高中數(shù)學必修-第二章《數(shù)列》復習知識點總結與練習(一)

高中數(shù)學必修5—第二章《數(shù)列》復習知識點總結與練習（一）

一.數(shù)列得概念與簡單表示法

知識能否憶起

1.數(shù)列得定義、分類與通項公式

（1）數(shù)列得定義：

①數(shù)列:按照一定順序排列得一列數(shù).

②數(shù)列得項:數(shù)列中得每一個數(shù).

（2）數(shù)列得分類：

分類標準類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)有限

項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限

遞增數(shù)列

項與項間得其中

遞減數(shù)列

大小關系

常數(shù)列—dn

（3）數(shù)列得通項公式：

如果數(shù)列｛〃“｝得第〃項與序號且之間得關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這

個數(shù)列得通項公式.

2.數(shù)列得遞推公式

如果已知數(shù)列［為,）得首項（或前幾項）,且任一項小與它得前一項或前幾項）間

得關系可用一個公式來表示，那么這個公式叫數(shù)列得遞推公式.

1、對數(shù)列概念得理解

（1）數(shù)列就是按一定“順序”排列得一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構成它得“數(shù)”有關，而且

還與這些“數(shù)”得排列順序有關，這有別于集合中元素得無序性.因此，若組成兩個數(shù)列得數(shù)

相同而排列次序不同，那么它們就就是不同得兩個數(shù)列.

（2）數(shù)列中得數(shù)可以重復出現(xiàn)，而集合中得元素不能重復出現(xiàn)，這也就是數(shù)列與數(shù)集得區(qū)

別.

2.數(shù)列得函數(shù)特征

數(shù)列就是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它得有限子集｛1,2,3,…,〃｝）得特殊函數(shù)，數(shù)列得通

項公式也就就是相應得函數(shù)解析式，即火〃）=斯（"CN"）.

3、考點

（一）由數(shù)列得前幾項求數(shù)列得通項公式

［例1］（2012?天津南開中學月考）下列公式可作為數(shù)列｛斯｝:1,2』,2,1,2,…得通項公式得

就是（）

（一1）"+1

A.“"=1'"=2

C.an—2—sin爹D.an=----------

［自主解答］由〃"=2—sin期可得0=1,例=2,

43=104=2,…、

［答案1c

由題悟法

1.根據(jù)數(shù)列得前幾項求它得一個通項公式，要注意觀察每一項得特點，觀察出項與〃之間

得關系、規(guī)律,可使用添項、通分、分割等辦法，轉化為一些常見數(shù)列得通項公式來求.對于正

負符號變化，可用(一1)"或(一1)"+1來調整.

2.根據(jù)數(shù)列得前幾項寫出數(shù)列得一個通項公式就是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到

一般”得思想

以題試法

寫出下面數(shù)列得一個通項公式.

(1)3,5,7,9,…；

(V、-\-3--7--1-5-3-1????

(勿248"6'37‘

(3)3,33,333,3333,-;

/八，31313

(4)一一予不一的…、

解:(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以如=2〃+1、

2”—1

(2)每一項得分子比分母少1,而分母組成數(shù)列2i'2223-24,…，所以斯=-?歹、

999goo9999

(3)將數(shù)列各項改寫為京于丁.丁,…，分母都就是3,而分子分別就是10-1,102-1,103

一1』。4一［,…、

所以a?=1(10H—1).

(4)奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式得符號為(-1)”;各項絕對值得分母組成數(shù)列

1,2,3,4,…;而各項絕對值得分子組成得數(shù)列中，奇數(shù)項為1,偶數(shù)項為3,即奇數(shù)項為2—1,偶數(shù)

項為2+1,

2+(—IV'

所以?,,=(-1)"■—:工,也可寫為

r_l

n

〃為正奇數(shù)

an=<

3

n

、〃為正偶數(shù)、

(二)由an與S“得關系求通項a?

已知數(shù)列｛四｝得前n項與S,,求數(shù)列得通項公式，其求解過程分為三步：

(1)先利用ai=Si求出m;

(2)用?-1替換中得〃得到一個新得關系，利用如=5“一S“T(〃》2)便可求出當“22

時4"得表達式；

(3)對”=1時得結果進行檢驗,瞧就是否符合“22時即得表達式，如果符合，則可以把數(shù)

列得通項公式合寫;如果不符合，則應該分“=1與”》2兩段來寫.

