2023九年級數(shù)學(xué)上冊 第22章 一元二次方程22.3 實(shí)踐與探索教案 （新版）華東師大版

2023九年級數(shù)學(xué)上冊第22章一元二次方程22.3實(shí)踐與探索教案（新版）華東師大版學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是華東師大版2023九年級數(shù)學(xué)上冊第22章“一元二次方程”的22.3節(jié)“實(shí)踐與探索”。本節(jié)內(nèi)容主要包括以下幾個方面：

1.理解一元二次方程的解法及其應(yīng)用。

2.掌握一元二次方程的解的判別式及其應(yīng)用。

3.能夠運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了代數(shù)的基本知識，包括代數(shù)式的運(yùn)算、解方程等。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深入理解一元二次方程的解法及其應(yīng)用，幫助學(xué)生將已有知識運(yùn)用到實(shí)際問題中，提高解決問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)一元二次方程的解法及其應(yīng)用，學(xué)生能夠抽象出一元二次方程的基本概念，運(yùn)用邏輯推理推導(dǎo)出解的判別式的計(jì)算方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模將一元二次方程應(yīng)用于實(shí)際問題中，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，熟練運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題。同時(shí)，通過小組討論、實(shí)踐探索等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力和問題解決能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.一元二次方程的解法及其應(yīng)用。

2.一元二次方程的解的判別式及其應(yīng)用。

3.運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題。

難點(diǎn)：

1.理解一元二次方程的解法，并能靈活運(yùn)用解決實(shí)際問題。

2.掌握一元二次方程的解的判別式的計(jì)算方法，并能應(yīng)用于實(shí)際問題中。

解決辦法：

1.通過具體案例引導(dǎo)學(xué)生理解一元二次方程的解法，并通過練習(xí)題加深理解。

2.通過例題講解和練習(xí)題，讓學(xué)生掌握一元二次方程的解的判別式的計(jì)算方法。

3.提供實(shí)際問題，讓學(xué)生運(yùn)用一元二次方程解決，引導(dǎo)學(xué)生將理論知識應(yīng)用于實(shí)際情境中。

突破策略：

1.利用多媒體教學(xué)工具，如動畫演示一元二次方程的解法過程，幫助學(xué)生形象理解。

2.組織小組討論，讓學(xué)生共同解決實(shí)際問題，促進(jìn)合作交流和思維碰撞。

3.提供多樣化的練習(xí)題，包括不同難度的問題，讓學(xué)生層層遞進(jìn)地掌握知識。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：教師通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生主動探索一元二次方程的解法及其應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的思考和解決問題的能力。

2.案例分析法：教師通過引入具體的實(shí)際問題，讓學(xué)生運(yùn)用一元二次方程解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和問題解決能力。

3.小組合作法：教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論和實(shí)踐探索，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和交流溝通能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：教師利用多媒體設(shè)備，如PPT、動畫等，進(jìn)行生動直觀的教學(xué)演示，幫助學(xué)生形象理解一元二次方程的解法及其應(yīng)用。

2.教學(xué)軟件輔助：教師運(yùn)用教學(xué)軟件，如數(shù)學(xué)軟件、在線教學(xué)平臺等，進(jìn)行實(shí)時(shí)互動教學(xué)，提高教學(xué)效果和學(xué)生的參與度。

3.實(shí)踐操作活動：教師組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作活動，如數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、小組討論等，讓學(xué)生親自動手操作，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。教學(xué)流程本節(jié)課的教學(xué)流程分為三個部分：課前準(zhǔn)備、課中學(xué)習(xí)和課后鞏固。整體教學(xué)過程設(shè)計(jì)如下：

1.課前準(zhǔn)備（5分鐘）

在課前，教師需要準(zhǔn)備相關(guān)的教學(xué)材料和資源，包括PPT、動畫、練習(xí)題等。同時(shí)，教師還需布置學(xué)生預(yù)習(xí)課本中的相關(guān)內(nèi)容，了解一元二次方程的基本概念和解法。

2.課中學(xué)習(xí)（35分鐘）

（1）導(dǎo)入新課（5分鐘）

教師通過引入一個實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題。例如：“某商品的原價(jià)為x元，商店進(jìn)行打折促銷，如果打8折，則售價(jià)為0.8x元。如果打9折，則售價(jià)為0.9x元。請問，商品的原價(jià)是多少？”

（2）講授新課（20分鐘）

教師通過PPT和動畫，生動直觀地演示一元二次方程的解法過程，引導(dǎo)學(xué)生理解解法的基本原理。同時(shí)，教師通過例題講解，讓學(xué)生掌握一元二次方程的解的判別式的計(jì)算方法。

例如，教師可以講解以下例題：

已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），求該方程的解。

解法：

（1）根據(jù)公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，求出方程的兩個解。

（2）判斷判別式Δ=b^2-4ac的值：

-當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)解；

-當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解；

-當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解。

（3）實(shí)踐與應(yīng)用（10分鐘）

教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生共同解決實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生將理論知識應(yīng)用于實(shí)際情境中。例如，教師可以提供以下實(shí)際問題：

