高中數(shù)學(xué)：6-10平面向量的應(yīng)用（學(xué)案）

第10講平面向量的應(yīng)用

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握利用向量法解決平面幾何中的垂

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能向量方法這一工具解決與平

直、平行、長(zhǎng)度、夾角、面積等問(wèn)題.

面幾何、三角函數(shù)、物理學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題，使得問(wèn)題的

2.掌握利用向量法解決實(shí)際問(wèn)題，如：力

處理簡(jiǎn)便.

的大小、速度、位移、做功等問(wèn)題.

3%知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)

一、向量在平面幾何中的應(yīng)用

1.利用向量研究平面幾何問(wèn)題的思想

向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，因此，用向量解決平面幾

何問(wèn)題，就是將幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問(wèn)題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰,

便于操作.

2.向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用

己知。=。,兇）,6=（孫>2）?

（1）證明線段平行、點(diǎn)共線問(wèn)題及相似問(wèn)題，常用向量共線的條件:

a//b<^>a=Ab<^>x^y2-x2y1=0（6#0）.

（2）證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂

直等，常用向量垂直的條件：

a_Lb=a?b=0<=>+x%=。（其中a,6為非零向量）.

（3）求夾角問(wèn)題，若向量。與b的夾角為利用夾角公式：

（其中a,6為非零向量）.

（4）求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等，可以用向量的模：

2222

Ia|=收+靖，或|A81=|AB|=7（X3-x4）+（y3-y4）（其中A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

別為（毛,%），（占，必）.

（5）對(duì)于有些平面幾何問(wèn)題，如載體是長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐

標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決綜合問(wèn)題.

3.利用向量解決平面幾何問(wèn)題的步驟

（1）建立平面幾何與向量之間的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾

何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究?jī)汉卧刂g的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；

（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

這其實(shí)也是用向量法解決其他問(wèn)題的思路，即從條件出發(fā)，選取基底，把條件翻譯成向

量關(guān)系式（用基底表示其他向量），然后通過(guò)一系列的向量運(yùn)算，得到新的向量關(guān)系式，

則這個(gè)新的向量關(guān)系式的幾何解釋就是問(wèn)題的結(jié)論.

二、向量在物理中的應(yīng)用

向量是在物理的背景下建立起來(lái)的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、

功等都與向量有著密切的聯(lián)系，因此可以利用向量來(lái)解決物理中的問(wèn)題.具體操作時(shí)，

要注意將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系式，通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決，最后用來(lái)解釋物理現(xiàn)象.

1.向量與力

向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒(méi)有共同的作用點(diǎn)，

但是力的三要素是大小、方向和作用點(diǎn)，所以用向量知識(shí)解決力的問(wèn)題，通常要把向量

平移到同一作用點(diǎn)上.

2.向量與速度、加速度及位移

速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算.解決速度、加速度

和位移等問(wèn)題時(shí)，常用的知識(shí)主要是向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，有時(shí)也借助于坐

標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理.

3.向量與功、動(dòng)量

力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積,實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的

數(shù)量積，W=f-s=|F|」s卜cos<9（6>為尸和s的夾角）.

動(dòng)量，“y實(shí)際上是數(shù)乘向量.

【即學(xué)即練1】設(shè)點(diǎn)。是正三角形A3C的中心，則向量AO，B0,0（?是（）.

A.相同的向量B.模相等的向量C.共線向量D.共起點(diǎn)的向量

【答案】B

【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到這三個(gè)向量的模長(zhǎng)相等，而這三

個(gè)向量的方向不同，起點(diǎn)不同，所以它們只有模長(zhǎng)相等的一個(gè)條件成立.

【詳解】O是正A8c的中心，

二向量04，OB,0。分別是以三角形的中心和頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的，

。是正三角形的中心，

.?.o到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,

即|OA|=|OB|=|OC],故選：B.

【即學(xué)即練2】.用力F推動(dòng)一物體水平運(yùn)動(dòng)設(shè)尸與水平面的夾角為。，則對(duì)物體所做

的功為（）

A.\F\-sB.Feos<9C.F-ssin0D.|F|-p|cos6?

【答案】D

【分析】直接用向量的數(shù)量積即可求得.

【詳解】力F對(duì)物體所做的功為W=/7=rH"cose.故選：D.

【即學(xué)即練3】物體受到一個(gè)水平向右的力6及與它成60。角的另一個(gè)力F.的作用.已知耳的

大小為2N,它們的合力戶(hù)與水平方向成30。角，則鳥(niǎo)的大小為（）

A.3NB.局C.2ND.-N

2

【答案】C

【分析】如圖所示，即得解.