［例2］已知數(shù)列｛斯｝得前〃項與S”,根據(jù)下列條件分別求它們得通項引、

(I)S"=2〃2+3〃;(2)Sn=3"+1、

［自主解答］(1)由題可知，當n=l時MI=5I=2X12+3XI=5,

當時，斯=5“一SI=(2〃2+3〃)一［2(〃-1)2+3(〃―1)］=4〃+1、

當〃=1時,4X1+1=5=0,故%=4”+1、

(2)當n=l時,ai=Si=3+l=4,

當心2時，

如=S”-S,i=(3"+1)—(31+1)=2X3廣1、

當〃=1時,2X3Li=2/0,

一4

it—1

故如=〈,

2X3”r

、“N2、

以題試法

(2012?聊城模擬)已知數(shù)列｛斯｝得前n項與為S〃，且S〃=U1則2=()

AN7B、/

65

C、京D.30

解析:選D當"》2時,a"=S"一一一｝=〃(〃+1)'則a5=5X6=30'

(三)數(shù)列得性質

［例3］已知數(shù)列｛〃“｝得通項公式為%=層一21〃+20、

(1)〃為何值時,斯有最小值？并求出最小值;

(2)〃為何值時，該數(shù)列得前〃項與最小？

［自主解答］(1)因為a“=〃2—21〃+20=(〃一?2一駕■，可知對稱軸方程為n=y-=10,

5,又因"GN',故”=10或〃=11時，%有最小值，其最小值為112-21X11+2O=-9O.

(2)設數(shù)列得前n項與最小，則有如<0,由〃2—21”+20<0,解得1W/W20,故數(shù)列｛”“｝從第

21項開始為正數(shù)，所以該數(shù)列得前19或20項與最小.

由題悟法

1.數(shù)列中項得最值得求法

根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間得對應關系，構造相應得函數(shù)斯=加7),利用求解函數(shù)最值得方法求

解，但要注意自變量得取值.

2.前〃項與最值得求法

(1)先求出數(shù)列得前n項與根據(jù)S“得表達式求解最值；

⑵根據(jù)數(shù)列得通項公式，若且冊+1<0,則S”最大;若處“WO,且則S"最小，這

樣便可直接利用各項得符號確定最值、

以題試法

3.(2012?江西七校聯(lián)考)數(shù)列｛〃“｝得通項為=〃2:90,則數(shù)列｛斯｝中得最大值就是()

A.3V10B.19

C±19D口、?60

解析:選Can——焉，由基本不等式得,一而，由于"WN*,易知當〃=9或10時,如

最大.

二.等差數(shù)列及其前〃項與

知識能否憶起

一、等差數(shù)列得有關概念

1.定義:如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它得前一項得差都等于同一個常數(shù).那么這個

數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號表示為a“+i-斯=d("GN*,d為常數(shù)).

2.等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列得充要條件就是人=空，其中A叫做a,b得等差中項.

二、等差數(shù)列得有關公式

1.通項公式：〃“=v+(〃-1)"、

2.刖n項與公式:S“=〃ai+—2-4=---2---、

三、等差數(shù)列得性質

1.若n?,〃,p,qGN*,且M7+〃=p+q,｛a"｝為等差數(shù)列，則ain+an=ap+aq^

2.在等差數(shù)列｛斯｝中，砥儂3,3…仍為等差數(shù)歹U,公差為以

3.若｛斯｝為等差數(shù)列，則第跖>一￡,$3"-52n，…仍為等差數(shù)列,公差為叔、

4.等差數(shù)列得增減性:?0時為遞增數(shù)列，且當?!<0時前n項與S,,有最小值.以0時為遞減

數(shù)列，且當ai>0時前n項與S”有最大值.

5.等差數(shù)列｛斯｝得首項就是即公差為從若其前八項之與可以寫成S產(chǎn)A/+B〃，則A=￥，8

=0—壬當dWO時它表示二次函數(shù)，數(shù)列｛%｝得前〃項與S“=A"2+B〃就是｛如｝成等差數(shù)列得

充要條件.

1、與前”項與有關得三類問題

⑴知三求二:已知外、d、小斯、S,中得任意三個，即可求得其余兩個，這體現(xiàn)了方程思想.

(2)5,,=恥+(a1-9”=A”?+=2A、

(3)利用二次函|數(shù)得圖象確定S,得最值時,最高點得縱坐標不一定就是最大值，最低點得

縱坐標不一定就是最小值.

