2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第四章-第三節(jié)-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值【課件】

必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)第三節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值核心考點(diǎn)·分類突破第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.借助函數(shù)圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說(shuō)明】考向考法高考命題以考查函數(shù)的極值、最值的概念,求函數(shù)的極值、最值為重點(diǎn)內(nèi)容,對(duì)參數(shù)分類討論,是每年的必考內(nèi)容,三種題型都可能出現(xiàn),題目難度較大.預(yù)測(cè)2025年高考中利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值是必考的考點(diǎn),極值問(wèn)題會(huì)出現(xiàn)在選擇題或填空題中,難度屬于中檔.必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)知識(shí)梳理·歸納1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f'(x0)=0在點(diǎn)x=x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0在點(diǎn)x=x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0圖象極值f(x0)為極____值f(x0)為極____值極值點(diǎn)x0為極____值點(diǎn)x0為極____值點(diǎn)大小大小微點(diǎn)撥

①函數(shù)的極大值和極小值都可能有多個(gè),極大值和極小值的大小關(guān)系不確定.②對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f'(x0)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a,b]上有最值的條件一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條__________的曲線,那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的______;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中______的一個(gè)是最大值,______的一個(gè)是最小值.連續(xù)不斷極值最大最小微點(diǎn)撥

函數(shù)的最值是對(duì)定義域而言的整體概念,而極值是局部概念,在指定區(qū)間上極值可能不止一個(gè),也可能一個(gè)也沒(méi)有,而最值最多有一個(gè),并且有最值的未必有極值;有極值的未必有最值.常用結(jié)論

1.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0處取得極值”的必要不充分條件.2.如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上恰好是單調(diào)函數(shù),那么函數(shù)的最值恰好在兩個(gè)端點(diǎn)處取到.當(dāng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增時(shí),f(a)是最小值,f(b)是最大值;當(dāng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減時(shí),f(a)是最大值,f(b)是最小值.3.如果函數(shù)f(x)在(a,b)上只有一個(gè)極值,那么這個(gè)極值就是相應(yīng)的最值.基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)13421.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f'(x0)=0,則x0為極值點(diǎn).(

)(2)函數(shù)的極大值不一定是最大值,最小值也不一定是極小值.(

)(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上不存在最值.(

)(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一定存在最值.(

)×√×√提示:(1)反例f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的極值點(diǎn).×(3)反例f(x)=x2在區(qū)間(-1,2)上的最小值為0.×

-104.(忽視極值的存在條件)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1處取得極值10,則a=________,b=________.

4-11

核心考點(diǎn)·分類突破考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問(wèn)題考情提示函數(shù)極值是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的一個(gè)重要應(yīng)用,在高考中也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容,主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值或方程、不等式的綜合應(yīng)用,既有選擇題、填空題,也有解答題.角度1

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象判斷極值[例1](多選題)(2023·石家莊模擬)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則(

)A.-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)B.-1是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)C.y=f(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增D.-2是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)【解析】選AC.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x∈(-∞,-3)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(-3,1)時(shí),f'(x)≥0,所以函數(shù)y=f(x)在(-∞,-3)上單調(diào)遞減,在(-3,1)上單調(diào)遞增,可知-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),所以A正確.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在(-3,1)上單調(diào)遞增,可知-1不是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),-2也不是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),所以B錯(cuò)誤,C正確,D錯(cuò)誤.

x(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)單調(diào)遞增ln2-1單調(diào)遞減故f(x)在定義域上的極大值為f(2)=ln2-1,無(wú)極小值.

(2)(2023·南京模擬)已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)在(0,+∞)上有兩個(gè)極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________.

(3)(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)①證明:當(dāng)0<x<1時(shí),x-x2<sinx<x;②已知函數(shù)f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求a的取值范圍.審題導(dǎo)思破題點(diǎn)·柳暗花明①思路:通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性,進(jìn)而證明不等式②思路:通過(guò)第①問(wèn)鋪設(shè)好的不等式,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得到極值規(guī)范答題微敲點(diǎn)·水到渠成【解析】①設(shè)h(x)=sinx-x,則h'(x)=cosx-1, ………………1分當(dāng)0<x<1時(shí),h'(x)<0,所以當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)單調(diào)遞減,h(x)<h(0)=0,即sinx<x(0<x<1).…………2分

源于教材

sinx<x(0<x<1)可參考人教A版《選擇性必修第二冊(cè)》第86頁(yè)例1(2)及97頁(yè)練習(xí)第1題.

解題技法1.由圖象判斷函數(shù)y=f(x)的極值要抓住的兩點(diǎn)(1)由y=f'(x)的圖象與x軸的交點(diǎn),可得函數(shù)y=f(x)的可能極值點(diǎn).(2)由導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象可以看出y=f'(x)的值的正負(fù),從而可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).2.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x);(3)解方程f'(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢驗(yàn)f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào);(5)求出極值.3.已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1)列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.(2)驗(yàn)證:因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)y=(x-1)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)有極大值f(-3)和f(3)B.函數(shù)f(x)有極小值f(-3)和f(3)C.函數(shù)f(x)有極小值f(3)和極大值f(-3)D.函數(shù)f(x)有極小值f(-3)和極大值f(3)【解析】選D.由題圖知,當(dāng)x∈(-∞,-3)時(shí),y>0,x-1<0?f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-3,1)時(shí),y<0,x-1<0?f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,3)時(shí),y>0,x-1>0?f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),y<0,x-1>0?f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)有極小值f(-3)和極大值f(3).2.(2023·長(zhǎng)沙模擬)若1是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極大值為__________.

5e-3

解題技法求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的方法(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,則f(a)與f(b)一個(gè)為最大值,一個(gè)為最小值.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有極值,則先求出函數(shù)在[a,b]上的極值,再與f(a),f(b)比較,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn),這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

(2)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度),設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).①將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;②討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時(shí),該蓄水池的體積最大.

解題技法利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟

一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m,長(zhǎng)為10m,將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分.現(xiàn)要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,長(zhǎng)度保持不變,底面為等腰梯形ABCD(如圖所示,其中O為圓心,C,D在半圓上),設(shè)∠BOC=θ,木梁的體積為V(單位:m3),表面積為S(