揭陽市2021-2022學(xué)年度高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

揭陽市2021-2022學(xué)年度高二（下）教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市縣/區(qū)、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)，座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答．答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4.考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，集合，則（）A. B. C.(－1,4) D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧?，集合，所以，故選：D.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C.－－ D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，然后由共軛復(fù)數(shù)定義可得.【詳解】因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)為.故選：B3.紫砂壺是中國(guó)特有手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，如圖給了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），那么該壺的容積約為（）A.100cm3 B.200cm3 C.600cm3 D.800cm3【答案】B【解析】【分析】利用圓臺(tái)體積公式進(jìn)行求解，再結(jié)合選項(xiàng)得到答案.【詳解】根據(jù)圓臺(tái)體積公式可得：，故那么該壺的容積約為200cm3故選：B4.下列函數(shù)中，周期為1的奇函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，函數(shù)為奇函數(shù)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為偶函數(shù)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為奇函數(shù)，，C正確；對(duì)于D，為奇函數(shù)，，D錯(cuò)誤.故選：C5.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程可得，然后由離心率公式可得.【詳解】由題知，所以.故選：D6.已知，則＝（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】【分析】巧用1將所求化為齊次式，然后根據(jù)基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：A7.函數(shù)f（x）的圖象與其在點(diǎn)P處的切線如圖所示，則等于（）A.－2 B.0 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象求出切線斜率和方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點(diǎn)在切線上可解.【詳解】由題意，切線經(jīng)過點(diǎn)，可得切線的斜率為，即，又由切線方程為，令，可得，即，所以.故選：D8.已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可判斷出在上單調(diào)遞增，從而可得，化簡(jiǎn)變形可比較出a，b，c的大小關(guān)系【詳解】令，可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，得，，又已知，，，所以，故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.某市為了考察一所高中全體學(xué)生參與第六屆全國(guó)中小學(xué)生“學(xué)憲法，講憲法”憲法小衛(wèi)士活動(dòng)的完成情況，對(duì)本校2000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按照[50，60）、[60，70）、…、[90，100]分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法正確的是（）