2.設元與解題得技巧

已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列得一類問題，要善于設元，若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且與為

定值時，可設為…，〃一2d,a-d,a,a+d,a+2d,''-,

若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且與為定值時,可設為〃-3d,a-d,a+d,a+3d,…，其余各項再

依據(jù)等差數(shù)列得定義進行對稱設元.

考點

等差數(shù)列得判斷與證明

［例1］在數(shù)列｛斯｝中必=-3,如=2斯-|+2"+3(">2,且〃6N*).

⑴求。2。3得值;

(2)設與=喑(〃eN*),證明:｛兒｝就是等差數(shù)列.

［自主解答］(1)：出=-3,斯=2斯-1+2"+3(〃，2,且〃GN*),...42=20+22+3=1,內=

2a2+23+3=13、

(2)證明:對于任意"6N’,

an+1+3a”+311,

：bn+1-b”=2“+i―1==產(chǎn)［(斯+1-2斯)-3］=產(chǎn)［(2"+1+3)—3］=1,

.?.數(shù)列｛仇｝就是首項為生/=三擔=0,公差為1得等差數(shù)列.

由題悟法

1.證明｛小｝為等差數(shù)列得方法:

(1)用定義證明:如一%-1=或1為常數(shù),〃22)今｛斯｝為等差數(shù)列；

(2)用等差中項證明:2m+1=+%+20｛斯｝為等差數(shù)列；

(3)通項法:斯為n得一次函數(shù)O｛斯｝為等差數(shù)列；

(4)前n項與法：S,=A〃2+B〃或

2.用定義證明等差數(shù)列時，常采用得兩個式子an+i-a?=d與斯一斯T=d,但它們得意義

不同,后者必須加上“〃22"，否則”=1時⑷無定義.

以題試法

1.已知數(shù)列｛如｝得前n項與S”就是〃得二次函數(shù)，且0=-2,“2=23=6、

⑴求S”；

(2)證明:數(shù)列｛斯｝就是等差數(shù)列.

解:⑴設S“=A/+B"+C(A￥O),

-2=A+B+C

0=4A+28+C

｛6=9A+3B+C

解得4=2,B=—4,C=0、故S"=2〃2—4”、

(2)證明:..?當n=l時,0=0=一2、

當”22時，斯=5"—Si=2/—4”一[2(〃-1)2—4(〃-1)]=4"-'6、

a?=4n—6(/i6+1—a,i=4,

二數(shù)列｛斯｝就是等差數(shù)列、

等差數(shù)列得基本運算

典題導入

[例2](2012?重慶高考)已知｛斯｝為等差數(shù)歹山且4|+43=8,42+"4=12、

(1)求｛為｝得通項公式；

(2)記｛斯｝得前n項與為S”,若0,濃&+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k得值.

[自主解答1(1)設數(shù)列｛斯｝得公差為d,由題意知

2ai+2d=8a\=2

*,解得，

2ai+44=12[d—2,

所以aa=ai+(〃-l)"=2+2(〃-1)=2”、

(2)由(1)可得S?=-^~~2.--?(?+1).

因為0,以&+2成等比數(shù)列，所以ai=aiSk+2、

從而(2Z)2=2(A+2)伏+3),即d—5k—6=0、

解得k=6或k=—1(舍去)，因此k=6、

由題悟法

a\+［n~\)d及前"項與公式S,=迎9?="，"+曲3^/,

1.等差數(shù)列得通項公式斯

共涉及五個量知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程得思想.

2.數(shù)列得通項公式與前〃項與公式在解題中起到變量代換作用，而G與d就是等差數(shù)列

得兩個基本量，用它們表示已知與未知就是常用方法.

以題試法

2.(1)在等差數(shù)列中，已知%=10,$5=5,則$8=、

(2)設等差數(shù)列｛如｝得前n項與為S.,若若一田=1,則公差為.

解析:(1)；%=105=5,

0+54=10

.5G+104=5、

fai=—5

解方程組得〈

ld=3、

則S8=8m+284=8X(-5)+28X3=44、

(2)依題意得S4=4”|+與4/=4小+6d3=3ai+與4/=3ai+34于就是有若詈一

當網(wǎng)=1,由此解得d=6,即公差為6、

答案:(1)44(2)6

等差數(shù)列得性質

典題導入

［例3］(1)等差數(shù)列｛%｝中，若0+44+。7=39,“3+〃6+49=27,則前9項與S9等于()

A.66B.99

C.I44D.297

(2)(2012?天津模擬)設等差數(shù)列｛斯｝得前n項與S“,若S4=8,&=20,則頷+在+叩+牝

=()

