2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版第一章含答案

2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版第一章第1講集合[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，能夠在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合，了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集，理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集，能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用．1．集合的概念(1)集合中元素的三個(gè)特征：eq\x(\s\up1(01))確定性、eq\x(\s\up1(02))互異性、eq\x(\s\up1(03))無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是eq\x(\s\up1(04))屬于或eq\x(\s\up1(05))不屬于兩種，用符號(hào)eq\x(\s\up1(06))∈或eq\x(\s\up1(07))?表示．(3)集合的表示法：eq\x(\s\up1(08))列舉法、eq\x(\s\up1(09))描述法、eq\x(\s\up1(10))圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)eq\x(\s\up1(11))Neq\x(\s\up1(12))N*(或N＋)eq\x(\s\up1(13))Zeq\x(\s\up1(14))Qeq\x(\s\up1(15))R2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號(hào)語言相等構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是eq\x(\s\up1(16))一樣的eq\x(\s\up1(17))A?B且eq\x(\s\up1(18))B?A?A＝B子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素eq\x(\s\up1(19))A?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x?Aeq\x(\s\up1(20))AB或BA結(jié)論任何一個(gè)集合是它本身的子集A?A若A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集A?B，B?C?eq\x(\s\up1(21))A?C空集是eq\x(\s\up1(22))任何集合的子集，是eq\x(\s\up1(23))任何非空集合的真子集??A?B(B≠?)3．集合的基本運(yùn)算并集交集補(bǔ)集圖形符號(hào)A∪B＝eq\x(\s\up1(24)){x|x∈A，或x∈B}A∩B＝eq\x(\s\up1(25)){x|x∈A，且x∈B}eq\a\vs4\al(?UA)＝eq\x(\s\up1(26)){x|x∈U，且x?A}4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：(A∪B)?A；(A∪B)?B；A∪A＝A；A∪?＝A；A∪B＝B∪A.(2)交集的性質(zhì)：(A∩B)?A；(A∩B)?B；A∩A＝A；A∩?＝?；A∩B＝B∩A.(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：?U(?UA)＝A；?UU＝?；?U?＝U；A∩(?UA)＝?；A∪(?UA)＝U.1．交集與并集的轉(zhuǎn)化(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．2．子集個(gè)數(shù)若有限集A中有n個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2.3．元素個(gè)數(shù)用card(A)表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)．對(duì)任意兩個(gè)有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．(2023·銀川模擬)下列五個(gè)式子：①a?{a}；②??{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}?{a}；⑤a∈{b，c，a}中，正確的是()A．②④⑤ B．②③④⑤C．②④ D．①⑤答案A解析①錯(cuò)誤，應(yīng)改為a∈{a}；②正確；③錯(cuò)誤，應(yīng)改為{a}{a，b}；④正確；⑤正確．2．(2024·重慶月考)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，則A的真子集的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．6 D．7答案D解析因?yàn)锳＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的個(gè)數(shù)為23－1＝7.故選D.3．(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題1.2T5(1)改編)設(shè)集合M＝{5，x2}，N＝{5x，5}，若M＝N，則實(shí)數(shù)x的值組成的集合為()A．{5} B．{1}C．{0，5} D．{0，1}答案C解析因?yàn)镸＝N，所以x2＝5x，解得x＝0或5，所以實(shí)數(shù)x的值組成的集合為{0，5}．故選C.4．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>0}，則(?RA)∩(?RB)＝________．答案{x|x≤－1}解析因?yàn)锳∪B＝{x|x>－1}，所以(?RA)∩(?RB)＝?R(A∪B)＝{x|x≤－1}．5．(人教B必修第一冊(cè)習(xí)題1－1BT6改編)已知A＝[－2，1]，B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B?RA，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．答案[6，＋∞)解析因?yàn)锳＝[－2，1]，所以?RA＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，又因?yàn)锽＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B?RA，所以－eq\f(p,3)≤－2，解得p≥6，所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是[6，＋∞)．考向一集合的含義及表示例1(1)(2023·秦皇島模擬)已知集合A＝{1，2，3}，則B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的個(gè)數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析因?yàn)锳＝{1，2，3}，根據(jù)x∈A，y∈A，|x－y|∈A可知，B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}，B中含有6個(gè)元素．故選C.