某班級舉行數(shù)學(xué)競賽，共有30名學(xué)生參加。如果每組最多有4名學(xué)生，那么可以組成多少個不同的組？

學(xué)生通過小組討論，運(yùn)用一元二次方程解決問題，得出答案。

3.課后鞏固（5分鐘）

教師布置適量的練習(xí)題，讓學(xué)生在課后鞏固所學(xué)知識。例如：

已知一元二次方程2x^2-5x+2=0，求該方程的解。

學(xué)生完成后，教師及時(shí)批改并給予反饋，幫助學(xué)生鞏固知識點(diǎn)。

整個教學(xué)流程共計(jì)45分鐘。在教學(xué)過程中，教師需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，針對學(xué)生的掌握程度進(jìn)行調(diào)整教學(xué)節(jié)奏和難度，確保學(xué)生能夠有效掌握一元二次方程的相關(guān)知識。拓展與延伸1.提供了與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料，幫助學(xué)生深入了解一元二次方程的應(yīng)用和發(fā)展歷史。例如，《一元二次方程的應(yīng)用案例解析》、《一元二次方程的歷史發(fā)展》等。

2.鼓勵學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。教師可以布置一些拓展性的練習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識。例如：

（1）已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩個解為x1和x2，證明：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

（2）探究一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，如拋物線在物理學(xué)、工程學(xué)等方面的應(yīng)用。

（3）了解一元二次方程在古代數(shù)學(xué)家的研究中是如何被發(fā)現(xiàn)的，了解其發(fā)展歷史。

3.引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，收集一元二次方程在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用案例，如在計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能等方面的應(yīng)用。

4.組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，探討一元二次方程在解決實(shí)際問題中的局限性，如何改進(jìn)和完善一元二次方程模型，提高其在實(shí)際問題中的應(yīng)用效果。

5.鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽、研究性學(xué)習(xí)等活動，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力。

6.教師可以結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容，向?qū)W生推薦一些數(shù)學(xué)名著或數(shù)學(xué)家傳記，如《數(shù)學(xué)家的故事》、《數(shù)學(xué)之美》等，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛和興趣。典型例題講解本節(jié)課將講解與一元二次方程相關(guān)的典型例題，通過這些例題的解析，幫助學(xué)生更好地理解和掌握一元二次方程的解法及其應(yīng)用。以下是五個典型例題的講解：

例題1：已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩個解為x1和x2，求證：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

解析：根據(jù)一元二次方程的解法，我們知道方程的兩個解為：

x1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)

x2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)

將x1和x2相加，得到：

x1+x2=[(-b+√(b^2-4ac))/(2a)]+[(-b-√(b^2-4ac))/(2a)]

=(-b+√(b^2-4ac)-b-√(b^2-4ac))/(2a)

=(-2b)/(2a)

=-b/a

將x1和x2相乘，得到：

x1*x2=[(-b+√(b^2-4ac))/(2a)]*[(-b-√(b^2-4ac))/(2a)]

=(b^2-(b^2-4ac))/(4a^2)

=4ac/(4a^2)

=c/a

因此，得證：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

例題2：已知一元二次方程2x^2-5x+2=0，求該方程的解。

解析：根據(jù)一元二次方程的解法，我們可以直接應(yīng)用公式求解：

x=(-(-5)±√((-5)^2-4*2*2))/(2*2)

x=(5±√(25-16))/4

x=(5±√9)/4

x=(5±3)/4

因此，方程的兩個解為：

x1=(5+3)/4=2

x2=(5-3)/4=1/2

例題3：判斷以下方程是否有實(shí)數(shù)解：x^2+4=0。

解析：根據(jù)一元二次方程的解的判別式，我們可以計(jì)算判別式的值：

Δ=b^2-4ac=0^2-4*1*4=-16

因?yàn)棣?lt;0，所以方程沒有實(shí)數(shù)解。

例題4：已知一元二次方程x^2-4x+k=0的一個解為x1=2，求k的值。

解析：將x1=2代入方程，得到：

2^2-4*2+k=0

4-8+k=0

k=4

因此，k的值為4。

例題5：已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩個解為x1和x2，且x1<x2，求證：a(x-x1)(x-x2)=a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)。

解析：根據(jù)一元二次方程的解法，我們知道方程的兩個解為：

x1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)

x2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)

將x1和x2代入左邊的表達(dá)式，得到：

a(x-x1)(x-x2)=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/(2a))(x-(-b-√(b^2-4ac))/(2a))

=a(x^2-(-b+√(b^2-4ac))x-bx+b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-bx+b√(b^2-4ac)-bx+b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-2bx+2b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-2bx)/(4a^2)+a(2b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-2bx)/(4a)+b√(b^2-4ac)/(2a)

將x1和x2代入右邊的表達(dá)式，得到：

a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)=a(x^2-((-b+√(b^2-4ac))/(2a)+(-b-√(b^2-4ac))/(2a))x+((-b+√(b^2-4ac))/(2a))(-b-√(b^2-4ac))/(2a))

=a(x^2-(-b+√(b^2-4ac)-b-√(b^2-4ac))x+((-b+√(b^2-4ac))(-b-√(b^2-4ac))/(4a^2))

=a(x^2-2bx)+b√(b^2-4ac)/(2a)

因此，得證：a(x-x1)(x-x2)=a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)。板書設(shè)計(jì)①一元二次方程的解法：

-公式法：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

-因式分解法：ax^2+bx+c=0→(ax+m)(x+n)=0

②一元二次方程的解的判別式：

-Δ=b^2-4ac

-判斷：Δ>0→兩個不相等的實(shí)數(shù)解；Δ=0→兩個相等的實(shí)數(shù)解；Δ<0→沒有實(shí)數(shù)解

③一元二次方程的應(yīng)用：

-實(shí)際問題解決：如商品打折、拋物線問題等

-數(shù)學(xué)建模：構(gòu)建一元二次方程模型，分析實(shí)際問題

④例題解析：

-例題1：證明x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

-例題2：求解2x^2-5x+2=0

-例題3：判斷x^2+