高中數(shù)學(xué)解題思維策略

高中數(shù)學(xué)解題思維策略

第一講數(shù)學(xué)思維的變通性

一、概念

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通

性一一善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將

著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：

(1)善于觀察

心理學(xué)告訴我們：感覺(jué)和知覺(jué)是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺(jué)的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目

的、有計(jì)劃、比較持久的知覺(jué)。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的前

提。

任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目

進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過(guò)表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找

到解題方法。

1111

例如，求和-----1----------1----------1-------1-

?22-33-4+1)

這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且一--=--——,因此,

原式等于1—…——!一=1一一!一問(wèn)題很快就解決了?

223n〃+1〃+1

(2)善于聯(lián)想

聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因

此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將

問(wèn)題打開(kāi)缺口，不斷深入。

例如，解方程組2

xy=-3

這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為2,這兩個(gè)數(shù)的積為-3。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，x、y是一元二次方程

產(chǎn)―2f-3=0的兩個(gè)根,

x=-1fx=3

所以《或《?可見(jiàn)，聯(lián)想可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

、y=3[y=-l

(3)善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。可見(jiàn)，解題過(guò)程是通過(guò)問(wèn)

題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把

復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。在解題時(shí)，觀察具

體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。

例如，已知,+'-!—,(abc^O,a+b+c^O'),

abca+h+c

求證a、b.c,三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。

恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問(wèn)題變得熟悉、簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：(。+份0+c)(c+a)=O

思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干

問(wèn)題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問(wèn)題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到

限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。

綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維

變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)觀察能力的訓(xùn)練

雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練,

使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來(lái)解題。

例1、已知都是實(shí)數(shù)，求證-1+/+G+d22-+(8—d)2.

思路分析從題目的外表形式觀察到，耍證的

結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而

左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，

可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。

證明:不妨設(shè)A(a,b)妨(c,d)如圖1—2—1所示,

則q=J(a—c)2+0-d)2.

四=7a2+b2,\OB\=yjc2+d2,

在AOAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知:

\O^+\OB\>\A^當(dāng)且僅當(dāng)0在AB上時(shí)，等號(hào)成立。

因此，\la2+b2+y/c2+d2>7(?-c)2+(b-d)2.

思維障礙很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法

證明很繁。學(xué)生沒(méi)能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)

一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。

例2、已知3/+2y2=6x,試求/+；/的最大值。

解由3%2+2y2=6x得

y2---X2+3x.

2

3

y2>0,/.~~x^+3x>0,.1.0<x<2.

Xx2+y2=x2-^x2+3x=-J(x-3)2+-1,

,,1,9

當(dāng)x=2時(shí)，/+>2有最大值，最大值為一上(2-3)2+二=4.

22

思路分析要求/+V的最大值，由已知條件很快將/+>2變?yōu)橐辉魏瘮?shù)

/(幻=一］。一3)2+1，然后求極值點(diǎn)的工值，聯(lián)系到丁20,這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上

述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。

思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：

由3尤2+2,2=6%得/=-1X2+3X,

/.x1+y1=x2+3x=-^(x-3)2+1

Q

當(dāng)X=3時(shí)，/+y2取最大值，最大值為

這種解法由于忽略了V?o這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審題，不僅能從表面

形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，

又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。

有些問(wèn)題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手.

例3,已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a>0),滿足關(guān)系

/(2+x)=/(2—x),試比較/(0.5)與/(萬(wàn))的大小。

思路分析由已知條件/(2+幻=/(2-幻可知，在與x=2左右等距離

的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說(shuō)明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又由

圖1一2一

已知條件知它的開(kāi)口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。

解(如圖1—2—2)由/(2+幻=/(2-幻，

知/(幻是以直線x=2為對(duì)稱軸，開(kāi)口向上的拋物線

它與x=2距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。

|2-0.5|>|2—川."(0.5)>于(兀)

思維障礙有些同學(xué)對(duì)比較/(0.5)與/(萬(wàn))的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)/(幻的表達(dá)

式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒(méi)有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受

到阻礙，做題時(shí)要全面看問(wèn)題，對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。

提高思維的變通性。

(2)聯(lián)想能力的訓(xùn)練

例4、在A45C中，若NC為鈍角，則tan/Ltan6的值

(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能確定

思路分析此題是在AABC中確定三角函數(shù)tan/LtanB的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和

八、，八、tanA+tanB_金一

公式tan(A+B)=------------可得下面解法。

1-tanA-tanB

解：/C為鈍角，tanC<0.在中A+8+C="C=?-(A+8)

且A、8均為銳角，

r.tanC=tan[?—(A+B)]=-tan(A+B)=--⑦"—+tan'<

L」1-tanAtanB

,/tanA>0,tanB>0,r.1-tanA-tanB>0.即tanA-tanB<1.

