2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第七章-第二節(jié)-等差數(shù)列【課件】

必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)第二節(jié)等差數(shù)列第七章數(shù)列核心考點(diǎn)·分類突破【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解等差數(shù)列的概念并掌握其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.3.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理【命題說明】考向考法高考命題常以等差數(shù)列為載體,考查基本量的運(yùn)算、求和及性質(zhì)的應(yīng)用.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)是高考的熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).預(yù)測(cè)2025年高考將會(huì)從以下兩個(gè)角度來考查:(1)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算與性質(zhì);(2)等差數(shù)列的綜合應(yīng)用,可能與等比數(shù)列、函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合考查.必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)知識(shí)梳理·歸納1.等差數(shù)列的有關(guān)概念定義通項(xiàng)公式設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,則通項(xiàng)公式為an=_________等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時(shí),___叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,2A=____同一個(gè)常數(shù)a1+(n-1)dAa+b

已知條件前n項(xiàng)和公式a1,an,na1,d,nSn=___________

(n-m)dak+al=am+anmd常用結(jié)論

1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性:當(dāng)d>0時(shí),{an}是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),{an}是遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí),{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).基礎(chǔ)診斷·自測(cè)1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(

)提示:(1)第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差應(yīng)是同一個(gè)常數(shù);

(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(

)類型辨析易錯(cuò)高考題號(hào)132,4×√(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).(

)提示:(3)如果數(shù)列為0,0,0,0,則其通項(xiàng)公式不是一次函數(shù).(4)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(

)×√

4.(2022·全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若2S3=3S2+6,則公差d=

.

【解析】因?yàn)?S3=3S2+6,所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化簡得3d=6,解得d=2.2核心考點(diǎn)·分類突破

解題技法等差數(shù)列基本量運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)求公差d或項(xiàng)數(shù)n:在求解時(shí),一般要運(yùn)用方程思想;(2)求通項(xiàng):a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素;(3)求特定項(xiàng):利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解;(4)求前n項(xiàng)和:利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解.

考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明教考銜接教材情境·研習(xí)·典題類

解題技法等差數(shù)列的判定與證明的常用方法提醒:若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需找出三項(xiàng)an,an+1,an+2,使得這三項(xiàng)不滿足2an+1=an+an+2即可.主要方法定義法對(duì)任意n∈N*,an+1-an是同一常數(shù)?{an}為等差數(shù)列.等差中項(xiàng)法2an+1=an+an+2?{an}為等差數(shù)列.常用結(jié)論通項(xiàng)公式法an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.前n項(xiàng)和公式法Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4,則a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.

角度2

等差數(shù)列求和[例3](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于(

)A.63 B.45 C.36 D.27【解析】選B.由{an}是等差數(shù)列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45.

角度3

等差數(shù)列求最值[例4](一題多法)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=13,S3=S11,當(dāng)Sn最大時(shí),n的值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選C.方法一(鄰項(xiàng)變號(hào)法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得a7+a8=0.根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列為遞減數(shù)列,從而得到a7>0,a8<0,故n=7時(shí)Sn最大.方法二(函數(shù)法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a(bǔ)1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),知當(dāng)n=7時(shí)Sn最大.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S5=7,S10=21,則S15=(

)A.35

B.42

C.49

D.63【解析】選B.在等差數(shù)列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差數(shù)列,即7,14,S15-21成等差數(shù)列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.

解題技法等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的解題策略(1)審清題意,確定是否為等差問題,依據(jù)就是相鄰項(xiàng)之間的差是否為同一個(gè)常數(shù);(2)對(duì)于等差問題,確定其首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列基本量的運(yùn)算.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練我國二十四節(jié)氣依次為:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種