【詳解】

由題得Z40B=60,NAOC=30，所以ZBOC=NBCO=30,所以08=3C,

所以|加H/I，所以K和耳大小相等，都為2N.故選：C

【即學(xué)即練41在A3C中，ABCB<0,貝UA3C的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

【答案】B

【分析】由A8-CB=|A8|?|CB|cos8<0,可得cosB<0,分析即得解

【詳解】由題意,ABCB^AB\\CB\cos<AB,CB>=\AB\\CB\cosB<0

:.cosB<0,乂Bw（0,乃）.-.B為鈍角.則ABC的形狀是鈍角三角形.故選：B

【即學(xué)即練5】如圖所示，若。是內(nèi)的一點(diǎn)，且求證：ADA.BC.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】設(shè)。工，」=。a］，A=才，根據(jù)向量加法得

計(jì)算＞-L結(jié)合條件可得＞：=［，，即可證明.

【詳解】設(shè)備=/AC=b＞AD=e^而工，BC=3貝**，E7,

所以藍(lán)-產(chǎn)G+X+，)2=＞+2cW-廣

由條件知:W斗滔所以7/：才，即：(K力=0,即加a=0,所以A。，

BC.

【即學(xué)即練6］已知AB=(4,3),BC=(〃?,2),當(dāng)實(shí)數(shù)，”為何值時(shí)，“A8C為等腰三角形？

【答案】a=T,—即,±后

O

【分析】首先根據(jù)題意求出AC=(4+肛5),進(jìn)而求出,目,,。,卜4,然后分類(lèi)討論

|AB|=|BC|,|AB|=|AC|,|BC|=|/IC|,分別列出方程，求解即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳B=(4,3),8C=(肛2),所以AC=A8+8C=(4,3)+(%,2)=(4+,〃,5),

則網(wǎng)=5,忸牛d府+4,“卜J(4+〃?y+25,若|叫=,4,則5=，＞+4,即機(jī)=±百;

若卜用=卜4,則5=44+.)2+25,即，yT；若|BC卜則〃2+4=44+〃?)2+25，

37

gp^=--.

綜上：，”的取值為-4,-名,土歷.

O

Q能力拓展

考法01

1.平面幾何中的垂直、平行問(wèn)題

對(duì)于線段垂直問(wèn)題，可以聯(lián)想到兩個(gè)向量垂直的條件(向量的數(shù)量積為0),而對(duì)于這

一條件的應(yīng)用，可以考慮向量關(guān)系式的形式，也可以考慮坐標(biāo)的形式.

【典例1】求證：直徑所對(duì)的圓周角為直角.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】

設(shè)圓心為。，圓半徑為r,4?是圓的一條直徑，點(diǎn)C是圓上不同于A,B的點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算

CACB=0即可求證.

【詳解】證明：如圖，設(shè)圓心為O,圓半徑為，A5是圓的一條直徑，點(diǎn)C是圓上不同于A,

3的一點(diǎn)，則ZACB是宜徑A3所對(duì)的圓周角.

由CA=CO+OA,CB=CO+OB，其中04+08=0，

得C4CB=(CO+OA)(CO+OB)=CO，+CO(OA+OB)+OAOB=產(chǎn)-產(chǎn)=0.

則C4_LC3,即NACB為直角.

所以直徑所對(duì)的圓周角為直角.

【典例2］如圖，已知A。,BE,CF是ABC的三條高，且交于點(diǎn)0,DGLBE于點(diǎn)G,

DH1.CF于點(diǎn)H,求證：HG//EF.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】先由題意，得到G￡j〃AE,設(shè)04=20萬(wàn)(/1X0),根據(jù)三角形相似，推出AE=2Dd，

AF=ADH，再由向量的線性運(yùn)算，得到FE=4HG，即可得出結(jié)論成立.

【詳解】證明：由題意，DG工BE，AELBE，：-GD"AE.

設(shè)OA=/IOD(2HO),則AE=/IDG.

同理A尸=義?！?

于是FE=AE-AF=A.(DG-DH)=AHG.

:.FE//HG,:.HG//EF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的應(yīng)用，熟記向量的共線定理，以及向量的線性運(yùn)算法則即可,

屬于?？碱}型.

【典例3］已知A(l,2),B(4,0),C(8,6),￡>(5,8),判斷由此四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的形狀.

【答案】矩形

【分析】根據(jù)通=反可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)茄.明=0可得四邊形為矩形.

【詳解】因?yàn)锳8=(4,0)-(1,2)=(3,-2),OC=(8,6)-(5,8)=(3,-2),

所以AB=OC，所以四邊形ABC。是平行四邊形.

