2,。3+"|5=，

所以/<0,<3,5<0,則。9=-拉，所以^^=。9=-血.

故答案為：-^2.

16.(2022?江蘇?常州市金壇區(qū)金沙高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí))已知S,是數(shù)列｛對(duì)｝的前〃項(xiàng)和，且滿足q=1,

a“+i=2S“,貝！|a2022=-

【答案】2.32020

【分析】根據(jù)已知條件求得處,從而求得的。22.

【詳解】依題意，4=1,??+1=25?,

當(dāng)力=1時(shí),%=2%=2,

當(dāng)〃22時(shí)，由%+i=25,得an=2s,

兩式相減并化簡(jiǎn)得。,川=”.(〃22),

所以數(shù)列｛對(duì)｝從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列,

代〃=1

所以4刁2.產(chǎn)〃”

所以限2=2-32嗎

故答案為：2.32020

四、解答題

17.（2022?西藏?林芝市第二高級(jí)中學(xué)高二期中）在等比數(shù)列｛4｝中，/=3,%=81.

⑴求

（2）設(shè)b,=log3a?,求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和S“.

［答案］⑴3”、

【分析】（1）設(shè)｛4｝的公比為4,根據(jù)已知條件列出關(guān)于首項(xiàng)q和公比g的方程組，求出首項(xiàng)和公比，根據(jù)

等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；

（2）求出他,｝的通項(xiàng)公式，判斷其為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】（1）設(shè)｛%｝的公比為q,依題意得［"聞解得=

口聞=81［＜7=3

因此q=3"T.

（2）；"=logM=〃T,

...數(shù)列也“｝是首項(xiàng)為0,公差為1的等差數(shù)列，

故其前〃項(xiàng)和S,,=〃（"+"）=士^.

"22

18.（2022?江蘇南通?高二期中）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,已知6=15,$5=45.

⑴求知；

⑵若an為an_3與（〃24,〃€N"）的等比中項(xiàng)，求〃.

【答案】⑴%=2〃+3；

（2）/7=6.

【分析】（1）由已知條件，列式后解方程組，求數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再求通項(xiàng)公式；

（2）首先由題意得（〃24,“CN*）,代入通項(xiàng)公式后，求〃.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,Ss=5%+早d=45,解得4+2d=9,

4=q+5d=15,所以d=2,q=5,

an=q+(〃-l)xd=2〃+3.

(2)由題意：4=%_3牝,1，("24,〃eN*),即(2〃+3)2=(2〃-3乂4〃+1),

化簡(jiǎn)得：2〃2_11〃-6=0，

解之得〃=6或〃=」(舍)，故〃=6.

2

19.(2022?黑龍江?哈師大附中高二期中)已知等差數(shù)列｛。“｝中，《°=1。，《7=17,在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比

數(shù)列｛"｝中,偽=%，4=私.

(1)求數(shù)列與色｝的通項(xiàng)公式

(2)求數(shù)列｛。也｝的前〃項(xiàng)和方.

【答案】(l)a“=〃，b?=2"

(2)/=(〃-1)2向+2

【分析】(1)由等差數(shù)列的4=10,=17即可求出｛外,｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出｛4｝的通項(xiàng)公式

(2)表示出｛anbn］的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法即可求解數(shù)列也九｝的前*項(xiàng)和T?

【詳解】⑴解：設(shè)｛叫的公差為d,則"=萼要=1，所以q°=q+9d

17-10

解得4=1,所以4=〃；

由題設(shè)等比數(shù)列｛"｝的公比為4>0,由題得4=2,4=8,.?.2x/=8,.?.?=2.

所以也,=2X2"T=2".所以〃=2".

(2)由題得〃也=〃-2".

所以7；=1x21+2x2?+…+〃2

貝！)27；=1x2?+2x2,+…+("-1)?2"+"-2用

兩式相減得-1,=21+22+23+…+7-=2X"2")_?.2"+,=(l-n)2n+,-：

所以北=（〃-1）2向+2.