(2)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)，則下列結(jié)論中元素與集合的關(guān)系正確的是()A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B答案C解析由x2≥0，得x2＋1≥1，所以A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以2∈A，(1，2)?A，(3，10)?A；B＝{(x，y)|y＝x2＋1}中的元素是函數(shù)y＝x2＋1圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，所以2?B，因?yàn)閥＝12＋1＝2，y＝32＋1＝10，所以(1，2)∈B，(3，10)∈B.(3)(2024·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)答案D解析集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，當(dāng)a＝0時(shí)，可得x＝eq\f(2,3)，集合A中只有一個(gè)元素為eq\f(2,3)；當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2－3x＋2＝0只有一個(gè)解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝eq\f(9,8).故選D.理解集合的含義的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合．(2)看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么．注意：利用集合元素的限制條件或元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性．1.(多選)(2024·長(zhǎng)沙一中階段考試)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，則下列表示正確的是()A．－1?A B．－11?AC．3k2－1∈A D．－34∈A答案BCD解析當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－1，所以－1∈A，所以A錯(cuò)誤；令－11＝3k－1，得k＝－eq\f(10,3)?Z，所以－11?A，所以B正確；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正確；因?yàn)閗∈Z，所以k2∈Z，則3k2－1∈A，所以C正確．2．(2023·徐州模擬)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，則B＝()A．{0，1} B．{0，1，2}C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}答案C解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，對(duì)于集合B，由x－1∈A，得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3，又x∈N*，所以x＝1，2，3，即B＝{1，2，3}．3．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則2023a的值為________；若1?A，則a不可能取得的值為________．答案1－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2)解析若1∈A，a＋2＝1，則a＝－1，A＝{1，0，1}，不符合集合中元素的互異性；(a＋1)2＝1，則a＝0或－2，當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{2，1，3}，符合集合中元素的互異性，當(dāng)a＝－2時(shí)，A＝{0，1，1}，不符合集合中元素的互異性；a2＋3a＋3＝1，則a＝－1或－2，顯然都不符合集合中元素的互異性．因此a＝0，20230＝1.若1?A，a＋2≠1，解得a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1，解得a≠－1，－2.又a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3互不相等，由a＋2≠(a＋1)2得a≠eq\f(－1±\r(5),2)；由a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；由(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2.綜上，a的值不可能為－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2).考向二集合間的基本關(guān)系例2(1)(2023·茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]答案A解析由已知得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,2)))，若A?B，則eq\f(a,2)＞1，所以a＞2.(2)已知集合A＝{x|y＝eq\r(x－1)＋2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a－1)，1<a≤\f(3,2)))))，則下列結(jié)論正確的是()A．A＝B B．A?BC．BA D．AB答案C解析因?yàn)锳＝{x|y＝eq\r(x－1)＋2}＝{x|x≥1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a－1)，1<a≤\f(3,2)))))＝{x|x≥2}，所以BA.(3)設(shè)A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，①若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________；②若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案①{a|a≤－1或a＝1}②{1}解析由題意，得A＝{－4，0}．①∵B?A，∴B＝?或B＝{－4}或B＝{0}或B＝{－4，0}．當(dāng)B＝?時(shí)，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0無解，即Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1；當(dāng)B＝{－4}或B＝{0}時(shí)，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝8a＋8＝0，∴a＝－1，此時(shí)B＝{0}，符合條件；當(dāng)B＝{－4，0}時(shí)，－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個(gè)根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝8a＋8>0，,－4＋0＝－2（a＋1），,－4×0＝a2－1，))解得a＝1.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－1或a＝1}．②∵A?B，∴B＝{－4，0}．由①知a＝1.1．判斷兩集合間關(guān)系的三種方法2．由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略(1)若集合元素是一一列舉的，則將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時(shí)注意集合中元素的互異性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到．提醒：題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況進(jìn)行討論．1.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C．eq\f(2,3) D．