因?yàn)?(5,8)-(1,2)=(4,6)，所以AB?AO=3x4+(-2)x6=0,

所以AB_LAO,所以四邊形ABC。是矩形.

因?yàn)閨AB|=JiQ.14。|=2V13,|AB\A4。I,所以四邊形ABC。不是正方形.

綜上,四邊形A3CO是矩形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用向量共線與垂直的應(yīng)用，屬于中等題型.

【典例4】如圖，在正方形A8C。中，E,F分別是AB,3c的中點(diǎn)，求證：AFLDE.

【答案】證明詳見(jiàn)解析.

【解析】方法一設(shè)A￡)=a,A3=》，則|。|引力,。/=0,

又￡>E=ZM+AE=-a+g,AF=AB+BF=b+^,

所以A尸?。后=3+2>(-0+2)=-!，-3°/+工=-」|<1|2+_1傳|2=0

2224222

故AFLOE，WAFLDE.

方法二如題圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,

則A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),所以AF=(2,1),OE=(1,-2).

因?yàn)锳FOE=(2,l)?(l,-2)=2-2=0,所以AF_LOE，即AF_LD￡

【名師點(diǎn)睛】用向量法解決平面幾何問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩個(gè)方向：

(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向

量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；

(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的長(zhǎng)度、垂直、平

行等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.

一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法.

考法02

2.平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題

平面幾何中求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題，在向量中就是求向量的模的問(wèn)題，可適當(dāng)構(gòu)造向

量，利用向量知識(shí)求解.

【典例5】若平行四邊形兩鄰邊的長(zhǎng)分別是46和46，它們的夾角是45。，則這個(gè)平行四

邊形較長(zhǎng)的那條對(duì)角線的長(zhǎng)是.

【答案】4715

【分析】先利用題中的條件和兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出及AB-AD?的值，再

根據(jù)AC=|AC卜=J（A8+AO『,求出AC的值.

【詳解】如圖所示：設(shè)平行四邊形AB8中，AB=4娓,AD=4也,NBAD=%則AC

4

為平行四邊形中較長(zhǎng)的對(duì)角線，由于AC=AB+AO，0.AB2=96-AD2=48-

AB-AD=4>/6x4A/3COSABAD=48.

AC=|AC|=JA?=&AB+AD）'=\lAB2+AD2+2ABAD=，96+48+2x48

=7240=4^,故答案為4后.

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，向量在幾何中的應(yīng)用，求向量的模的方法，

體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

【典例6]如圖，平行四邊形ABCO中，已知AD=1,AB=2,對(duì)角線BD=2,則對(duì)角線AC

的長(zhǎng)為.

【答案】x/6

【解析】設(shè)AO=a,AB=/>,則8。=。一"AC=a+/>.

.".\BD\=\a-h|=7la|2-2a-b+\b\2=Jl+4-2a-b=^5-2ab，

：.\BD|2=5-2a/>=4,：.2ab=l.

：.\AC\=\a+b|=7l?|2+2ab+\b^=y]5+2a-b=46,即AC=指-

【名師點(diǎn)睛】用向量法求平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題，即向量長(zhǎng)度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選

擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，利用公式求解；二是建立平面直角坐標(biāo)系，確定相

應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式求解，即若a=（x，y），則|a|=&2+y2.

考法03

3.平面幾何中的夾角問(wèn)題

【典例7】等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為（）

【答案】A

【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐

標(biāo)系，設(shè)A（2a,0）,B（0,2a）,則尸（a,0）,E（0,“），；.AE=（-2a,a）,BF=（a,-2a）.設(shè)向量

的夾角為。，

【名師點(diǎn)睛】根據(jù)己知建立平面直角坐標(biāo)系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為X

軸和y軸，分別設(shè)出三角形頂點(diǎn)和兩直角邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入坐標(biāo)求解兩中線所對(duì)應(yīng)的向

量的數(shù)量積和模，進(jìn)而求得夾角的余弦值.

【典例8】在四邊形ABC。中，已知A（0,0）,8（4,0）,C（3,2）,￡>（1,2）.

（1）判斷四邊形A8CD的形狀；

（2）若AE=2EC，求向量EB與EC夾角的余弦值.

【答案】（1）四邊形A38是等腰梯形.（2）福

【分析】（1）由題可得A8=2OC,且|而|=|明，即可判斷四邊形的ABCD的形狀;

x=2

(2)設(shè)E(x,y),AE=(x,y),EC=(3—x,2-y),由AE=2EC可得，4,即可求得EB和EC,

進(jìn)而求解即可.

