高中數(shù)學高考復習

微直略補重“保溫"日練"三題"長技能

——淺談高三數(shù)學沖刺階段的備考策略

廣州市從化中學楊仁寬

一、“三字”學法更有效

（一）了解數(shù)學的本質(zhì)與特點

數(shù)學因其高度抽象，推理嚴謹，計算量大及靈活多變，而增加了

學生學習數(shù)學的難度，如何使數(shù)學“易學”、“有趣”，是咱們數(shù)學教

師要重點思考的問題！

用通俗易懂的語言，描述復雜的數(shù)學概念，“1”當頭：

集合即“有共同性質(zhì)的元素組成的整體”；

區(qū)間即“在數(shù)軸上表示連續(xù)實數(shù)的數(shù)集”；

函數(shù)是“從非空數(shù)集到非空數(shù)集的特殊對應”；

單調(diào)遞增、奇函數(shù)等抽象，難懂的概念，都可以“大眾化”，既

幫助學生理解，又利于記憶，降低學習難度，方便學生運用，更容易

讓學生喜歡數(shù)學，會有更大的動力來把數(shù)學學好！

當有人問你“數(shù)學是什么”時，你將如何回答？

神秘點兒說一一數(shù)學，是研究現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的一

門學科。

通俗點兒講一一數(shù)學，就是數(shù)圖游戲。

解答各種各樣的數(shù)學問題，其實就是在玩兒形式各異的數(shù)圖游戲

(但需要游戲者遵守數(shù)學符號規(guī)定)。

舉幾個例子，來說明如何玩兒這種數(shù)圖游戲。

例1、符號"{XIXGP}”就是?

要把它玩兒好，打油詩“集合好似口袋，袋中何在作怪？實數(shù)或

點居多，等不等導出來”幫你理解與運用！

例2(1)請你說明下列集合的聯(lián)系與區(qū)別：

A={x\y=x2-2x+3}?B={y\y=x2-2x-^-3},

C={(x,y)|y=x?—2x+3}，D-{y=x1-2x+3};

(2)已知集合4={(工,則/+丁=1),B={(x,y)|y=x},則AAB

的元素個數(shù)為()A、0B、1C、2D、3

例3、設(shè)A、B是非空集合，符號就是?

當A、B是時？符號"y：AfB”與“y=/(x)”(xeA,

yeB)同義。

(二)積淀有效的學習方法

常言道“教無定法，但要得法”！教師采用的教學方式方法的好

劣，一個重要的評判依據(jù)，是你的學生是否喜歡數(shù)學，是否積極配合

你的教學，能從學生的愛好與測試等方面恒量有明顯的教學效果。

較好地學習方法，不僅能有效降低學生對數(shù)學的恐懼感，而且能

大大地提高數(shù)學學習效率！

怎樣學好數(shù)學？楊老師教你“讀、做、悟”三招！

多年的學習與教學，我總結(jié)出了楊氏數(shù)學“讀，做，悟”三字數(shù)

學學習法，這可是俺的一點兒小發(fā)明哦！現(xiàn)與你分享如下:

A、“讀”，就是讀書

俗話說得好“書讀百遍，其理自現(xiàn)”。

只要把課本多讀幾遍，其中的含義和道理，就自然呈現(xiàn)出來了，

讀書人也就明白了，更加聰明了，更加理智了！

書本是我們學習的根本，對它一定要努力做到：了解清楚，細讀

明白，品味透徹。

讀書分為三個階段或三種境界：一是“初讀”，只是為了了解，

知道一個輪廓或者一個大概。此階段，你可以“君子動口，不動手二

二是“細讀”，要慢慢地讀，此階段，你可得既動口，又動手！

一邊讀書一邊理解并要記憶哦。

三是“精讀”，要細細地品味，此階段過后，你將成“精”：既能

展開多方面聯(lián)想，又能將知識與方法運用自如！還能有效地進行“拆

開”或“組裝”，創(chuàng)新性地制造出屬于你的“產(chǎn)品”來哦！

為什么“妖精”那么厲害？那是因為她能運用自如，從而變幻莫

測。如果我們也把書讀成“精”了，那時的你我，也能象“妖精”一

樣厲害了噢！

B、“做”，就是做題

俗話說得好“熟能生巧”，學習數(shù)學更要做一定數(shù)量的題目，不

僅要會做書中的例題與習題，而且還要會把書中的例題進行多形式、

多方向的變化；書中的練習題和習題，一個也不能放過（個別“臭題”

例外）；做適量的課外練習題是必不可少的。

我國著名的數(shù)學家華羅庚先生有這樣的名言:

“發(fā)白才知智叟呆，埋頭苦干向未來。勤能補拙是良訓，一分辛

勞一分才”！他初中都沒有畢業(yè)但能自學成材，并成為了世界著名的

數(shù)學家，靠的就是勤做題，多領(lǐng)悟！

我國另一位著名的數(shù)學家蘇步青先生，曾多次告誡青年人：”呈

著年輕勤奮學習，學好數(shù)學就得做題一一要動腦筋做，要想心事做;

要做各式各樣的題，要各式各樣地做題”。

C、“悟”，就是領(lǐng)悟

這是一個提高的過程，是成為數(shù)學高手必不可少的重要環(huán)節(jié)，做

了一定數(shù)量的題目之后，就可以從四個方面進行“領(lǐng)悟”了！

但要注意：每一次學習的內(nèi)容，以書中的一個小單元為好，并且

先不要貪多，不要求快。適應之后再稍多一點內(nèi)容，稍快一點速度。

我的領(lǐng)悟《數(shù)學學習，貴在四悟》發(fā)表在《數(shù)學大世界》1993

年2月刊的首篇（自任執(zhí)行編委），被多人、多次引用。

（三）回歸課本，概念更明了

數(shù)學課本，是學生學習數(shù)學與數(shù)學高考命題的根本！

在沖刺階段，要引導學生有計劃地“瀏覽”課本（閱讀關(guān)鍵詞,

能用自己的語言，表達出概念的基本含義即可）。

（四）記憶精華，基礎(chǔ)更牢了

數(shù)學概念，性質(zhì)，定理，法則及公式等，是學生做題的根據(jù)，要

求學生既能熟記于心，隨時“拈來”為我所用，又能變式與變化使用

（當單調(diào)性與不等式或斜率或?qū)?shù)搭訕時，學生也能迅速識辨）！

數(shù)學打油詩有助學生記憶!