－1答案B解析因?yàn)锳?B，若a－2＝0，解得a＝2，此時(shí)A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若2a－2＝0，解得a＝1，此時(shí)A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意．綜上所述，a＝1.故選B.2．(2024·合肥模擬)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0<x<6，x∈N}，則滿足條件AC?B的集合C的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．7 D．8答案C解析由已知得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，因?yàn)锳C?B，所以集合C的個(gè)數(shù)為23－1＝7.故選C.3．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2或0≤m≤\f(5,2)))))解析A＝{x|－1≤x≤6}，若B?A，則當(dāng)B＝?時(shí)，有m－1>2m＋1，即m<－2，符合題意；當(dāng)B≠?時(shí)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2).綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2或0≤m≤\f(5,2))))).多角度探究突破考向三集合的基本運(yùn)算角度集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算例3(1)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2答案C解析因?yàn)镹＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故選C.(2)(2023·全國(guó)乙卷)設(shè)集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，則{x|x≥2}＝()A．?U(M∪N) B．N∪?UMC．?U(M∩N) D．M∪?UN答案A解析由題意可得M∪N＝{x|x<2}，則?U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正確；?UM＝{x|x≥1}，則N∪?UM＝{x|x>－1}，B錯(cuò)誤；M∩N＝{x|－1<x<1}，則?U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，C錯(cuò)誤；?UN＝{x|x≤－1或x≥2}，則M∪?UN＝{x|x<1或x≥2}，D錯(cuò)誤．故選A.集合基本運(yùn)算的求解策略(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí)，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算，也可借助Venn圖運(yùn)算．(2)當(dāng)集合是用不等式表示時(shí)，可運(yùn)用數(shù)軸求解．對(duì)于端點(diǎn)處的取舍，可以單獨(dú)檢驗(yàn)．(3)解決抽象集合(沒有給出具體元素的集合)間的關(guān)系判斷和運(yùn)算的問題的途徑有兩條：一是利用特殊值法將抽象集合具體化；二是利用圖形化抽象為直觀．1.(2023·運(yùn)城四模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))，B＝{y|y＝－|x－3|－2}，則A∪B＝()A．? B．(－∞，－2]C．(－∞，0) D．(－∞，0]答案C解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))＝{x|x<0}，B＝{y|y＝－|x－3|－2}＝{y|y≤－2}，則A∪B＝(－∞，0)．故選C.2．(2024·廣州模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．(－2，0] B．[－2，0]C．[－2，0]∪{4} D．(－2，0]∪{4}答案D解析因?yàn)锳＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，所以A∪B＝{x|x≥4或x≤0}∪{x|x>4或x≤－2}＝{x|x≥4或x≤0}，A∩B＝{x|x≥4或x≤0}∩{x|x>4或x≤－2}＝{x|x>4或x≤－2}．由題意可知陰影部分表示的集合為[?U(A∩B)]∩(A∪B)，因?yàn)?U(A∩B)＝{x|－2<x≤4}，所以[?U(A∩B)]∩(A∪B)＝{x|－2<x≤0或x＝4}．故選D.3．已知M，N均為R的子集，且?RM?N，則M∪(?RN)＝()A．? B．MC．N D．R答案B解析解法一：∵?RM?N，∴M??RN，據(jù)此可得M∪(?RN)＝M.故選B.解法二：如圖所示，設(shè)矩形區(qū)域ABCD表示全集R，矩形區(qū)域ABHE表示集合M，則矩形區(qū)域CDEH表示集合?RM，矩形區(qū)域CDFG表示集合N，滿足?RM?N，結(jié)合圖形可得M∪(?RN)＝M.故選B.角度利用集合運(yùn)算求參數(shù)例4(1)(2024·無錫模擬)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(?RB)＝{1，2}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案C解析由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得?RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因?yàn)锳∩(?RB)＝{1，2}，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，3]．故選C.(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a<x<a＋3}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2)))))解析A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤1))))，①若B＝?，則2a≥a＋3，解得a≥3，符合題意；②若B≠?，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,2a≥1，))解得a≤－eq\f(10,3)或eq\f(1,2)≤a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2))))).根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集合，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到．(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題求解．(3)根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍．1.已知集合A＝{x|3x2－2x－5<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,3)))C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)答案C解析依題意A＝{x|3x2－2x－5<0}＝{x|(3x－5)(x＋1)<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(5,3)))))，而A∪B＝B，故A?B，得a≤－1.故選C.2．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，則a＋b＝________．