A.I8B.17

C.16D.15

［自主解答］(1)由等差數(shù)列得性質及卬+田+。7=39,可得3a4=39,所以四=13、同理,

由〃3+%+〃9=27,可得%=9、

前“c9(41+他)9(。4+。6)

所以$9=---2---=---2---=99、

(2)設｛?。霉顬?則的+俏+的+恁=8一S4=12,35+a6+m+〃8)—S4=16d,解得d=

+。］2+。13+。14=54+40"=18、

［答案I(1)B(2)A

由題悟法

1.等差數(shù)列得性質就是等差數(shù)列得定義、通項公式以及前n項與公式等基礎知識得推廣

與變形，熟練掌握與靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.

2.應用等差數(shù)列得性質解答問題得關鍵就是尋找項得序號之間得關系.

以題試法

3.⑴(2012?江西高考)設數(shù)列｛斯｝,｛兒｝都就是等差數(shù)列，若41+加=7,43+加=21,則a5+b5

(2)(2012?海淀期末)若數(shù)列｛斯｝滿足：0=19,為+1=%一3(，工箱,則數(shù)列｛”“｝得前〃項與數(shù)

值最大時,〃得值為()

A.6B.7

C.8D.9

解析：(1)設兩等差數(shù)列組成得與數(shù)列為｛C"｝,由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且C1=7,C3=

21,則C5=2C3—C1=2X21—7=35、

(2)：%+|一%=一3,；.數(shù)列｛斯｝就是以19為首項，-3為公差得等差數(shù)列,19+(”一

%會0'22—3Z20

l)X(-3)=22—3〃、設前火項與最大，則有，一八即＜

22-3(*+1)^0

解得手WZ亨、???kGN","=7、故滿足條件得〃得值為7、

答案:⑴35(2)B

三.等比數(shù)列及其前〃項與

［知識能否憶起］

1.等比數(shù)列得有關概念

⑴定義：

如果一個數(shù)列從第2項起.每一項與它得前一項得比等于同一個常數(shù)(不為零).那么這個

數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列得公比，通常用字母q表示，定義得表達式為等1

=q(〃eN*,g為非零常數(shù)).

(2)等比中項：

如果八G、匕成等比數(shù)歹IJ,那么G叫做。與。得等比中項.即:G就是。與力得等比中項

-a,G,b成等比數(shù)列0G2=a6、

2.等比數(shù)列得有關公式

(1)通項公式：4"=0〃'廠1、

^ncix

q=i

(2)刖〃項與公式：S”=<?(I—q")CLLa〃q

］_q［_q

1、

3.等比數(shù)列｛〃〃｝得常用性質

(1)在等比數(shù)列｛a”｝中，若機+〃=p+q=2?n?,〃,p,q,rGN*),則a,”%=即?%=屈、

特別地⑼斯=。2斯-1=43斯-2=…、

(2)在公比為q得等比數(shù)列｛斯｝中，數(shù)列即，麗+*,麗+2廢而+3",…仍就是等比數(shù)列,公比為密

數(shù)列5,"&“一5”,53,”-52,“,”?仍就是等比數(shù)列(此時尸一1)；

an-dmCf'

1、等比數(shù)列得特征

(1)從等比數(shù)列得定義瞧，等比數(shù)列得任意項都就是非零得，公比q也就是非零常數(shù).

(2)由a?+i=qa”,語并不能立即斷言｛4“｝為等比數(shù)列，還要驗證0力0、

2.等比數(shù)列得前“項與S”

(1)等比數(shù)列得前n項與S,就是用錯位相減法求得得,注意這種思想方法在數(shù)列求與中得

運用.

(2)在運用等比數(shù)列得前n項與公式時，必須注意對q=1與,/Wl分類討論，防止因忽略q

=1這一特殊情形導致解題失誤

考點

等比數(shù)列得判定與證明

典題導入

［例1］已知數(shù)列｛斯｝得前n項與為S”,且%+*=〃、

⑴設金=a“一1,求證:9｝就是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛”“｝得通項公式.

［自主解答］⑴證明:；斯+5,尸〃，①

.?.4"+|+S"+l=〃+l、②

②—①得斯+i一如+%+1=1,

??24"+1Cln+1,??2(an+11)Un1,

.a?+1—11

"a?-\=r

?；首項ci="|—1,又ai+“i=1,

._1_1

..(/1—2,Cl——2'

又c.=a“一1,故｛<:“｝就是以一;為首項為公比得等比數(shù)列.