故應(yīng)選擇(B)

思維障礙有的學(xué)生可能覺(jué)得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，

不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。

例5、若(z-x)2-4(X一50(>-2)=0,證明:2)=》+2.

思路分析此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元

二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證題。

證明當(dāng)x-yHO時(shí)，等式(z-x)?-4(x-y)(y-z)=0

可看作是關(guān)于t的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)

方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1,根據(jù)韋達(dá)定理就有:

-——=1即2y=x+z

^-y

若冗一y=0,由已知條件易得z-x=O,即％=y=z,顯然也有2y=x+z.

例6、已知a、b、C,均為正實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系式標(biāo)+^=。2,又〃為不小于3的自然數(shù)，

求證：<C".

思路分析由條件=/聯(lián)想到勾股定理，小h、?？蓸?gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到

三角函數(shù)的定義可得如下證法。

證明設(shè)a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C則。是直角，A為銳角，于是

ab

sinA=—,cosA=—，且0<sinA<l,0<cosA<1,

cc

當(dāng)〃23時(shí)，有sin"A<sin?A,cos/:A<cos2A

于是有sin"A+cos〃A<sin2A+cos2A=1

即（3）"+（2）"<l,

cc

從而就有an+hn<cn.

思維阻礙由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)〃的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，難以進(jìn)行數(shù)

與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)

字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來(lái)。

（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練

我們所遇見(jiàn)的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，而

且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問(wèn)題很快得到解決，所以，進(jìn)行

問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。

①轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目

例7、已知。+。+。=4+』+'=1,求證。、b、C中至少有一個(gè)等于1。

abc

思路分析結(jié)論沒(méi)有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉

的形式。a、b、c中至少有一個(gè)為1,也就是說(shuō)。一1、〃一1、。一1中至少有一個(gè)為零，這樣，問(wèn)題就容

易解決了。

證明V—H---F—=1,/.bc+ac+ab=abc.

abc

于是(。-1)(。一l)(c-l)=abc-(ab+acbe+(a+b+c)=0.

a—1、b—1、c—1中至少有一個(gè)為零，即a、b、c中至少有一個(gè)為1。

思維障礙很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1,

其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問(wèn)題變?yōu)槭煜?wèn)題。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，

是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。

例8、直線L的方程為x=—",其中〃>0；橢圓E的中心為O'(2+5,0),焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半

軸為2,短半軸為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為45,0)，問(wèn)〃在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，

它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離。

思路分析從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線

y2=2px(1)

是，又從已知條件可得橢圓E的方程為

._(2+9]2

------------——+y2=1(2)

4

因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組(1)、(2)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求p的取值范圍。將(2)代入(1)

得：

x2+(7p-4)x++2/?=0.(3)

4

確定p的范圍，實(shí)際上就是求(3)有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組：

(7/7-4)2-4(々+2/?)>0

2

?2+2/?>0

4

7/7-4<0

在〃>0的條件下，得0<〃<13.

本題在解題過(guò)程中，不斷地把問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：解方程組和不等式組的問(wèn)題。

(2)逆向思維的訓(xùn)練

逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問(wèn)題的正面考

慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到解決。

例9、已知函數(shù)/(x)=2/+西+〃，求證J/⑴卜⑵卜/(3)|中至少有一個(gè)不小于1.

思路分析反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)

論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。

證明（反證法）假設(shè)原命題不成立，即|/⑴卜/⑵|、|/（3）|都小于1。

伙1)1<1一1<2+陽(yáng)+〃<1-3<m+n<-1①

則,|/⑵|<1n,-1<8+2m+〃<1n<-9<2m+〃<-7②

—1<18+3/zz+〃<1-19<3根+〃<-17③

①+③得一11<2加+〃<—9,

與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即⑴|、|/（2）|、|/（3）］中至少有一個(gè)不小于1。

（3）一題多解訓(xùn)練

由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問(wèn)題可能得到幾種不同的

解法，這就是“一題多解”。通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思

維的變通性。

例10、已知復(fù)數(shù)z的模為2,求|z—的最大值。

解法一(代數(shù)法)設(shè)2=%+歹(小yG/?),

則V+y2=4.|z-z|=yjx2+(y-l)2=j5-2y.