答案－5解析P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，－a＝－1＋3＝2，b＝－3，∴a＋b＝－5.角度集合的新定義問題例5(2023·青島模擬)若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，稱兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；若兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食”．對(duì)于集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”或“偏食”，則a的值為________．答案0或1或4解析因?yàn)锽＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，則B＝?，滿足B為A的真子集，此時(shí)A與B構(gòu)成“全食”；若a>0，則B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,a)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則eq\f(1,\r(a))＝1或eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝1或a＝4.綜上，a的值為0或1或4.解決以集合為背景的新定義問題要抓住的兩點(diǎn)(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在．(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．(2024·泰安期中)對(duì)于非空數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，其所有元素的算術(shù)平均數(shù)記為E(A)，即E(A)＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n).若非空數(shù)集B滿足下列兩個(gè)條件：①B?A；②E(B)＝E(A)，則稱B為A的一個(gè)“保均值子集”．據(jù)此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有()A．4個(gè) B．5個(gè)C．6個(gè) D．7個(gè)答案D解析設(shè)集合A＝{1，2，3，4，5}，則該集合中所有元素的算術(shù)平均數(shù)E(A)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，所以由新定義可知，只需找到非空數(shù)集B滿足B?A，且E(B)＝3即可．據(jù)此分析易知，集合{1，2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5}，{2，4}，{3}都符合要求．故集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有7個(gè)．故選D.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·武漢二中質(zhì)檢)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，則M中所有元素之和為()A．3 B．1C．－3 D．－1答案C解析若a＝1，則2a－1＝1，不滿足集合元素的互異性；若2a－1＝1，則a＝1，不滿足集合元素的互異性，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍去)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，M中所有元素之和為－3.故選C.2．(2023·四省高考適應(yīng)性測(cè)試)設(shè)集合A＝{2，3，a2－2a－3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}．若B?A，A∩C＝{2}，則a＝()A．－3 B．－1C．1 D．3答案B解析因?yàn)锽?A，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.若a＝－1，則A＝{2，3，0}，C＝{2，－1}，此時(shí)A∩C＝{2}，符合題意；若a＝3，則A＝{2，3，0}，C＝{2，3}，此時(shí)A∩C＝{2，3}，不符合題意．故選B.3．(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U為整數(shù)集，?U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．?答案A解析因?yàn)檎麛?shù)集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以?U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故選A.4．(2023·南京一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x－a)<0))))，若A∩N*＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{1} B．(－∞，1)C．[1，2] D．(－∞，2]答案D解析解法一：由題意，得A＝{x|(x－1)(x－a)<0}，當(dāng)a>1時(shí)，A＝{x|1<x<a}，因?yàn)锳∩N*＝?，所以1<a≤2；當(dāng)a<1時(shí)，A＝{x|a<x<1}，因?yàn)锳∩N*＝?，所以a<1；當(dāng)a＝1時(shí)，A＝?，滿足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]．故選D.解法二：當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{x|1<x<2}，A∩N*＝?，故排除A，B；當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{x|0<x<1}，A∩N*＝?，故排除C.故選D.5．(2023·青島二模)已知A，B均為R的子集，且A∩(?RB)＝A，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．B?A B．A∪B＝RC．A∩B＝? D．A＝?RB答案C解析∵A∩(?RB)＝A，∴A??RB，用Venn圖表示如右．由圖可知，A∩B＝?，即C一定成立，A一定不成立，B，D都不一定成立．故選C.6．(2024·鄭州一中質(zhì)檢)已知集合M＝{x|x2－3x<0}，N＝{x|log2x<4}，且全集U＝[－1，20]，則U＝()A．M∩(?UN) B．N∩(?UM)C．M∪(?UN) D．N∪(?UM)答案D解析由已知得集合M＝(0，3)，N＝(0，16)，則M∩(?UN)＝?，N∩(?UM)＝[3，16)，M∪(?UN)＝[－1，3)∪[16，20]，N∪(?UM)＝[－1，20]＝U.故選D.7．(2024·濰坊模擬)設(shè)集合M＝{x∈Z|x2<100<2x}，則M的所有子集的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．8 D．16答案C解析解不等式x2<100，得－10<x<10，解不等式100<2x，得x>log2100，由于log226<log2100<log227，所以M＝{x∈Z|x2<100<2x}＝{x∈Z|log2100<x<10}＝{7，8，9}，所以M的所有子集的個(gè)數(shù)為23＝8.故選C.8．調(diào)查了100名攜帶藥品出國(guó)的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥，那么對(duì)于既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計(jì)中，下列說法正確的是()A．