結(jié)合教學內(nèi)容，適時總結(jié)成為打油詩，或者順口溜，給枯燥的數(shù)

學內(nèi)容賦予詩意，使抽象的數(shù)學符號具有靈氣！

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，只要“?，F(xiàn)兩條蛇，性質(zhì)全記得”!

或者：正余曲線兩條蛇，身材勻稱就得瑟！“一段”身長是2萬，

性質(zhì)憑蛇身而得！

2、解不等式組時，有順口溜：借助數(shù)軸求交集，一上一下標明

細；區(qū)間端點是否含？找準重疊做完題！

3、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不易記住，有詩句相助：

圖象是一撇（捺），性質(zhì)由撇捺刻畫：過定點單調(diào)在橫軸上方，

與1比較由就把結(jié)論抓！

4、總記不住的“換底公式”，可編寫為：

換底公式容易憶，一數(shù)等于兩數(shù)比：相對順序別改變，新的底數(shù)

隨你需！

5、微積分基本定理，難以理解，也難記憶，簡稱為“牛一奶公

式”，順口溜教你怎么玩兒：

要求定積分可以分為3步，由被積函數(shù)覓出其原函數(shù)，

計算其在積分上下限的值，上限值減去下限值就止步！

借助詩句，不但容易記憶，用時更有“頭緒”！

除順口溜或詩句外，也可圖文并茂來類比，或用短語概括。

A、扇形面積公式與三角形面積公式、圓錐的側(cè)面積公式；

B、梯形面積公式與等差數(shù)列的求和公式、圓臺的側(cè)面積等。

既減少學習的恐懼心理，又方便記憶，促進靈活運用！

二、逮住“題根”究精巧

數(shù)學教材中的例題，以及相應的習題，是經(jīng)過編寫者們反復推敲,

精心篩選而配置的精品，不僅具有“問題的典型性”和“求解的示范

性”，而且更具有“可探究性”！

教材中的這些例題及習題，不僅是數(shù)學課本的精華，更是數(shù)學高

考題的原型！

對數(shù)學教材及例習題的“探究”方式多種多樣，近二十年我采用

“題根研究”，在國內(nèi)中數(shù)界有較大影響。

（-）中學數(shù)學“題根研究”簡介

中學數(shù)學題根是什么？

1、題根是一個問題。

題根不是概念，不是結(jié)論。題根是個疑問句，它是一個問題。

2、題根是一個題目。

問題規(guī)范化后就是一個題目，就像講課時的例題，課本上的習題,

考卷上的題，會場的討論題或研究題等。

3、題根是題目的根基。

題根不是孤立的題目，也不是題集中的個體。它是一個題族的根

祖，一個題系中的根基，一個題群中的代表。抓到了一個題根，就抓

到了這個題族，這個題群，這個題系。

4、題根有生長性。

題根不同于題源，題源似乎有現(xiàn)成的題目，在源源不斷地流出。

而題根不然，在那里，不一定有現(xiàn)成的題目，眾多的新題目要從題根

上長出來，因此題根不是題庫而是題圃。

5、題根有滲透性。

題根不刻意對學科內(nèi)容在形式上的覆蓋，著重考慮題根與題根之

間自然的、深刻的、縱橫的滲透。因為覆蓋只是一個“平面”，而滲

透將得到一個“三維立體”。

6、題根有實用性。

題根在課堂上是“主例”，成為課堂的“課根”，課堂的其他例題

是“主例”的遷移、補充和拓展。題根在考場上是“考根”，與考

題相約、相吻、相近，但不一定要相同。

7、題根有可接受性。

題根內(nèi)容在課標與考綱范圍內(nèi)，難度在中等水平。題根不是高難

題（題頂），也不是簡答題（題支或題葉）。題根是學生很想得到、而

又不能伸手而得、卻是要跳起來摘到的果實。

題根在行文上講究科學性與趣味性，體現(xiàn)人文關(guān)懷與數(shù)學文化,

在題根研究中實現(xiàn)再創(chuàng)造，使學生在學習中嘗到數(shù)學的無窮樂趣。

（二）中學數(shù)學“題根研究”案例

函數(shù)題根“潛能”眾多

僅舉1個發(fā)表在教育部優(yōu)秀科技/教育類中文核心期刊《高中數(shù)

理化》2014年第6期上函數(shù)題根研究成果《挖掘一道課本題的潛能》

現(xiàn)行普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》（人教社A版）必修1

的復習參考題中，有這樣一道習題：

題根已知f（x）=lg旨,a、求證/（a）+/（?=/（儡）①

初看此題，平淡無奇，常會通過“驗證”的方法很快證明完畢就

置之不理.在作業(yè)講評時，若引導學生作一些思考，就會挖掘出此題

除了隱藏有函數(shù)的主要性質(zhì)外，還能挖掘出此題隱藏的其他性質(zhì)，并

得到一些有趣的命題，以充分發(fā)揮此題的潛在功能！

1挖掘多思多證的潛能

為方便表述，把要證的等式稱為①式，利用對數(shù)的運算性質(zhì)，可

以得到本題的兩種證法：

證法1由于“)+/3)=電怒+炒需=1g(毋x糕)=lg照篇，而

譙)=電暑=恒然黑=愴犒繇，所以①式成立?