（2）由（1）可知c.=（一'?（，"r=_

在本例條件下，若數(shù)列｛瓦｝滿足"=0,兒=斯一斯-1("22),證明｛b｝就是等比數(shù)列.

證明:：由(2)知跖尸1一⑸"，

???當心2B寸,/?”=〃〃一

又加=?=;也符合上式，，打=(；>、

空...數(shù)列｛兒｝就是等比數(shù)列.

由題悟法

等比數(shù)列得判定方法

(1)定義法:若乎1=虱4為非零常數(shù),“GN*)或衛(wèi)=虱4為非零常數(shù)且〃》2,〃GN*),則｛期｝

斯一［

就是等比數(shù)列.

(2)等比中項法:若數(shù)列｛斯｝中，斯H0且居+尸如s+2(〃GN*),貝擻列｛如｝就是等比數(shù)列.

(3)通項公式法:若數(shù)列通項公式可寫成a“=c”,q均就是不為0得常數(shù),"CN*),則｛斯｝

就是等比數(shù)列.

以題試法

1.(2012?沈陽模擬)已知函數(shù)_/(x)=k)g“x,且所有項為正數(shù)得無窮數(shù)列｛〃“｝滿足logna?+|—

logM,=2,則數(shù)列｛斯｝()

A.一定就是等比數(shù)列

B.一定就是等差數(shù)列

C.既就是等差數(shù)列又就是等比數(shù)列

D.既不就是等差數(shù)列又不就是等比數(shù)列

解析:選A由log??“+i-log4“=2,得log月U=2=k>g“q2,故g2j/、又且

LinCln

所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列.

等比數(shù)列得基本運算

典題導入

[例2]｛a,.｝為等比數(shù)列,求下列各值：

(l)a?—a」=24,a3a5=64,求a?：

(2)已知a2,as=36,a3+az=15,求公比q、

解：⑴設數(shù)列｛aj得公比為q,

a?—a尸adq2-124

由題意得，①

.a3a5aiq'°=64、②

由②得aiq3—土8,

將a,q3=-8代入①中，得/=-2(舍去).

將aiq3=8代入①中，得q?=4,q=±2、

當q=2時,ai=l,.*.a?=aiq"*'=2"-\

當q=-2時,ai=-1,.*.an=aiq"T=一(―2)"一'、

.?.a.=2"T或+=一(-2)"-'、

⑵：a2?38—36—33?a??而a3+ar=15,

%3=3,3=12

.y或V

.a?=12la?-3■>

由題悟法

1.等比數(shù)列基本量得運算就是等比數(shù)列中得一類基本問題，數(shù)列中有五個量ax,n,q,an,S,?

一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解.

2.在使用等比數(shù)列得前n項與公式時，應根據(jù)公比q得情況進行分類討論，切不可忽視q

得取值而盲目用求與公式.

以題試法

2.(2012?山西適應性訓練)已知數(shù)列｛”“｝就是公差不為零得等差數(shù)列,m=2,且成

等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝得通項公式；

(2)求數(shù)列｛3?。们皀項與.

解:(1)設等差數(shù)列｛如｝得公差為d(dW0).

因為a2M4。8成等比數(shù)列，

所以(2+3刃2=(2+(2+74，

解得d=2、

所以如=2〃(〃WN*).

(2)由⑴知3%=32",設數(shù)列｛3%｝得前〃項與為S”，

9(1-9")9

則￡=32+3，+…+32=\_9=潸-1).

等比數(shù)列得性質

典題導入

［.例3］(1)(2012?威海模擬)在由正數(shù)組成得等比數(shù)列｛?。?，若43a4。5=31則sin(log36Zi+

log3〃2H------Flog3S)得值為()

A.|B、坐

C.lD.一坐

(2)設等比數(shù)列｛斯｝得前〃項與為S〃，若S6:S3=l:2,則S9：S3等于()

A.1：2B.2：3

C.3：4D.1：3

［自主解答］(1)因為4344〃5=3兀=屈,所以。4=3］、

log30+10g3〃2H-------F10g3?7

=10g3(〃1。2…。7)=10g3az

r,一兀7兀

=71og33十于

小

故sin(log34Zi+log3?2H-------Hog3S)=2、

(2)由等比數(shù)列得性質:S3,S6—S3,S9—S6仍成等比數(shù)列，于就是(S6—S3)2=S3?(S9—S6),

將§6=*3代入得日、

［答案］(1)B(2)C

由題悟法

等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們得通項公式與性質有許多相似之

處，其中等差數(shù)列中得“與"“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中得“積”“幕”相類比.關注它們之

間得異同有助于我們從整體上把握，同時也有利于類比思想得推廣.對于等差數(shù)列項得與或等

比數(shù)列項得積得運算，若能關注通項公式a,,=/(〃)得下標n得大小關系,可簡化題目得運算.