最多人數(shù)是55 B．最少人數(shù)是55C．最少人數(shù)是75 D．最多人數(shù)是80答案B解析設(shè)100名攜帶藥品出國(guó)的旅游者組成全集I，其中帶感冒藥的人組成集合A，帶胃藥的人組成集合B.又設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為x，則x∈[0，20]，以上兩種藥都帶的人數(shù)為y.根據(jù)題意列出Venn圖，如圖所示．由圖可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人數(shù)是55.故選B.二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·無錫一中月考)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}，則下列關(guān)系式正確的是()A．A∩B＝? B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪(?RB)＝{x|x≤－1或x>2} D．A∩(?RB)＝{x|2<x≤3}答案BD解析∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正確；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正確；∵?RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(?RB)＝{x|x<－2或x>－1}，A∩(?RB)＝{x|2<x≤3}，C不正確，D正確．10.(2023·濟(jì)南模擬)圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為()A．A∩(B∪C) B．A∪(B∩C)C．A∩?U(B∩C) D．(A∩B)∪(A∩C)答案AD解析圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C)．故選AD.11．設(shè)集合A＝{x|x＝m＋eq\r(3)n，m，n∈N*}，若對(duì)于任意x1∈A，x2∈A，均有x1⊕x2∈A，則運(yùn)算⊕可能是()A．加法 B．減法C．乘法 D．除法答案AC解析由題意可設(shè)x1＝m1＋eq\r(3)n1，x2＝m2＋eq\r(3)n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，則x1＋x2＝(m1＋m2)＋eq\r(3)(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法滿足條件，A正確；x1－x2＝(m1－m2)＋eq\r(3)(n1－n2)，當(dāng)n1＝n2時(shí)，x1－x2?A，所以減法不滿足條件，B錯(cuò)誤；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋eq\r(3)(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法滿足條件，C正確；eq\f(x1,x2)＝eq\f(m1＋\r(3)n1,m2＋\r(3)n2)，當(dāng)eq\f(m1,m2)＝eq\f(n1,n2)＝λ(λ>0)時(shí)，eq\f(x1,x2)?A，所以除法不滿足條件，D錯(cuò)誤．三、填空題12．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2x，\f(y－1,x)，1))，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，則x＋y＝________．答案2解析顯然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，則x＝0，集合A中元素不滿足互異性，舍去，∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2.13．(2024·西安鐵一中月考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________．答案－11解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，則B＝{x|m<x<2}，畫出數(shù)軸，可得m＝－1，n＝1.14．(2024·南昌二中質(zhì)檢)已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(?RB)∪A＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，?RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(?RB)∪A＝R，∴a≥2.四、解答題15．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\r(\f(2x－1,x＋1)－1)))))，B＝{x|－1≤x＋a≤2}．(1)求集合A；(2)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)由eq\f(2x－1,x＋1)－1≥0，即eq\f(x－2,x＋1)≥0得x<－1或x≥2，所以集合A＝{x|x<－1或x≥2}．(2)集合B＝{x|－1≤x＋a≤2}＝{x|－1－a≤x≤2－a}，由B?A得2－a<－1或－1－a≥2，解得a>3或a≤－3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－3]∪(3，＋∞)．16．(2023·臨沂模擬)在①A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)>1))))；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并解答問題：設(shè)集合________，B＝{x|(x－2m)(x－m2－1)<0}(m≠1)，(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，求A∩B，B∪(?RA)；(2)若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，B＝{x|(x＋2)(x－2)<0}＝{x|－2<x<2}，若選①：eq\f(4,x＋1)>1?eq\f(4,x＋1)－1>0?eq\f(3－x,x＋1)>0?(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，?RA＝{x|x≤－1或x≥3}，B∪(?RA)＝{x|x<2或x≥3}．若選②：x2－2x－3<0?(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，下同選①.若選③：由|x－1|<2得－2<x－1<2，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，下同選①.(2)由(1)知A＝{x|－1<x<3}．因?yàn)閙≠1，所以m2＋1－2m＝(m－1)2>0，即m2＋1>2m，B＝(2m，m2＋1)，因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m≥－1，,m2＋1≤3，))解得－eq\f(1,2)≤m≤eq\r(2).所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1，eq\r(2)]．第3講全稱量詞與存在量詞[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.理解全稱量詞與存在量詞的意義.2.能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定.3.