【能力提升】

一、單選題

1.（2022?江蘇南通?高二期中）等比數(shù)列｛/｝滿足%+%=1°，%+%=5,數(shù)列也｝滿足4=；,“22時(shí),

"-"-=：,則數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為（）

3?3

A.2吁3B.2"/C.---D.~+2"~3

【答案】A

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)與累加法求解，

，a-8

【詳解】根據(jù)題意得，解得'1,故％=仕[,，

[a,q+axq=5\q=-⑵

〃22時(shí)，fi=L=2"\

故"=4+92-4）+03-方2）+…+電-%）

=-+2-2+2~,+---+2n-4=i-4--4-----------=2^3#

441-2

故選：A

2.（2022?吉林?遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知">0,若3是t與J的等比中項(xiàng)，則6的最小

值為（）

A.3+2后B.7C.2+2遙D.9

【答案】A

12

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得上+；=1，再結(jié)合基本不等式求6的最小值.

ab

【詳解】由題意得32=9：x3苒即9=9長(zhǎng)，所以：+>'又曲>0,所以“>0,b>0,所以

a+b=（a+b）（-+^]=3+-+^->3+2y/2,當(dāng)且僅當(dāng)2=與，即0=近+1，6=2+五時(shí)等號(hào)成立.故a+b

\ab）abab

的最小值為3+2忘.

故選：A

二、多選題

3.(2022?江蘇?南京市金陵中學(xué)河西分校高二階段練習(xí))數(shù)列｛/｝前〃項(xiàng)的和為S”，則下列說(shuō)法正確的是

()

A.若%=-2〃+11,則數(shù)列｛4｝前5項(xiàng)的和最大

B.設(shè)S,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若3則次=a

%3d1622

C.已知4=5+2寂,c=5-2灰,則使得。也c成等比數(shù)列的充要條件為6=1

D.若｛q｝為等差數(shù)列，且臉10,。碇+%。|2>°，則當(dāng)邑<0時(shí)，〃的最大值為2022

【答案】AB

【分析】對(duì)A,可以采用臨界法得到和的最大值；對(duì)B,運(yùn)用等差數(shù)列的和的性質(zhì)易判斷；對(duì)C,等比中項(xiàng)

的個(gè)數(shù)一般是2個(gè)；對(duì)D,可以采用基本量法計(jì)算即可.

【詳解】A：由通項(xiàng)公式知：數(shù)列是嚴(yán)格遞減數(shù)列，又q>的>%>%>牝>°>%>…

所以數(shù)列｛對(duì)｝前5項(xiàng)的和最大，A對(duì)；

B：在等差數(shù)列｛叫中，國(guó)@一邑,兄一國(guó),兒-配成等差，*=$8=5邑，

又2(S8-S4)=S4+S12-Ss=>8s4=$一4s4=>SI2=12S”

2(S]2-§8)=$8-S4+S[6-S]2=>14S4=S16-8s4nS16=22s

55

8對(duì)；

C：db,c成等比數(shù)列，:/=士疝=±1,所以不是充要條件，C錯(cuò)；

D：｛叫為等差數(shù)列，oI011<0fa1011+a10I2>0,.-.aI011<0<fll0I2=2022x生產(chǎn)■=2022*酗詈蛆>0,

所以D錯(cuò)，

故選：AB

4.(2022?福建三明?高二階段練習(xí))在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛?｝中，。；+2牝4+4=25,則()

25

A.a6+ag=5B.44=5C.《心有最大值25D.?？凇庇凶畲笾滇?/p>

【答案】AD

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：牝。9=%。8,將其代入題干條件可得4+4=5,再次利用等比數(shù)列的

性質(zhì)和基本不等式即可求解.

【詳解】???等比數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)都為正數(shù)，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a5a9=abas,

?6+2a5a9+。；=4+2%%+。；=3+6丫=25,

/.%+4=5,

二。臼3=4&4(號(hào)^=y>當(dāng)且僅當(dāng)q=6=|時(shí)取等號(hào)，

25

???。臼3的最大值是

4

故選：AD.

