2023九年級數學上冊 第22章 一元二次方程22.3 實踐與探索教案 （新版）華東師大版

2023九年級數學上冊第22章一元二次方程22.3實踐與探索教案（新版）華東師大版學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內容分析本節(jié)課的主要教學內容是華東師大版2023九年級數學上冊第22章“一元二次方程”的22.3節(jié)“實踐與探索”。本節(jié)內容主要包括以下幾個方面：

1.理解一元二次方程的解法及其應用。

2.掌握一元二次方程的解的判別式及其應用。

3.能夠運用一元二次方程解決實際問題。

教學內容與學生已有知識的聯系：

學生在之前的學習中已經掌握了代數的基本知識，包括代數式的運算、解方程等。在此基礎上，本節(jié)課將進一步引導學生深入理解一元二次方程的解法及其應用，幫助學生將已有知識運用到實際問題中，提高解決問題的能力。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算的核心素養(yǎng)。通過學習一元二次方程的解法及其應用，學生能夠抽象出一元二次方程的基本概念，運用邏輯推理推導出解的判別式的計算方法，運用數學建模將一元二次方程應用于實際問題中，提高數學運算能力，熟練運用一元二次方程解決實際問題。同時，通過小組討論、實踐探索等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生的合作交流能力和問題解決能力。重點難點及解決辦法重點：

1.一元二次方程的解法及其應用。

2.一元二次方程的解的判別式及其應用。

3.運用一元二次方程解決實際問題。

難點：

1.理解一元二次方程的解法，并能靈活運用解決實際問題。

2.掌握一元二次方程的解的判別式的計算方法，并能應用于實際問題中。

解決辦法：

1.通過具體案例引導學生理解一元二次方程的解法，并通過練習題加深理解。

2.通過例題講解和練習題，讓學生掌握一元二次方程的解的判別式的計算方法。

3.提供實際問題，讓學生運用一元二次方程解決，引導學生將理論知識應用于實際情境中。

突破策略：

1.利用多媒體教學工具，如動畫演示一元二次方程的解法過程，幫助學生形象理解。

2.組織小組討論，讓學生共同解決實際問題，促進合作交流和思維碰撞。

3.提供多樣化的練習題，包括不同難度的問題，讓學生層層遞進地掌握知識。教學方法與手段教學方法：

1.引導發(fā)現法：教師通過提出問題，引導學生主動探索一元二次方程的解法及其應用，激發(fā)學生的思考和解決問題的能力。

2.案例分析法：教師通過引入具體的實際問題，讓學生運用一元二次方程解決，培養(yǎng)學生的數學建模能力和問題解決能力。

3.小組合作法：教師組織學生進行小組討論和實踐探索，促進學生之間的交流與合作，培養(yǎng)學生的團隊合作能力和交流溝通能力。

教學手段：

1.多媒體教學：教師利用多媒體設備，如PPT、動畫等，進行生動直觀的教學演示，幫助學生形象理解一元二次方程的解法及其應用。

2.教學軟件輔助：教師運用教學軟件，如數學軟件、在線教學平臺等，進行實時互動教學，提高教學效果和學生的參與度。

3.實踐操作活動：教師組織學生進行實踐操作活動，如數學實驗、小組討論等，讓學生親自動手操作，增強學生的實踐能力和創(chuàng)新能力。教學流程本節(jié)課的教學流程分為三個部分：課前準備、課中學習和課后鞏固。整體教學過程設計如下：

1.課前準備（5分鐘）

在課前，教師需要準備相關的教學材料和資源，包括PPT、動畫、練習題等。同時，教師還需布置學生預習課本中的相關內容，了解一元二次方程的基本概念和解法。

2.課中學習（35分鐘）

（1）導入新課（5分鐘）

教師通過引入一個實際問題，激發(fā)學生的興趣，引導學生思考如何運用數學知識解決實際問題。例如：“某商品的原價為x元，商店進行打折促銷，如果打8折，則售價為0.8x元。如果打9折，則售價為0.9x元。請問，商品的原價是多少？”

（2）講授新課（20分鐘）

教師通過PPT和動畫，生動直觀地演示一元二次方程的解法過程，引導學生理解解法的基本原理。同時，教師通過例題講解，讓學生掌握一元二次方程的解的判別式的計算方法。

例如，教師可以講解以下例題：

已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），求該方程的解。

解法：

（1）根據公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，求出方程的兩個解。

（2）判斷判別式Δ=b^2-4ac的值：

-當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數解；

-當Δ=0時，方程有兩個相等的實數解；

-當Δ<0時，方程沒有實數解。

（3）實踐與應用（10分鐘）

教師組織學生進行小組討論，讓學生共同解決實際問題，引導學生將理論知識應用于實際情境中。例如，教師可以提供以下實際問題：

某班級舉行數學競賽，共有30名學生參加。如果每組最多有4名學生，那么可以組成多少個不同的組？

學生通過小組討論，運用一元二次方程解決問題，得出答案。

3.課后鞏固（5分鐘）

教師布置適量的練習題，讓學生在課后鞏固所學知識。例如：

已知一元二次方程2x^2-5x+2=0，求該方程的解。

學生完成后，教師及時批改并給予反饋，幫助學生鞏固知識點。

整個教學流程共計45分鐘。在教學過程中，教師需要關注學生的學習情況，針對學生的掌握程度進行調整教學節(jié)奏和難度，確保學生能夠有效掌握一元二次方程的相關知識。拓展與延伸1.提供了與本節(jié)課內容相關的拓展閱讀材料，幫助學生深入了解一元二次方程的應用和發(fā)展歷史。例如，《一元二次方程的應用案例解析》、《一元二次方程的歷史發(fā)展》等。