【詳解】（1）由題，因?yàn)閆>C=（2,0）.AB=（4,0）,所以A》=2DC,

又因?yàn)椴?=5/1再=右,[84=/3-4）2+4=6,所以四邊形/188是等腰梯形

（2）設(shè)E（x,y）,所以AE=（x,y）.EC=（3-x,2-y）,

因?yàn)檐?2『；二歲》解得二，所以叫2聞衣

EBEC二乙§5

設(shè)向量EB與EC夾角為氏則cos0網(wǎng)?回廣+[丘

故向量EB與EC夾角的余弦值為《

【點(diǎn)睛】本題考查向量在幾何上的應(yīng)用，考查向量的夾角，考查運(yùn)算能力.

考法04

4.平面向量在物理中的應(yīng)用

【典例9】河水的流速為2m/s,一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度駛向?qū)Π?

則小船的靜水速度為（）

A.10m/sB.2\/26m/sC.4\/6m/sD.12m/s

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得到匕=U-HWM=0,結(jié)合向量的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】設(shè)河水的流速為匕，小船在靜水中的速度為匕，船的實(shí)際速度為丫，

則同=2,問(wèn)=10Q_LH,1/=匕+匕，所以％=吁匕,丫?匕=0,

所以問(wèn)="?—2>/+匕2=2>/^（mis）,即小船在靜水中的速度大小為故選:

B.

【典例10】若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到同一平面內(nèi)三個(gè)力耳，F(xiàn).5的作用，其中閨|=2N,方

向?yàn)楸逼珫|30。；|E|=4N方向?yàn)楸逼珫|60。；|瑪|=6N,方向?yàn)楸逼?0。建立如圖所示的

平面直角坐標(biāo)系，則合力F=.

【答案】（2癢2,2+4?。?/p>

【分析】分別求出耳，尸2,月的坐標(biāo)，即得合力F.

【詳解】

由題圖可知月=(1,6),F,=(2>/3,2),招=(—3,3g),

所以尸=月+工+居=(26-2,2+46).

故答案為(26-2,2+4石)

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的物理應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

【典例11】?jī)蓚€(gè)力耳=，?+/,瑪=4i—5J作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)4(20,15)移動(dòng)到

點(diǎn)8(7,0)(其中i、j分別是x軸正方向、)，軸正方向上的單位向量，力的單位：N,位移

的單位：m).求：

(1)￡，居分別對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功；

(2)￡,鳥(niǎo)的合力尸對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功.

【答案】(I)耳對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功為-28(N-m),居對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功23(N.m);

(2)-5(N-m).

【解析】

(1)根據(jù)題意，求出位移AB，結(jié)合功的計(jì)算公式，即可求解；

(2)根據(jù)題意，求出合力尸，結(jié)合功的計(jì)算公式，即可求解.

(1)

UUH

根據(jù)題意，4=i+j=(l,l),f；=4/-5；=(4,-5),A3=(T3,T5),

故片對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功叱=丹?=-13-15=—28(N.m)；

入對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功%=￡-A8=T3X4-15X(-5)=23(N-m).

(2)

根據(jù)題意，￡,乙的合力/=4+6=(5,7),

故”，用的合力戶(hù)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功W=QAB=5X(_13)-4X(T5)=-5(N-m).

【典例12］如圖所示，一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力耳，F(xiàn)2,居的作用，沿北偏東45的

方向移動(dòng)了8m,其中閔=2N,方向?yàn)楸逼珫|30;|同=4N,方向?yàn)楸逼珫|60；閭=6N,

方向?yàn)楸逼?0,求合力廠所做的功.

【答案】24向

【解析】

【分析】

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，求出E，E，耳以及位移G的坐標(biāo)，進(jìn)而可得合力尸=6+5+鳥(niǎo)

的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算W=F-s即可求解.

【詳解】

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意可得6=(1,G)，E=(26,2),鳥(niǎo)=(一3,36)，位移s=k點(diǎn),4忘)，

所以尸=片+鳥(niǎo)+工=(26-2,2+46),

所以合力廠所做的功為卬=尸7=(26-2卜4a+(2+46b4夜=24向，

考法05

5.利用向量解決其他問(wèn)題

【典例13】已知A,8是圓心為C,半徑為右的圓上的兩點(diǎn)，且|AB|=石，則

ACCH=.

【答案】-：

2

【分析】

根據(jù)求得NAC8=6O,結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，圓C的半徑為石，且,身=逐，可得48=60,

所以AC.CB=C8=-|G4HC@COSZACB=_6xbxg=_|.

故答案為：-2.