證法2由上知，/(據(jù))=lg黑崎=/黑+值需=/(a)+/S)，于是

①式成立.

我們把①式，叫做此函數(shù)的性質(zhì)1.

2挖掘隱藏函數(shù)基本性質(zhì)(6條)的潛能

從函數(shù)的基本性質(zhì)(定義域與值域，奇偶性與對稱性，單調(diào)性等)

考慮，就可挖掘出此題潛在了函數(shù)基本性質(zhì)的潛能.

2.1求函數(shù)的定義域

由對數(shù)的定義，知鷺>0,即(1-x)(l+x)>0,解得-1<X<1,于是，

得到原函數(shù)的性質(zhì)2:

函數(shù)/(X)=IgE的定義域是(-1,1).

可知：原題的已知條件中，為什么要有。、的要求，不

難發(fā)現(xiàn)：有一個巧合，它與函數(shù)g(x)=lg(l-x)-lg(l+x)有相同的定義域!

2.2求函數(shù)的值域

直接求值域比較困難，可轉(zhuǎn)化為求其反函數(shù)的定義域！

設(shè)y=/(x)=lg旨，則為=揣，原函數(shù)的反函數(shù)為"尸(x)=搬，

易知它的定義域是實數(shù)集R,由此得得原函數(shù)的性質(zhì)3：

函數(shù)/")=收出的值域是R.

2.3判斷函數(shù)的奇偶性

對此函數(shù)，可以得到兩種方法判斷其奇偶性：

方法1對Vxe(-1,1),由/(-乃=炫出=區(qū)捂尸=-/(幻，可知/(x)

是奇函數(shù).

方法2對Vxe(-1,1),由/(x)+/(-x)=但公+lg容=0可知，

f(-x)=-f(x),于是，得到原函數(shù)的性質(zhì)4:

函數(shù)/(x)=lgf是奇函數(shù).

2.4函數(shù)圖象的對稱性

由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，結(jié)合性質(zhì)4,得到此函數(shù)的性質(zhì)5：

函數(shù)/(%)=1g念的圖象關(guān)于原點對稱.

2.5判斷函數(shù)的單調(diào)性，

由性質(zhì)5,只須討論/(x)在(0,1)上的單調(diào)性：

方法1(定義法)設(shè)”公，0<x,<x2<l,則八〃=(芯溫),

由0cx<工2<1知，于是IgA>1g小即/G)>/(看)，/(X)在

(0,1)上遞減.

方法2(求導法)過程從略.

因而得到此函數(shù)的性質(zhì)6：

函數(shù)/(x)=lg旨是定義域(T,1)上的減函數(shù).

3挖掘隱藏的重要不等式

在實數(shù)內(nèi)，由于等價于|切<1,若從函數(shù)定義域的角度考

慮，則①式表明：

若a、be(-Ll),則緇也在此函數(shù)的定義域內(nèi)！

于是，就有下列：

命題1若a、beR,并且|a|<l,\b\<\,則有黯<1②

此不等式的證明，除了分析法或反證法之外，筆者曾探索出了近

10種方法，限于篇幅，僅給出3種較新穎的證法.

證法1(作差比較法)由1+必>0可知，②式等價于

—\—ab<a+b<X+ab③

但1+ab士(a+Z?)—(l±tz)(l±Z>)>0

③式成立，于是②式成立.

證法2(函數(shù)零點法)設(shè)/=齦，則有(1+。切入0-(。+與=。，此式

表明：%是一次函數(shù)g(x)=(\+ab)x0-(a+b)的唯一零點，

由1+而>0可知,g(x)在R上遞增，由g(—1)=—(1+a)(l+b)<0和g(l)=

(l-a)(l-/?)>0知，g(x)的零點與e,

二.②式成立.

證法3(解不等式法)設(shè)/z(x)=(x+l)(x-1),則〃(x)<0的解集是(-1,1),

由力(鬻)=-今早<0,知瑞6(-1,1)，即②式成立?

若在虛數(shù)范圍內(nèi)，從虛數(shù)模的角度考慮，又有下列推廣的不等式：

命題2若a、beC,并且\b\<l,則有隅<1.

利用虛數(shù)模的性質(zhì)：\a\2=axa,可仿上證明命題2(過程從略).

4挖掘多種變式的潛能

例1設(shè)/(x)=1g任，貝!)_!")+，*)+/*)+/*)=-

由/(X)的性質(zhì)4,應填寫數(shù)字0.

例2設(shè)f(x)=lg總，且a、Je(Tl)，f(蜷)=1,1m，求/S).

由f(x)的性質(zhì)1和性質(zhì)4,易得f(b)=1.

若結(jié)合原函數(shù)的其他性質(zhì)，還可以得到其它的多個變式題，如,

比較函數(shù)值的大小等等.

5挖掘廣泛應用的潛能

篇幅有限，僅舉一例如下.

例3若a、￡是關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程/+以+匕=0的兩

個實根，證明：

(1)若|a|<2,\/3\<2,則21al<4+b,且聞<4；

(2)若21al<4+b,且|。|<4,則|a|<2,|/7|<2.

此題曾經(jīng)是全國高考壓軸題，雖然有多種證法，但利用命題1,

可得下列簡捷、巧妙的證法：

由|a|<2、|￡|<2=|加<1,|"|<1和②式，得憚1<1且導，|<1

o|華翳|<1且|明<4,即島<1且同<4=2|n|<4+。，且|。|<4.

故原命題成立.