5.(2022?吉林?遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和S,滿足

S,=a〃2+]]"+b(q,beR,〃€N*),則下列說(shuō)法正確的是()

A.6=0是｛%｝為等差數(shù)列的充要條件

B.｛%｝可能為等比數(shù)列

C.若a>0,bwR,則｛/｝為遞增數(shù)列

D.若。=一1,則與中，Ss，Sf最大

【答案】ABD

【分析】計(jì)算q=。+6+11,當(dāng)〃22時(shí)，a?=2an+ll-a,驗(yàn)證知A正確，當(dāng)a=6=0時(shí)是等比數(shù)列，B

正確，舉反例知C錯(cuò)誤，計(jì)算％=0得到D正確，得到答案.

2

【詳解】Sn=an+\\n+b,q=，=a+b+11；

2

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sll_l=an+ll/j+Z>-a(n-l)~-ll(n-l)-6=：2an+11-a,

當(dāng)6=0時(shí);q=a+ll,滿足通項(xiàng)公式a“=2a〃+ll-a,數(shù)列為等差數(shù)列；

當(dāng)｛七｝為等差數(shù)列時(shí)，al=2a+\\-a=\\+a+b,b=0,故A正確；

當(dāng)a=6=0時(shí)，a?=H,是等比數(shù)列，B正確；

a2=3a+\\,取6=2a,貝lja2=%，C錯(cuò)誤；

當(dāng)a=-l時(shí)，從第二項(xiàng)開始，數(shù)列遞減，且《,=-2〃+12,故R=0，故豈，及最大，D正確.

故選：ABD

三、填空題

6.(2022?河南省?？h第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知｛應(yīng)｝是等差數(shù)列，｛，｝是等比數(shù)列，5“是數(shù)列｛見｝的前

〃項(xiàng)和，S”=11,她=3,則log3系

【答案】-1

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等差中項(xiàng)，求第六項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列的等比中項(xiàng)，解得第五項(xiàng)的

平方，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得答案.

【詳解】因?yàn)椋啊埃堑炔顢?shù)列，且E,是數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和,

所以S”="(%+/)=1以=11,解得4=1，

因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以她=&=3,

則1嗎a?=bg*=T

故答案為：-1.

7.(2022?江蘇?宿遷中學(xué)高二期中)已知數(shù)列｛《,｝、｛，｝滿足％=唯必(〃€1<).其中也｝是等差數(shù)列，若

。10。2013=2，則+Z>2+…+^2022=-

【答案】1011

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算求得，+8。22=1，進(jìn)而求解結(jié)論.

【詳解】???數(shù)列｛《,｝、｛"｝滿足4=1唯。"("1<).其中也｝是等差數(shù)列，/~3=2,

為等差數(shù)列，設(shè)公差為"，則%=1嗎%4=噫勺，&「"=崛乎=",則%=2”,故｛勺｝為

nan

等比數(shù)列，

a+&。22=log,at+log,a2O22=log2(a,a2022)=log,(al0a2()l3)=1,

.-.bt+b2+…+4竣=2022x(：+%g)go”.

故答案為：1011.

8.(2022?吉林?遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí))若數(shù)列｛““｝和也｝滿足q=2,b,=0,2a.M=3%+6.+2,

2b"+i=a.+3bn—2,貝I]a2O22+b202l=.

【答案】3x2.0+1

【分析】由題干中兩式相加構(gòu)造等比數(shù)歹必見+￡｝,進(jìn)而求出｛。向+〃｝的通項(xiàng)公式，代入計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?%M=3q,+6,,+2,2bll+t=an+3bn-2,

所以2%+2bz=4+3"-2+3q,+b?+2=4(a?+bn),

即以1+%=2(。"+"),

又4+4=2,所以｛。"+“｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以。"+"=2",

31

又2。,川=3?！?"+2,即?！?1=5。“+5勿+1,所以

1133

QX

??+1+2=5%+5〃，+1+2=+d)+1=2"+1

所以電。22+%2產(chǎn)：*2202'+1=3X22020+1；

故答案為：3X22020+1.

四、解答題

9.(2022?福建省永泰縣城關(guān)中學(xué)高二期中)在數(shù)列｛《,｝中，4=6,且a什4+4,用=效,.