能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定．1．全稱量詞和存在量詞(1)全稱量詞有：所有的、任意一個(gè)、任給一個(gè)，用符號(hào)“eq\x(\s\up1(01))?”表示；存在量詞有：存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有些，用符號(hào)“eq\x(\s\up1(02))?”表示．(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”用符號(hào)簡(jiǎn)記為eq\x(\s\up1(03))?x∈M，p(x)．(3)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符號(hào)簡(jiǎn)記為eq\x(\s\up1(04))?x∈M，p(x)．2．含有一個(gè)量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(05))?x∈M，?p(x)?x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(06))?x∈M，?p(x)1．含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．2．常用的正面敘述詞語和它的否定詞語正面詞語等于(＝)大于(>)小于(<)是否定詞語不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面詞語都是任意的所有的至多有一個(gè)至少有一個(gè)否定詞語不都是某個(gè)某些至少有兩個(gè)一個(gè)也沒有3.因?yàn)槊}p與?p的真假性相反，所以不管是全稱量詞命題還是存在量詞命題，當(dāng)其真假不易判斷時(shí)，可先判斷其否定的真假．1．(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題1.5T3(1)改編)命題“?x∈Q，|x|∈N”的否定是()A．?x?Q，|x|?N B．?x∈Q，|x|∈NC．?x?Q，|x|?N D．?x∈Q，|x|?N答案D解析存在量詞命題的否定需要把存在量詞改為全稱量詞，并否定結(jié)論．故選D.2．(2023·廈門模擬)已知集合M，N滿足M∩N≠?，則()A．?x∈M，x∈N B．?x∈M，x?NC．?x∈M，x∈N D．?x∈M，x?N答案C解析∵集合M，N滿足M∩N≠?，∴由交集定義得?x∈M，x∈N.故選C.3．(2024·寧德一中質(zhì)檢)若命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－1，3] B．(－1，3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因?yàn)槊}“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等價(jià)于“x2＋(a－1)x＋1＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.4．(人教A必修第一冊(cè)1.5.2練習(xí)T2改編)“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是________．答案存在一個(gè)等邊三角形，它不是等腰三角形解析全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．故命題的否定是存在一個(gè)等邊三角形，它不是等腰三角形．5．(人教B必修第一冊(cè)1.2.1練習(xí)BT4改編)若“?x∈[－1，2]，x2－m≤1”為真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為________．答案3解析因?yàn)椤?x∈[－1，2]，x2－m≤1”為真命題，所以m≥x2－1對(duì)x∈[－1，2]恒成立，即m≥(x2－1)max＝3.考向一全稱量詞命題、存在量詞命題真假的判斷例1(1)(2023·沈陽東北育才學(xué)校模擬)已知P，Q為R的兩個(gè)非空真子集，若?RQ?RP，則下列結(jié)論正確的是()A．?x∈Q，x∈P B．?x∈?RP，x∈?RQC．?x?Q，x∈P D．?x∈?RP，x∈?RQ答案B解析因?yàn)?RQ?RP，所以PQ，如圖，對(duì)于A，由題意知P是Q的真子集，故?x∈Q，x?P，故A不正確；對(duì)于B，由?RQ是?RP的真子集且?RQ，?RP都不是空集知，?x∈?RP，x∈?RQ，故B正確；對(duì)于C，由P是Q的真子集知，?x?Q，x?P，故C不正確；對(duì)于D，?RQ是?RP的真子集，故?x∈?RP，x??RQ，故D不正確．故選B.(2)(多選)(2024·廈門外國(guó)語學(xué)校期中)下列命題中為真命題的是()A．?x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)B．?x∈(0，1)，logeq\s\do10(\f(1,2))x＞logeq\s\do10(\f(1,3))xC．?x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＞logeq\s\do10(\f(1,2))xD．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜logeq\s\do10(\f(1,3))x答案BD解析當(dāng)x＞0時(shí)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象永遠(yuǎn)在y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的圖象上方，因此A是假命題；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＝logeq\s\do10(\f(1,2))x的圖象永遠(yuǎn)在y＝logeq\s\do10(\f(1,3))x的圖象上方，因此B是真命題；當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，eq\r(\f(1,2))＜1＝logeq\s\do10(\f(1,2))eq\f(1,2)，因此C是假命題；當(dāng)0＜x＜eq\f(1,3)時(shí)，logeq\s\do10(\f(1,3))x＞1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，因此D是真命題．故選BD.判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()A．?x∈R，f(－x)≠f(x) B．?x∈R，f(－x)≠－f(x)C．?x∈R，f(－x)≠f(x) D．?x∈R，f(－x)≠－f(x)答案C解析∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x∈R，f(－x)≠f(x)為真命題．2．(2024·江西師大附中月考)下列命題為真命題的是()A．?x∈R，ln(x2＋1)<0B．?x>2，2x>x2C．?α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．?x∈(0，π)，sinx>cosx答案C解析∵x2＋1≥1，∴l(xiāng)n(x2＋1)≥0，故A是假命題；當(dāng)x＝3時(shí)，23<32，故B是假命題；當(dāng)α＝β＝0時(shí)，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命題；當(dāng)x＝eq\f(π,6)∈(0，π)時(shí)，sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(\r(3),2)，sinx<cosx，故D是假命題．故選C.