數(shù)列題根“眾星”來賀

高中數(shù)學中的數(shù)列部分，由于縱橫聯(lián)系比較廣，求解方法比較活,

綜合運用切入點多而成為每年高考數(shù)學命題的重點與亮點！從而使

“數(shù)列題根”能吸引“眾星”（眾多的經(jīng)典考題）來參與祝賀！

現(xiàn)簡要摘錄，我于2012年9月，發(fā)表在《高中數(shù)理化》的特色

欄目“題根研究”的一篇如下。

巧裂項求數(shù)列的和妙放縮證明不等式

——淺談一類高考數(shù)列不等式問題的求解策略

510900廣東省中學名師工作室主持人（廣州市從化中學）楊仁寬

（全文發(fā)表在全國優(yōu)秀科技核心期刊《中學數(shù)學》2011年第10期）

1緣起

在新課程人教A版數(shù)學教材中，有這樣的例題與習題：

例題若數(shù)列！1］的前〃項和是計算加，邑，S,,根據(jù)計算

［(3w-2)(3n+l)J

結(jié)果推測計算S”的表達式并給出證明.

習題若數(shù)列！1］的前〃項和是S.,,計算跖，S2,S3,推測計算S”的公

式并給出證明.

由此思考：若等差數(shù)列｛/｝的各項均不為零，求數(shù)列［1］的前〃項和.

這類問題的求解，可以采用“裂項求和”法，由于裂項變形時能較好地考查

數(shù)學技能技巧，而成為高考命題的重要切入點.尤其是與不等式相關(guān)聯(lián)，更是成

為高考命題的亮點！本文結(jié)合近年高考題或模擬題，例析這類問題求解的主要思

路與策略.

2求解的主要思路與策略

2.1借分式性質(zhì)裂項，適當放縮證明不等式

例1(2011年全國卷理科第20題)若數(shù)列｛%｝滿足q=0,-......—=1.

1一4+11-an

⑴求｛4｝的通項公式；(2)設(shè)a=匕磨1,S“=E>.,證明S,<1.

yj〃k=1

解(1)易知］(1-4尸｝是首項與公差均為1的等差數(shù)列，從而4=1-??；

n

證⑵由⑴，得仇,=^11二回=4一-4=,于是

11、1

s"=ihk~4k^r~4^<1'

點化本題求解的關(guān)鍵，在于利用分式的性質(zhì)，把切分裂成兩項之差，利于

求和！再看下列：

例2(2011年深圳模擬題)若僅“｝是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為“，

S,為其前”項和，且滿足力=S2,z，〃eN*.數(shù)列也｝滿足"=」一，7；為數(shù)

列仍“｝的前〃項和.

(1)求卬、。和北；(2)若對于任意的〃eN+,不等式27；<〃+(-1)"8恒成

立，求實數(shù)X的取值范圍；

(3)是否存在正整數(shù)人〃(I<加<〃)，使得工,圖,7；,成等比數(shù)列？若存在，求

出所有小，〃的值；若不存在，請說明理由.

解⑴在=邑〃_］中，令〃=1,幾=2,解得q=1,d=29Sffijan=2n—l9

解(2)當〃為正偶數(shù)時，要使原不等式恒成立，即V〃$N+,

2<2H+-+17.由2〃+芻28,等號在〃=2時取得，此時2<25.

nn

當〃為正奇數(shù)時，要使原不等式恒成立，即V〃eN+,A<2?---15.由

n

｛2"-8〃一|｝遞增，可知,止匕時4<-21.

綜上可得，4的取值范圍是(-8,-21).

解⑶假設(shè)存在正整數(shù)以〃(1<m<〃)，使得m成等比數(shù)列，則由(2),

得y」(」_),即，病_=/_,于是病+4%+1>0,由分子

2m+132H+14m2+4m+16〃+3nni2

為正，解得1一￥次<相<1+4而，由mwN卡和m>1,得加=2,此時〃=12.

當且僅當〃?=2,〃=12時，數(shù)歹1」｛7；｝中的7；,7；“,7；成等比數(shù)歹1」.

點化本題考查了等差、等比數(shù)列的概念及性質(zhì)，求解的關(guān)鍵，是借助于分

數(shù)的性質(zhì)對幻作恒等變形而裂項，進而求得7“的表達式.

類似地，有2011年天津文科和理科壓軸題、2008年江西理科第18題，以

及下列

例3(2010年湖南文科壓軸題)給出下面的數(shù)表序列：

表1表2表3…

113135

448

12

其中表2,3,）有“行，第1行的"個數(shù)是1,3,5,,2n-l,

從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.

（1）寫出表4,驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，

并將結(jié)論推廣到表〃（〃23）（不要求證明）；

（2）每個數(shù)表中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12,,記為

解⑴表4為1357

4812

1220

32

它的第1,2,3,4行中各數(shù)的平均數(shù)分別為4,8,16,32,它們組成首項為4、

公比為2的等比數(shù)列.

將此結(jié)論推廣到表"（”23）,有下列結(jié)論：

表”（〃23）各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成以〃為首項、2為公

比的等比數(shù)列.

解（2）???表"（〃23）各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成以〃為首

項、2為公比的等比數(shù)列，...第々行中各數(shù)的平均數(shù)為〃x21，于是表〃中最后

一行的一個數(shù)為勿=〃X2"T.

于是V&eN*,%=色&k+2

%也+1Z(k+l)x2i

2(k+l)-k__1_________]

-k(k+l)x2k-2-kx2?！?1)X2-2

北=（而^-詬7H詬7―訪）++、〃X2*2+_4-（〃+I）X2"

點化此題的求解，對利用分式的性質(zhì)恒等變形而裂項，提出了更高的要求!

由以上可知，本例第（2）題，可改編為''證明：T,V4”,或由函數(shù)/（x）=---------

（x+1）x2

在u,+8)上遞增，進而改編為“證明：3W7“<4”等等.

2.2借根式的性質(zhì)裂項，適當放縮證明不等式

例4(2011年湖南十二校聯(lián)考題)已知。為正常數(shù)，在曲線C“：丫=疝

上的一點火(為，打)處的切線，總經(jīng)過定點0)(〃GN*)；

(1)求證：點列片，P2,,,,,%,…在同一直線上；

(2)求證：對于任意〃GN+,有下列不等式ln(〃+l)＜之五＜2冊成立.