???當(dāng)y=—2時(shí),上一必'=3.

解法二（三角法）設(shè)z=2（cos8+isin。）,

則|z-j=J4cos24+(2sin6-=j5-4sin8.

當(dāng)sin0=-1時(shí)」z—z|=3.

IImax

解法三（幾何法）

:忖=2,.?.點(diǎn)z是圓/+V=4上的點(diǎn)，

|z-i|表示2與?所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離

如圖1—2—3所示，可知當(dāng)z=-2i時(shí)，|z

解法四（運(yùn)用模的性質(zhì)）

圖1一2一3

,.,|z-z|<|z|+|—/|=2+1=3

而當(dāng)z=—2i時(shí)，|z-z|=3./.|z—z|niix=3.

解法五（運(yùn)用模的性質(zhì)）

|z=(z-i)(z-i)=zz4-(z-z)z+l

=5+2/(z),(/(z)表z的虛部).

又??[/(小2,.#-/產(chǎn)9,小一九=3.

第二講數(shù)學(xué)思維的反思性

一、概述

數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見(jiàn)解，精細(xì)地檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信。在解決

問(wèn)題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講

重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。

X

例1、已知/(x)=ar+—,若一3</(1)<0,3?/(2)<6,求/(3)的范圍。

h

錯(cuò)誤解法由條件得

—3<a+b<0①

3<2a+1<6②

②X2一①得6<a<15③

Qk7

①X2-②得④

333

③+④得—<3a+-<—,即竺4八3)〈電.

33333

X

錯(cuò)誤分析采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)/(x)=?x+/,其值是同時(shí)

b

受a和力制約的。當(dāng)a取最大(小)值時(shí)，人不一定取最大(小)值，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。

正確解法由題意有

f(l)=a+b

vb

/⑵=2。+5

12

解得：a=-[2f(2)-f(l)]9b=-[2f(i)-f(2)]9

.??八3)=3〃+《="⑵一"⑴.

把/⑴和/(2)的范圍代入得y</(3)<y.

在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基

礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問(wèn)題。

例2、證明勾股定理：已知在ZVLBC中，ZC=90°,求證。2=/+〃.

錯(cuò)誤證法在中，sinA=—,cos4=2,而sin?A+cos2A=1,

cc

(—)2+(—)2=1,BPc2=a2+b2.

cc

錯(cuò)誤分析在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，sin?A+cos2A=1這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來(lái)的。這種利

用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺(jué)中產(chǎn)生的，而且不

易發(fā)覺(jué)。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方

法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性

的體現(xiàn)。

(2)驗(yàn)算的訓(xùn)練

驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。通過(guò)驗(yàn)算，可以檢查解題過(guò)程的正確性，增強(qiáng)思維的反思性。

例3、已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“=2”+1,求明.

錯(cuò)誤解法an=Sn-=(2"+1)-(2"-'+1)=2"-2"T=T''.

錯(cuò)誤分析顯然，當(dāng)〃=1時(shí)，/=S1=3/2i=l,錯(cuò)誤原因，沒(méi)有注意公式*=S“—S'一成立

的條件是“N2(〃eN).因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)n=\時(shí)的情形。即：

5(〃=i)

CI=V

〃[Sn(n>2,ne7V)

例4、實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓/+/—2?！?。2-1=0與拋物線/=gx有兩個(gè)公共點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法將圓/+'2-2辦+。2-1=0與拋物線聯(lián)立，消去y,

得X2-(2a--)x+a2-1=0(x>0).①

2

A=0

因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得j>0

2

a2-l>0.

17

解之，得。=一.