2

【典例14】在四邊形ABCZ)中，已知A8=(4,-2),AC=(7,4),人。=(3,6),則四邊

形ABCD的面積是.

【答案】30

【分析】

先證明四邊形A8c。為矩形，然后即可求出面積.

【詳解】

BC=AC-AB=[3,6)=AD,又因?yàn)?C=(4,-2>(3,6)=0

所以四邊形A8CQ為矩形，所以卜@=,2+(-2『=2/」8C卜，3?+62=3百

所以5=網(wǎng).|叫=2石x3石=30.

故答案為：30.

【典例15】若一個(gè)四邊形以。(0,0)、A(2,0),8(3,3)、C(0,l)四點(diǎn)為頂點(diǎn)，則這個(gè)四邊形

(選填“是”或“不是”)梯形.

【答案】不是

【分析】

根據(jù)題設(shè)，得到OCHAB，且OAHCB，即可得到答案.

【詳解】

由題意，四邊形以0(0,0)、A(2,0),8(3,3)、C(0,l)四點(diǎn)為頂點(diǎn)，

由OC=(0,1),4B=(1,3),所以°C與A8不共線，即4B與OC不平行；

由04=(2,0),CB=(3,2),所以。4與C2不共線，即OA與CB不平行；

由OB=(3,3),AC=(-2,1),所以08與AC不共線，即OB與AC不平行，

所以這個(gè)四邊形不是梯形.

故答案為：不是.

【典例16】點(diǎn)。是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足。==，則點(diǎn)O

是MBC的心.

【答案】垂

【分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可整理出0a。4=0，即OBLAC；同理可得OALBC,

OC_LAS,由乖心定義可知。為垂心.

【詳解】

OAOB=OBOC.-.(OA-OC)(9B=0,即gCA=0

:.OBLAC

同理可得：OALBC,OCYAB

???點(diǎn)。為AABC的垂心

本題正確結(jié)果：垂

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形垂心的判斷，關(guān)鍵是能夠通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算律整理出垂直關(guān)系.

【典例17】已知位置向量”=（0,-1）力=（3,—3）,。=（2,2）的終點(diǎn)分別為人.8,（7,試判斷入4次7

的形狀.

【答案】A/WC為等腰直角三角形

【分析】

根據(jù)題意可設(shè)OA=a=（0,-1）,。8=。=（3,-3）,OC=c=（2,2）,根據(jù)平面向量的加法兒何意

義可以求出A8,4C,求出它們的模以及計(jì)算出它們的數(shù)量積，最后可以判斷出A43C的形狀.

【詳解】

OA=a=（0,-l）,OB=6=（3,—3）,OC=c=（2,2）,AB=AO+OB=（3,-2）,

AC=AO+OC=（2,3）.|AB|=^32+（-2）2=V13,AC=V22+32=V13

43-AC=0nAB_LAC,所以AABC為等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用平面向量的模和平面向量的數(shù)量積判斷三角形形狀問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1

1.在Rf-A8C中，斜邊3c長(zhǎng)為2,O是平面A8C外一點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=OA+］（A8+AC）,

則IAP|等于（）

A.2B.1C.gD.4

【答案】B

—?1一__

【分析】利用向量的減法可得4P=5（AB+AC）,從而可得AP為RJA3C斜邊BC的中線，

即可求解.

【詳解】°尸=%+劍3+/）’—；（皿4AP《M+AC）,

.?.4/5為必_43。斜邊8（7的中線，，|42|=1.故選：B.

2.某人順風(fēng)勻速行走速度大小為“，方向與風(fēng)向相同，此時(shí)風(fēng)速大小為丫，則此人實(shí)際感到

的風(fēng)速為（）

A.a-vB.\）-a

C.a+vD.v

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則及速度的合成，即可求解.

【詳解】由題意，某人順風(fēng)勻速行走速度大小為a，方向與風(fēng)向相同，此時(shí)風(fēng)速大小為v，

根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得此人實(shí)際感到的風(fēng)速為a-v.

故選：A.

3.在四邊形45CO中，AB^DC＞且|AB|=|8C|,那么四邊形為（）

A.平行四邊形B.菱形C.長(zhǎng)方形D.正方形

【答案】B

【分析】由向量相等可知四邊形ABCD為平行四邊形，由向量模長(zhǎng)相等可知鄰邊長(zhǎng)相等，知

四邊形為菱形.

uuuuum

【詳解】QAB=DC，：.ABHCD,AB=C。，.?.四邊形ABC。為平行四邊形，

又.■.平行四邊形A3。為菱形.

故選：B.