證⑴設(shè)y=/(或=標，則/(燈=!?,

2V.r

L”：y-yn-(x-x?),由(-a,0)€Ln,得y,=：J2(x“+a),而

2"“2'x“

yn=^nxn,聯(lián)立解得x“=a,y“=JG,點￡(a,J而)總在x=a上，

即點列4，P],…,P"，…在同一直線x=a上.

=

證(2)由(1),矢口y-Vna，——=—j==--f=V—T=—匚——=2(V?—V7—1)，z1,

ytJi2JiJi+Ji-1

2,于是￡江=才3〈￡2(4-77二1)

k=iy(i=li=l

=2f(7i-7o)+(72-7i)+…+(而_=2冊，

即之逅<2冊；ln(〃+l)<之電的證明，見例6.

IB,=1X

點化本例的證明，既用到了常見的放縮不等式：

2(>/n+l-Vn)<(Vn)-1<2(4-J〃-l),又借助于Jn+1-冊與J”+l+J7互為有

理化因子而“裂項”求和.類似地，有下列：

例5(2011年廣州模擬題)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S,,,

已知數(shù)列醫(yī)｝是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項公式;

i〃r

(2)令a=//，若不等式＞/對任意“€N,

MMNWV^TT+i

都成立，求實數(shù)L的取值范圍.

解⑴由醫(yī)｝的首項與公差為1,由向=〃，S?=n2,得％=2〃-1.

解⑵b=,1,_Y2n+1—J2/?-1_J_f]________1]

，(2〃+1)(2〃-1)()2〃+1+/2〃-1)2j(2〃+1)(2九—1)21J2〃-1,2〃+1J

ni

要使支ev〒■匕對任意〃N+成立,即V〃￡N+,LW/n,而

占J2.+1+1J2〃+1

/(x)=-7'在［l,+8)上遞增，當“=1時，=&_8,曰］為所求

J2x+1lV2n+lJmi?3

點化此例求解的關(guān)鍵，在于對久恒等變形，借助根式的性質(zhì)而裂項求和,

進而將“不等式恒成立”問題化歸并轉(zhuǎn)化為求離散函數(shù)的最小值問題.

2.3借對數(shù)性質(zhì)裂項，適當放縮證明不等式

例6(2010年湖北理科壓軸題)已知函數(shù)/(x)=g+2+c(a>o)的圖像在點

X

。"⑴)處的切線方程為y=x+l.

(1)用。表示出h,c；

(2)若f(x)21nx在［1,+8)上恒成立，求a的取值班范圍；

⑶證明凱>山(〃+1)+丞a(”eN+).

解⑴h=a-\,c=l-2a；(2)。的取值范圍是?,+8)；

證⑶由(2)知：當時，有/(x)21nx(xel),令。=卜有

f(x)=j(x-x~')$：］nx(x^1),當x>l時，|(x-x-1)>lnx?

即In（左+1）—InZv』（'+」一，將％=1,2,…，〃時的〃個不等式相加，得

21kk+1.

ln(n+l)<g++——1——，整理，W1+-+-+---+—>ln(n+1)+——--

2(n+1)23n2(n+l)

仿此，可證例4中“l(fā)n（〃+1）<”如下:

設(shè)尸(x)=?-ln(x+l),則產(chǎn)(0)=0,當xe(0,l)時，F(xiàn)’(x)=-^--—

2ylxX+l

=>0,R(x)在［0,1］是單調(diào)遞增，當0<x<l時，尸(x)>尸(0)=0,

2Vx(x+l)

從而，VxG(0,1),Vx>ln(x+1).取x=L,WJ->In1+—j=ln(A：+l)-ta^,將

kvkk)

當斤=1,2,…，”時的〃個不等式相加，得

—=〉In2+(In3—In2)+(ln4—In3)+??JlnS+1)—In〃］=ln5+1)，

即ln(n+l)<y—,原不等式成立.

,=i%

點化上述證明的關(guān)鍵，是仔細觀察結(jié)構(gòu)特點，適當構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，巧妙賦

以變量之值,借助對數(shù)運算性質(zhì)而裂項！求和之后的適度放縮，已是水到渠成了！

“立幾”題根其樂無窮

我以立體幾何課本中的例題，習題或高考立體幾何題，作為“題

根”進行研究，形成了立體幾何“題根研究”成果系列，已有8篇在

北師大學主辦的教育部優(yōu)秀科技期刊《高中數(shù)理化》的特色欄目“題

根研究”中連載，如《探究一個截面，潛能精彩呈現(xiàn)》、《無棱二面角

的求解策略》、《對一道高考立體幾何題的探討》、《2004年全國高考

立體幾體評卷報告》、《對一道高考填空的探究》等。摘錄其一如下。

探究典型性例題，踐行研究性學習

——例談數(shù)學課程資源的開發(fā)與利用

廣東省中學名教師工作室主持人楊仁寬

1、題根

在高中教科書（人教A版）《數(shù)學?必修2》中，有這樣一道:

例題如圖1,AB是。0的直徑，PA

垂直于。0所在的平面，C是圓周上異于

求證：平面PAC_L平面PBC。

簡證設(shè)。0所在的平面為a,0

貝lj由PA_La和BC在a內(nèi)，可知PALBC,

由AB是。。的直徑，知ACLBC,

所以由PA與AC交于點A,知BC,平面PAC,圖1

由平面PBC經(jīng)過直線BC,知，平面PAC_L平面PBC。

除上述證法外，可根據(jù)三垂線定理給出證明（具體過程從略）。

師生共同做完這道例題之后，給同學們留下了這樣的一個研究性

學習課題：

對一道例題的思考與發(fā)現(xiàn)。

對此研究性課題，要求同學們力所能及，自由發(fā)揮，先個人思考，

再小組交流補充。

同學們主要圍繞此例題中的“位置關(guān)系”與“度量關(guān)系”，即線

線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系，有關(guān)長度與角度的計算等進行了探究

和思考，既就能挖掘出潛在于此例中的若干性質(zhì)，又能較好地開展數(shù)

