2023-2024學(xué)年江西省宜春三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年江西省宜春三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z=?1?i，則|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.2.已知向量a=?i+j，b=2i+3j，A.?1 B.1 C.6 D.?53.某班同學(xué)利用課外實(shí)踐課，測量A，B兩地之間的距離，在C處測得A，C兩地之間的距離是4千米，B，C兩地之間的距離是6千米，且∠ACB=60°，則A，B兩地之間的距離是(

)A.27千米 B.43千米 C.24.設(shè)α，β是兩個(gè)平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是(

)A.若α⊥β，m//α，l//β，則m⊥lB.若m?α，l?β，m//l，則α//β

C.若α∩β=m，l//α，l//β，則m//lD.若m⊥α，l⊥β，m//l，則α⊥β5.已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若asin(π2?A)=A.鈍角三角形 B.等邊三角形 C.銳角三角形 D.等腰直角三角形6.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b，點(diǎn)E是AC的三等分點(diǎn)EC=13ACA.13B.23C.13D.27.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為(

)A.23π B.33π8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若B=π3，b2=9A.32 B.2 C.7二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π6A.f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π3)的圖象

B.直線x=π3是f(x)圖象的一條對稱軸

C.f(x)在10.已知向量a=(3,sinθ)，b=(cosθ,1)，A.若a⊥b，則tanθ=?3

B.設(shè)函數(shù)f(θ)=a?b，則f(θ)的最大值為2

C.|a+b|的最大值為22

D.若11.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA.直線PB//平面AB1D1

B.直線PB與AD1是異面直線

C.三棱錐P?AB1D1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(?35,45)13.已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是

14.設(shè)向量a,b,c滿足|a|=|b|=2，a?b=?2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知角α∈(0,π)，且cosα=?35．

(1)求sin(π?α)的值；

(2)求cos16.(本小題15分)

已知向量a=(1,2)，b=(0,2)，向量c滿足a⊥c，且b//(2a+c)．

(1)求c的坐標(biāo)；

(2)17.(本小題15分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足3acosπ?B2=bsinA．

(1)求B；

(2)∠ABC的角平分線與AC交于點(diǎn)18.(本小題17分)

已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，△ABD為等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為PA的中點(diǎn)，AD=2BC=22，PA=3PD=3．

(1)求證：BE//平面PDC；

(2)求證：平面PAB⊥平面PBD．

(3)求異面直線AD與PB19.(本小題17分)

設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量m,n的夾角為θ，定義一種運(yùn)算“?”：m?n=|m||n|sinθ．

試求解下列問題：

(1)已知向量a,b滿足a=(2,1),|b|=2,a?b=4，求a?b的值；

答案解析1.C

【解析】解：z=?1?i，則|z|=(?1)2+(?1)2.B

【解析】解：因?yàn)閕,j分別為正交單位向量，所以|i|=|j|=1，i?j=0，

因?yàn)閍=?i+3.A

【解析】解：由余弦定理可得AB2=AC2+BC24.C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，直線m，l可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤，

對于B，平面α，β可能相交或平行，故B錯(cuò)誤，

對于C，由直線與平面平行性質(zhì)，分析可得C正確；

對于D，平面α，β可能相交或平行，故D錯(cuò)誤．

故選：C．

5.B

【解析】解：由asin(π2?A)=b2cos2B2?1=ccosC，得acosA=bcosB=ccosC，6.B

【解析】解：∵平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b，

∴AC=AB+AD=a+7.B

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為：r，圓錐的母線長為：3+r2，

圓柱和圓錐的側(cè)面積相等，可得23πr=12×2πr×3+8.C

【解析】解：因?yàn)锽=π3，b2=94ac，

所以由正弦定理可得，sinAsinC=49sin2B=13，

由余弦定理可得：b2=a9.CD

【解析】解：對于A，由f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位得f(x+π6)=sin[2(x+π6)+π6]=sin(2x+π3+π6)=sin(2x+π2)，