4.長(zhǎng)江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行

速度匕的大小為M=10km/h,水流的速度匕的大小為悶=4km/h.設(shè)片和彩的夾角為

。（0＜夕＜180）,北岸的點(diǎn)A在A的正北方向，則游船正好到達(dá)4處時(shí)，cos6=（）

A.叵B.一囪C,2D.二

5555

【答案】D

【分析】設(shè)船的實(shí)際速度為v,根據(jù)題意作圖，設(shè)匕與南岸上游的夾角為a,由題意可得cosa

的值，再計(jì)算cos6=cos（兀-a）的值即可.

【詳解】設(shè)船的實(shí)際速度為v，片與南岸上游的夾角為如圖所示，

嶺4_2

要使得游船正好到達(dá)A處，則Mcosa=M，即cosa=——

TO-5

乂因?yàn)橄?兀一二，所以cos6=cos（兀一a）=-cosa=——,

故選：D.

5.已知菱形A8CO中，AC=2近,BD=2,點(diǎn)E為CD上一點(diǎn),且C￡=2即，則NAE8的

余弦值為（）

A.型B.史C.|D.3

5523

【答案】D

【分析】設(shè)AC與即交于點(diǎn)0,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，所在的直線分別為x,y軸建

立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式可得答案.

【詳解】設(shè)AC與8。交于點(diǎn)。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,3D所在的直線分別為X,y軸建

立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則點(diǎn)A（也0）,8（0,1）,E~|，

硝」35)EAEB2yfi

/.EA='EB-\~'3\則cosZ.AEB=

U,3,|EA||EB|~2yf3~3，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是建立平面直角坐標(biāo)系，考查了學(xué)

生的計(jì)算能力.

6.小船以10gh”/h的靜水速度按垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為105〃h.則

小船實(shí)際航行速度的大小為（）

A.206kmlhB.20km/hC.igkm/bD.\0km/h

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作出圖示，然后根據(jù)垂直位置關(guān)系對(duì)應(yīng)的勾股定理求解出小船的實(shí)際航行

速度.

【詳解】如圖，設(shè)船在靜水中的速度為片=l（）Gb〃//?,河水的流速為丹=10機(jī)/力.

水流的速度為匕，則由片+片=說(shuō)，得（1。6丫+1（）2=4，

.-■vo=±20,取%=20加》/〃,即小船實(shí)際航行速度的大小為20初1/〃.

故選：B.

7.若平面四邊形48co滿(mǎn)足48+CD=0,(A8-40在AC方向上的數(shù)量投影是0,則該四

邊形一定是()

A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】C

【分析】首先根據(jù)向量相等判斷四邊形為平行四邊形，再根據(jù)投影為零得到對(duì)角線互相垂直,

即可判斷；

【詳解】因?yàn)锳B+CD=0,所以AB=DC，所以平面四邊形ABCD為平行四邊形，

又(AB-AD)在前方向上的數(shù)量投影是0,即麗?恁=0，即麗J.AC，

所以平行四邊形A3CD為菱形.故選：C

8.已知三個(gè)力工=(-2,-1),人=(-3,2),力=(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體

保持平衡，現(xiàn)加上一個(gè)力力，則力等于()

A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)

【答案】D

【分析】根據(jù)合外力為零，4個(gè)向量相加等于零向量求解即可.

【詳解】為使物體平衡，則合外力為零，即4個(gè)向量相加等于零向量，

因?yàn)楣?(-2,-1),￡=(-3,2),￡=(4,一3),所以￡=(0-(-2)_(_3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,

2).

故選：D.

32

9.已知點(diǎn)尸是一ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若AP==BC-；BA,則J3C與一43C的面積比為

43

()

A.-B.；C.-D.-

3234

【答案】A

【分析】假設(shè)-ABC是等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系，求得尸點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得

P3C與，ABC的面積比.

【詳解】假設(shè),ABC是等腰直角三角形，且A是直角，AB=AC=2,

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y),則8(0,2),C(2,0).BC=(2,-2),8A=(0,—2),

37323」

依題意=即（x,y）=j（2,-2）-］（O,-2）=

2，-6

SAPC=JX2X2=2，

occ1_11-_1-31-32

PAC4-^e=—x2x—+—x2x2--x2x—=—+2--=—.

2O222o23

2

所以一相。與ABC的面積比為3_1?故選：A

~2~3

10.在日常生活中，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重

E

力為G，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為上，F(xiàn)2,且MI=WI，石與的夾角為。，下

列結(jié)論中正確的是()

A.。越小越費(fèi)力，。越大越省力B.。的范圍為［0,可

當(dāng)”暫時(shí)，同=恂

C.當(dāng)"1時(shí)，闿=向D.