8

錯(cuò)誤分析(如圖2—2—1；2—2—2)顯然，當(dāng)。=0時(shí);圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。

fA>0

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得《，解之，得一

171

因此，當(dāng)。=,或-l<a<l時(shí)，圓，+/一2。乂+。2—1=0與拋物線y2=一無(wú)有兩個(gè)公共點(diǎn)。

82

思考題：實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓Zax+Y—i=o與拋物線/=gx,

(1)有一個(gè)公共點(diǎn)；

(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；

(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；

(4)沒(méi)有公共點(diǎn)。

養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無(wú)理方程、無(wú)理不等式；對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不

等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，

因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。

(3)獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見(jiàn)解

受思維定勢(shì)或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。

因此，在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題目解法發(fā)表自己的見(jiàn)解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性,

從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例5、30支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問(wèn)需要安排多少場(chǎng)比賽？

解因?yàn)槊繄?chǎng)要淘汰1個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)安排29場(chǎng)比賽。

思路分析傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15+7+4+2+1=29場(chǎng)比賽。

而上面這個(gè)解法沒(méi)有盲目附和，考慮到每場(chǎng)比賽淘汰1個(gè)隊(duì)，要淘汰29支隊(duì)，那么必有29場(chǎng)比賽?

例6、解方程X?-2x+3=cosx.

考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)y=(x-1尸+2,y=cosx,它們的圖象無(wú)交點(diǎn)。

所以此方程無(wú)解。

例7、設(shè)a、p是方程――2匕c+%+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則。一I）?+（￡-1）2的最小值是（)

49

(B)8;(C)18;（。）不存在

思路分析本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：a+/3=2k,af3=k+6,

(a-1)~+("一=oc~-2a+14-—2/?4-1

—(fit+f3)~—2a/7—2(a+/3)+2

“749

=4(%—)----.

44

有的學(xué)生一看到-絲49，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果

4

能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。

原方程有兩個(gè)實(shí)根a、B，

：.A=4A:2-4(Z:+6)>0,k<-2或223.

當(dāng)我23時(shí)，3-1）2+（￡—1）2的最小值是8；當(dāng)ZW—2時(shí)，（a—ly+（夕一1）2的最小值是18；

這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。

第三講數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

一、概述

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過(guò)程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問(wèn)題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算

和推理時(shí)精確無(wú)誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之

一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過(guò)程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在

以下幾個(gè)方面：

概念模糊概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念,

搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)0概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

判斷錯(cuò)誤判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷

通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。例如，"函數(shù)y=（g）7是一個(gè)減函數(shù)”

就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。

推理錯(cuò)誤推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個(gè)論證都

是由推理來(lái)實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說(shuō)明思維不嚴(yán)密。

例如，解不等式x>L.

X

解X2>1,

X

11,

X>1,或x<—1.這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由X>—推導(dǎo)>1時(shí):沒(méi)有討論X的正、負(fù)，理由不

X

充分，所以出錯(cuò)。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。

（1）有關(guān)概念的訓(xùn)練

概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開(kāi)概念。“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提《中學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（試行草案）

例1、不等式Iog（『+2）（3x2-2x-4）>log*+2）（x2-3X+2）.

錯(cuò)誤解法

3x~—2x—4>x~—3x+2,

2x~+x—6>0,x>一<—2.

2

錯(cuò)誤分析當(dāng)x=2時(shí)，真數(shù)x2—3x+2=0且x=2在所求的范圍內(nèi)（因2>己），說(shuō)明解法錯(cuò)誤。原

2

因是沒(méi)有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密

性。

正確解法-,?X2+2>1

1+V13.1-V13

x>------或x<-------

3/-2x-4>033

—3x+2>0/.<x><1

3x~—2x—4>x~一3x+23TC

x>一<—2

x>2或％<-2.

例2、求過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線，使它與拋物線>2=2%僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線為y=Qc+1,則它與拋物線的交點(diǎn)為

y=kx+1o

f,，消去y得：（乙+11—2x=0.

（7=2x

整理得k2x2+Qk-2）x+1=0.直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，

.?.△=0,解得女=；.，所求直線為丁=工工+1.

錯(cuò)誤分析此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為y=Zx+l時(shí)，沒(méi)有考慮左=0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜

率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒(méi)有考慮相切的情

況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不

能為零，即人聲0,而上述解法沒(méi)作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

正確解法當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直x軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(0,1),所以尤=0,即y軸，它正好與

拋物線>2=2x相切。

當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y=l,平行x軸，它正好與拋物線V=2x只有一個(gè)交點(diǎn)。

設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線為y=kx+\(k^0)則

V=kx+1,,11

「,.??女2/+(2左一2)x+l=o.令△=(),解得Z=—..??所求直線為y=—x+1.

y-2x22

綜上，滿足條件的直線為：

y=1,x=0,y=—x+1.