學研究性學習，并發(fā)現(xiàn)此例題神奇的功能！以下的表述，是在同學們

進行了為期2周的研究性學習，并在老師的主持與指導下，開展了研

究性學習討論與交流的基礎(chǔ)上，歸納整理而成的。

2、對數(shù)學課本例題的開發(fā)與利用

2.1開發(fā)利用原圖中多種“垂直”的資源

結(jié)合例題中的題意，不難發(fā)現(xiàn)下列：

性質(zhì)1（如圖1）三棱錐P—ABC中的四個面PAC、PAB、PBC、

ABC都是直角三角形。其中/PAC、NPAB、NPCA、NBCA均為直角。

為了表述的方便，我們把原題中給出的，四個面都是直角三角形

的四面體，簡稱為直角四面體。

由性質(zhì)1,我們不難得到下列：

推論1（如圖1）直角四面體P—ABC的6條棱中，有4對棱相

交并且互相垂直，另1對棱則是異面垂直。

例如，在圖1中，PA與AC,PA與AB,AC與BC,PC與BC都是相

交并且垂直的；而PA與BC,則是異面垂直的1對棱。

推論2（如圖1）直角四面體P—ABC的四個面PAC、PAB、PBC、

ABC中，有3對平面互相垂直。

推論3直角四面體的六條棱中，有一條棱的長是一對互相垂

直的異面直線之間的距離。

略證如圖1,由PA_L平面ABC,得PA_LAC,而AB是。。的直徑，

AC±BC,因此，棱AC的長是異面直線PA與BC之間的距離。

借此開發(fā)的課程資源，能較好地復習和鞏固了立體幾體中的直線

與直線垂直，直線與平面垂直，平面與平面垂直等知識與方法。

2.2連接中點，開發(fā)利用多種“平行”的資源

當我們連接圖1中有關(guān)線段的“中點”

時，就可以得到如下的平行關(guān)系:

性質(zhì)2如圖2,在直角四面體P—ABC

中，若E、F、G、H分別是棱CB、PB、PC、

PA的中點，則有下列平行關(guān)系：

(1)直線OE、OF、EF都與平面PAC平行;

(2)直線FH、FG、GH都與平面ABC平行;

⑶平面EFO〃平面PAC、平面FGH〃平面ABC。圖2

簡證(1)由0,E分別是AB與BC的中點，知,0E是AABC的

中位線，所以O(shè)E〃AC,由0E在平面PAC外，AC在平面PAC,知0E

〃平面PACo

(2)在aPBC中，仿⑴,知FG〃平面ABC。

(3)由⑴、(2),知，0E與0F均與平面PAC平行，由0E與0F

交于點0,知平面EFO〃平面PACo同理，可證：平面FGH〃平面ABC。

借此開發(fā)的課程資源，能較好地鞏固了立體幾體中的直線與直線

平行，直線與平面平行，平面與平面平行等知識與方法。

2.3補圖思考，開發(fā)利用廣泛“聯(lián)系”的資源

若以AC、AB、AP為過同一個頂點的3條棱，作三棱柱ABC—PED

(如圖3),我們就可以得到:

定理棱錐的體積等于同底等高的棱柱的體積的三分之一。

簡證設(shè)PA=〃，SMBC=S,連接AD、BD、PC,因三棱錐P—ABC

與三棱錐B—PED等底并且等高（AABC與APED等面積S,高

PA=BE）,而三棱錐B—PCD與三棱錐B—PAC也等底等高（APAC與^

DPC等面積，高均為點B到平面PAC的距離），由祖唾原理，可知，

這3個三棱錐的體積相等，都是o

若繼續(xù)從“中點”考慮一一延長CO交

圓0于D,則0是直徑CD的中點，將線段口

PA分別平移至C、B、D處，則可構(gòu)造長方

體ADBC—PQRS（如圖4）。

由此，我們很容易得到下列性質(zhì)及。

其推論：圖3

性質(zhì)3如圖1,直角四面體P—ABC

中，最長的棱是PB=7F+m2+n2，

其中d=AC,zn=PA,〃=BC。

在RtAPAB和RtAACB中，兩次利用

勾股定理即得（過程從略）。由此可得下列:

推論1長方體的對角線長的平方等于

其長、寬、高的平方之和。

推論2直角四面體P—ABC的外接球

的直徑是最長的棱長。

2.4深入挖掘，開發(fā)利用多個“性質(zhì)”的資源圖4

如果考慮直線與平面的位置關(guān)系，就有：

性質(zhì)4在直角四面體的六條棱當中，有兩條棱是平面的垂線（面

垂線），且以垂足為頂點的兩個銳角，是以面垂線為棱的二面角的平

面角。

略證如圖1,由PA_L平面ABC得PALAC,PA±AB,Rt^ACB中

的銳角ZCAB是二面角C-PA-B的平面角。

類似地，可證另一種情況。圖1中，是否還有特殊的角？

不難發(fā)現(xiàn)：NPBA是直線PB與平面ABC所成的角；NACP是多用

角：既是PC與平面ABC所成的角，又是二面角P—BC—A的平面角。

如果考慮面面關(guān)系，又可得到：

性質(zhì)5直角四面體的四個面都是直二面角的面，且有三條棱是

直二面角的棱。

結(jié)合圖1易證（過程略）。

在直角四面體中，除了上述這些隱藏于“位置關(guān)系”的性質(zhì)之外,

在有關(guān)的“度量關(guān)系”中，也潛在著許多優(yōu)美的性質(zhì)!