【答案】D

【分析】根據(jù)忖=|耳+可為定值，求出忻卜再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析、判斷即可.

2（14-COS6)

【詳解】對(duì)A,忖=%+用為定值，."G『=K+同+2同x閭xcos9=2W『(l+cos6),

解得：同2=2(*8)；由題意知：6?0㈤時(shí)，y=cos。單調(diào)遞減，.?.忻『?jiǎn)握{(diào)遞增,

即。越大越費(fèi)力，。越小越省力，故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,當(dāng)仇:萬(wàn)時(shí)，片+瑪=0不滿(mǎn)足題意，故B錯(cuò)誤;

當(dāng)。=三時(shí)小中等忖

對(duì)C,故C錯(cuò)誤:

對(duì)D,當(dāng)6=杏時(shí)，㈤MM，二閭=忖，故D正確.故選：D.

11.已知點(diǎn)0、N、P在43C所在平面內(nèi)，且|0A|=|0B|=|0C|,NA+NB+NC=0,

防防=法.品=蹙.防，則點(diǎn)0、MP依次鼠鉆。的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心

【答案】C

【分析】由10A|=|081=|0cl知。是一ABC的外心；利用共起點(diǎn)向量加法將NA+NB+NC=U

變形為共線的兩向量關(guān)系，得到N點(diǎn)在中線上的位置，從而判斷為重心；由P4PC

移項(xiàng)利用向量減法變形為P8-C4=0，得出PB為CA邊上的高，同理得PC為AB邊上的高,

故為垂心.

【詳解】則點(diǎn)。至的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，是14SC的外心.

NA+NB+NC=0，:.NA+NB=-NC，

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,則2NM=-NC，由此可知N為AB邊上中線的三等分點(diǎn)（靠近中點(diǎn)

M）,所以N是A8C的重心.PAPB=PBPC，:.PB（PA-PC）=PBCA=0.

即PB_LCA，同理由PB，C=PCPA，可得PC_L4B.所以/'是；ABC的垂心.故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)于4ABe四心的向量關(guān)系式：

2

0是ABC的外心o|0/11=|OB|=|OC|o3?=OB=oc、

。是ABC的重心o0A+08+0C=0；

。是ABC的垂心OOA.OB=OBOC=OCQ;

。是ABC的內(nèi)心=aOA+AOB+cOC=0.（其中a、b、c為.ABC的三邊）

12..如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為400米，一艘船從河岸的A地出發(fā)，向河對(duì)

岸航行.已知船的速度匕的大小為時(shí)=8km/h,水流速度匕的大小為M|=2km/h,船的速

度與水流速度的合速度為v，那么當(dāng)航程最短時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.船頭方向與水流方向垂直B.cos<v?v2>=-l

C.|v|=2V17km/hD.該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為3分鐘

【答案】B

【分析】分析可知嶺，當(dāng)船的航程最短時(shí)，vlv2,利用平面向量數(shù)量積可判斷ABC

選項(xiàng)的正誤，利用路程除以速度可得航行時(shí)間，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】由題意可知，丫=匕+嶺，當(dāng)船的航程最短時(shí)，v±v2,而船頭的方向與匕同向，

V,-V1

由八彩二（匕+匕）,匕=匕+%2=0，可得匕?%=-%2=-4.cos<vi'v2>=rTn2=-7A

\W\4

選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確;

22

|v|=|^+v,|=+嶺)=+2v(-v2+v,=,4-2x4+64=2-715(km/h)>C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為60*4=生叵（分鐘），D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2V155

故選：B.

題組B能力提升練

|UUD|

1.在平面上，AB±AB,|oB,j=|(9B|=l]＜；,則|。4的取值范圍是

l22)AP=ABy+AB2.^\OP\

()

【答案】D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出。點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y），根據(jù)已知條件求得+的取值

范圍，也即求得的取值范圍.

【詳解】

根據(jù)條件知A，Bl.P,&構(gòu)成一個(gè)矩形ASP比，以AS,A比所在直線為坐標(biāo)軸建立直角

坐標(biāo)系，如圖設(shè)|A8i|=m|A&|=b,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（x,y）,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（小b）,

4g,（）"（。力）.

lUUlTilUULri(x-a)2+y2=1(x-a)2=1-y2

由I。⑷=1。因=1則＜

x2+(y-b)2=1(y-b)2=\-x2

IuunIi、i]1o7_

又由|0P卜5，^(x-?)'+(y-Z>)-<-,貝即x2o+y2>:①.