(2)判斷的訓(xùn)練

造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。

①注意定理、公式成立的條件

數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例3、實(shí)數(shù)〃？，使方程/+(根+4i)x+l+2,位=0至少有一個(gè)實(shí)根。

錯(cuò)誤解法?.?方程至少有一個(gè)實(shí)根，

A=(m+4z)2-4(1+2/MZ)=m2-20>0.

/.m>2V5,或〃？W-2-J5.

錯(cuò)誤分析實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成

立，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目

盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。

正確解法設(shè)。是方程的實(shí)數(shù)根，則

a1+。％+旬。+1+2mi=0,

/.a2+ma+1+(4。+2m)z=0.

由于。、機(jī)都是實(shí)數(shù)，

人

"a2+ma+1=0

4a+2m=0

解得m=±2.

例4、已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)廠(10,0),離心率e=2,求雙曲線方程。

錯(cuò)解1*.*x=―4,c—10,.*.ci2=40,.,.h~—c2—a2—60.

c

故所求的雙曲線方程為

22

二-匕=1.

4060

錯(cuò)解2由焦點(diǎn)F(10,0)知c=10,

e=—=2,.*.a=5,Z?2=c2—a2=75.

a

故所求的雙曲線方程為

22

二-"=1.

2575

錯(cuò)解分析這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒(méi)有告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。由

于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。

正解1設(shè)P(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)/(10,0),離心率

e=2,由雙曲線的定義知

J(x_10)2+V

|x-4|

U-2)2/

整理得

1648"

正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為(加,0)

貝i]vc+m=10解得vc=8

c_m=2.

—=2.i

a

所以b2=c2-?2=W-16=48,

故所求雙曲線方程為巨一2)[一21=]

1648

②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用

我們知道：

如果A成立，那么8成立，即A=B,則稱A是B的充分條件。

如果3成立，那么A成立，即3=A,則稱A是5的必要條件。

如果AoB,則稱A是B的充分必要條件。

充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分

條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。

例5、解不等式

錯(cuò)誤解法要使原不等式成立，只需

x-1>0

<x-3>0,解得3<x<5.

x■—12(x-3尸

A>Q

A>Q

錯(cuò)誤分析不等式y(tǒng)[A>B成立的充分必要條件是:<B>Q或

B<Q

A>B2

x-l>0

,而忽視了另一種情況I"=,所考慮的情況只

原不等式的解法只考慮了一種情況<x-3>0

x-3<0

x-12(x—3)~

是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件,其錯(cuò)誤解法的

實(shí)質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。

正確解法要使原不等式成立，則

X—1>0(

X-1>0

-x-3>0或<

、x—3<0

x—12(x—3)一

..3<x<5,或1<工<3.

?,?原不等式的解集為｛x|14x45｝

例6、（軌跡問(wèn)題）求與y軸相切于右側(cè)，并與。C:d+/-6%=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。

錯(cuò)誤解法如圖3—2—1所示，

己知。C的方程為（》一3）2+；/=9.

設(shè)點(diǎn)P（x,y）（x>0）為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且。P與y軸相切于M點(diǎn)，

與。C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得

|CP|=|PM\+3,即J（x—31+/=x+3.

化簡(jiǎn)得V=12%（%>0）

錯(cuò)誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒(méi)有考慮所求軌

跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的

方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以x軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于

3）的圓也符合條件，所以y=0（x>0且%。3）也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是

丁=12%（x>0）和

y=0（%>0且％力3）。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問(wèn)題，這樣，才能保證

所求軌跡的純粹性和完備性。

③防止以偏概全的錯(cuò)誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問(wèn)題的全部答案，從而表現(xiàn)出

思維的不嚴(yán)密性。

例7、設(shè)等比數(shù)列｛4｝的全〃項(xiàng)和為S”.若S3+S6=2Sg,求數(shù)列的公比q.

錯(cuò)誤解法S3+S6=259,

.4（1一/）q（l—/）。（1一/）

…---------1---------=2----------

1-q]_qq

整理得/（2q6_g3_D=0.

由“w0得方程2/一/一1=0.；.（2/+1）（/_i）=o,

錯(cuò)誤分析在錯(cuò)解中，由-(1-/)+囚(1-")=2.爾7)

\-q\~q\-q

整理得=0時(shí)，應(yīng)有4*0和在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比“完

全可能為1,因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比4=1的情況，再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。

正確解法若q=l,510WS3=3fl],S6=6at,S9—9ax.