例如，在直角四面體P—ABC中（圖5）,

設(shè)NAPB=q,NCPB=%，NAPC=。，則有

下列等式COS。1?COS^2=COS^O

簡證在三個RtAPAB、

RtAPBC、RtAPAC中，容易得到：

將前兩式相乘，即得COS。1?COS%=COS。。

上述性質(zhì)，用文字表述，就是下列：圖5

性質(zhì)6以直角四面體的最長棱的端點為頂點的兩組三面角中，

與直二面角的棱相鄰的兩銳角余弦之積等于它對面銳角的余弦。

借此開發(fā)的課程資源，能較好地將立體幾體中的三棱錐補成了三

棱柱，進而補成四棱柱，使直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位

置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系等學科主干知識與主要方法，有機地

融為一體，充分發(fā)揮了課本例題的功能！

有興趣的同學及教師，可進一步挖掘直角四面體中潛在的其他有

關(guān)性質(zhì)（篇幅有限，此處從略）。

2.5靈活運用，開發(fā)利用多種“好處”的資源

直角四面體的性質(zhì)，有廣泛應用，限于篇幅，僅舉3例如下：

例1在四棱錐的4個側(cè)面三角形中，直角三角形最多有（）

A。1個B。2個C。3個D。4個

對于這樣一道高考選擇題，由于沒有示意圖，不少考生因不能作

出正確的示意圖而選錯答案！

若借助直角四面體，則很容易作出選擇：

在圖1中，設(shè)CO交圓。于D,由兩個直角四面體組成的四棱錐P

一ACBD的4個側(cè)面均為直角三角形，故應選D。

例2若兩個平面△相交于直線相，Aea,BG/3,AB與平面

a、耳分別成45。、30°,過A、B分別作機的垂線，垂足分別為4、B1,

且AB=12,求線段的長。

略解連AB,\B,AB1,易知三棱錐A—A|B81是直角四面體,

且NBA與=45°,NABA=30°,在MABA片和~澳54中，得4耳=6虛，

A4,=6,由性質(zhì)3,得A區(qū)=6為所求。

例3如圖6,正三棱柱ABC的底面積是3,D、E分別是BB、

CU上的點，并且EC=BC=2BD。求截面ADE與底面ABC所成二面角的

大小。

簡析如果借助cos。=S.G+S^DE

來求解，在求與^上寸，要用到勾股定理、

余弦定理、三角誘導公式等，因計算較大量、

過程較繁瑣而難以求解。

如果適當構(gòu)造，借助直角四面體的有關(guān)

性質(zhì)，則可以得下列既簡捷，又新穎的解法。

略解延長ED交CB于F,則由AEDB和

△FEC的相似比是1：2,知，B是FC的中點。圖6

VZABF=120°,AB=FB,

...NFAB=30°,ZFAC=90°o

由三垂線定理，可知，EA±FA,于是E—AFC是直角四面體，由

性質(zhì)4,可知，NEAC是所求二面角的平面角，由EC=BC=AC,得

NEAC=45°為所求二面角的大小。

可見，在教學中通過引導同學對這道課本例題的思考與探究，既

有效開發(fā)出了新課程的資源，又挖掘出了潛在于直角四面體中的許多

優(yōu)美性質(zhì)，更使師生體驗到了數(shù)學“題根研究”的無窮樂趣！不僅較

好地利用課本素材開展了數(shù)學研究性學習，實現(xiàn)了數(shù)學學習的再創(chuàng)造,

而且借助所開發(fā)的課程資源達到了《數(shù)學課程標準》“高中數(shù)學課程

應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)

現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識”的目的！

解幾園里“弦”奏凱歌

高中數(shù)學中的《解析幾何》內(nèi)容，由于是“數(shù)形結(jié)合”的典范,

而倍受高考命題者們的親睞！本書著者對“解幾”類“題根”的研究，

也情有獨衷，成果較多。

現(xiàn)摘錄，我工作室的核心成員、正高級教師，陳飛林老師的題根

研究成果之一（發(fā)表在由北師大主辦的國家級優(yōu)秀科技期刊《高中數(shù)

理化》2018年第10期）如下。

撥弄“焦點弦”實現(xiàn)“變”與“遷”

——對一道拋物線例題的研究性學習

陳飛林（正高級教師/省級骨干教師）

1、題根

由人民教育出版社出版的A版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)

學?選修2—1》中，有這樣一道例題：

如圖，斜率為1的直線/經(jīng)過拋物線

y2=4x的焦點F,且與拋物線相交于A、

B兩點，求線段AB的長。

本人對此例題進行了一些思考，借

此開展了數(shù)學研究性學習：通過探索此

例題的多種求解方法，作一些題型變式與簡單的推廣，用于求解相關(guān)

的問題時過程十分快捷，使用特別方便。

2、用多種方法求拋物線“焦點弦”的長度

在學習《數(shù)學?選修2—1》時，老師曾引導我們把這類過拋物

線的焦點的弦，稱為拋物線的“焦點弦”，以下簡稱為焦點弦。

如果從不同的途徑進行思考，就可以得到求拋物線的“焦點弦長”

的下列解法。

若考慮利用“兩點間的距離公式”，就有下面的解法：

解法1（求出交點法）易知V=4x的焦點F（1,0）,將/的方程

y=x—l代入V=4x中，得，%2-6%+1=0,解得x=3±20,由此，得

22

市,2-2叵）,仇3+2次,2+2揚，于是\AB\=-x2）+（yt-y2）=8o

若考慮采用“設(shè)而不求”，就有下面的解法：

解法2（弦長公式法）設(shè)A（X]，M），B（x2,y2）,由解法1,得X]+無2=6,

22

x{x2=1,由弦長公式可得，|AB|=+x2）-4XjX2x^l+k=8o

若靈活運用拋物線的定義，又有下面的解法：

解法3（活用定義法）過A、B兩點分別作準線x=-l的垂線，

垂足分別為4、B”結(jié)合拋物線的圖象和定義，得

|人目=|4月+怛月=|47+忸4|=%+々+，=6+2=8為所求。

解法4（極坐標法）此處從略。

解法5（參數(shù)方程法）此處從略。

3、推廣命題，探索拋物線“焦點弦”的一些性質(zhì)