A.圖中的x值為0.2B.由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)75%分位數(shù)是85C.由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為75D.80分以上將獲得金牌小衛(wèi)士稱號(hào)，則該校有800人獲得該稱號(hào)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平率分布直方圖中個(gè)矩形面積之和為1，即可求出x，判斷A;根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算，求得75%分位數(shù)，判斷B;根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法求得平均數(shù)，判斷C;求出該校2000人中80分以上的人數(shù)，可判斷D.【詳解】對(duì)于A,由題意得，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，故估計(jì)75%分位數(shù)是，故B正確；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,80分以上的同學(xué)共有人，則該校有800人獲得金牌小衛(wèi)士稱號(hào)，故D正確，故選：BD10.如圖，在方格中，向量，，的始點(diǎn)和終點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，易知，，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，B正確；因?yàn)?，所以C正確；因?yàn)?，所以，，所以，D正確.故選：BCD11.已知Р是圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)Q，則（）A.B.直線與圓O相切C.直線與圓O截得弦長(zhǎng)為D.長(zhǎng)最大值為【答案】ACD【解析】【分析】由兩直線垂直的條件判斷A，由圓心到直線的距離判斷B，由到直線的距離結(jié)合勾股定理求弦長(zhǎng)判斷C，求出到圓心的距離的最大值加圓半徑判斷D．【詳解】圓半徑為2，，所以，A正確；圓心到的距離為，與圓相離，B錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)為，C正確；由，得，即，所以，所以長(zhǎng)最大值為，D正確故選：ACD．12.在長(zhǎng)方體中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）A.若是棱上一點(diǎn)，且，則，，，四點(diǎn)共面B.平面截該長(zhǎng)方體所得的截面為五邊形C.異面直線，所成的角為D.若是棱上一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A：為的中點(diǎn)，由等比例性質(zhì)可得，長(zhǎng)方體性質(zhì)有，即可判斷；B：延長(zhǎng)交于，連接交于，連接，根據(jù)平面的基本性質(zhì)作出面截長(zhǎng)方體所得的截面判斷；C：過作交延長(zhǎng)線于，過作交延長(zhǎng)線于，可得異面直線，所成的角為，即可判斷；D：與重合時(shí)到平面的距離最大，延長(zhǎng)交于，并連接，應(yīng)用等體積法求點(diǎn)面距即可.【詳解】A：若為的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)且，易知：，則，為棱的中點(diǎn)，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)有，故，所以，，，四點(diǎn)共面，正確；B：分別延長(zhǎng)交于，連接交于，連接，由A分析知：面即為面，故平面截該長(zhǎng)方體所得的截面為五邊形，正確；C：過作交延長(zhǎng)線于，則，過作交延長(zhǎng)線于，則且，如下圖示，所以異面直線，所成的角為，而，，顯然，故異面直線，所成的角不為，錯(cuò)誤；D：由題設(shè)及A分析，當(dāng)與重合時(shí)到平面的距離最大，所以只需求到面的距離，將延長(zhǎng)交于，并連接，而，所以，則，又，則，故，即到平面的距離最大值為，正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由線線平行判斷四點(diǎn)共面；由平面基本性質(zhì)作截面判斷形狀；將異面直線作平移，找到對(duì)應(yīng)平面角；判斷點(diǎn)面距離最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，應(yīng)用等體積法求距離.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的零點(diǎn)是___．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義解方程可得.【詳解】由得，解得，即的零點(diǎn)為8.故答案為：814.已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為___．【答案】9【解析】【分析】首先設(shè)拋物線的解析式，寫出拋物線的焦點(diǎn)、對(duì)稱軸以及準(zhǔn)線，然后根據(jù)通徑，求出，的面積是與乘積的一半.【詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸為軸，準(zhǔn)線為，直線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，A，B是與的交點(diǎn)，又軸，，，又點(diǎn)在準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P作l的垂線，垂直為D，，.故答案為：9.15.函數(shù)的最大值為___．【答案】【解析】【分析】由題可得，然后分段求函數(shù)的最值即得.【詳解】函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；綜上，函數(shù)的最大值為.故答案為：.16.如圖，點(diǎn)P是半徑為2的圓O上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正方形（頂點(diǎn)A與P重合）沿圓周逆時(shí)針滾動(dòng).若從點(diǎn)A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動(dòng)至使點(diǎn)A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動(dòng)了一輪，則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時(shí)，正方形滾動(dòng)了________輪，此時(shí)點(diǎn)A走過的路徑的長(zhǎng)度為___________.【答案】①.3②.【解析】【分析】將問題化為4和6的最小公倍數(shù)問題求A第一次回到點(diǎn)P的位置正方形滾動(dòng)的輪數(shù)，再求滾動(dòng)1輪點(diǎn)A走過的路徑長(zhǎng)度，即可求此時(shí)A走過的路徑的長(zhǎng)度.【詳解】正方形滾動(dòng)一輪，圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)兩次回到點(diǎn)P時(shí)，正方形頂點(diǎn)將圓周正好分成六等分，由4和6的最小公倍數(shù)：，所以到點(diǎn)A首次與P重合時(shí)，正方形滾動(dòng)了3輪.這一輪中，點(diǎn)A路徑是圓心角為，半徑分別為2，，2的三段弧，故路徑長(zhǎng)，∴點(diǎn)A與P重合時(shí)總路徑長(zhǎng)為.故答案為：3，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將A第一次回到點(diǎn)P位置所滾的輪數(shù)轉(zhuǎn)化為求4和6的最小公倍數(shù)，注意滾動(dòng)一輪A的圓周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)求路徑長(zhǎng).四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①，；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若______.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①②，用基本量法即可求出通項(xiàng)公式，選③，根據(jù)和的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項(xiàng)相消法，即可求解.【小問1詳解】解：若選①，，則，解得，所以；若選②，，則，解得，所以；若選③，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以【小問2詳解】因?yàn)?，所?8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形求出最小正周期可求得，代入點(diǎn)可求得；（2）根據(jù)求得，根據(jù)面積求出，即可由余弦定理求得.【詳解】解：（1）據(jù)圖象可得，故，由得：．由得：．由知，，，解得，；（2），，，，，，由題意得的面積為，解得，由余弦定理得，解得：.19.學(xué)校組織數(shù)學(xué)解題能力大賽，比賽規(guī)則如下：要解答一道導(dǎo)數(shù)題和兩道圓錐曲線題，先解答導(dǎo)數(shù)題，正確得2分，錯(cuò)誤得0分；再解答兩道圓錐曲線題，全部正確得3分，只正確一道題得1分，全部錯(cuò)誤得0分，小明同學(xué)準(zhǔn)備參賽，他目前的水平是：每道導(dǎo)數(shù)題解答正確的概率是；每道圓錐曲線題解答正確的概率為．假設(shè)小明同學(xué)每道題的解答相互獨(dú)立．（1）求小明同學(xué)恰好有兩道題解答正確的概率；（2）求小明同學(xué)獲得的總分X的分布列及均值．【答案】（1）（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）由概率的乘法公式與加法公式求解；（2）分析可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率后得分布列，再由均值的公式求解；【小問1詳解】解：由題意導(dǎo)數(shù)題解答正確的概率是，圓錐曲線題解答正確的概率為，故小明同學(xué)恰好有兩道題解答正確的概率；【小問2詳解】解：由題意得的可能取值為0，1，2，3，5，所以，，，，則的分布列為01235所以；20.如圖，四棱錐中，四邊形為菱形，，且，．

（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證明出平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接，分析得出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，，平面，平面，則，，，平面.【小問2詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，則，且，故為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，由圖可知，二面角為銳角，則二面角的余弦值為.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)（－，0），（，0），點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為C．以軌跡C與y軸正半軸交點(diǎn)T為圓心作圓，圓T與軌跡C在第一象限交于點(diǎn)A，在第二象限交于點(diǎn)B．（1）求C的方程；（2）求的最小值，并求出此時(shí)圓T的方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是軌跡C上異于A，B的一點(diǎn)，且直線PA，PB分別與y軸交于點(diǎn)M，N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值．【答案】（1）（2），（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義和幾何性質(zhì)可得a、c，然后可得；（2）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出所求，然后消元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題可得最小值，再求得點(diǎn)A坐標(biāo)，然后可得；（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，寫出直線PA、PB方程，然后求得M、N坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出所求，然后化簡(jiǎn)可得.【小問1詳解】由題可知，，，即，所以，所以曲線C的方程為.【小問2詳解】由題知，設(shè)，則則又，即所以當(dāng)時(shí)，取得最小值此時(shí)，，所以圓T的半徑所以圓T的方程為：【小問3詳解】設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為可得，所以又，，即，，代入上式可得：，即為定值.22.已知函數(shù).