考向二含有一個(gè)量詞的命題的否定例2(1)(2023·濰坊二模)十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對(duì)任意正整數(shù)n>2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬定理的否定為()A．對(duì)任意正整數(shù)n≤2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都沒有正整數(shù)解B．對(duì)任意正整數(shù)n>2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一組正整數(shù)解C．存在正整數(shù)n≤2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一組正整數(shù)解D．存在正整數(shù)n>2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一組正整數(shù)解答案D解析命題為全稱量詞命題，則命題的否定為“存在正整數(shù)n>2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一組正整數(shù)解”．故選D.(2)(2023·德州調(diào)研)命題“?x∈R，1<f(x)≤2”的否定是()A．?x∈R，1<f(x)≤2 B．?x∈R，1<f(x)≤2C．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2答案D解析存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，原命題的否定為“?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故選D.寫出全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的步驟1.(2023·泰安三模)命題“奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的否定是()A．所有奇函數(shù)的圖象都不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．所有非奇函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D．存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱答案C解析全稱量詞命題“所有奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的否定是存在量詞命題，所以命題“奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的否定是“存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”．故選C.2．(2024·商丘月考)命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()A．任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)答案B解析根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論，故該命題的否定為“任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”．考向三由命題的真假求參數(shù)的取值范圍例3(1)(2023·南通模擬)若“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則k的取值范圍為()A．(－∞，－2] B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，2)答案A解析依題意知，命題“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”為真命題，所以2sinxcosx≥ksinx，則k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范圍為(－∞，－2]．故選A.(2)(2024·運(yùn)城期末)函數(shù)g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，若?x1∈[－1，2]，?x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析由題意可知，只需g(x)的值域?yàn)閒(x)值域的子集．因?yàn)閒(x)＝x2－2x，x∈[－1，2]的值域?yàn)閇－1，3]，g(x)＝ax＋2(a>0)，x∈[－1，2]的值域?yàn)閇2－a，2＋2a]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,2－a≥－1，,2＋2a≤3，))解得0<a≤eq\f(1,2).由命題的真假求參數(shù)取值范圍的策略(1)全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題．(2)含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決．1.(2023·濰坊一模)“b∈(－2，2)”是“?x∈R，x2－bx＋1≥0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析因?yàn)?x∈R，x2－bx＋1≥0，則Δ＝(－b)2－4≤0，即－2≤b≤2.所以“b∈(－2，2)”是“?x∈R，x2－bx＋1≥0”的充分不必要條件．2．(2024·欽州質(zhì)檢)已知命題p：“?x∈R，4x－2x＋1＋m＝0”．若命題?p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案(－∞，1]解析因?yàn)槊}?p是假命題，所以p是真命題，即?x∈R，4x－2x＋1＋m＝0，所以m＝－4x＋2x＋1，x∈R有解即可．令y＝－4x＋2x＋1＝－(2x)2＋2×2x，2x>0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知y≤1，故m≤1.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·江門一模)命題“?x∈Q，x2－5≠0”的否定為()A．?x?Q，x2－5＝0 B．?x∈Q，x2－5＝0C．?x?Q，x2－5＝0 D．?x∈Q，x2－5＝0答案D解析原命題為全稱量詞命題，該命題的否定為“?x∈Q，x2－5＝0”．故選D.2．(2024·惠州摸底)已知命題p：?m∈R，f(x)＝2x－mx是增函數(shù)，則?p為()A．?m∈R，f(x)＝2x－mx是減函數(shù)B．?m∈R，f(x)＝2x－mx是減函數(shù)C．?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)D．?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)答案D解析由存在量詞命題的否定可得?p為“?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)”．3．(2023·濱州模擬)下列命題正確的是()A．命題“每個(gè)正方形都是矩形”是存在量詞命題B．命題“有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”是全稱量詞命題C．命題“?x∈R，x4∈R”的否定為“?x∈R，x4?R”D．命題“每個(gè)整數(shù)都是有理數(shù)”的否定為“每個(gè)整數(shù)都不是有理數(shù)”答案C解析命題“每個(gè)正方形都是矩形”含有全稱量詞“每個(gè)”，是全稱量詞命題，故A錯(cuò)誤；命題“有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”含有存在量詞“有一個(gè)”，是存在量詞命題，故B錯(cuò)誤；命題“?x∈R，x4∈R”的否定為“?x∈R，x4?R”，故C正確；命題“每個(gè)整數(shù)都是有理數(shù)”的否定為“存在一個(gè)整數(shù)不是有理數(shù)”，故D錯(cuò)誤．