由于此例題中的直線/過定點（焦點），可對其傾斜角推廣為一般

情形，而得到拋物線的“焦點弦”的一些性質(zhì)。

性質(zhì)1設(shè)傾斜角為a的直線/,經(jīng)過拋物線V=2px(〃>0)的

焦點F,且與拋物線相交于4的,其)8(々,％)兩點，則有下列拋物線的

“焦點弦長”公式及結(jié)論：

2

(1)|AB\=xt+x2+p；(2)\AB\=2p-i-sma；(3)|A8|有最小值

是2p。

筒證：由拋物線的定義和圖象，容易知道(1)式成立(證明過

程從略)。當傾斜角a*90°,設(shè)tana=「,將/：y=k(x-}p),=2px

中，得4左2%2―4°(左2+2)x+Z2P2=o①

由弦長公式，知：AB=J(X|+工2y-4內(nèi)%2XJ1+-,

將①式中的兩根之和與兩根之積，代入并化簡，

得|AB|=2p+sin2a,即性質(zhì)1(2)成立;

當a=90。時，設(shè)A?p,p),B^p-p),此時性質(zhì)1(2)仍成立。

由于ae(0,%),0<sinaWL從而(sina)max=1,結(jié)合性質(zhì)1(2)式,

可知性質(zhì)1(3)成立。

性質(zhì)2設(shè)傾斜角為a的直線/經(jīng)過拋物線>2=2p尤(p>0)的焦

點F,且與其交于4和%)8(與％)兩點，則有下列定值性質(zhì)：

22

(1)犬/2=+/；(2)yly2=-p；(3)SM0B=/?/(2sina)o

簡證：當a=90。時,設(shè)A(*p,p),B(jp-p),此時性質(zhì)2成立。

以下證明：當a#90。時、性質(zhì)2也成立。

設(shè)tana=Z,則由ce(0,%)知，將直線/的方程y=,

代入拋物線方程中，得4(入-4p(k2+2)x+k2p2=0,

2

...xix2=}p,即（1）式成立。

將％=古丁2,代入y=&(x-4p),得:"2py-Ap'=0，

于是》上=-。2，即(2)式成立。

由于拋物線的頂點0到直線/：y=*Tp)tana的距離dEpsina,

,由性質(zhì)1(2),得5AAoBE|AB|d=p2/(2sina),(3)成立。

4、靈活變形，探索拋物線“焦點弦”性質(zhì)的運用

上述有關(guān)拋物線“焦點弦”的性質(zhì)，倍受數(shù)學愛好者的親睞，其

應用也很廣泛，尤其是用于求解有關(guān)的高考數(shù)學題或競賽題時，既快

速，又簡捷，可以達到事半功倍的效果，舉例說明如下。

例1(2014年全國新課標卷,理10文11)設(shè)F為拋物線C:產(chǎn)=3x

的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點，。為坐標原

點，則^OAB的面積為()

A、今MB、1V3。、D、?

簡析：用常規(guī)方法解，既要求出弦AB的長，又要求出原點。到

y=4(x-?)的距離，過程繁,計算也多！用性質(zhì)2,可簡捷求解:將〃=壬

a=30°,代入SgoB=p2/(2sina)，得5.0產(chǎn)得，選D.

例2(1998年上海市高考題)設(shè)。為坐標原點，過點A(l,0)

的直線/交拋物線V=4x于P、Q兩點。當APOQ的面積是4時，求直

線/的傾斜角a。

略解：由題意，?^0°；由拋物線V=4x知：A(1,0)是它的焦

點，0是它的頂點，

當a=90。時,由性質(zhì)1(3),知|PQ|=4,由于|0A|=l是邊PQ上

的高，此時S“O°=2N4,即“90°,

由于拋物線的頂點0到直線/：y=(x-l)tane的距離d=sin。，

由性質(zhì)1(2),知|PQ|=六，：.由SAp°o==|PQ|xd=^=4,得

sina=孔而ae(0°,180°),a=30°或a=150°均為所求。

例3過拋物線焦點的一條直線與它交于P、Q兩點，過點P和

拋物線頂點的直線交準線于點M,求證：直線MQ平行于拋物線的對

稱軸。

2

簡證：以拋物線y=2px(p>0)為例，設(shè)P(匹，y,)>Q(x2,

%)，M(七,當)，則由直線PQ過拋物線的焦點和性質(zhì)2(2),知力%=中,

于是將拋物線的準線方程X=TP，代入直線0P的方

程得％=一3甘。，

而為=古?。?于是必=號/，

直線MQ平行于此拋物線的軸(即x軸)。

有趣的是，對例3的逆命題，有下列：

例4(2001年全國高考理科19)

若經(jīng)過拋物線_/=2*。>0)的焦點F的

直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的

準線上，且BC〃才軸。證明直線力。經(jīng)過原點0。

簡證：如右圖，設(shè)A(X1,y)BQ2,%)，由性質(zhì)2(2),知必乂=一。2。

由于6C〃x軸，點C在直線x=—上，所以C(一/，%),

即無2=-0，而yJ=2pX],所以直線CO的斜率

一%.2y%一2Px(-/)_2〃_必

/~iPpy\孫M/，

因為它也是直線0A的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點0。

三、日練“三題”考技高

在數(shù)學高考復習的沖刺階段，還是要將教師的復習意圖與備考策

略等，“落實在學生的筆尖