以題試法

3.(1)(2012?新課標全國卷)已知｛斯｝為等比數(shù)列,加+&7=2,的“6=—8,則G+GO=()

A.7B.5

C.-5D.-7

（2）（2012-成都模擬）已知｛?！埃褪堑缺葦?shù)列,02=2,。5=不則“Q+O2a3+…+如。"+1=

)

A.16(l-4-n)B.16(l-2-n)

C、y(l-4-n)D、y(l-2-")

解析:（1）選D法一:

〃4+〃7=aq3+〃]g6=2

由題意得1

q3=-2

解得J

41=1

故〃i+〃io=0(l+/)=—7、

44+07=2

法二:由《

a5a6=。4。7=-8

故0+。1()=〃1(1+/)=—7、

（2）選C???。2=2,〃5=京???。1=4,4=3必出+|=（；）2，廠5、

8（1-/）32

故〃1。2+〃2。3-1-----Fa”〃〃+1=------j-=—（1-4〃）.

y一

練習題

一2345

1.（教村習題改編）數(shù)列1,予■b…得一個通項公式就是（）

A%=2〃+]B”產(chǎn)胃口

Can=2n~3Da"=2n+3

答案:B

2.設數(shù)列｛%｝得前〃項與S,產(chǎn)〃2,則制得值為()

A.15B.16

C.49D.64

解析:選A〃8=S8-$7=64-49=15、

3.已知數(shù)列｛如｝得通項公式為斯=言,則這個數(shù)列就是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列

〃+1n("+I)2—〃(〃+2)_______1_____

解析:選An+2/z+1(〃+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)>'

23"-|（〃為偶數(shù)）

4.（教材習題改編）已知數(shù)列｛斯｝得通項公式就是?江大嶺、則的的=

2"—5（〃為奇數(shù)）

解析：443=2X33.（2X3-5）=54、

答案：54

5.己知數(shù)列｛斯｝得通項公式為4“=P”+2且?2=1

3

貝i

8-一jn=

29/S

-X1

——-

P=4

解得1

解析:由已知得5

129

則斯=4〃+彳故。8=0

答案與

1.（2012?福建高考）等差數(shù)列｛“”｝中,0+的=10,〃4=7,則數(shù)列｛斯｝得公差為（）

A.lB.2

C.3D.4

'2ai+4d=10

解析:選B法一:設等差數(shù)列｛斯｝得公差為”,由題意得，

。|+3"=7、

a\=\

解得〈故4=2、

[4=2、

法二:?.?在等差數(shù)列｛&｝中⑼+“5=24=10,上"3=5、

又“4=7,.,.公差4=7—5=2、

2.（教材習題改編）在等差數(shù)列｛%｝中,。2+熊=筆則sin（2a4—§=（）

A近R1

A、2。、2

C.—2D.—

解析:選DVaz+06=-y,A2a4=^>

3.(2012?遼寧高考)在等差數(shù)列｛如｝中，已知々4+48=16,則該數(shù)列前11項與Su=()

A.58B.88

C.143D.176

新土二演DC11(出+。8)QQ

解析:選BSu—2—2—88、

4.在數(shù)列｛%｝中，若卬=1,%+\=an+2(〃21),則該數(shù)列得通項斯=、

解析:由4rH=。〃+2知｛詼｝為等差數(shù)列其公差為2、

故an=1+(n—1)X2=2n—1

答案:2〃一1

5.(2012?北京高考)已知｛%｝為等差數(shù)列5為其前n項與，若0=如2=。3,則。2=

&-、

解析:設｛斯｝得公差為d,

由§2=。3知,。1+〃2=。3,即2ai+d=ai+2cl,

又0=g,所以，故。2=0+d=l,

Sn=na\+%(〃一l)d=；〃+；(〃2—〃)X；

答案:1%+%

1.(2011?江西高考)｛斯｝為等差數(shù)列，公差d=-2$為其前〃項與.若Su)=Si,則0=()

A.18B.20

C.22D.24

解析:選B由S]o=&i,得如=$]一510=0?！?如+(1—ll)d=0+(-10)X(—2)=20、

2.(2012?廣州調研)等差數(shù)列｛〃〃｝得前n項與為S〃,已知〃5=8,S3=6,則S]()-S7得值就是

)