(1)證明：是等比數(shù)列.

1%2J

⑵求數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”.

【答案】(1)證明見解析

3"-1n-y'n(n+\)

(ZJ--------------------------1-----------------

1224

【分析】(1)利用等比數(shù)列的定義證明即可；

(2)利用分組求和和錯(cuò)位相減求解即可.

【詳解】(1)由題意可得)+@“+1)=3勺,因?yàn)椤?=6,所以。“>0,

,1311

所以1+—=-----，所以....-=3

aa

??+ia?2

是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

冊(cè)2

(2)由(1)得----=

%2

所以2=_〃.3"-2+3，

勺2

設(shè)數(shù)歹U{-"了以}前〃項(xiàng)和為，數(shù)列前〃項(xiàng)和為，

則[=_[以3-1+2、3。+…+(“7)X3"-3+“x3"-2]①，

37],=-[lx30+2x3'+---+(n-l)x3,-2+?x3,,-1](2),

①■②得一2(=—(3-1+3°+???+3L2)十刀.3加1=*5.3后,

x

所以?；=—邛一—]口n-V—~,

〃122

1+2+—vn〃(〃+1)

又U==--------?

4

3n-l〃?3“T

所以S,,=7；+U“=

1224

10.（2022?廣東中山?高二期末）記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)之積為且7；=4.

⑴若｛《,｝為等比數(shù)列，％=3,4=27,求％,；

⑵若億｝為等比數(shù)列，4=3,4=27,求數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和S”.

【答案】⑴,=3亍；

（2）S?=%-y.

【分析】（1）設(shè)｛叫公比為4,求出％=3"T即得解；

（2）設(shè)等比數(shù)列您｝公比為P,求出％=g,當(dāng)〃22時(shí)，為=9,即得解.

【詳解】（1）解：設(shè)｛%｝公比為4,因l為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)之積,

由7=3,%=27得小2=。3隼=9,n=。方=3,

A

解得q=l,g=3,所以4=3"T,

w（n-l）

所以T=3（o+i+?+i）=3~.

（2）解：設(shè)等比數(shù)列億｝公比為P,則2=今=9,由4=P[=3得7；=：,

,23

所以1=g-9"T=32"-3,

當(dāng)〃=1時(shí)，％=[=!，當(dāng)〃22時(shí)，”“=-zr~=9,

3射

10A

所以〃22時(shí)，S”=%+%+…+〃〃=§+9（〃-1）=9〃-亍，

當(dāng)N=1時(shí)，也滿足上式，即S,,=9〃—g,

所以數(shù)歹U｛見｝的前"項(xiàng)和S,,=9〃一g.

11.（2022?江蘇?鹽城市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）有下列3個(gè)條件：①為+%=-2；②凡=-28；③外，久,

出成等比數(shù)列.從中任選1個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并解答

問(wèn)題：設(shè)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為已知S.M=S”+a“+2（〃eN*）,.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）5?的最小值并指明相應(yīng)的〃的值.

【答案】⑴%=2"-12；

（2）〃=5或者6時(shí)，5“取到最小值-30.

【分析】（1）由己知可得%.「4,=2,則｛&,｝是公差為2的等差數(shù)列，若選①，則由％+4=-2列方程可

求出外,從而可求出通項(xiàng)公式；若選②，則由耳=-28列方程可求出q,從而可求出通項(xiàng)公式；若選③，則

由出，&，牝成等比數(shù)列可得（%>=/%，由此可求出4,從而可求出通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可得S“=〃2_i5=1一日）一苧，再由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值.