又（x-ay+V=1,x2+y2+a2=1+2ax＜1+a2+x2,則

同理由/+（＞—⑨2=i,得/4I,即有丁+942②.

由①②知2M2,所以?＜正+＞24企

而畫(huà)="77,所以咚＜性卜0.

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用坐標(biāo)法求解平面幾何問(wèn)題，屬于中檔題.

TT

2.如圖，在△ABC中，ZBAC=-,AD=2DB，尸為CO上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

-1一，、

AP=mAC+-AB（me/i）,若AC=3,AB=4,則AP-CO的值為（）.

【答案】C

13

【分析】由AO=2￡)B及4P="?AC+5A8(，〃eR),將AP=，〃AC+JAZ)(〃?eR)由三點(diǎn)共

線可求的值，再用AB、AC衣示CD，進(jìn)而求AP-CZ)即可

1221

【詳解】VAP=mAC+-AB(meR)fAD=2DB，BPAD=-ABS.CD=-CB-^--CA

：.AP=mAC+-AD(ineR),又C、P、O共線，有"?+3=l,即根=」

444

即AP=!AC+：AB.lfiiCB=CA+AB

42

2122

，CD^-（CA+AB）+-CA=CA+-AB=-AB-AC

3333

???APCD=（-AC+-AB）（-AB-AC）=-AB~--ABAC--AC2=--2--=—

4233343412

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了由向量的幾何應(yīng)用求向量的數(shù)量積，首先應(yīng)用定比分點(diǎn)結(jié)合向量的加法

法則求參數(shù)值，由向量加法的幾何意義用己知向量表示目標(biāo)向量，最后求向量的數(shù)量積.

3.已知AABC外接圓的圓心為0,半徑為2,OA+A8+AC=0且|。川=|人耳，則向量C4在C8

方向上的投影的數(shù)量為（）

A.^3B.3C.D.-3

【答案】A

【分析】由OA+A8+AC=0知四邊形M0C為平行四邊形，再證明AQ4B是正三角形，從

而推出四邊形A80C是邊長(zhǎng)為2的菱形，代入投影計(jì)算公式即可求得答案.

【詳解】如圖，

VOA+AB+AC=0>AOB+AC=0<OB=CA，二四邊形A80C為平行四邊形.

又。為A4BC外接圓的圓心，且|ABR0A|=2,二記是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

???平行四邊形480C是邊長(zhǎng)為2的菱形且NABO=60°.，|CA|=2,ZACB=30=.

故向量CA在CB方向上投影的數(shù)量為ICA\cos〈C4,CB〉=2xcos300=#）.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本運(yùn)算，平面向量共線的性質(zhì)，菱形的證明，向量投影的求法,

屬于中檔題.

4.（多選題）設(shè)點(diǎn)M是A5C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若AB-8C=8CCA=C4A8,貝/ABC的形狀為等邊三角形

B.若AM=!A8+!AC,則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)

22

C.過(guò)M任作一條直線，再分別過(guò)頂點(diǎn)4,B,C作/的垂線，垂足分別為。，E,F,若

AO+BE+C尸=0恒成立，則點(diǎn)M是.A8C的垂心

D.若AN=2A8-AC,則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上

【答案】AB

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，以及數(shù)量積運(yùn)算，一一判斷即可.

【詳解】對(duì)于選線A,如圖作BC的中點(diǎn)。，連接A。，

由我.潴=潴遇，^BC\AB-CA）=BC\AB+AC]=2BCAD=Q,

即3C_LAQ,結(jié)合三角形性質(zhì)易知，AB=AC,

同理A3=3C,BC=AC,故ABC的形狀為等邊三角形，故A正確：

又寸于選項(xiàng)B>由AM=—ABH—AC,得—AM—AB=—AC—AM,i!|jBM=MC>

222222

因此點(diǎn)M是邊8c的中點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,如圖當(dāng)/過(guò)點(diǎn)A時(shí)，AD=O.

由AO+BE+C/=0,得BE+CF=0,則直線AM經(jīng)過(guò)8c的中點(diǎn)，

同理直線經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)，直線CM經(jīng)過(guò)A8的中點(diǎn)，因此點(diǎn)何是ABC的重心，故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,由AN=2AB-AC，AN-AB=AB-AC，即BN=C2，因此點(diǎn)M在邊CB的

延長(zhǎng)線上，故D錯(cuò).故選：AB.

5.（多選題）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小

船勻速靠岸過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.繩子的拉力不斷增大B.繩子的拉力不斷變小

C.船的浮力不斷變小D.船的浮力保持不變

【答案】AC

【分析】設(shè)水的阻力為/,繩的拉力為尸，