4．(2024·衡水月考)設(shè)非空集合P，Q滿足P∩Q＝P，則()A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?PC．?x?Q，使得x∈P D．?x∈P，使得x?Q答案B解析因?yàn)镻∩Q＝P，所以P?Q，所以?x?Q，有x?P.故選B.5．(2024·成都模擬)命題p：?x>1，eq\r(x)＋2x－3>0，命題q：?x∈R，2x2－4x＋3＝0，則()A．p真q真 B．p假q假C．p假q真 D．p真q假答案D解析對(duì)于命題p：令t＝eq\r(x)>1，則y＝2t2＋t－3＝(2t＋3)(t－1)，由二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)t＞1時(shí)，y＝2t2＋t－3>0，所以?x>1，eq\r(x)＋2x－3>0，即命題p為真命題；對(duì)于命題q：因?yàn)棣ぃ?－4)2－4×2×3＝－8<0，所以方程2x2－4x＋3＝0無解，即命題q為假命題．故選D.6．已知函數(shù)f(x)＝2ax－a＋3，若?x∈(－1，1)，使得f(x)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3，1) D．(1，＋∞)答案A解析依題意可得f(－1)f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.故選A.7．已知p1：存在a∈R，使函數(shù)y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數(shù)；p2：?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)；p3：對(duì)任意x∈R，x4<x5；p4：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx>cosx.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案A解析p1是真命題．因?yàn)楫?dāng)a＝1時(shí)，y＝2x＋2－x在R上為偶函數(shù)；p2是假命題．因?yàn)?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1；p3是假命題．因?yàn)閤＝eq\f(1,2)時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)，x4<x5不成立；p4是假命題．因?yàn)楫?dāng)x＝eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，tanx＝eq\f(\r(3),3)，cosx＝eq\f(\r(3),2)，tanx<cosx.綜上，真命題的個(gè)數(shù)為1.8．(2024·?？谒闹性驴?已知命題“存在x∈{x|1<x<3}，使等式x2－mx－1＝0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，＋∞)) B．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，＋∞))C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，＋∞))答案D解析“存在x∈{x|1<x<3}，使等式x2－mx－1＝0成立”是假命題，則對(duì)任意x∈{x|1<x<3}，x2－mx－1≠0恒成立，即m≠x－eq\f(1,x)在x∈(1，3)上恒成立．因?yàn)閥＝x－eq\f(1,x)在(1，3)上單調(diào)遞增，所以x－eq\f(1,x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,3)))，則m≤0或m≥eq\f(8,3)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，＋∞)).故選D.二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·長(zhǎng)沙一中月考)下列命題中，是真命題的是()A．?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0B．若x＋y≥6，則x，y中至少有一個(gè)數(shù)大于3C．?x∈R，2x<x2D．命題“?x<0，x2－x－2<0”的否定是“?x≥0，x2－x－2≥0”答案AC解析對(duì)于A，當(dāng)x≥0時(shí)，x3≥0，所以x3＋x≥0，故A是真命題；對(duì)于B，取x＝3，y＝3，顯然為假命題，故B是假命題；對(duì)于C，取x＝－1，因?yàn)?－1<(－1)2，故C是真命題；對(duì)于D，命題“?x<0，x2－x－2<0”的否定是“?x<0，x2－x－2≥0”，故D是假命題．故選AC.10．命題“?x∈[1，2]，x2≤a”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥4C．a(chǎn)≥－2 D．a(chǎn)＝4答案BD解析命題“?x∈[1，2]，x2≤a”等價(jià)于a≥1，即命題“?x∈[1，2]，x2≤a”為真命題，所對(duì)應(yīng)的a的取值范圍為[1，＋∞)，所求的一個(gè)充分不必要條件所對(duì)應(yīng)的集合真包含于[1，＋∞)，顯然只有B，D正確．故選BD.11．若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“⊕”滿足：①?a，b∈G，a⊕b∈G；②?I∈G，?a∈G，a⊕I＝I⊕a＝a；③?I∈G，使?a∈G，?b∈G，有a⊕b＝I＝b⊕a；④?a，b，c∈G，(a⊕b)⊕c＝a⊕(b⊕c)，則稱(G，⊕)構(gòu)成一個(gè)群．下列選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的(G，⊕)構(gòu)成一個(gè)群的是()A．集合G為自然數(shù)集，“⊕”為整數(shù)的加法運(yùn)算B．集合G為正有理數(shù)集，“⊕”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算C．集合G＝{－1，1，－i，i}(i為虛數(shù)單位)，“⊕”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算D．集合G＝{0，1，2，3，4，5，6}，“⊕”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)答案BCD解析對(duì)于A，G＝N時(shí)，不滿足③，若I＝0，由1＋b＝0得b＝－1?G，若I∈N*?N，則在G中設(shè)a>I，由a＋b＝I得b＝I－a<0?G，不能構(gòu)成群．對(duì)于B，G為正有理數(shù)集，①任意兩個(gè)正有理數(shù)的積仍然為正有理數(shù)；②顯然1∈G，對(duì)任意a∈G，a⊕1＝a＝1⊕a；③對(duì)任意正有理數(shù)a，eq\f(1,a)也是正有理數(shù)，且a⊕eq\f(1,a)＝1＝eq\f(1,a)⊕a，即I＝1；④有理數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，可構(gòu)成群．對(duì)于C，G＝{－1，1，－i，i}(i為虛數(shù)單位)，①可驗(yàn)證G中任意兩數(shù)(可相等)的乘積仍然屬于G；②I＝1，滿足任意a∈G，有a⊕1＝1⊕a＝a；③I＝1，滿足任意a∈G，存在b∈G，有a⊕b＝b⊕a＝1；④復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，可構(gòu)成群．對(duì)于D，