但卬工0,即得S3+S6w2Sg,與題設(shè)矛盾，故

又依題意S3+S6=2S9,

市俎4(1一/)(]_/)《(1_/)

口」得----------1-------------=2-------------

]_qi_q1一q

整理得/(2/_/_D=0.即(2q3+l)(g3_i)=o,

因?yàn)閝wl,所以二一1彳0,所以2/+i=o.

V4

所以q=~—.

2

說(shuō)明此題為1996年全國(guó)高考文史類數(shù)學(xué)試題第(21)題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)

準(zhǔn)而痛失2分。

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來(lái)方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來(lái)進(jìn)行推理，

這就會(huì)使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。

例8、(如圖3—2—2),具有公共y軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面a和夕所成的二面角。->軸一/7等于60°.

已知夕內(nèi)的曲線C'的方程是>2=2p￡(p>0),求曲線C'在a內(nèi)的射影的曲線方程。

錯(cuò)誤解法依題意，可知曲線C'是拋物線,

在夕內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是p>0.

因?yàn)槎娼莂-y軸一夕等于60°,

且V軸±y軸，x軸J_y軸，所以Zxox'=60°.

設(shè)焦點(diǎn)尸在a內(nèi)的射影是尸(x,y),那么，/位于x軸上,

從而y=0,ZF'OF=60°,ZF'FO=90°,

所以0E=0尸?cosGO。'］吟所以點(diǎn)唱,0)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線,

開(kāi)口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。

所以曲線C在&內(nèi)的射影的曲線方程是y2=px.

錯(cuò)誤分析上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為尸是射影(曲線)的焦點(diǎn)，

其次，未經(jīng)證明默認(rèn)C'在a內(nèi)的射影(曲線)是一條拋物線。

正確解法在夕內(nèi)，設(shè)點(diǎn)A/(x',y')是曲線上任意一點(diǎn)

(如圖3—2—3)過(guò)點(diǎn)/作MN_La,垂足為N,

過(guò)N作軸，垂足為H.連接M”，

則軸。所以NMHN是二面角

a—y軸一尸的平面角，依題意，ZMHN=60°.

在R/AMNW中,HN=HM-cos60°=-x'.

2

又知'軸(或"與。重合)，

HN口x軸(或H與。重合)，設(shè)N(x,y),

1,

x=-x尤'=2x

則2

j'=y

j=V

因?yàn)辄c(diǎn)M(x',y')在曲線V=2px'(p>0)上，所以寸=2p(2x).

即所求射影的方程為丁=4Px(p>0).

(3)推理的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以己知的真實(shí)數(shù)學(xué)

命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推

理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思

考縝密、推理嚴(yán)密。

3

例9、設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸x在軸上，離心率e=2,已知點(diǎn)P(0,?)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距

22

離是正，求這個(gè)橢圓的方程。

錯(cuò)誤解法依題意可設(shè)橢圓方程為=+[=13>8>0）

a-b~

b21

所以1_=一，即a=2b.

a24

設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)P的距離為d,

則/=/+（,_|）2

=々2（1-二）+>2-3y+-

b24

=-3（y+^）2+4b2+3.

1,

所以當(dāng)y=-上時(shí)，/有最大值，從而Q也有最大值。

所以4/+3=（J7）2,由此解得：b2=l,a2=4.

于是所求橢圓的方程為工+>2=1.

4

錯(cuò)解分析盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由

當(dāng)>時(shí)，/有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒(méi)有考慮y到的取值范圍。事實(shí)上，由于點(diǎn)（x,y）在橢

圓上，所以有—因此在求I?的最大值時(shí)，應(yīng)分類討論。即：

若b<L則當(dāng)y=—b時(shí)，d2（從而d）有最大值。

2'

于是（療）2=（b+』）2,從而解得。=J7—3>L與矛盾。

2222

11,

所以必有匕2萬(wàn)，此時(shí)當(dāng)y=—/時(shí)，d2（從而d）有最大值，

所以4/+3=（近）2,解得/=1,〃=4

于是所求橢圓的方程為二+V=1.

4

2Q

例10、求曠=—=+―-的最小值

sin-xcosx

電初128口18

錯(cuò)解1y=--—+------>2-J—；-----口—=------------

sinxcosxVsin"xcos-x\sinxcosx|

—^>16二?Vmin=16.

|sin2x\

錯(cuò)解2y=(---Fsin-x)+(-----—Fcos-x)—122+25/8—1=-1+6\/2.

sinrcosx