A.24B.48

C.60D.72

'。5=。1+41=8,1=0

解析:選B設等差數(shù)列｛斯｝得公差為&由題意可得?！窱、」，解得.則

S3=3〃i+3d=6d=2

Sio-57=〃8+。9+〃10=3〃]+24d=48、

3.(2013?東北三校聯(lián)考)等差數(shù)列｛斯｝中,的十%=4,則Iog2(2a-2a2?…?2mo)=()

A.10B.20

C.40D.2+log25

解析:選B依題意得M+。2+。3H------卜“10=0('④=5(恁+備)=20,因此有

log2(2ai?2〃2i*2Q]o)=〃i+“2+43+…+〃io=2O、

4.(2012?海淀期末)已知數(shù)列｛如｝滿足⑷=1,即>0,足十]—居=1(〃￡N*),那么使小<5成立得

n得最大值為()

A.4B.5

C.24D.25

解析:選c???屈也一忌=1,???數(shù)列｛屈｝就是以5=1為首項,1為公差得等差數(shù)列.，若=1

+(〃-1)=〃、又斯>0,???斯=如、:斯<5,?'.而<5、即〃<25、故〃得最大值為24、

5.已知等差數(shù)列｛恁｝得前n項與為工，并且$0>0,$]<0,若SAS&對恒成立，則正整

數(shù)上得值為()

A.5B.6

C.4D.7

解析:選A由Sio>O,Sn<O知0>0,火0,并且的+的|<0,即%<0,又恁+恁〉。,所以。5>0,即

數(shù)列得前5項都為正數(shù)，第5項之后得都為負數(shù)，所以S5最大，則k=5、

6,數(shù)列｛斯｝得首項為3,｛瓦｝為等差數(shù)列且兒=斯+1—小(〃仁N*).若一=-2/[0=12,則?8

=()

A.OB.3

C.8D.11

解析:選B因為｛d｝就是等差數(shù)列，且加=-2自o=12,

故公差d=]0/3=2、于就是"=一6,

且d=2〃-8(〃￡N*),即m+|一小=2〃-8、

所以678=^7+6=4/6+4+6=625+2+4+6=?,,=6/1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6

=3、

7.(2012?廣東高考)已知遞增得等差數(shù)列伍〃｝滿足0=1,43=屋一4,則an=、

解析:設等差數(shù)列公差為d，■由6=員-4,得l+2d=(l+J)2—4,解得d2=4,即d=±2、

由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故"=2、

，1+(〃-1)X2=2〃-1、

答案:2〃一1

8.已知數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列段為其前〃項與,〃7—的=43=216=9,則k=、

解析:〃7—〃5=2d=4,則d=2、—101=21—20=1,

k(k—1)

7

Sk=k+2X2=^=9,又氏GN*,故％=3、

答案：3

9.設等差數(shù)列｛〃“｝,也｝得前n項與分別為S”,7“,若對任意自然數(shù)n都有q塞2〃^—3^則

in472—J

泮了+號■得值為_______.

十3。8十仇

解析:,??｛〃〃｝,｛與｝為等差數(shù)列，

.49?〃3〃9匚〃3僅+〃3〃6

?,兒+岳兒+兒2b62b62b6%、

..Snai+aii2t762Xll-319.您=/

?T“一從+加1—2%—4X11—3-4「??4―41、

答案記19

10.(2011?福建高考汜知等差數(shù)列｛斯｝中,s=l,的=一3、

(1)求數(shù)列｛如｝得通項公式；

(2)若數(shù)列｛?。们発項與&=一35,求k得值.

解:⑴設等差數(shù)列｛為｝得公差為“，則斯=。1+(〃-1)"、

由?=1,。3=—3,可得1+24=-3,解得“=一2、

從而斯=1+(〃-1)X(—2)=3—2〃、

⑵由⑴可知斯=3—2〃，

”[1+(3-2M)].

所以S?=-----2-----=2”—/、

由5*=—35,可得2%一斤=-35,

即3—2/—35=0,解得k=1或&=-5、

又火WN*,故％=7、

11.設數(shù)列｛恁｝得前n項積為T,?T?=\-a?,

(1)證明｛｝｝就是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列圖得前n項與S,、

T

解:⑴證明:由7；=1—a“得，當心2時,7；=1一尸

Zn-l

兩邊同除以7；得/一"一=1、

故a尸料=5=2

.?.｛/｝就是首項為2,公差為I得等差數(shù)列.