2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究，提升學生的學習能力。教師可以布置一些拓展性的練習題，讓學生進一步鞏固所學知識。例如：

（1）已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩個解為x1和x2，證明：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

（2）探究一元二次方程在實際生活中的應用，如拋物線在物理學、工程學等方面的應用。

（3）了解一元二次方程在古代數學家的研究中是如何被發(fā)現的，了解其發(fā)展歷史。

3.引導學生利用網絡資源，收集一元二次方程在現代科技領域的應用案例，如在計算機科學、人工智能等方面的應用。

4.組織學生進行小組討論，探討一元二次方程在解決實際問題中的局限性，如何改進和完善一元二次方程模型，提高其在實際問題中的應用效果。

5.鼓勵學生參加數學競賽、研究性學習等活動，提升學生的數學素養(yǎng)和綜合能力。

6.教師可以結合本節(jié)課的內容，向學生推薦一些數學名著或數學家傳記，如《數學家的故事》、《數學之美》等，讓學生了解數學的發(fā)展歷程，激發(fā)學生對數學的熱愛和興趣。典型例題講解本節(jié)課將講解與一元二次方程相關的典型例題，通過這些例題的解析，幫助學生更好地理解和掌握一元二次方程的解法及其應用。以下是五個典型例題的講解：

例題1：已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩個解為x1和x2，求證：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

解析：根據一元二次方程的解法，我們知道方程的兩個解為：

x1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)

x2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)

將x1和x2相加，得到：

x1+x2=[(-b+√(b^2-4ac))/(2a)]+[(-b-√(b^2-4ac))/(2a)]

=(-b+√(b^2-4ac)-b-√(b^2-4ac))/(2a)

=(-2b)/(2a)

=-b/a

將x1和x2相乘，得到：

x1*x2=[(-b+√(b^2-4ac))/(2a)]*[(-b-√(b^2-4ac))/(2a)]

=(b^2-(b^2-4ac))/(4a^2)

=4ac/(4a^2)

=c/a

因此，得證：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

例題2：已知一元二次方程2x^2-5x+2=0，求該方程的解。

解析：根據一元二次方程的解法，我們可以直接應用公式求解：

x=(-(-5)±√((-5)^2-4*2*2))/(2*2)

x=(5±√(25-16))/4

x=(5±√9)/4

x=(5±3)/4

因此，方程的兩個解為：

x1=(5+3)/4=2

x2=(5-3)/4=1/2

例題3：判斷以下方程是否有實數解：x^2+4=0。

解析：根據一元二次方程的解的判別式，我們可以計算判別式的值：

Δ=b^2-4ac=0^2-4*1*4=-16

因為Δ<0，所以方程沒有實數解。

例題4：已知一元二次方程x^2-4x+k=0的一個解為x1=2，求k的值。

解析：將x1=2代入方程，得到：

2^2-4*2+k=0

4-8+k=0

k=4

因此，k的值為4。

例題5：已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩個解為x1和x2，且x1<x2，求證：a(x-x1)(x-x2)=a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)。

解析：根據一元二次方程的解法，我們知道方程的兩個解為：

x1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)

x2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)

將x1和x2代入左邊的表達式，得到：

a(x-x1)(x-x2)=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/(2a))(x-(-b-√(b^2-4ac))/(2a))

=a(x^2-(-b+√(b^2-4ac))x-bx+b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-bx+b√(b^2-4ac)-bx+b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-2bx+2b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-2bx)/(4a^2)+a(2b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-2bx)/(4a)+b√(b^2-4ac)/(2a)

將x1和x2代入右邊的表達式，得到：

a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)=a(x^2-((-b+√(b^2-4ac))/(2a)+(-b-√(b^2-4ac))/(2a))x+((-b+√(b^2-4ac))/(2a))(-b-√(b^2-4ac))/(2a))

=a(x^2-(-b+√(b^2-4ac)-b-√(b^2-4ac))x+((-b+√(b^2-4ac))(-b-√(b^2-4ac))/(4a^2))

=a(x^2-2bx)+b√(b^2-4ac)/(2a)

因此，得證：a(x-x1)(x-x2)=a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)。板書設計①一元二次方程的解法：

-公式法：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

-因式分解法：ax^2+bx+c=0→(ax+m)(x+n)=0

②一元二次方程的解的判別式：

-Δ=b^2-4ac

-判斷：Δ>0→兩個不相等的實數解；Δ=0→兩個相等的實數解；Δ<0→沒有實數解

③一元二次方程的應用：

-實際問題解決：如商品打折、拋物線問題等

-數學建模：構建一元二次方程模型，分析實際問題

④例題解析：

-例題1：證明x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

-例題2：求解2x^2-5x+2=0

-例題3：判斷x^2+