雙拋物線型中考壓軸題解法賞析

佳題賞析雙拋物線型中考壓軸題解法近幾年各地中考試題中出現(xiàn)了一類以雙拋物線為背景立意的綜合性壓軸題，它集知識、方法、能力于一體，重在考查考生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，具有較強(qiáng)的探索性。這類試題是中考數(shù)學(xué)試題的精華部分，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力等特點(diǎn)。本文選取三道比較典型的中考壓軸題予以解析。一、以橫軸為對稱軸的雙拋物線型壓軸題例1、（2006煙臺市）如圖，已知拋物線L1:y=x2-4的圖像與x有交于A、C兩點(diǎn)，（1）若拋物線l2與l1關(guān)于x軸對稱，求l2的解析式；（2）若點(diǎn)B是拋物線l1上的一動點(diǎn)（B不與A、C重合），以AC為對角線，A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)定為D，求證：點(diǎn)D在l2上；（3）探索：當(dāng)點(diǎn)B分別位于l1在x軸上、下兩部分的圖像上時，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請說明理由。解：設(shè)l2的解析式為y=a(x-h)2+k∵l2與x軸的交點(diǎn)A(-2,0),C(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-4),l1與l2關(guān)于x軸對稱，∴l(xiāng)2過A(-2,0),C(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4）∴y=ax2+4∴0=4a+4得a=-1∴l(xiāng)2的解析式為y=-x2+4(2)設(shè)B(x1,y1)∵點(diǎn)B在l1上∴B(x1,x12-4)∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關(guān)于O對稱∴B、D關(guān)于O對稱∴D(-x1,-x12+4).將D(-x1,-x12+4)的坐標(biāo)代入l2：y=-x2+4∴左邊=右邊∴點(diǎn)D在l2上.(3)設(shè)平行四邊形ABCD的面積為S,則S=2*S△ABC=AC*|y1|=4|y1|a.當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時，y1＞0∴S=4y1,它是關(guān)于y1的正比例函數(shù)且S隨y1的增大而增大，∴S既無最大值也無最小值b.當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時，-4≤y1＜0∴S=-4y1,它是關(guān)于y1的正比例函數(shù)且S隨y1的增大而減小，∴當(dāng)y1=-4時，S由最大值16，但他沒有最小值此時B(0,-4)在y軸上，它的對稱點(diǎn)D也在y軸上.∴AC⊥BD∴平行四邊形ABCD是菱形此時S最大=16評析:本題條件簡明，有較強(qiáng)的探索性。第（3）問溶四邊形、函數(shù)知識于一體，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想。二、以縱軸為對稱軸的雙拋物線型壓軸題例2、（2006十堰市）已知拋物線：（，為常數(shù)，且，）的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)；拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，其頂點(diǎn)為，連接，，．注：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）請?jiān)跈M線上直接寫出拋物線的解析式：________________________；（2）當(dāng)時，判定的形狀，并說明理由；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形？如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由．26．（1）．（2）當(dāng)時，為等腰直角三角形．理由如下：如圖：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)又在軸上，．過點(diǎn)作拋物線的對稱軸交軸于，過點(diǎn)作于．當(dāng)時，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，．又點(diǎn)的坐標(biāo)為，．．從而，．由對稱性知，．為等腰直角三角形．（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，則．由（2）知，，．從而為等邊三角形．四邊形為菱形，且點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱．與的交點(diǎn)也為點(diǎn)，因此．點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．在中，．，．故拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，此時評析:本題立意新，集計(jì)算、推理于一體，體現(xiàn)了對稱的思想、方程的思想與數(shù)形結(jié)合的思想。三、以原點(diǎn)對稱點(diǎn)的雙拋物線型壓軸題例3、（2006山西?。┤鐖D，已知拋物線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A(－4，0)、B(－2，0)、E(0，8)。（1）求拋物線C1關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線C2的解析式；（2）設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)為M，拋物線C2與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，頂點(diǎn)為N，四邊形MDNA的面積為S。若點(diǎn)A、點(diǎn)D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動；與此同時，點(diǎn)M、點(diǎn)N同時以每秒2個單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運(yùn)動，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止。求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動時間t之間的關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（3）當(dāng)t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；（4）在運(yùn)動過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由。解：（1）點(diǎn)A（－4，0），點(diǎn)B（－2，0），點(diǎn)E（0，8）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為D（4，0），C（2，0），F(xiàn)（0，－8） 設(shè)拋物線C2的解析式是則解得 所以所求拋物線的解析式是 （2）由（1）可計(jì)算得點(diǎn)M（－3，－1），N（3，1） 過點(diǎn)N作NH⊥AD，垂足為H。當(dāng)運(yùn)動到時刻t地，AD=2OD=8－2t，NH=1+2t 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)OA=OD，OM=ON，所以四邊形MDNA是平行四邊形所以所以，四邊形MDNA的面積 因?yàn)檫\(yùn)動至點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止，據(jù)題意可知。所以，所求關(guān)系式是，t的取值范圍是 （3），（）所以時，S有最大值 提示：也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求。（4）在運(yùn)動過程中四邊形MDNA能形成矩形。 由（1）知四邊形MDNA是平行四邊形，對角線是AD、MN，所以當(dāng)AD=MN時四邊形MDNA是矩形。