(2)由(1)知關=〃+1,則〃=〃；],

從而〃〃=1-故%=〃、

???數(shù)列T“.就是首項為1,公差為1得等差數(shù)列.

??一2

12.已知在等差數(shù)列｛斯｝中,0=31,5”就是它得前“項與50=522、

⑴求s〃；

(2)這個數(shù)列得前多少項得與最大,并求出這個最大值.

解:(l)=Sio=ai+a2T-----卜aio,

522=0+〃2-J------1-。22,又510=522,

.?.411+412H------1-6722=0,

+62)

即。=0,故。1]+。22=2。1+31d=0、

2

又,.?0=31,???〃=-2,

.??1=〃〃|+-^/=31〃一〃1)=32〃一層、

(2)法一:由⑴知S?=32〃一"2,

故當71=16時S有最大值,S〃得最大值就是256、

法二:由工=32〃一/=〃(32—總欲使S?有最大值,

n+32-n\

應有1<〃<32,從而、—2一尸56,

當且僅當〃=32—〃，即n=l6時,S”有最大值256>

1.(教材習題改編)等比數(shù)列｛a“｝中,44=4廁等于()

A.4B.8

C.16D.32

解析:選C。2七6=屆=16、

2.已知等比數(shù)列｛〃“｝得前三項依次為。-1,〃+1,“+4,則%=()

A.4-(1)B4勘

D“|)"

C4。"

解析:選C(a+l)2=(a-l)(fl+4)=>a=5,

m=4,q=］故如=4?

3.已知等比數(shù)列｛斯｝滿足41+02=3,42+03=6,則07=()

A.64B.81

C.128D.243

解析:選A9=靂=2,

故a\+ai^=3=>ai=l,a7=1X27_1=64>

4.（2011?北京高考）在等比數(shù)列｛〃〃｝中，若0=；,〃4=4,則公比q=----

解析:“4="4,得4=1,解得4=2M+S+…+%=斗二^=2"—一、

答案:22〃」一

5.（2012?新課標全國卷）等比數(shù)列｛〃〃｝得前n項與為Sn,若S3+3S2=0,則公比q=

解析:VS3+352=0,.,.41+〃2+〃3+3（〃1+。2）=0,

/.67I（4+4^+^2）=0X

Vci]#0,:.q=-2、

答案:一2

L設數(shù)列｛斯｝就是等比數(shù)列，前幾項與為S〃，若S3=3S,則公比q為（）

A.—TB.1

C.一￡或1D、：

解析:選C當q—1時，滿足S3=3〃I=3圖、

當qWl時,S3=—,_"）=4i（l+g+g2）=3aq2,

1q

解得g=_T，綜上g=_：或q=l、

2.（2012?東城模擬）設數(shù)列｛〃〃｝滿足:2〃〃=%1（斯￡0）5"*）,且前n項與為工,則費得值為

）

C.4D.2

0（1—24）

解析:選A由題意知，數(shù)列｛斯｝就是以2為公比得等比數(shù)列，故S咎A=—1-婷2廠=號15、

3.（2012?安徽高考）公比為2得等比數(shù)列｛斯｝得各項都就是正數(shù)，且a3ml=16,則log2So=

（）

A.4B.5

C.6D.7

解析:選B=,.㈤=16、

又???等比數(shù)列｛斯｝得各項都就是正數(shù),...07=4、

又410=47爐=4X2'，=2'5,log24Z|0=5、

4.已知數(shù)列｛〃“｝,則“a,,a.+g+2（〃GN*）成等比數(shù)列”就是“易+i=a,&+2”得（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析:選A顯然,〃61>）*,%,斯+|,%+2成等比數(shù)列,則底+|=4必）+2,反之,則不一定成立，舉反

例，如數(shù)列為1,0,0,0,…

5.（2013?太原模擬）各項均為正數(shù)得等比數(shù)列｛a“｝得前n項與為S”,若&=23"=14,則$4”

等于（）

A.80B.30

C.26D.16

解析:選B設S2〃=a,S4"="由等比數(shù)列得性質知：

2（14—a）=（a—2）2,解得a—6或a=—4（舍去），

同理（6—2）仍一14）=（14-6）1所以6=S4"=30、

6.已知方程a2—+2）（f—以+2）=0得四個根組成以幼首項得等比數(shù)歹展吟=（）

A、?B、方或專

2

C、fD.以上都不對

解析:選B