【詳解】（1）因?yàn)镾,,+i=S,+q,+2,

所以。e-a,=2,即｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，

選擇條件①：因?yàn)?+%=-2,所以24+94=-2,貝lJ2q+9x2=-2,

解得。=-10,所以a“=2〃-12；

7x6

選擇條件②：因?yàn)槔?-28,所以7q+基d=-28,解得％=-10,

所以%=2〃-12；

選擇條件③：因?yàn)槠?，為，牝成等比?shù)列，

所以(由『=%%，即(％+34)2=?+4)(%+44),解得q=-10,

所以a,=2”-12；

(2)由(1)可知q=-10,(=2,

所以S,=-10〃+"("T)X2=〃2-II〃=

"2:-三

因?yàn)椤╡N*,

所以當(dāng)”=5或者6時(shí)，S“取到最小值,即(S“)mm=-30

4,=2%+1(〃22)

12.(2022?上海市大同中學(xué)高二期末)己知數(shù)列｛%｝的遞推公式為

=1

⑴求證：a+1｝為等比數(shù)歹U；

(2)令b?=nan,求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和.

【答案】⑴證明見解析

(2)S?=2+(H-1)X2,,+I-

2

【分析】⑴根據(jù)"N2時(shí),a?=2an_,+l,得到a“+1=2(%+1),利用等比數(shù)列的定義證明即可;

(2)由(1)知也,=〃x2"-〃，先分組求和，利用錯(cuò)位相減法求“2"的前S；，再利用公式法求〃的前”項(xiàng)

和S,：，即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)楫?dāng)“22時(shí),%=2%.+1,

所以%+1=2(%+1),

a+13

又4+1=2,所以n=2

%+1

所以數(shù)列以+1｝是一個(gè)首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，

(2)由(1)得/+1=2",故%=2"-1,

所以“=〃凡=〃(2"-l)=〃x2"-〃，

先求〃-2"的前S”‘，

S?，=lx2'+2x22+---nx2".

25/=lx22+2x25+---nx2"+".

所以-S“'=2i+22+…+2"-〃x2""=2(1~2，，)nx2"4l=(l-n)x2"dl-2,

”1-2

所以S,：=(〃-l)x2"“+2,

又〃的前〃項(xiàng)和s,：=\D,

所以數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為：S”=2+(〃-1)x2""-駕D.

13.(2022?上海市松江二中高二期末)已知數(shù)列｛《｝的首項(xiàng)q=1,%R0GCN'),前〃項(xiàng)和為

S,,,S：M=S；-2%”(〃eN-),數(shù)列｛"｝滿足4=l,2〃0「b.)=bntl+b,?neN.,正項(xiàng)數(shù)歹I」｛c“｝滿足

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列|卜)前〃項(xiàng)和為卻「之久“對(duì)任意見〃WN*恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

(3)對(duì)于大于1的正整數(shù)4、，?(其中4＜廠)，若5q、Cq、c,三個(gè)數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條

件的數(shù)組(見r).

1,〃=1

【答案】⑴?！?,

(-1)，，-'X4,M>2

⑵加_11

8'8

(3)(2,4)

【分析】(1)由4與S.的關(guān)系化簡(jiǎn)原式，即可求得明；

(2)先根據(jù)累乘法求｛"｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)c“與前〃項(xiàng)和的關(guān)系可得c“，利用裂項(xiàng)相消法可求得久］的

.C”J

前"項(xiàng)和，再判斷4的單調(diào)性，列不等式組即可求得實(shí)數(shù)2的取值范圍；

(3)分類討論，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)舔Y+2-=2(—“)=⑸廠S")(S同+S,+2)=0

S“+i+S”+2=0,

當(dāng)〃=1時(shí)，S2=-2M2=-2-如]=-4,

當(dāng)〃N2時(shí),S.+i+S“=-2,Sn+S“_]=-2,

1

兩式相減得：??+1+%=0,即3=-1,

n

故當(dāng)〃22時(shí)，｛%｝是等比數(shù)列，

即％=-4x(T)i=4x(7)"-',不滿足q=1,

1,77=1

(-1)/71x4,n>2

(2)(2〃-1)6向=(2〃+1)，，，導(dǎo)=甥

.bb.by,2n-\2n-331c.、、

/.b?=-2n--anz

b,ib“1々I2?-3勿-51''

又因?yàn)?=1滿足，所以

當(dāng)〃=1時(shí)，c；=4,q=2,

4

當(dāng)〃22時(shí)，C；+C；+,,,+0