所以O(shè)D=ON。所以 所以。解之得（舍）。所以在運(yùn)動過程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時 評析:本題把雙拋物線中運(yùn)動變化的幾何圖形放到直角坐標(biāo)中，來解決相關(guān)問題，充分體現(xiàn)了函數(shù)的思想、方程的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，頗具探索性。在以上三道中考壓軸題中，數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程函數(shù)的數(shù)學(xué)思想得到了充分體現(xiàn)，成為支撐綜合性試題的核心。每道試題又都具有很強(qiáng)的探索性，這種探索過程是固本，是求新，是中考數(shù)學(xué)壓軸題的生命力的體現(xiàn)。解好這類綜合題必須具備三種能力：一是語言轉(zhuǎn)換能力：每個數(shù)學(xué)綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成。解綜合題往往需要較強(qiáng)的語言轉(zhuǎn)換能力，還需要有把普通語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的能力。二是概念轉(zhuǎn)換能力：綜合題的轉(zhuǎn)譯常常需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)換能力。三是數(shù)形轉(zhuǎn)換能力：解題中的數(shù)形結(jié)合，就是對題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)和幾何的結(jié)合上找出解題思路。練習(xí)：1.（2008年南昌）如圖，拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點(diǎn)P,且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于兩點(diǎn)．（1）求值；（2）設(shè)與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），觀察四點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出一條正確的結(jié)論，并通過計(jì)算說明；（3）設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為，若在軸上有一動點(diǎn)，且，過作一條垂直于軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D兩點(diǎn)，試問當(dāng)為何值時，線段CD有最大值？其最大值為多少？yyxPAOBB解：（1）點(diǎn)在拋物線上，，解得．（2）由（1）知，拋物線，．yxPAOBBMyxPAOBBMENF點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，，．當(dāng)時，解得，．點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，，．，，yxPAOBDQC點(diǎn)與點(diǎn)yxPAOBDQC（3）．拋物線開口向下，拋物線開口向上．根據(jù)題意，得．，當(dāng)時，有最大值．2.（2008年煙臺）如圖，拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于M點(diǎn).拋物線向右平移2個單位后得到拋物線，交軸于C、D兩點(diǎn).（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線或在軸上方的部分是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、B重合），那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q是否在拋物線上，請說明理由.佳題賞析雙拋物線型中考壓軸題解法一、以橫軸為對稱軸的雙拋物線型壓軸題例1、（2006煙臺市）如圖，已知拋物線L1:y=x2-4的圖像與x有交于A、C兩點(diǎn)，（1）若拋物線l2與l1關(guān)于x軸對稱，求l2的解析式；（2）若點(diǎn)B是拋物線l1上的一動點(diǎn)（B不與A、C重合），以AC為對角線，A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)定為D，求證：點(diǎn)D在l2上；（3）探索：當(dāng)點(diǎn)B分別位于l1在x軸上、下兩部分的圖像上時，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請說明理由。二、以縱軸為對稱軸的雙拋物線型壓軸題例2、（2006十堰市）已知拋物線：（，為常數(shù)，且，）的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)；拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，其頂點(diǎn)為，連接，，．注：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）請?jiān)跈M線上直接寫出拋物線的解析式：________________________；（2）當(dāng)時，判定的形狀，并說明理由；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形？如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由．三、以原點(diǎn)對稱點(diǎn)的雙拋物線型壓軸題例3、（2006山西省）如圖，已知拋物線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A(－4，0)、B(－2，0)、E(0，8)。（1）求拋物線C1關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線C2的解析式；（2）設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)為M，拋物線C2與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，頂點(diǎn)為N，四邊形MDNA的面積為S。若點(diǎn)A、點(diǎn)D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動；與此同時，點(diǎn)M、點(diǎn)N同時以每秒2個單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運(yùn)動，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止。求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動時間t之間的關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（3）當(dāng)t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；（4）在運(yùn)動過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由。練習(xí)：1.（2008年南昌）如圖，拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點(diǎn)P,且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于兩點(diǎn)．（1）求值；（2）設(shè)與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），觀察四點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出一條正確的結(jié)論，并通過計(jì)算說明；（3）設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為，若在軸上有一動點(diǎn)，且，過作一條垂直于軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D兩點(diǎn)，試問當(dāng)為何