與得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π3)不相同，故A錯(cuò)誤；

對于B，將x=π3代入得f(π3)=sin(2×π3+π6)=sin5π6，此時(shí)既不是最高點(diǎn)，也不是最低點(diǎn)，

所以直線x=π3不是f(x)圖象的一條對稱軸，故B10.ABD

【解析】解：對于A：若a⊥b，則a?b=3cosθ+sinθ=0，所以tanθ=?3，故A正確；

對于B：f(θ)=a?b=3cosθ+sinθ=2sin(θ+π3)，

所以當(dāng)θ+π3=π2，即θ=π6時(shí)，f(θ)取得最大值2，故B正確；

對于C：因?yàn)閍+b=(3+cosθ,sinθ+1)，

所以|a+b|=(3+cosθ11.ACD

【解析】解：如圖，連接BD，BC1，

對于選項(xiàng)A，因?yàn)锳B//C1D1，AB=C1D1，所以四邊形ABC1D1為平行四邊形，

所以AD1//BC1，又BC1?平面BC1D，AD1?平面BC1D，故AD?1//平面BC1D，

同理AB1//DC1，又DC1?平面BC1D，AB1?平面BC1D，故AB?1//平面BC1D，

又AD1?平面AB1D1，AB1?平面AB1D1，AD1∩AB1=A，所以面AB1D1//面BC1D，

又PB?平面BC1D，所以直線PB//平面AB1D1，故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí)，PB//AD1，故選項(xiàng)12.?4【解析】解：角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(?35,45)，

則tanα=13.1

【解析】解：∵圓錐側(cè)面展開圖是半圓，面積為2π，

設(shè)圓錐的母線長為a，則12×a2π=2π，∴a=2，

∴側(cè)面展開扇形的弧長為2π，

設(shè)圓錐的底面半徑OC=r，則2πr=2π，解得r=1．14.4

【解析】解：如圖所示，設(shè)OA=a,OB=b,OC=c，

因?yàn)閍?b=|a|?|b|cos∠AOB=?2，所以cos∠AOB=?12，

因?yàn)?°<∠AOB<180°，所以∠AOB=120°，

又a?c與b?c的夾角為60o，∠AOB=120°，∠ACB=60°，

所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共圓，

因?yàn)锳B=b?a，所以|15.解：α∈(0,π)，且cosα=?35．

則sinα=1?cos2α=【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式即可得；(2)利用兩角和差公式即可得．

16.解：(1)設(shè)c=(x,y)，因?yàn)閍=(1,2)，b=(0,2)，

所以2a+c=2(1,2)+(x,y)=(2+x,4+y)，

又因?yàn)閍⊥c，且b//(2a+c)，

所以x+2y=02(2+x)=0(4+y)，解得x=?2y=1，所以c=(?2,1)；

(2)因?yàn)閍=(1,2)，b=(0,2)，

所以a+λb=(1,2)+λ(0,2)=(1,2+2λ)【解析】(1)設(shè)c=(x,y)，表示出2a+c的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積及平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程組，解得即可；

(2)依題意c?(a17.解：(1)由3acosπ?B2=bsinA得3asinB2=bsinA，

由正弦定理得3sinAsinB2=sinBsinA，即3sinAsinB2=2sinB2cosB2sinA，

由B2∈(0,π2),A∈(0,π)，所以sinB2≠0,sinA≠0，化簡得cosB2=3【解析】(1)利用正弦定理將邊化角，再由二倍角公式計(jì)算可得；

(2)由等面積法得到1a+1c18.(1)證明：設(shè)F是PD的中點(diǎn)，連接EF，CF，

由于E是PA的中點(diǎn)，

所以EF/?/AD，且EF=12AD，而BC/?/AD，且BC=12AD，

所以EF/?/BC，且EF=BC，

所以四邊形BCFE是平行四邊形，

所以BE/?/CF，由于BE?平面PDC，CF?平面PDC，

所以BE//平面PDC；

(2)證明：因?yàn)锳D=2BC=22，PA=3PD=3，PD=1，

所以PD2+AD2=PA2，所以PD⊥AD，

由于平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PD?平面PAD，

所以PD⊥平面ABCD，

由于AB，BD，CD?平面ABCD，

所以PD⊥AB，

又因?yàn)锳B⊥BD，PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD，

所以AB⊥平面PBD，

由于AB?平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PBD；

(3)解：由于AD//BC，所以∠PBC是異面直線AD與PB所成角(或其補(bǔ)角)，

因?yàn)锳B=BD=22×【解析】(1)通過構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定定理來證得BE//平面PDC；

(2)通過證明AB⊥平面PBD來證得平面PAB⊥平面PBD．

(3)先判斷出異面直線AD與PB所成角，然后求得所成角的余弦值．

19.解：(1)由已知a=(2,1)，得|a|=